Ver el código de «Función trigonométrica inversa»

{{Trigonometría}}
En [[matemáticas]], las '''funciones trigonométricas inversas''' (ocasionalmente también llamadas '''funciones arco''',<ref name="Taczanowski_1978"/><ref name="Hazewinkel_1994"/><ref name="Ebner_2005"/><ref name="Mejlbro_2010"/><ref name="Duran_2012"/> '''funciones antitrigonométricas'''<ref name="Hall_1909"/> o '''funciones ciclométricas'''<ref name="Klein_1924"/><ref name="Klein_2004"/><ref name="Dörrie_1965"/>) son las [[función inversa (análisis matemático)|funciones inversas]] de las [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]] (con [[Dominio de definición|dominios]] adecuadamente restringidos). Específicamente, son las inversas de las funciones [[seno (trigonometría)|seno]], [[función trigonométrica|coseno]], [[Función trigonométrica|tangente]], [[función trigonométrica|cosecante]], [[Función trigonométrica|secante]] y [[función trigonométrica|cotangente]],<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-29|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inverse Trigonometric Functions|url=https://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> y se utilizan para obtener un ángulo a partir de cualquiera de las relaciones trigonométricas angulares. Las funciones trigonométricas inversas se utilizan ampliamente en [[ingeniería]], [[navegación]], [[física]] y [[geometría]].

== Notación ==
Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La convención más común es nombrar funciones trigonométricas inversas usando un prefijo de arco: {{math|arcsin(''x'')}}, {{math|arccos(''x'')}}, {{math|arctan(''x'')}}, etc,<ref name=":0" /><ref name="Hall_1909" /> convención que se usa en este artículo. Esta notación surge de las siguientes relaciones geométricas: cuando se mide en radianes, un ángulo de ''θ'' radianes corresponderá a un arco cuya longitud es ''rθ'', donde ''r'' es el radio de la circunferencia. Así, en la [[circunferencia goniométrica]] (de radio igual a 1), "el '''arco''' cuyo coseno es ''x''" es el mismo que "el '''ángulo''' cuyo coseno es ''x''", porque la longitud del arco de circunferencia en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes.<ref name="Americana_1912" /> En los lenguajes de programación de computadoras, las funciones trigonométricas inversas generalmente se denominan con las formas abreviadas ''Asin'', ''Acos'' y ''Atan'' (en Visual Basic);<ref>[https://docs.microsoft.com/en-us/dotnet/visual-basic/language-reference/keywords/derived-math-functions Microsoft VB]</ref> ''asin'', ''acos'' y ''atan'' (en C++);<ref>[http://www.cplusplus.com/reference/cmath/asin/ Cplusplus sintaxis]</ref> o ''ArcSin'', ''ArcCos'' y ''ArcTan'' (en Pascal).<ref>[https://www.freepascal.org/docs-html/rtl/math/arcsin.html Free Pascal]</ref>

Las notaciones {{math|sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|tan<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, etc., tal como las introdujo [[John Herschel]] en 1813,<ref name="Cajori" /><ref name="Herschel_1813" /> también se utilizan a menudo en fuentes en inglés,<ref name="Hall_1909" /> y son coherentes con la notación de las [[función inversa (análisis matemático)|funciones inversas]]. Esto puede parecer que entra en conflicto con la semántica común para expresiones como {{math|sin<sup>2</sup>(''x'')}}, que se refieren a una potencia numérica en lugar de a la composición de funciones, y por lo tanto, puede generar una confusión entre el [[inverso multiplicativo]] o recíproco y la [[Función inversa (análisis matemático)|función inversa]].<ref>{{Cite web|title=Inverse Trigonometric Functions {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/inverse-trigonometric-functions/|access-date=2020-08-29|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> La confusión se mitiga un poco por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, {{math|(cos(''x''))<sup>&minus;1</sup>}} = {{math|sec(''x'')}}. Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso por su ambigüedad.<ref name="Hall_1909" /><ref name="Korn_2000" /> Otra convención utilizada por algunos autores es emplear una primera [[letra mayúscula]], junto con un superíndice {{math|<sup>&minus;1</sup>}}: {{math|Sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|Cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|Tan<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, etc.<ref name="Bhatti_1999" /> Esto potencialmente evita la confusión con el inverso multiplicativo, que debería estar representado por {{math|sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, {{math|cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')}}, etc. 

Desde 2009, el estándar [[ISO/IEC 80000|ISO 80000-2]] ha especificado que se use únicamente el prefijo "arco" para denominar a las funciones trigonométricos inversas.

La influencia de los lenguajes de programación ha hecho que cada vez sea más frecuente en la bibliografía en español encontrarse con que las funciones ''seno'' y ''arco seno'', tradicionalmente transcritas en los textos matemáticos como ''sen'' y ''arco sen'', aparezcan escritas como ''sin'' y ''arc sin''. Un ejemplo notable es la propia Wikipedia en español, donde la sintaxis del código [[Ayuda:Uso de LaTeX|''LaTex'']] utilizado para escribir fórmulas matemáticas, emplea las formas <code><nowiki><math>\sin (x)</math></nowiki></code> (con el resultado de <math>\sin (x)</math>); y <code><nowiki><math>\arcsin (x)</math></nowiki></code> (con el resultado de <math>\arcsin (x)</math>).

== Propiedades básicas ==

=== Valores principales ===
Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas son [[Función inyectiva|inyectivas]], deben estar restringidas para tener funciones inversas. Por lo tanto, los [[Rango (matemáticas)|rangos]] de las funciones inversas son los [[subconjunto]]s propios de los dominios de las funciones originales.

Por ejemplo, usando el término ''función'' en el sentido de las [[función multivaluada|funciones multivaluadas]], al igual que la función [[raíz cuadrada]] {{math|''y'' {{=}} {{sqrt|''x''}}}} podría definirse a partir de {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} ''x''}}, la función {{math|''y'' {{=}} arcsen(''x'')}} se define de modo que {{math|1=sen(''y'') = ''x''}}. Para un [[número real]] dado {{mvar|x}}, con {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}, hay múltiples (de hecho, numerables infinitos) números {{mvar|y}} tales que {{math|sen(''y'') {{=}} ''x''}}; por ejemplo, {{math|sen(0) {{=}} 0}}, pero también {{math|sen(&pi;) {{=}} 0}}, {{math|sen(2&pi;) {{=}} 0}}, etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su [[rama principal]]. Con esta restricción, para cada {{mvar|x}} en el dominio, la expresión {{math|arcsen(''x'')}} producirá un valor único, llamado su [[valor principal]]. Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.

Las principales inversas se enumeran en la siguiente tabla.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!Nombre
!Notación usual
!Definición
!Dominio de {{mvar|x}} con resultado real
!Rango de valores principales usuales<br /> ([[radián|radianes]])
!Rango de valores principales usuales<br /> ([[Grado sexagesimal|grados]])
|-
| '''arco seno''' || {{math|1=''y'' = arcsen(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Seno (trigonometría)|sen]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −{{sfrac|&pi;|2}} ≤ ''y'' ≤ {{sfrac|&pi;|2}} || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
| '''arco coseno''' || {{math|1=''y'' = arccos(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Función trigonométrica|cos]](''y'')}} || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ &pi; || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arco tangente''' || {{math|1=''y'' = arctan(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Función trigonométrica|tan]](''y'')}} || todos los números reales || −{{sfrac|&pi;|2}} < ''y'' < {{sfrac|&pi;|2}} || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''arco cotangente''' || {{math|1=''y'' = arccot(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Función trigonométrica|cot]](''y'')}} || todos los números reales
| 0 < ''y'' < &pi; || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''arco secante''' || {{math|1=''y'' = arcsec(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Función trigonométrica|sec]](''y'')}} || ''x'' ≥ 1 o ''x'' ≤ -1 || 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|&pi;|2}} o {{sfrac|&pi;|2}} < ''y'' ≤ &pi; || 0° ≤ ''y'' < 90° o 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
| '''arco cosecante''' || {{math|1=''y'' = arccsc(''x'')}} ||{{math|1=''x'' = [[Función trigonométrica|csc]](''y'')}} || ''x'' ≤ −1 o 1 ≤ ''x'' || −{{sfrac|&pi;|2}} ≤ ''y'' < 0 o 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|&pi;|2}} || −90° ≤ ''y'' < 0° o 0° < ''y'' ≤ 90°
|-
|}
(Nota: algunos autores definen el rango del arco secante como (0 ≤ ''y'' < {{sfrac|&pi;|2}} o &pi; ≤ ''y'' < {{sfrac|3&pi;|2}}), porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, utilizando este rango, {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} {{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, mientras que con el rango (0 ≤ ''y'' < {{sfrac|&pi;|2}} o {{sfrac|&pi;|2}} < ''y'' ≤ &pi;), se tendría que escribir {{math|tan(arcsec(''x'')) {{=}} ±{{sqrt|''x''<sup>2</sup> − 1}}}}, ya que la tangente no es negativa en 0 ≤ ''y'' < {{sfrac|&pi;|2}}, pero tampoco es positiva en {{sfrac|&pi;|2}} < ''y'' ≤ &pi;. Por una razón similar, los mismos autores definen el rango del arco cosecante como −&pi; < ''y'' ≤ −{{sfrac|&pi;|2}} o 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|&pi;|2}}.)

Si se permite que ''x'' sea un [[número complejo]], entonces el rango de ''y'' se aplica solo a su parte real.

=== Soluciones generales ===

Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de 2&pi;:

* El seno y la cosecante comienzan su período en 2&pi;''k'' - {{sfrac|&pi;|2}} (donde ''k'' es un número entero), terminan en 2&pi;''k'' + {{sfrac|&pi;|2}} y luego se invierten sobre 2&pi;''k'' + {{sfrac|&pi;|2}} a 2&pi;''k'' + {{sfrac|3&pi;|2}}.
* El coseno y la secante comienzan su período en 2&pi;''k'', lo terminan en 2&pi;''k'' + &pi;, y luego se invierten sobre 2&pi;''k'' + &pi; a 2&pi;''k'' + 2&pi;.
* La tangente comienza su período en 2&pi;''k'' - {{sfrac|&pi;|2}}, lo termina en 2&pi;''k'' + {{sfrac|&pi;|2}}, y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2&pi;''k'' + {{sfrac|&pi;|2}} a 2&pi;''k'' + {{sfrac|3&pi;|2}}.
* La cotangente comienza su período en 2&pi;''k'', lo termina en 2&pi;''k'' + &pi;, y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2&pi;''k'' + &pi; a 2&pi;''k'' + 2&pi;.

Esta periodicidad se refleja en los inversos generales, donde ''k'' es un número entero.

La siguiente tabla muestra cómo las funciones trigonométricas inversas pueden usarse para resolver las igualdades que involucran las seis funciones trigonométricas estándar, donde se asume que {{mvar|r}}, {{mvar|s}}, {{mvar|x}} y {{mvar|y}} se encuentran dentro del rango apropiado.

El símbolo {{math|⇔}} es la [[igualdad lógica]]. La expresión "LI {{math|⇔}} LD" indica {{enf|indistintamente}} que: 
* (a) El lado izquierdo de la expresión (es decir, LI) y el lado derecho (es decir, LD) son {{enf|ambos}} verdaderos, o bien que 
* (b) El lado izquierdo y el lado derecho son {{enf|ambos}} falsos.
{{enf|No}} existe una opción (c) (por ejemplo, {{enf|no}} es posible que la declaración LI sea verdadera y también simultáneamente que la declaración LD sea falsa), porque de lo contrario no se debería haber escrito que "LI {{math|⇔}} LD" (consúltese esta nota al pie<ref group=nota>Para aclarar el concepto, supóngase que está escrito que "LI {{math|⇔}} LD" donde LI (que abrevia "Lado de la izquierda") y LD son declaraciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si {{mvar|θ}} y {{mvar|s}} son números dados y fijos y si se escribe lo siguiente:
: {{math|1=tan θ = ''s'' ⇔ θ = arctan(''s'') + π ''k''}} para algunos {{math|''k'' ∈ ℤ}}
entonces LI es la declaración "{{math|1=tan θ = ''s''}}". Dependiendo de los valores específicos que tengan {{mvar|θ}} y {{mvar|s}}, esta declaración LI puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, LI es verdadero si {{math|1=θ = 0}} y {{math|1=''s'' = 0}} (porque en este caso {{math|1=tan θ = tan 0 = 0 = ''s''}}) pero LI es falso si {{math|1=θ = 0}} y {{math|1=''s'' = 2}} (porque en este caso {{math|1=tan θ = tan 0 = 0}} que no es igual a {{math|1=''s'' = 2}}); de manera más general, LI es falso si {{math|1=θ = 0}} y {{math|1=''s'' ≠ 0}}. De manera similar, LD es la declaración "{{math|1=θ = arctan(''s'') + π ''k''}} para algunos {{math|''k'' ∈ ℤ}}". La declaración LD también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la declaración LD es verdadera o falsa depende de los valores específicos que tengan {{mvar|θ}} y {{mvar|s}}). El símbolo de igualdad lógica {{math|⇔}} significa que (a) si la declaración LI es verdadera, entonces la declaración LD también es {{enf|necesariamente}} verdadera, y además (b) si la declaración LI es falsa, entonces la declaración LD también es {{enf|necesariamente}} falsa. De manera similar, {{math|⇔}} {{enf|también}} significa que (c) si la declaración LD es verdadera, entonces la declaración LI también es {{enf|necesariamente}} verdadera, y además (d) si la declaración LD es falsa, entonces la declaración LI también es {{enf|necesariamente}} falsa.</ref> para ver un ejemplo ilustrando este concepto).

{| class="wikitable" style=""
|+ 
|-
! Condición !!  !! Solución !! donde...
|-
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" rowspan="2" | {{math|1=sen θ = ''y''}}
| style="text-align: center;" | [[igualdad lógica|{{math|⇔}}]]
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = (-1){{hsp}}<sup>''k''</sup> &thinsp;arcsen(''y'') + π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ }} [[Número entero|{{math|ℤ}}]]
|-
<!-- Column 1 of this row was merged with the row above -->
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = {{space|2}}arcsen(''y'') + 2 π ''k''}} {{space|10}}o <br/>{{math|1=θ = - arcsen(''y'') + 2 π ''k'' + π}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   sen θ = ''x'' --------------->
|-
<!--------------- START: csc θ = ''r'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" rowspan="2" | {{math|1=csc θ = ''r''}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = (-1){{hsp}}<sup>''k''</sup> &thinsp;arccsc(''r'') + π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
|-
<!-- Column 1 of this row was merged with the row above -->
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = {{space|2}}arccsc(''y'') + 2 π ''k''}} {{space|10}}o <br/>{{math|1=θ = - arccsc(''y'') + 2 π ''k'' + π}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   csc θ = ''r'' --------------->
|-
<!--------------- START: cos θ = ''x'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" rowspan="2" | {{math|1=cos θ = ''x''}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = ± arccos(''x'') + 2 π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
|-
<!-- Column 1 of this row was merged with the row above -->
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = {{space|2}}arccos(''x'') + 2 π ''k''}} {{space|9}}o <br/>{{math|1=θ = - arccos(''x'') + 2 π ''k'' +  π}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   cos θ = ''x'' --------------->
|-
<!--------------- START: sec θ = ''r'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" rowspan="2" | {{math|1=sec θ = ''r''}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = ± arcsec(''r'') + 2 π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
|-
<!-- Column 1 of this row was merged with the row above -->
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = {{space|2}}arcsec(''x'') + 2 π ''k''}} {{space|9}}o <br/>{{math|1=θ = - arcsec(''x'') + 2 π ''k'' +  2 π}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   sec θ = ''r'' --------------->
|-
<!--------------- START: tan θ = ''s'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | {{math|1=tan θ = ''s''}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = arctan(''s'') + π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   tan θ = ''s'' --------------->
|-
<!--------------- START: cot θ = ''s'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | {{math|1=cot θ = ''r''}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style="text-align: left; padding-left: 2em; padding-right: 2em;" | {{math|1=θ = arccot(''r'') + π ''k''}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
<!--------------- END:   cot θ = ''s'' --------------->
|}

==== Valores iguales de las funciones ====

En la siguiente tabla, se muestra cómo dos ángulos {{math|θ}} y {{math|φ}} deben estar relacionados, si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o tienen el signo cambiado.
{| class="wikitable"
|+
|-
! colspan="3" | Igualdad !!  !! colspan="7" | Solución !! donde... !! También una solución para <!-- Téngase en cuenta que una igualdad en la columna de más a la izquierda puede estar bien definida, mientras que la igualdad correspondiente en la columna más a la derecha no está bien definida (por ejemplo, si sen θ = 0 entonces csc θ no está definida. Debido a esto, las igualdades de la columna más a la derecha y de la columna más a la izquierda NO son equivalentes. -->
|-
<!--------------- START: sen θ = sen φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|sen θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|sen φ}}
| style="text-align: center;" | [[ Logical equality|{{math|⇔}}]]
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|(-1){{hsp}}<sup>''k''</sup>}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ }} [[Número entero|{{math|ℤ}}]]
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=csc θ = csc φ}}
<!--------------- END:   sen θ = sen φ --------------->
|-
<!--------------- START: cos θ = cos φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|cos θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|cos φ}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|± }}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|2}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=sec θ = sec φ}}
<!--------------- END:   cos θ = cos φ --------------->
|-
<!--------------- START: tan θ = tan φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|tan θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|tan φ}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|1=}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=cot θ = cot φ}}
<!--------------- END:   tan θ = tan φ --------------->
|-
<!--------------- START: - sen θ = sen φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|1=- &thinsp;sen θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|sen φ}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|(-1){{hsp}}<sup>''k''+1</sup>}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=csc θ = - csc φ}}
<!--------------- END:  - sen θ = sen φ --------------->
|-
<!--------------- START: - cos θ = cos φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|1=- &thinsp;cos θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|cos φ}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|± }}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|2}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|+ π}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=sec θ = - sec φ}}
<!--------------- END:  - cos θ = cos φ --------------->
|-
<!--------------- START: - tan θ = tan φ --------------->
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%; padding-bottom: 0.5%;' |{{math|1=- &thinsp;tan θ}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|tan φ}}
| style="text-align: center;" | {{math|⇔}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|1=-}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|}}
| style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" |{{math|1=cot θ = - cot φ}}
<!--------------- END:   - tan θ = tan φ --------------->
|-
<!--------------- START: |sen θ| = |sen φ| --------------->
| style='border-style: solid none none none; text-align: right; padding-left: 2em; padding-top: 0.5%;' |{{math|1={{mabs|sen θ}}}}
| style='border-style: solid none none none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: solid none none none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|{{mabs|sen φ}}}}
| rowspan="4" style='border-style: solid solid solid solid ; text-align: center;' | {{math|⇔}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |{{math|1=θ =}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |{{math|1=±}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |{{math|φ}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none;' |{{math|+}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none;' |{{math|}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none;' |{{math|π ''k''}}
| rowspan="4" style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
| rowspan="4" style='text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;' | para algún {{math|''k'' ∈ ℤ}}
| style='border-style: none none none none; text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;' |{{math|1={{mabs|tan θ}} = {{mabs|tan φ}}}}
|-
<!--------------- START 2: |sen θ| = |sen φ| --------------->
| style='border-style: none none none none; text-align: right;' |{{math|}}
| style='border-style: none none none none; text-align: center;' |[[ Logical equality|{{math|⇕}}]]
| style='border-style: none none none none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|}}
<!--- COLUMN 4 replaced by rowspan above ---->
<!--- COLUMNS 5 - 12 replaced by rowspan above ---->
| style='border-style: none none none none; text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;' |{{math|1={{mabs|csc θ}} = {{mabs|csc φ}}}}
<!--------------- END 2:   |sen θ| = |sen φ| --------------->
|-
<!--------------- START 3: |sen θ| = |sen φ| --------------->
| style='border-style: none none none none; text-align: right;' |{{math|1={{mabs|cos θ}}}}
| style='border-style: none none none none; text-align: center;' |{{math|1={{=}}}}
| style='border-style: none none none none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|{{mabs|cos φ}}}}
<!--- COLUMN 4 replaced by rowspan above ---->
<!--- COLUMNS 5 - 12 replaced by rowspan above ---->
| style='border-style: none none none none; text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;' |{{math|1={{mabs|sec θ}} = {{mabs|sec φ}}}}
<!--------------- END 3:   |sen θ| = |sen φ| --------------->
|-
<!--------------- START 4: |sen θ| = |sen φ| --------------->
| style='border-style: none none none none; text-align: right; padding-right: padding-bottom: 0.5%;' |{{math|1=}}
| style='border-style: none none none none; text-align: center;' |{{math|}}
| style='border-style: none none none none; text-align: left; padding-right: 2em;' |{{math|1=}}
<!--- COLUMN 4 replaced by rowspan above ---->
<!--- COLUMNS 5 - 12 replaced by rowspan above ---->
| style='border-style: none none none none; text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;' |{{math|1={{mabs|cot θ}} = {{mabs|cot φ}}}}
<!--------------- END 4:   |sen θ| = |sen φ| --------------->
|}

=== Relaciones entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas ===

Se tabulan a continuación las funciones trigonométricas de las funciones trigonométricas inversas. Una forma rápida de deducirlas es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud ''x'', aplicando a continuación el [[teorema de Pitágoras]] y las definiciones de las razones trigonométricas. Las deducciones puramente algebraicas son más largas. Vale la pena señalar que para arco&nbsp;secante y arco&nbsp;cosecante, el diagrama asume que x es positivo, y por lo tanto, el resultado debe corregirse mediante el uso de [[valor absoluto|valores absolutos]] y la operación [[Función signo|signo]] (sgn).

{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Diagrama
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>
|<math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse3.svg|x105px]]
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos(\arccos(x)) = x </math>
|<math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse.svg|x95px]]
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arctan(x)) = x</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse2.svg|x100px]]
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse4.svg|x100px]]
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}</math>
|<math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan(\arcsec(x)) = \sgn(x)\sqrt{x^2-1}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse6.svg|x100px]]
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}</math>
|<math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse5.svg|x105px]]
|-
|}

=== Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas ===
[[Image:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|Los valores principales habituales de las funciones arcsin (''x'') (rojo) y arccos (''x'') (azul) representados en el plano cartesiano]]
[[Image:Arctangent Arccotangent.svg|294px|right|thumb|Los valores principales habituales de las funciones arctan (''x'') (rojo) y arccot (''x'') (azul) representados en el plano cartesiano]]

[[Image:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|right|thumb|Los valores principales habituales de las funciones arcsec (''x'') (rojo) y arccsc (''x'') (azul) representados en el plano cartesiano]]

Ángulos complementarios:
: <math>\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}</math>

Argumentos negativos:
: <math>\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x)
\end{align}</math>

Argumentos recíprocos:
: <math>\begin{align}
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) \\[0.3em]
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) \, , \text{ si } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) = \arccot(x) -\pi\, , \text{ si } x < 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) = \arctan(x) \, , \text{ si } x > 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) = \pi + \arctan(x) \, , \text{ si } x < 0 \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x)
\end{align}</math>

Identidades útiles si solo se tiene un fragmento de una tabla de seno:
: <math>\begin{align}
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \text{ , de donde se obtiene } \\
\arccos    &\left(\frac{1-x^2}{1 + x^2}\right) = \arcsin \left (\frac{2x}{1 + x^2}\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin    &\left(\sqrt{1 - x^2}\right) =\frac{\pi}{2}-\sgn(x)\arcsin(x) \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ si } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) \\
\arccot(x) &= \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

Siempre que se use aquí la raíz cuadrada de un número complejo, se elige la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado es real negativo).

Un formulario útil que se deriva directamente de la tabla anterior es

: <math>\arctan\left(x\right) = \arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\, , \text{ si } x\geq 0 </math>.

Se obtiene reconociendo que <math>\cos\left(\arctan\left(x\right)\right) = \sqrt{\frac{1}{1+x^2}} = \cos\left(\arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\right)</math>.

De la [[fórmula de la tangente del ángulo mitad|fórmula del ángulo mitad]], <math>\tan\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}</math>, se obtiene:
: <math>\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ si } -1 < x \leq  1 \\[0.5em]
\arctan(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

=== Fórmula de la suma de arco tangentes ===
:<math>\arctan(u) \pm \arctan(v) = \arctan\left(\frac{u \pm v}{1 \mp uv}\right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, .</math>
Se deduce de la fórmula de la [[Identidades y fórmulas de trigonometría|tangente de la suma]]
:<math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \, ,</math> haciendo que
:<math>\alpha = \arctan(u) \, , \quad \beta = \arctan(v) \, .</math>

== En cálculo ==

=== {{anchor|Derivadas}}Derivadas de funciones trigonométricas inversas ===
:{{AP|Derivación de funciones trigonométricas}}

Las [[derivada]]s para valores complejos de ''z'' son los siguientes:
: <math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Solo para valores reales de ''x'':
: <math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ;  & |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc(x) &{} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1
\end{align}</math>

Una derivación de ejemplo: si <math>\theta = \arcsin(x)</math>, se obtiene:
:<math>\frac{d \arcsin(x)}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin(\theta)} = \frac{d \theta}{\cos(\theta) \, d \theta} = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== Expresión como integrales definidas ===
Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida:
: <math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \pi + \int_x^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Cuando ''x'' es igual a 1, las integrales con dominios limitados son [[integral impropia|impropias]], pero aun así están bien definidas.

=== Series infinitas ===
Similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular usando [[serie de potencias|series de potencias]]. Para el arco seno, la serie se puede deducir expandiendo su derivada, <math display="inline">\tfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math>, como una [[serie binomial]], e integrando término por término (usando la definición integral como anteriormente). De manera similar, la serie para el arco tangente puede derivarse expandiendo su derivada <math display="inline">\frac{1}{1+z^2}</math> en una [[serie geométrica]] y aplicando la definición integral anterior (véase la [[serie de Leibniz]]).

: <math>
\begin{align}
\arcsin(z) & = z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1
\end{align}
</math>

: <math>\arctan(z)
= z - \frac{z^3}{3} +\frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>

Las series para las otras funciones trigonométricas inversas se pueden dar en términos de estas de acuerdo con las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, etc. Otra serie viene dada por:<ref name="Borwein_2004"/>

: <math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom {2n} n}.</math>

[[Leonhard Euler]] encontró una serie para el arco tangente que converge más rápidamente que su [[serie de Taylor]]:

: <math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math><ref>{{citation|title= An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function|journal = The Mathematical Gazette | author = Hwang Chien-Lih | doi = 10.1017/S0025557200178404 | year = 2005 | volume = 89 | issue = 516|pages = 469–470 }}</ref>
(El término en la suma para ''n'' = 0 es el [[producto vacío]], que vale 1).

Alternativamente, esto se puede expresar como

: <math>\arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n + 1)!} \frac{z^{2n + 1}}{(1 + z^2)^{n + 1}}.</math>

Otra serie para la función arco tangente viene dada por

: <math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1}} - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1}}\right),</math>

donde <math>i=\sqrt{-1}</math> es la [[unidad imaginaria]].

==== Fracciones continuas para el arco tangente ====
Dos alternativas a la serie de potencias para el arco tangente son estas [[fracción continua generalizada|fracciones continuas]]:

: <math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots}}}}} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

La segunda de ellas es válida en el plano complejo. Hay dos cortes, desde &minus;'''i''' hasta el punto en el infinito, bajando por el eje imaginario, y desde '''i''' hasta el punto en el infinito, subiendo por el mismo eje. Funciona mejor para números reales que van de -1 a 1. Los denominadores parciales son los [[Número natural|números naturales]] impares, y los numeradores parciales (después del primero) son solo (''nz'')<sup>2</sup>, y cada [[cuadrado perfecto]] aparece una vez. La primera fue desarrollada por [[Leonhard Euler]]; la segunda por [[Carl Friedrich Gauss]] utilizando la [[función hipergeométrica]].

=== Integrales indefinidas de funciones trigonométricas inversas ===

Para valores reales y complejos de '' z '':
: <math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>

Para '' x '' real ≥ 1:
: <math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>

Para todas las '' x '' reales que no estén entre -1 y 1:
: <math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C
\end{align}</math>

El valor absoluto es necesario para compensar los valores negativos y positivos de las funciones arco secante y arco cosecante. La función signo también es necesaria debido a los valores absolutos en las [[#Derivadas|derivadas]] de las dos funciones, que crean dos soluciones diferentes para los valores positivos y negativos de x. Estos se pueden simplificar aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las [[funciones hiperbólicas inversas]]:
: <math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>

El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, haciéndola idéntica a la función logarítmica signo que se muestra arriba.

Todas estas antiderivadas se pueden derivar usando [[métodos de integración]] y las formas derivadas simples que se muestran arriba.

==== Ejemplo ====
Usando <math>\int u \, dv = u v - \int v \, du</math> (es decir, el [[métodos de integración|método de integración]] por partes), se obtiene

: <math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & dv &= dx \\
du &= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & v &= x
\end{align}</math>

Luego

: <math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,</math>

que aplicando la simple [[Métodos de integración|sustitución]] siguiente, <math>w=1-x^2,\ dw = -2x\,dx</math> arroja el resultado final:

: <math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>

== Ampliación al plano complejo ==

[[File:Riemann surface for Arg of ArcTan of x.svg|thumb|Una [[superficie de Riemann]] para el argumento de la relación {{math|1=tan ''z'' = ''x''}}. La superficie naranja de en medio es la función principal, que representa {{math|arctan ''x''}}. La superficie azul de arriba y la verde de abajo están desplazadas verticalmente {{math|2''&pi;''}} y {{math|&minus;2''&pi;''}} respectivamente]]

Dado que las funciones trigonométricas inversas son [[función analítica|funciones analíticas]], pueden extenderse desde la línea real al plano complejo. Esto da como resultado funciones con varias superficies y [[punto de ramificación|puntos de ramificación]]. Una forma posible de definir la extensión es:
: <math>\arctan(z) = \int_0^z \frac{dx}{1 + x^2} \quad z \neq -i, +i </math>
donde la parte del eje imaginario que no se encuentra estrictamente entre los puntos de ramificación (&minus;iy + i) es el [[corte de rama]] entre la superficie principal y las otras. La trayectoria de la integral no debe cruzar un corte de rama. Cuando''z'' no está en una corte de rama, una ruta en línea recta de 0 a ''z'' es una ruta de este tipo. Para ''z'' en un corte de rama, el camino debe [[Perihelio|acercarse]] desde Re[x] > 0 para la corte de rama superior y desde Re[x] < 0 para el corte de rama inferior.

La función arco seno se puede definir como:

:<math>\arcsin(z) = \arctan\left(\frac{z}{\sqrt{1 - z^2}}\right) \quad z \neq -1, +1 </math>
donde (la función raíz cuadrada tiene su corte en el eje real negativo y) la parte del eje real que no se encuentra estrictamente entre &minus;1 y +1 es el corte de rama entre la superficie principal del arco seno y las otras superficies;
: <math>\arccos(z) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z) \quad z \neq -1, +1 </math>
que tiene el mismo corte que el arco seno;
: <math>\arccot(z) = \frac{\pi}{2} - \arctan(z) \quad z \neq -i, i </math>
que tiene el mismo corte que el arco tangente;
: <math>\arcsec(z) = \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>
donde la parte del eje real entre &minus;1 y +1 inclusive, es el corte entre la superficie principal del arco secante y las otras superficies;
: <math>\arccsc(z) = \arcsin\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>
que tiene el mismo corte que el '''arco secante'''.

=== Formas logarítmicas ===
Estas funciones también pueden expresarse utilizando [[logaritmo complejo|logaritmos complejos]]. Esto extiende su [[Dominio de definición|dominios]] al [[plano complejo]] de forma natural. Las siguientes identidades para los valores principales de las funciones se mantienen en todos los lugares donde se definen, incluso en sus cortes de rama.

: <math>\begin{align}
\arcsin(z) &{}= -i \ln \left( \sqrt{1-z^2} + iz \right) = i \ln \left( \sqrt{1-z^2} - iz \right) &{}= \arccsc\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccos(z) &{}= -i \ln \left( \sqrt{z^2-1} + z \right) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z) &{}= \arcsec\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arctan(z) &{}= -\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i - z}{i + z}\right) = -\frac{i}{2}\ln \left(\frac{1 + iz}{1 - iz}\right) &{}= \arccot\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccot(z) &{}= -\frac{i}{2}\ln\left( \frac{z + i}{z - i} \right) = -\frac{i}{2}\ln\left( \frac{iz - 1}{iz + 1} \right) &{}= \arctan\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arcsec(z) &{}= -i \ln \left( i \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{1}{z} \right) = \frac{\pi}{2} - \arccsc(z) &{}= \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccsc(z) &{}= -i \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{i}{z} \right) = i \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} - \frac{i}{z} \right) &{}= \arcsin\left(\frac{1}{z}\right)
\end{align}</math>

==== Generalización ====

Debido a que todas las funciones trigonométricas inversas generan un ángulo de un triángulo rectángulo, se pueden generalizar usando la [[fórmula de Euler]] para formar un triángulo rectángulo en el plano complejo. Algebraicamente, se obtiene:

: <math>
ce^{\theta i} = c\cos(\theta) + ci\sin(\theta)
</math>
o
: <math>
ce^{\theta i} = a + bi
</math>

donde <math>a</math> es el lado adyacente, <math>b</math> es el lado opuesto y <math>c</math> es la hipotenusa. A partir de aquí, se puede resolver para <math>\theta</math>.

: <math>\begin{align}
e^{\ln(c) + \theta i} & = a + bi \\
\ln c + \theta i & = \ln(a + bi) \\
\theta & = \operatorname{Im}\left( \ln(a + bi) \right)
\end{align}</math>
o
: <math>
\theta = -i\ln\left( \frac{a + bi}{c} \right) = i\ln\left( \frac{c}{a + bi} \right)
</math>

Tomar la parte imaginaria funciona para cualquier <math>a</math> y <math>b</math> de valor real, pero si <math>a</math> o <math>b</math> tiene un valor complejo, se tiene que usar la ecuación final para que la parte real del resultado no se excluya. Dado que la longitud de la hipotenusa no cambia el ángulo, ignorar la parte real de <math>\ln(a+bi)</math> también elimina <math>c</math> de la ecuación. En la ecuación final, se ve que el ángulo del triángulo en el plano complejo se puede encontrar utilizando las longitudes de cada lado. Al establecer uno de los tres lados igual a 1 y uno de los lados restantes igual al dato de entrada <math>z</math>, se obtiene una fórmula para una de las funciones trigonométricas inversas, para un total de seis ecuaciones. Debido a que las funciones trigonométricas inversas requieren solo una entrada, se debe poner el lado final del triángulo en términos de los otros dos usando la relación del [[teorema de Pitágoras]]
: <math>
a^2 + b^2 = c^2
</math>
La siguiente tabla muestra los valores de a, b y c para cada una de las funciones trigonométricas inversas y las expresiones equivalentes para <math>\theta</math> que resultan de reemplazar los valores en las ecuaciones anteriores y simplificar.

: <math>\begin{align}
 & a & & b & & c && \theta && \theta_{simplificado} && \theta_{a,b\in\R}\\
\arcsin(z)\ \ & \sqrt{1 - z^2} & & z & & 1 & & -i\ln\left( \frac{\sqrt{1 - z^2} + zi}{1} \right) && = -i\ln\left( \sqrt{1 - z^2} + zi \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( \sqrt{1 - z^2} + zi \right)\right) \\
\arccos(z)\ \ & z & & \sqrt{1 - z^2} & & 1 & & -i\ln\left( \frac{z + i\sqrt{1 - z^2}}{1} \right) && = -i\ln\left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right)\right) \\
\arctan(z)\ \ & 1 & & z & & \sqrt{1 + z^2} & & i\ln\left( \frac{\sqrt{1 + z^2}}{1 + zi} \right) && = \frac{i}{2}\ln\left( \frac{i+z}{i-z} \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( 1 + zi \right)\right) \\
\arccot(z)\ \ & z & & 1 & & \sqrt{z^2 + 1} & & i\ln\left( \frac{\sqrt{z^2 + 1}}{z + i} \right) && = \frac{i}{2}\ln\left( \frac{z-i}{z + i} \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( z + i \right)\right) \\
\arcsec(z)\ \ & 1 & & \sqrt{z^2 - 1} & & z & & -i\ln\left( \frac{1 + i\sqrt{z^2 - 1}}{z} \right) && = -i\ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{\frac{1}{z^2}-1} \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( 1 + \sqrt{1-z^2} \right)\right) \\
\arccsc(z)\ \ & \sqrt{z^2 - 1} & & 1 & & z & & -i\ln\left( \frac{\sqrt{z^2 - 1} + i}{z} \right) && = -i\ln\left( \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} + \frac{i}{z} \right) && \operatorname{Im}\left(\ln\left( \sqrt{z^2 - 1} + i \right)\right) \\
\end{align}</math>

En este sentido, todas las funciones trigonométricas inversas se pueden considerar como casos específicos de la función logarítmica de valores complejos. Dado que esta definición funciona para cualquier <math>z</math> de valor complejo, esta definición permite obtener [[ángulo hiperbólico|ángulos hiperbólicos]] como resultados y se puede utilizar para definir aún más las [[funciones hiperbólicas inversas]]. Las demostraciones elementales de las relaciones también pueden obtenerse a través de la expansión a formas exponenciales de las funciones trigonométricas.

==== Demostración de ejemplo ====
{| class="floatright" style="text-align:center"
 |+ [[Coloreado de dominios|Gráficos cromáticos]] de las '''funciones trigonométricas inversas en el [[plano complejo]]'''
 | [[Image:Complex arcsin.jpg|140px|none]]
 | [[Image:Complex arccos.jpg|140px|none]]
 |-
 | <math>\arcsin(z)</math>
 | <math>\arccos(z)</math>
 |-
 | [[Image:Complex arctan.jpg|140px|none]]
 | [[Image:Complex ArcCot.jpg|140px|none]]
 |-
 | <math>\arctan(z)</math>
 | <math>\arccot(z)</math>
 |-
 | [[Image:Complex ArcSec.jpg|140px|none]]
 | [[Image:Complex ArcCsc.jpg|140px|none]]
 |-
 | <math>\arcsec(z)</math>
 | <math>\arccsc(z)</math>
 |}

: <math>\sin(\phi) = z </math>

: <math>\phi = \arcsin(z)</math>

Usando la [[Función trigonométrica|definición exponencial del seno]], se obtiene

: <math>z = \frac{e^{\phi i} - e^{-\phi i}}{2i}</math>

Sea

: <math>\xi = e^{\phi i} </math>

Resolviendo para <math>\phi</math>

: <math>z = \frac{\xi - \frac{1}{\xi}}{2i}</math>

: <math>2iz = {\xi - \frac{1}{\xi}}</math>

: <math>{\xi - 2iz - \frac{1}{\xi}} = 0</math>

: <math>\xi^2 - 2i \xi z - 1 \, = \, 0</math>

: <math>\xi = iz \pm \sqrt{1-z^2} = e^{\phi i}</math>

: <math>\phi i = \ln \left( iz \pm \sqrt{1-z^2} \right)</math>

: <math>\phi= -i \ln \left( iz \pm \sqrt{1-z^2} \right)</math>

(se elige la rama positiva)

: <math>\phi= \arcsin(z) = -i \ln \left(iz + \sqrt{1-z^2} \right)</math>

== Aplicaciones ==

=== Aplicación: encontrar el ángulo de un triángulo rectángulo ===
[[File:Trigonometry triangle es.svg|right|thumb|Triángulo rectángulo]]
Las funciones trigonométricas inversas son útiles cuando se intenta determinar los dos ángulos restantes de un [[triángulo rectángulo]] si se conocen las longitudes de los lados del triángulo. Recordando las definiciones de triángulo rectángulo de seno y coseno, se tiene que

: <math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \right) = \arccos \left( \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \right) .</math>

A menudo, la hipotenusa se desconoce y debería calcularse antes de usar arcoseno o arcocoseno usando el [[teorema de Pitágoras]]: <math>a^2+b^2=h^2</math> donde <math>h</math> es la longitud de la hipotenusa. El arco tangente es útil en esta situación, ya que no se necesita la longitud de la hipotenusa.

: <math>\theta = \arctan \left( \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \right) \, .</math>

Por ejemplo, supóngase que un techo desciende 8 metros cuando se extiende 20 metros horizontalmente. El techo forma un ángulo ''θ'' con la horizontal, donde ''θ'' se puede calcular de la siguiente manera:

: <math>\theta
= \arctan \left( \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \right)
= \arctan \left( \frac{\text{desnivel}}{\text{anchura}} \right)
= \arctan \left( \frac{8}{20} \right) \approx 21.8^{\circ} \, .</math>

=== En informática e ingeniería ===

==== Variante de dos argumentos del arco tangente ====
{{anchor|Arcotangente de dos parámetros}}
{{AP|arcotangente de dos parámetros}}
La función [[arcotangente de dos parámetros]] calcula el arcotangente de ''y''/''x'' dados ''y'' y ''x'', pero con un rango de (−&pi;,&nbsp;&pi;]. En otras palabras, atan2 (''y'',&nbsp;''x'') es el ángulo entre el eje positivo ''x'' de un plano y el punto (''x'',&nbsp;''y'') en él, con signo positivo para ángulos en sentido antihorario (semiplano superior,''y''&nbsp;>&nbsp;0), y signo negativo para ángulos en sentido horario (semiplano inferior,''y''&nbsp;<&nbsp;0). Se introdujo por primera vez en muchos lenguajes de programación de computadoras, pero ahora también es común en otros campos de la ciencia y la ingeniería.
 
En términos de la función estándar '''arctan''', es decir, con un rango de (−{{sfrac|&pi;|2}}, {{sfrac|&pi;|2}}), se puede expresar de la siguiente manera:

: <math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
  \arctan(\frac y x) & \quad x > 0 \\
  \arctan(\frac y x) + \pi & \quad y \ge 0 \; , \; x < 0 \\
  \arctan(\frac y x) - \pi & \quad y < 0 \; , \; x < 0 \\
  \frac{\pi}{2} & \quad y > 0 \; , \; x = 0 \\
  -\frac{\pi}{2} & \quad y < 0 \; , \; x = 0 \\
  \text{undefined} & \quad y = 0 \; , \; x = 0
\end{cases}</math>

También es igual al [[valor principal]] del [[Argumento (análisis complejo)|argumento]] del [[número complejo]] ''x''&nbsp;+&nbsp;'''i''' ''y''.

Esta función también se puede definir utilizando la [[fórmula de la tangente del ángulo mitad]] de la siguiente manera:
: <math>\operatorname{atan2}(y, x) = 2\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right)</math>
siempre que ''x''&nbsp;>&nbsp;0 o ''y''&nbsp;≠&nbsp;0. Sin embargo, este procedimiento falla si se pretende calcular x&nbsp;≤&nbsp;0 e y&nbsp;=&nbsp;0, por lo que la expresión no es adecuada para su uso en programas de ordenador.

El orden de argumentos anterior (''y'', ''x'') parece ser el más común, y en particular se usa según la [[Organización Internacional de Normalización]] en el [[C (lenguaje de programación)|lenguaje de programación C]], pero algunos autores pueden usar la convención opuesta (''x'',''y'') por lo que se requiere cierta precaución. Estas variaciones se detallan en el artículo [[Arcotangente de dos parámetros|atan2]].

==== Función de arco con el parámetro de ubicación ====
En muchas aplicaciones,<ref>cuando un ángulo variable en el tiempo cruza <math>\pm\pi/2</math> debe trazarse con una línea suave en lugar de una línea dentada (robótica, astronomía, movimiento angular en general)</ref> la solución <math>y</math> de la ecuación <math>x=\tan(y)</math> es acercarse lo más posible a un valor dado <math>-\infty < \eta < \infty</math>. La solución adecuada es producida por el parámetro función arco tangente modificada
: <math>
y = \arctan_\eta(x) := \arctan(x) + \pi \cdot \operatorname{rni}\left(\frac{\eta - \arctan(x)}{\pi} \right)\, .
</math>
La función <math>\operatorname{rni}</math> redondea al entero más cercano.

==== Precisión numérica ====

Para ángulos cercanos a 0 y &pi;, el arco coseno es un valor [[número de condición|mal condicionado]], y por lo tanto, calculará el ángulo con precisión reducida en aplicaciones informáticas (debido al número limitado de dígitos).<ref name="Gade_2010"/> De manera similar, el arco seno pierde precisión para ángulos cercanos a &minus;&pi;/2 y &pi;/2.

== Véase también ==
* [[Exsecante]]
* [[Verseno]]
* [[Funciones hiperbólicas inversas]]
* [[Anexo:Integrales de funciones inversas trigonométricas]]
* [[Identidades y fórmulas de trigonometría]]
* [[Función trigonométrica]]
* [[Funciones trigonométricas de matrices]]

== Notas ==
{{reflist|group=nota}}

== Referencias ==
{{reflist
|refs =
<ref name="Hall_1909">{{cite book |title=Trigonometry |volume=Part I: Plane Trigonometry |author1-first=Arthur Graham |author1-last=Hall |author2-first=Fred Goodrich |author2-last=Frink |date=January 1909 |location=Ann Arbor, Michigan, USA |chapter=Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions |publisher=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA |publication-place=New York, USA |page=15 |chapter-url = https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n30/mode/1up |access-date=2017-08-12 |quote=[…] <tt>α&nbsp;= arcsin&nbsp;''m''</tt>: It is frequently read "[[ arc-sine]] ''m''" or "[[ anti-sine]] ''m''," since two mutually inverse functions are said each to be the [[función inversa (análisis matemático)]] of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other [[función trigonométrica]]s. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, <tt>α&nbsp;= sin<sup>-1</sup>''m''</tt>, is still found in English and American texts. The notation <tt>α&nbsp;= inv sin ''m''</tt> is perhaps better still on account of its general applicability. […]}}</ref>
<ref name="Klein_1924">{{cite book |title=Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis |volume=1 |author-first=Christian Felix |author-last=Klein |author-link=Christian Felix Klein |date=1924 (1ª ed. 1902)|edition=3rd |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |location=Berlin |language=de}}</ref>
<ref name="Klein_2004">{{cite book |title=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis |author-first=Christian Felix |author-last=Klein |author-link=Christian Felix Klein |date=2004 (1ª ed. 1932) |edition=Translation of 3rd German |publisher=[[ Dover Publications, Inc.]] / [[Macmillan Company]] |traductor=E. R. Hedrick, C. A. Noble |isbn=978-0-48643480-3 |url=https://books.google.com/books?id=8KuoxgykfbkC |access-date=2017-08-13 }}</ref>
<ref name="Taczanowski_1978">{{cite journal |title=On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis |author-first=Stefan |author-last=Taczanowski |journal=[[ Nuclear Instruments and Methods]] |volume=155 |issue=3 |publisher=[[ScienceDirect]] |date=1978-10-01 |pages=543–546 |doi=10.1016/0029-554X(78)90541-4 |bibcode=1978NucIM.155..543T }}</ref>
<ref name="Hazewinkel_1994">{{cite book |title=Encyclopaedia of Mathematics |author-first=Michiel |author-last=Hazewinkel|publisher=[[Springer Science+Business Media]] / [[Springer Science+Business Media]] |date=1994 (1ª ed. 1987)|edition=unabridged reprint |isbn=978-155608010-4 }}</ref>
<ref name="Ebner_2005">{{cite book |title=Preparatory Course in Mathematics |author-first=Dieter |author-last=Ebner |publisher=Department of Physics, [[Universidad de Constanza]] |date=2005-07-25 |edition=6 |url=https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf |access-date=2017-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170726195140/https://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/vorkurs-skript.pdf |archive-date=2017-07-26 }}</ref>
<ref name="Mejlbro_2010">{{cite book |title=Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory |author-first1=Leif |author-last1=Mejlbro |publisher=[[ Ventus Publishing ApS]] / [[ Bookboon]] |date=2010-11-11 |edition=1 |isbn=978-87-7681-702-2 |url=http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf |access-date=2017-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170726203321/http://netsaver.myds.me/sym/pub/Netsaver%20Library/Mejlbro,%20Leif/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20S%20(2365)/Complex%20Functions%20Theory,%20vol.3%20-%20Mejlbro,%20Leif.pdf |archive-date=2017-07-26 }}</ref>
<ref name="Duran_2012">{{cite book |title=Mathematical methods for wave propagation in science and engineering |volume=1: Fundamentals |author-first=Mario |author-last=Durán |publisher=Ediciones UC |date=2012 |edition=1 |isbn=978-956141314-6 |page=88}}</ref>
<ref name="Dörrie_1965">{{cite book |title=Triumph der Mathematik |author-first=Heinrich |author-last=Dörrie |traductor=David Antin |publisher=[[Dover Publications]] |year=1965 |isbn=978-0-486-61348-2 |page=69}}</ref>
<ref name="Americana_1912">{{cite book |chapter=Inverse trigonometric functions |title=The Americana: a universal reference library |volume=21 |editor-first1=Frederick Converse |editor-last1=Beach |editor-first2=George Edwin |editor-last2=Rines |date=1912}}</ref>
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<ref name="Herschel_1813">{{cite journal |url=https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8 |author-last=Herschel |author-first=John Frederick William |author-link=John Frederick William Herschel |title=On a remarkable Application of Cotes's Theorem |journal=Philosophical Transactions |page=8 |volume=103 |number=1 |date=1813 |publisher=Royal Society, London|doi=10.1098/rstl.1813.0005}}</ref>
<ref name="Korn_2000">{{cite book |title=Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review |url=https://archive.org/details/mathematicalhand00korn_849 |first1=Grandino Arthur |last1=Korn |first2=Theresa M. |last2=Korn |edition=3<!-- (based on 1968 edition by McGrawHill, Inc.) --> |year=2000 (1ª ed. 1961) |publisher=[[ Dover Publications, Inc.]] |location=Mineola, New York, USA |chapter=21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions |page=[https://archive.org/details/mathematicalhand00korn_849/page/n828 811] |isbn=978-0-486-41147-7}}</ref>
<ref name="Bhatti_1999">{{cite book |title=Calculus and Analytic Geometry |date=1999 |publisher=Punjab Textbook Board |location=[[Lahore]] |edition=1 |page=140 |author-first1=Sanaullah |author-last1=Bhatti |author-last2=Nawab-ud-Din |author-first3=Bashir |author-last3=Ahmed |author-first4=S. M. |author-last4=Yousuf |author-first5=Allah Bukhsh |author-last5=Taheem |editor-first1=Mohammad Maqbool |editor-last1=Ellahi |editor-first2=Karamat Hussain |editor-last2=Dar |editor-first3=Faheem |editor-last3=Hussain |language=en-PK |chapter=Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions }}</ref>
<ref name="Borwein_2004">{{cite book |title=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |url=https://archive.org/details/experimentationm00borw_656 |author-first1=Jonathan |author-last1=Borwein |author-first2=David |author-last2=Bailey |author-first3=Roland |author-last3=Gingersohn |edition=1 |date=2004 |publisher=[[ A. K. Peters]] |page=[https://archive.org/details/experimentationm00borw_656/page/n60 51] |location=Wellesley, MA, USA |isbn=978-1-56881-136-9 }}</ref>
<ref name="Gade_2010">{{cite journal |author-last=Gade |author-first=Kenneth |date=2010 |title=A non-singular horizontal position representation |journal=The Journal of Navigation |publisher=[[Cambridge University Press]] |volume=63 |issue=3 |pages=395–417 |url=http://www.navlab.net/Publications/A_Nonsingular_Horizontal_Position_Representation.pdf |doi=10.1017/S0373463309990415|bibcode=2010JNav...63..395G }}</ref>
}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld |urlname=InverseTangent |title=Inverse Tangent}}

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