Ver el código de «Función hiperbólica»

[[Archivo:sinh cosh tanh.png|thumb|300px|right|Curvas de las funciones hiperbólicas
<span style="color:#ed0000">'''sinh'''</span>, <span style="color:#00ed00">'''cosh'''</span> y <span style="color:#0000ec">'''tanh'''</span>]]
[[Archivo:csch sech coth.png|thumb|300px|right|Curvas de las funciones hiperbólicas
<span style="color:#ed0000">'''csch'''</span>, <span style="color:#00ed00">'''sech'''</span> y <span style="color:#0000ec">'''coth'''</span>]]

Las '''funciones hiperbólicas''' son unas funciones cuyas definiciones se basan en la [[función exponencial]], están ligadas entre sí mediante operaciones racionales y son análogas a las [[trigonometría|funciones trigonométricas]].<ref> Cálculo de Granville</ref>

En [[matemáticas]], las '''funciones hiperbólicas''' son análogas a las [[funciones trigonométricas]] ordinarias, pero definidas usando la [[hipérbola]] en lugar del [[círculo]]. Así como los puntos {{math|(cos ''t'', sen ''t'')}} forman un [[círculo unitario|círculo de radio unitario]], los puntos {{math|(cosh ''t'', sinh ''t'')}} forman la mitad derecha de la [[hipérbola unitaria]]. También, de forma similar a como las derivadas de {{math|sin(''t'')}} y {{math|cos(''t'')}} son {{math|cos(''t'')}} y {{math|-sin(''t'')}} respectivamente, las derivadas de {{math|sinh(''t'')}} y {{math|cosh(''t'')}} son {{math|cosh(''t'')}} y {{math|+sinh(''t'')}} respectivamente.

Las funciones hiperbólicas aparecen en los cálculos de ángulos y distancias en [[geometría hiperbólica]]. También aparecen en las soluciones de muchas [[ecuaciones diferenciales]] lineales (como la ecuación que define una [[catenaria]]), [[Ecuación cúbica#Solución hiperbólica para una raíz real|ecuaciones cúbicas]], y [[ecuación de Laplace]] en [[coordenadas cartesianas]]. Las [[ecuaciones de Laplace]] son importantes en muchas áreas de la [[física]], incluyendo la [[teoría electromagnética]], la [[transferencia de calor]], la [[dinámica de fluidos]] y la [[relatividad especial]].

==Funciones hiperbólicas básicas==

Las funciones hiperbólicas básicas son:<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Funciones hiperbólicas| url=https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
* '''seno hiperbólico''' "{{math|sinh}}" ({{IPAc-en|ˈ|s|ɪ|ŋ|,_|ˈ|s|ɪ|n|tʃ|,_|ˈʃ|aɪ|n}}),<ref>(1999) ''Diccionario conciso Collins'', 4ª edición, HarperCollins, Glasgow, {{ISBN|0 00 472257 4}}, p. 1386</ref>
* '''coseno hiperbólico''' "{{math|cosh}}" ({{IPAc-en|ˈ|k|ɒ|ʃ|,_|ˈ|k|oʊ|ʃ}}),<ref name="Collins Concise Dictionary p. 328">''Collins Concise Dictionary'', p. 328</ref>
de las que se derivan:<ref name=":2">{{Cite web|title=Funciones hiperbólicas|url=https://www.mathsisfun.com/sets/function-hyperbolic.html|access-date=2020-08-29|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
* '''tangente hiperbólica''' "{{math|tanh}}" ({{IPAc-en|ˈ|t|æ|ŋ|,_|ˈ|t|æ|n|tʃ|,_|ˈ|θ|æ|n}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 1520</ref>
* '''cosecante hiperbólica''' "{{math|csch}}" o "{{math|cosech}}" ({{IPAc-en|ˈ|k|oʊ|s|ɛ|tʃ|,_|ˈ|k|oʊ|ʃ|ɛ|k}}<ref name="Collins Concise Dictionary p. 328"/>).
* '''secante hiperbólica''' "{{math|sech}}" ({{IPAc-en|ˈ|s|ɛ|tʃ|,_|ˈ|ʃ|ɛ|k}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 1340</ref>
* '''cotangente hiperbólica''' "{{math|coth}}" ({{IPAc-en|ˈ|k|ɒ|θ|,_|ˈ|k|oʊ|θ}}),<ref>''Collins Concise Dictionary'', p. 329</ref><ref>[http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf tanh]</ref>
correspondientes a las funciones trigonométricas derivadas.
El [[seno hiperbólico]]
:<math>\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}</math>
::
El [[coseno hiperbólico]]
:<math>\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}</math>
::
La [[tangente hiperbólica]]
:<math>\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}</math>
::
y otras líneas:
:<math>\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}</math>
::(''[[cotangente hiperbólica]]'')
:<math>\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}</math>
::(''[[secante hiperbólica]]'')<ref>{{Cita libro|título=Matematicas Fundamentales Para Ingenieros|url=https://books.google.es/books?id=t_7o7YN-3cUC&pg=PA303&dq=secante+hiperb%C3%B3lica&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiU1KOy0r7XAhWCPxQKHQA8AE0Q6AEIQTAF#v=onepage&q=secante%20hiperb%C3%B3lica&f=false|fechaacceso=14 de noviembre de 2017|editorial=Univ. Nacional de Colombia|isbn=9789589322734|idioma=es}}</ref>
:<math>\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}</math>
::(''[[cosecante hiperbólica]]'')

Las [[funciones hiperbólicas inversas]] son:
* '''seno hiperbólico de área''' "{{math|arsinh}}" (también denotado "{{math|sinh<sup>-1</sup>}}", "{{math|asinh}}" o a veces "{{math|arcsinh}}")<ref>{{Citation | last=Woodhouse | first = N. M. J. | author-link = N. M. J. Woodhouse | title = Special Relativity | publisher = Springer | place = London | date = 2003 | page = 71 | isbn = 978-1-85233-426-0}}</ref><ref>{{Citation | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972| title-link= }}</ref><ref>[https://www.google.com/books?q=arcsinh+-library Algunos ejemplos del uso de '''arcsinh''''' encontrados en [[Google Books]].</ref>
* '''coseno hiperbólico de área''' "{{math|arcosh}}" (también denotado "{{math|cosh<sup>-1</sup>}}", "{{math|acosh}}" o a veces "{{math|arccosh}}").
* y así sucesivamente.
[[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|upright=1.4|Un [[Rayo (geometría)|rayo]] a través de la [[hipérbola unitaria]] {{math|1=''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> = 1}} en el punto {{math|(cosh ''a'', sinh ''a'')}}, donde {{mvar|a}} es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje {{mvar|x}}. Para puntos de la hipérbola por debajo del eje {{mvar|x}}, el área se considera negativa (véase [[:Image:HyperbolicAnimation.gif|versión animada]] con comparación con las funciones trigonométricas (circulares)]].

Las funciones hiperbólicas toman un [[Número real|argumento real]] llamado [[ángulo hiperbólico]]. El tamaño de un ángulo hiperbólico es el doble del área de su [[sector hiperbólico]]. Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos del [[sector hiperbólico#Triángulo hiperbólico|piernas de un triángulo rectángulo]] que cubre este sector.

En [[análisis complejo]], las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno y el coseno hiperbólicos son [[funciones enteras]]. En consecuencia, las demás funciones hiperbólicas son [[función meromórfica|meromórfica]] en todo el plano complejo.

Por [[teorema de Lindemann-Weierstrass]], las funciones hiperbólicas tienen un [[número trascendental|valor trascendental]] para cada [[número algebraico|valor algebraico]] no nulo del argumento.<ref>{{Cite book | jstor=10.4169/j.ctt5hh8zn| title=Irrational Numbers | volume=11| last1=Niven| first1=Ivan| year=1985| publisher=Mathematical Association of America| isbn=9780883850381}}</ref>

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por [[Vincenzo Riccati]] y [[Johann Heinrich Lambert]].<ref>Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Asociación Matemática de América, 2007. Página 100.</ref> Riccati utilizó {{math|''Sc.''}} y {{math|''Cc.''}} (''sinus/cosinus circulare'') para referirse a las funciones circulares y {{math|''Sh.''}} y {{math|''Ch.''}} (''sinus/cosinus hyperbolico'') para referirse a las funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero alteró las abreviaturas a las que se usan hoy en día.<ref>Georg F. Becker. ''Funciones hiperbólicas.'' Read Books, 1931. Página xlviii.</ref> Actualmente también se utilizan las abreviaturas {{math|sh}}, {{math|ch}}, {{math|th}}, {{math|cth}}, dependiendo de las preferencias personales.

== Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares ==

Las [[funciones trigonométricas]] sin(''t'') y cos(''t'') pueden ser las [[coordenadas cartesianas]] (''x'',''y'') de un punto ''P'' sobre la [[circunferencia goniométrica|circunferencia unitaria]] centrada en el origen, donde es ''t'' el [[ángulo]], medido en [[radianes]], comprendido entre el semieje positivo ''X'', y el segmento ''OP'', según las siguientes igualdades:

:<math> 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cos t \\
           y(t) = \sin t
\end{matrix}
\right .
</math>

También puede interpretarse el [[Ecuación paramétrica|parámetro]] ''t'' como la [[longitud de arco|longitud del arco]] de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto ''P'', o como el doble del [[área]] del [[sector circular]] determinado por el semieje positivo ''X'', el segmento ''OP'' y la circunferencia unitaria.

[[Archivo:Seno hiperbolico.gif|thumb|right|300px|Animación de la representación del seno hiperbólico.]]
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (''x'',''y'') de un punto ''P'' de la [[hipérbola|hipérbola equilátera]], centrada en el origen, cuya ecuación es

:<math>\ x^2-y^2=1 </math>

siendo ''t'' el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo ''X'', y el segmento ''OP'' y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

:<math> 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cosh t \\
           y(t) = \sinh t
\end{matrix}
\right .
</math>

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:
:<math>\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}</math>

:<math>\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}</math>

dado que
:<math>\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1</math>

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

:<math>\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}</math>
:<math>\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}</math>

== Relaciones ==

=== Ecuación fundamental ===
:<math>\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,</math>

=== Duplicación del argumento ===
Se tienen las siguientes fórmulas<ref name=libro>{{cita libro|apellidos=Bronshtein|nombre=I y otro|título=Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes|año=1982|editorial=Mir|páginas=696}}</ref> muy similares a sus correspondientes trigonométricas

:<math>\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)</math>
:<math>\cosh(x-y) = \cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)</math>

que lleva a la siguiente relación:

:<math>\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)</math>

y por otra parte

:<math>\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)</math>
:<math>\mathrm{sinh}(x-y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)-\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)</math>

que lleva a:

:<math>\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)</math>

se tiene esta otra relación

:<math>\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}</math>

que permite obtener

:<math>\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}</math>

== Derivación e integración ==
:Al ser combinaciones racionales de las funciones derivables e<sup>x</sup> y e<sup>-x</sup> , existen derivadas en los puntos definidos que tienen igualmente semejanzas con funciones trigonométricas. 
:
:Todas se deducen a partir de:
:<math>{{d \over dx}} {{\bigl(e^x - e^{-x} \bigr)}\over 2}</math>
:
:Por tanto, las derivadas de las funciones trigonométricas son las siguientes:
:<math>\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{senh}\,(x)) = \cosh(x)</math>
:
:<math>\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)</math>

:<math>\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)</math>

:<math>\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)</math>

:<math>\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)</math>

:<math>\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)</math>
:
Estas fórmulas conducen de manera análoga las de integración. Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

A continuación, las fórmulas de integrales:
:<math>\int \mathrm{senh}(x) \, dx = \cosh(x) +C</math>
:
:<math>\int \mathrm{cosh}(x) \, dx = \sinh(x) +C</math>

:<math>\int \mathrm{sech}^2 (x) \, dx= \mathrm{tanh}(x)+C</math>
:
:<math>\int \mathrm{csch}^2 (x) \, dx= -\mathrm{coth}(x)+C</math>
:
:<math>\int \mathrm{sech}(x) \, \mathrm{tanh}(x) \, dx= -\mathrm{sech}(x)+C</math>
:
:<math>\int \mathrm{csch}(x) \, \mathrm{coth}(x) \, dx = -\mathrm{csch}(x)+C</math>

== Relación con la función exponencial ==

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

:<math>e^x = \cosh x + \sinh x\!</math>

y

:<math>e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!</math>

Éstas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la [[fórmula de Euler]], como suma de exponenciales complejos.

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>

Adicionalmente,
:<math>e^x = \sqrt{\frac{1 + \tanh x}{1 - \tanh x}} = \frac{1 + \tanh \frac{x}{2}}{1 - \tanh \frac{x}{2}}</math>

==Expresiones en forma de serie de Taylor ==

Es posible expresar explícitamente la [[serie de Taylor]] en cero (o la [[serie de Laurent]], si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
Esta serie es [[Serie convergente|convergente]] para todo valor [[número complejo|complejo]] de {{mvar|x}}. Puesto que la función {{math|sinh ''x''}} es [[función impar|impar]], solo los exponentes impares de {{math|''x''}} aparecen en esta serie de Taylor.

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>
Esta serie es [[Serie convergente|convergente]] para todo valor [[número complejo|complejo]] de {{mvar|x}}. Puesto que la función {{math|cosh ''x''}} es [[función par|par]], solo los exponentes pares de {{math|''x''}} aparecen en esta serie de Taylor.

La suma de las series del sinh y cosh es la expresión en forma de serie de taylor de la [[función exponencial]].

Las siguientes series se obtienen de la descripción de un [[subconjunto]] de su [[radio de convergencia]], donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.
:<math>\begin{align}

                   \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

                   \coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\

  \operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} ,  \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\

  \operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , \qquad 0 < \left |x \right | < \pi

\end{align}</math>

donde:
:<math>B_n \,</math> es el ''n''-ésimo [[número de Bernoulli]]
:<math>E_n \,</math> es el ''n''-ésimo [[número de Euler]]
== Tablas de conversión ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Función
! <math> \sinh </math>
! <math> \cosh </math>
! <math> \tanh </math>
! <math> \coth </math>
! <math> \operatorname{sech} </math>
! <math> \operatorname{csch} </math>
|-
! <math> \sinh(x)= </math>
| <math> \sinh(x)\, </math>
| <math> \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1} </math>
| <math> \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} </math>
| <math> \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}} </math>
| <math> \sgn(x)\frac{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)}}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \frac{1}{\operatorname{csch}(x)} </math>
|-
! <math> \cosh(x)= </math>
| <math> \,\sqrt{1+\sinh^2(x)} </math>
| <math> \,\cosh(x) </math>
| <math> \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} </math>
| <math> \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}} </math>
| <math> \, \frac{1}{\operatorname{sech}(x)} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left|\operatorname{csch}(x)\right|} </math>
|-
! <math> \tanh(x)= </math>
| <math> \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} </math>
| <math> \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)} </math>
| <math> \,\tanh(x) </math>
| <math> \,\frac{1}{\coth(x)} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1-\operatorname{sech}^2(x)} </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{ \sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}} </math>
|-
! <math> \coth(x)= </math>
| <math> \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)} </math>
| <math> \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} </math>
| <math> \,\frac{1}{\tanh(x)} </math>
| <math> \,\coth(x) </math>
| <math> \,\frac{\sgn(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math> \,\sgn(x) \sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)} </math>
|-
! <math> \operatorname{sech}(x)= </math>
| <math> \,\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}} </math>
| <math> \,\frac{1}{\cosh(x)} </math>
| <math> \,\sqrt{1 - \tanh^2(x)} </math>
| <math> \,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left|\coth(x)\right|} </math>
| <math> \, \operatorname{sech}(x) </math>
| <math> \,\frac{\left|\operatorname{csch}(x)\right|}{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2 (x)}} </math>
|-
! <math> \operatorname{csch}(x)= </math>
| <math> \, \frac{1}{\sinh(x)} </math>
| <math> \, \frac{\sgn(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}} </math>
| <math> \, \frac{\sqrt{1-\tanh^2(x)}}{\tanh(x)} </math>
| <math> \, \sgn(x)\sqrt{\coth^2(x)- 1} </math>
| <math> \, \sgn(x)\frac{\operatorname{sech}(x)}{\sqrt{1-\operatorname{sech}^2 (x)}} </math>
| <math> \, \operatorname{csch}(x) </math>
|}

== Funciones hiperbólicas inversas ==
{{AP|Funciones hiperbólicas inversas}}
Las [[funciones hiperbólicas inversas]] son las [[función inversa (análisis matemático)|funciones inversas]] de las funciones hiperbólicas. Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa correspondiente proporciona el [[ángulo hiperbólico]].

== Véase también ==
* [[Trigonometría]]
* [[Logaritmo natural]]
* [[Número e]]
* [[Hipérbola]]

== Referencias ==
{{Listaref|2}}
== Bibliografía ==
* Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Matemáticas superiores. Ecuaciones diferenciales. Integrales múltiples. Filas. Funciones de variable compleja. - Moscú: Nauka, 1985. - S. 464.
* Shervatov V. G. Funciones hiperbólicas - Gostekhizdat, 1954. - 58 p. - ( Clases populares de matemáticas ). — 25.000 copias.
* A.R. Yanpolsky. funciones hiperbólicas. - Moscú, 1960. - 195 p.

== Enlaces externos ==
{{Commons category|Hyperbolic functions}}
*{{springer|title=Hyperbolic functions|id=p/h048250}}
*[http://planetmath.org/hyperbolicfunctions Hyperbolic functions] on [[PlanetMath]]
*[https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ GonioLab]: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions ([[Java Web Start]])
*[http://www.calctool.org/CALC/math/trigonometry/hyperbolic Web-based calculator of hyperbolic functions]

{{Funciones trigonométricas e hiperbólicas}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Funciones hiperbólicas| ]]
[[Categoría:Geometría hiperbólica]]
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