Ver el código de «Función trigonométrica»

{{Trigonometría}}
En [[matemáticas]], las '''funciones trigonométricas''' son funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las [[razones trigonométricas]] a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en [[física]], [[astronomía]], [[cartografía]], [[náutica]], [[telecomunicaciones]], la representación de fenómenos periódicos.

== Conceptos generales  ==
[[Archivo:Trig Functions.svg|miniaturadeimagen|280px|Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una [[circunferencia goniométrica|circunferencia de radio unidad]] de centro ''O'']]
[[Archivo:Identidades trigonométricas fundamentales.gif|thumb|right|280px|Identidades trigonométricas fundamentales]]

Las funciones trigonométricas se pueden definir como el cociente entre dos lados de un [[triángulo rectángulo]], asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una [[circunferencia unitaria]] (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como [[Serie matemática|series infinitas]] o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. 

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el [[verseno]] (1 − cos θ) y la [[exsecante]] (sec θ − 1).

{| class="wikitable"
|-
!Función
!Abreviatura
!Equivalencias (en radianes)
|-
|'''[[Seno (trigonometría)|Seno]]'''
| sen, sin
| <math> \sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,</math>
|-
|'''[[Coseno]]'''  
| cos
| <math>\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sen \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\operatorname {tg} \theta} \,</math>
|-
|'''[[Tangente (trigonometría)|Tangente]]'''
| tan, tg
| <math>\operatorname {tg} \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sen \theta}{\cos \theta} \,</math>
|-
| '''[[Cotangente]]'''
| ctg (cot)
| <math>\cot \theta \equiv \frac{1}{\operatorname {tg} \theta} \equiv \operatorname {tg} \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sen \theta} \,</math>
|-
| '''[[Secante (trigonometría)|Secante]]'''
| sec
| <math>\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\operatorname {tg} \theta}{\sen \theta} \,</math>
|-
| '''[[Cosecante]]'''
| csc (cosec)
| <math>\csc \theta \equiv \frac{1}{\sen \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,</math></td>
|}

=== Definiciones respecto de un triángulo rectángulo ===
[[Archivo:Trigono a10.svg|right|220px|alt=90°|90°]]
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: <math> \alpha </math>, del vértice ''A'', se parte de un [[triángulo rectángulo]] arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
* La [[hipotenusa]] (''h'') es el lado opuesto al [[ángulo recto]], o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. 
* El [[Cateto|cateto opuesto]] (''a'') es el lado opuesto al ángulo<math> \alpha </math> . 
* El [[Cateto|cateto adyacente]] (''b'') es el lado adyacente al ángulo <math> \alpha </math>.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π [[radian]]es (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 

1) El '''seno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: 
{{ecuación|
<math>\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}</math>
||left}}
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo <math> \alpha </math> , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. 

2) El '''coseno''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 
{{ecuación|
<math>\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}</math>
||left}}
3) La '''tangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: 
{{ecuación|
<math>\operatorname {tg} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}</math>
||left}}
4) La '''cotangente''' de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
{{ecuación|
<math>\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}</math>
||left}}
5) La '''secante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
{{ecuación|
<math>\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}</math>
||left}}
6) La '''cosecante''' de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
{{ecuación|
<math>\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}</math>
||left}}

===    Razones trigonométricas de ángulos notables ===
La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples y/o comunes de las funciones trigonométricas.<ref name="Abramowitz and Stegun">Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p. 74</ref> El símbolo {{math|∞}} representa el [[punto del infinito]] en la [[línea real proyectada extendida]]; la cual no tiene signo, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a {{math|+∞}} en un lado y a {{math|−∞}} en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+Tabla de ángulos notables
!Radianes!!Grado!!Seno!!Coseno!!Tangente!!Cotangente!!Secante!!Cosecante
|-
!0!! 0°
|<math>0</math>||<math>1</math>||<math>0</math>||<math>\infty</math>||<math>1</math>||<math>\infty</math>
|-
! π/12!! 15°
|<math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}</math>|| <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>|| <math>2-\sqrt{3}</math>|| <math>2+\sqrt{3}</math>|| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>
|-
! π/10!! 18°
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}} {4}</math>
||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>1 + \sqrt{5}</math>
|-
! π/8|| 22.5°
| <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\sqrt{2} - 1</math>|| <math>\sqrt{2} + 1</math>|| <math> \sqrt{ 4 - 2\sqrt{2} }</math>|| <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math>
|-
! π/6!! 30°
|<math>\frac{1}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>\sqrt{3}</math>|| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>2</math>
|-
! π/5!! 36°
|<math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{1+ \sqrt{5}} {4}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5} - 1</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} {5}</math>
|-
! π/4!! 45°
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>|| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>|| <math>1</math>|| <math>1</math>|| <math>\sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{2}</math>
|-
! 3π/10!! 54°
|<math>\frac{1+ \sqrt{5}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{10- 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}} {5}</math>||<math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>\sqrt{5} - 1</math>
|-
! π/3!! 60°
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>|| <math>\frac{1}{2}</math>|| <math>\sqrt{3}</math>|| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>|| <math>2</math>|| <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
|-
! 3π/8|| 67.5°
| <math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} } {2}</math>|| <math>\sqrt{2} + 1</math>|| <math>\sqrt{2} - 1</math>|| <math>\sqrt{ 4 + 2 \sqrt{2} }</math>|| <math>\sqrt{ 4 - 2 \sqrt{2} }</math>
|-
! 2π/5!! 72°
|<math>\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}} {4}</math>||<math>\frac{\sqrt{5}-1} {4}</math>||<math>\sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||<math>\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}} {5}</math>||<math>1 + \sqrt{5}</math>||<math>\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}} {5}</math>
|-
! 5π/12!! 75°
|<math>\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}</math>|| <math>\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}</math>|| <math>2+\sqrt{3}</math>|| <math>2-\sqrt{3}</math>|| <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math>|| <math>\sqrt{6} - \sqrt{2}</math>
|-'''
! π/2!! 90°
|<math>1</math>|| <math>0</math>|| <math>\infty</math>|| <math>0</math>|| <math>\infty</math>|| <math>1</math>
|}

=== Aproximaciones Trigonométricas para el ángulo <math> \frac{90}{\pi} </math> grados ===
:<math> \cos\frac{90}{\pi} = 0.87...\backsimeq \frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.89</math>
:<math> \sin\frac{90}{\pi} \backsimeq \frac{1}{\sqrt{5}}</math>
:<math> \tan \frac{90}{\pi} \backsimeq \frac{1}{2}</math>

Autor ''' Enfer Diez ''' <ref> International Journal of Mathematics and Computation Vol 28 (2) 2017 </ref>

=== Definición en el conjunto de números reales ===
{{AP|Función real}}
No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de <math>\alpha</math> para valores de <math>\alpha</math> menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida <math>\alpha</math> radianes.
Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una [[circunferencia unitaria]], centrada en el [[origen de coordenadas]] del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo <math>\alpha</math> el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

[[Archivo:Seno y coseno.gif]]

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica.
Si el valor de x está fuera del [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un [[número entero]] y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

=== Representación gráfica ===   
[[Archivo:Función Trigonométrica R333.svg|thumb|center|600px|Representación gráfica en un sistema de [[coordenadas cartesianas]].]]

== Funciones trigonométricas de ángulo doble ==
Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que <math>\alpha = \beta</math>
{{ecuación|
:<math> \sen(\alpha \pm \beta) =\sen \alpha \cos \beta \pm \sen \beta \cos \alpha </math>
:<math>\sen 2\alpha =\sen\alpha \cos\alpha + \sen\alpha\cos\alpha = 2\sen\alpha\cos\alpha</math>
:<math>\cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos\beta \mp \sen\alpha\sen\beta</math>
:<math>\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sen^2\alpha</math>
||left}}

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo <math>\cos\alpha</math> a términos de <math>\sen\alpha</math>, o convirtiendo <math>\sen\alpha</math> a términos de <math>\cos\alpha</math>:
{{ecuación|
:<math>\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1</math>
:<math>\cos2\alpha =1-2\sen^2\alpha</math>
||left}}

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:
{{ecuación|
:<math>\operatorname {tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname {tg}\alpha+\operatorname {tg}\beta}{1-\operatorname {tg}\alpha\operatorname {tg}\beta}</math>
:<math>\operatorname {tg} 2\alpha=\frac{2\operatorname {tg}\alpha}{1-\operatorname {tg}^2\alpha}</math>
||left}}

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:
: <math>
   \sen(A)
   \cos(B) =
   \sen \left( \frac{A+B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A+B}{2} \right)
   + \sen \left( \frac{A-B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)
</math>

: <math>
   \sen(A)
   \cos(B) =
   \frac12
   \left( \sen(A+B)+\sen(A-B) \right)
</math>

Y para el caso alternativo:

: <math>
   \cos(A)
   \sen(B) =
   \sen \left( \frac{A+B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A+B}{2} \right)
   - \sen \left( \frac{A-B}{2} \right)
   \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)
</math>

: <math>
   \cos(A)
   \sen(B) =
   \frac12
   \left( \sen(A+B)-\sen(A-B) \right)
</math>

== Definiciones analíticas ==
La definición analítica más frecuente dentro del [[análisis real]] se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la [[geometría]] y las propiedades de los [[límite de una función|límites]], se puede demostrar que la [[derivada]] del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).
{{ecuación|
<math>\begin{cases}
S'(x) = C(x) & S(0) = 0  \\
C'(x) = -S(x)& C(0) = 1  \end{cases}</math>
||left}}
El [[teorema de Picard-Lindelöf]] de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:
{{ecuación|
<math>\cos x = C(x), \qquad \sen x = S(x)</math>
||left}}
Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del [[número π]], a saber, dicho número es el mínimo [[número real]] positivo que es un cero de la función seno.
=== Series de potencias ===
A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son [[función analítica|funciones analíticas]] cuya [[serie de Maclaurin]] viene dada por:
{{ecuación|
: <math>
   \sen x =
   \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k+1}}{(2k+1)!} =
   \cfrac{x}{1!} - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cfrac{x^7}{7!} \; \dots
</math>
||left}}

{{ecuación|
: <math>
   \cos x =
   \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k}}{(2k)!} =
   \cfrac{1}{0!} - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} \; \dots 
</math>
||left}}

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las [[Serie de Fourier|Series de Fourier]]), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

=== Relación con la exponencial compleja ===
Existe una relación importante entre la [[exponenciación]] de [[números complejos]] y las funciones trigonométricas según la [[fórmula de Euler]]:
{{Ecuación|
<math>e^{ix} = \cos x + i \sen x \,</math>
||left}}
Esta relación puede probarse usando el desarrollo en [[serie de Taylor]] para la [[función exponencial]] y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:
{{Ecuación|<math>\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sen x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>||left}}

=== A partir de ecuaciones diferenciales ===
Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:
{{ecuación|
<math>y'' = -y.\,</math>
||left}}
Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones ''V'', que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, las variables dependientes, juntas, pueden formar la base de ''V''. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen ''y''&prime;&prime; = &minus;''y'' implica que son [[Vector propio y valor propio|funciones propias]] del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la [[ecuación diferencial]] no lineal
{{ecuación|
<math>y' = 1 + y^2\,</math>
||left}}
satisfaciendo la condición inicial ''y''(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.
<!-- == La importancia de los radianes ==
Los radianes especifican un ángulo midiendo la longitud alrededor del camino del circulo unitario y constituyen un argumento especial para las funciones seno y coseno. En particular, solamente los senos y cosenos que mapean radianes a radio satisfacen las ecuaciones diferenciales que los describen tradicionalmente. Si un argumento para el seno o el coseno en radianes es escalado por frecuencia,
{{ecuación|
<math>f(x) = \sen kx, \,</math>
||left}}
entonces las derivadas escalan por ''amplitud''.

: <math>f'(x) = k\cos kx. \,</math>

Aquí, ''k'' es una constante que representa un mapeo entre unidades. Si ''x'' esta en grados, entonces

: <math>k = \frac{\pi}{\textstyle 180^\circ}.</math>

Lo que quiere decir que la segunda derivada de un seno en grados no satisface la ecuación diferencial

: <math>y'' = -y\,</math>

sino

: <math>y'' = -k^2 y.\,</math>

El coseno de la segunda derivada se comporta de manera similar.

Esto quiere decir que estos senos y cosenos son funciones diferentes, y que la cuarta derivada del seno sera nuevamente el seno únicamente si el argumento está definido en radianes.
 -->

== Funciones trigonométricas inversas ==
{{AP|Función trigonométrica inversa}}
Las tres [[Función trigonométrica inversa|funciones trigonométricas inversas]] comúnmente usadas son:
* [[Arcoseno]] es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. 

La función arcoseno real es una función <math>\left[-1,1\right] \to \left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2} \right]\,</math>, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente [[serie de Taylor]]:
{{ecuación|
<math>\operatorname{arcsen}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\
x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} +
\cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\
+\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}</math>
||left}}

* [[Arcocoseno]] es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
{{ecuación|
<math>\arccos (x) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsen}(x)</math>
||left}}

* [[Arcotangente]] es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:
{{ecuación|
<math>\operatorname {arctg} (x) = \begin{cases} 
x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots &  |x| < 1 \\
\pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & + \text{ con } x \ge 1, - \text{ con } x \le -1 \end{cases}</math>
||left}}

=== Representación gráfica ===

== Generalizaciones ==
* Las [[Función hiperbólica|funciones hiperbólicas]] son el análogo de las funciones trigonométricas para una [[hipérbola]] equilátera. Además el seno y coseno de un [[número imaginario]] puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.
* Las [[función elíptica|funciones elípticas]] son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el [[plano complejo]] solo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las [[función elíptica de Jacobi|funciones elípticas de Jacobi]] cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.

== Historia ==
{{ap|Historia de la trigonometría}}

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de [[Babilonia]], y gran parte de los fundamentos de [[trigonometría]] fueron desarrollados por los matemáticos de la [[Antigua Grecia]], de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función '''seno''' (''sen''(·)) aparece en el ''[[Sulba Sutras]]'' escrito en India del {{siglo|VIII||s}} al VI&nbsp;a.&nbsp;C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por [[Hiparco de Nicea]] (180-125&nbsp;a.&nbsp;C.), [[Aryabhata]] (476-550), [[Varaja Mijira|Varahamihira]], [[Brahmagupta]], [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi| al-Khwarizmi]], [[Abu'l-Wafa]], [[Omar Khayyam]], [[Bhaskara II]], [[Nasir al-Din Tusi]], [[Regiomontanus]] (1464), [[Ghiyath al-Kashi]] y [[Ulugh Beg]] ({{Siglo|XIV||S}}), [[Madhava]] (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de [[Leonhard Euler]] ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en [[Europa]], definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler". 

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

== Véase también ==
* [[Trigonometría]] 
* [[Identidad trigonométrica]]
* [[Seno (trigonometría)|Seno]], [[coseno]], [[Tangente (trigonometría)|tangente]], [[verseno]]
* [[Hexágono trigonométrico]]. Recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonométricas.
* [[Derivación de funciones trigonométricas]]

{{Función elemental}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}
=== Bibliografía ===
* Spiegel, M. & Abellanas, L.: "''Fórmulas y tablas de matemática aplicada''", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

=== Enlaces externos ===
* {{Enlace roto|1=http://matematicas.redyc.com/wiki/doku.php?id=editores:jorgitoteleco:exponencial_compleja |2=http://matematicas.redyc.com/wiki/doku.php?id=editores:jorgitoteleco:exponencial_compleja |bot=InternetArchiveBot }}
* [https://web.archive.org/web/20120814104106/http://www.touchmathematics.org/topics/trigonometry Herramienta didáctica para explicar las funciones trigonométricas]
{{Funciones trigonométricas e hiperbólicas}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Trigonometría|Funcion trigonometrica]]
[[Categoría:Funciones trigonométricas| ]]
[[Categoría:Triángulos]]