Ver el código de «Grupo (matemática)»

[[Archivo:Rubik's cube.svg|thumb|225px|Las posibles manipulaciones del [[Cubo de Rubik]] forman un grupo.]]
En [[álgebra abstracta]], un '''grupo''' es una [[estructura algebraica]] formada por un [[conjunto]] no vacío dotado de una [[Operación (matemáticas)|operación]] interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto, y que satisface las propiedades asociativa, de existencia del elemento neutro (también llamado identidad), y de existencia de elementos inversos (en ocasiones llamados simétricos).<ref name="Lenguaje matemático_1">''Lenguaje matemático, conjuntos y números'' (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.125 y ss.</ref> 

La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.<ref>{{Cita Harvard|Herstein|1975|p=§2, p. 26}}</ref>

== Definición y motivación del concepto ==

=== Primer ejemplo: el grupo aditivo de los enteros ===

Uno de los grupos mejor conocidos es el de la [[Adición (matemática)|suma]] de los [[números enteros]], denotados por <math>\mathbb{Z}</math>.{{Harvnp|Lang|2005|p=Apéndice 2, p. 360}} El conjunto de los enteros está formado por los [[Número natural|números naturales]], sus [[Número negativo|negativos]] y el [[cero]]{{Refn|1=Dependiendo del convenio utilizado, el cero puede estar o no incluido en el conjunto de los naturales. Véase el [[Número natural#Convenios de notación]] para más información.|group=nota}}. Contiene por tanto a todos los [[Número real|números reales]] que no tienen [[Número decimal|parte decimal]]. Comúnmente se describe como

<math>\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3, ...\}.</math>

Las propiedades de esta operación aritmética ayudarán a ilustrar el concepto de grupo:
* La suma de dos números enteros es a su vez un número entero: si ninguno de los números tiene parte decimal, su suma tampoco la tiene. A esta propiedad se la denomina [[clausura algebraica]], y se dice que el conjunto de los enteros es ''cerrado bajo la suma''.
* Se puede prescindir de los paréntesis para indicar la [[Orden de evaluación|precedencia de las operaciones]]: aunque la suma se define para cada dos números, no hay ambigüedad en la expresión <math>a+b+c</math>, porque el resultado de las operaciones <math>(a+b)+c</math> es el mismo que el de <math>a+(b+c)</math>. Por tanto, la suma de números enteros verifica la [[propiedad asociativa]].
* Existe un número especial y único, el cero, que sumado a cualquier otro no altera su valor: <math>a+0=a</math>, sea cual sea <math>a</math>.
* Para cada entero <math>a</math>, su [[elemento opuesto|opuesto]] <math>-a</math> es a su vez entero y tal que <math>a+(-a)=0.</math>

Estas cuatro propiedades también se verifican para una gran variedad de operaciones, no necesariamente numéricas, lo cual da pie a definir un concepto abstracto —el de '''grupo'''— en el que se engloben todas ellas. Esa definición, basada en [[axioma]]s, permite desarrollar una teoría abstracta —la [[teoría de grupos]]—, cuyos resultados son aplicables a todos los grupos independientemente de su formalización concreta, pues los resultados se derivan únicamente de la estructura algebraica común a todos ellos.{{Harvnp|Hall|1967|cap=1.1}}

En el caso de la suma de enteros, el orden de los sumandos no es importante, ya que para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math>, se cumple que <math>a+b=b+a.</math> Esta es la [[propiedad conmutativa]], que sin embargo no se asume como cierta en general para todos los grupos, por lo que en teoría de grupos se presta especial atención al orden de los operandos.

=== Definición axiomática===

Sean <math>G</math> un [[conjunto]] no [[Conjunto vacío|vacío]], y <math>\circledast</math> una [[operación binaria]] definida en <math>G</math>. Se dice que el par <math>(G,\,\circledast)</math> es un grupo si se cumplen las siguientes condiciones (llamadas ''axiomas de grupo''):{{Harvnp|Herstein|1988|cap=2.1|p= 40}}
# La operación binaria <math>\circledast</math> es una '''[[operación interna]]''', es decir, toma dos elementos del grupo <math>G</math> para obtener un tercero también en <math>G</math>. En consecuencia, normalmente se simplifica a una [[Función (matemática)|función]] <br/> <math>\quad \quad \circledast : G \times G \to G</math>.
# La operación <math>\circledast</math> verifica la '''[[propiedad asociativa]]''': dados tres elementos cualesquiera de <math>g,h,k \in G</math>, se cumple que <br/> <math>\quad \quad (g \circledast h) \circledast k = g \circledast (h \circledast k)</math>
# <math>G</math> contiene un elemento distinguido llamado '''[[elemento neutro]]''' o ''' identidad''',<ref name="Lenguaje matemático_2">''Lenguaje matemático, conjuntos y números'' (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.126</ref> denotado usualmente como <math>e</math>, con la siguiente propiedad: para cualquier <math>g \in G</math>  <br/> <math>\quad \quad e \circledast g = g \circledast e = g.</math>
# Todo elemento <math>g \in G</math> tiene un '''[[elemento simétrico]]''' o '''inverso''' en el mismo <math>G</math>, que se denota por <math>g^{-1}</math>, con la propiedad de que  <br/> <math>\quad \quad g \circledast g^{-1} = g^{-1} \circledast g = e.</math>

A veces, para simplificar el discurso se dice <math>G</math> es un grupo cuando deseamos indicar que <math>(G,\,\circledast)</math> es un grupo.<ref name="Lenguaje matemático_1"/>

Un grupo <math>G</math> se denomina [[grupo abeliano|abeliano]] (o conmutativo) si además se satisface la [[propiedad conmutativa]]
::<math> \forall g,h \in G:\ g \circledast h = h \circledast g,</math>
la cual, sin embargo, no es un requisito imprescindible: existen grupos no abelianos.

=== Estructuras algebraicas asociadas ===
[[Archivo:Magma to group algebra.PNG|thumb|Construcción por adición progresiva de los axiomas grupo:  '''a''' (asociatividad), '''d''' (divisibilidad), '''e''' (existencia del neutro) e '''i''' (existencia de inversos). Las estructuras resultantes son '''M''' (magma), '''Q''' (cuasigrupo), '''S''' (semigrupo), '''L''' (bucle), '''N''' (monoide) y '''G''' (grupo).]]

En [[álgebra abstracta]] se estudian [[Estructura algebraica|estructuras algebraicas]] alternativas del tipo '''<math>(E,\circledast)</math>''', siendo <math>E</math> un conjunto no nulo y <math>\circledast</math> una operación binaria interna, que puede ser total (definida para todo par de elementos) o no. La mayoría de ellas se definen por los axiomas de grupo que verifican.<ref name="MacLane">{{Cita Harvard|Mac Lane|1998|sp=sí}}</ref><ref>{{Cita Harvard|Denecke|Wismath|2002|sp=sí}}</ref>

La más básica de todas es el [[Magma (álgebra)|magma]]: un par <math>(E,\circledast)</math> es un magma si la operación binaria <math>\circledast</math> es total, y por tanto satisface el primer axioma de grupo. Un magma cuya operación <math>\circledast</math> sea asociativa se denomina [[semigrupo]]. En consecuencia, un semigrupo satisface los dos primeros axiomas de grupo. Si verifica también el tercero (existencia del neutro) entonces es un [[monoide]]. Las definiciones anteriores no son excluyentes: un grupo satisface todos los axiomas, y por tanto, todo grupo es un magma, un semigrupo y un monoide.{{Harvnp|Bourbaki|1975;2014}}{{Harvnp|Romanowska|Smith|2002|cap=1.1.3 Semigroups and monoids}}

Nótese que para poder hablar de elementos inversos es preciso que exista el elemento identidad. No obstante, en ausencia de un elemento neutro se puede definir el concepto de división: dados ''a'' y ''b'' se dice que ''b'' es divisible por ''a'' si existen elementos ''x'' e ''y'', únicos tales que
:<math> a \circledast x = b \quad, \quad y \circledast a = b</math>.
En tal caso se define la división por la izquierda como <math> x = a \setminus b</math> y la división por la derecha como <math> y = b/a</math>. Un magma con división (entre cualquier pareja de elementos) se denomina [[cuasigrupo]]. Si además tiene un elemento identidad, se convierte en un [[Cuasigrupo#Bucle|bucle]]. Un bucle asociativo es, por tanto, un grupo.

En el caso de que la operación <math>\circledast</math> no sea total, la estructura más sencilla es el [[semigrupoide]], que solo cumple la asociatividad. Si además tiene identidad, se convierte en una [[Categoría (matemáticas)|categoría pequeña]]. Finalmente, una categoría pequeña con divisibilidad se denomina [[grupoide]]. Este tipo de estructuras se estudian en el ámbito de la [[teoría de categorías]].
== Reseña histórica y situación actual de la investigación sobre teoría de grupos==

El concepto de un grupo surgió del estudio de [[Polinomio|ecuaciones algebraicas en una incógnita]], comenzando con [[Évariste Galois]] durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la [[teoría de números]] y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. 

La definición de grupo <math>(G,*)</math> usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por [[Ferdinand Georg Frobenius|F. G. Frobenius]], por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], [[Camille Jordan|Jordan]] y [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Sylow]].<ref>''Introducción a la Teoría de Grupos'' (2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 y otros; pág. 17</ref>

Los grupos conmutativos son los que, además verifican la [[propiedad conmutativa]], son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés [[Niels Henrik Abel]] que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de [[Ruffini]] en lo que se denomina [[teorema de Abel-Ruffini]] y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente [[Évariste Galois]] probó con sus nuevas [[Teoría de Galois|teorías]] que la irresolución del grupo <math>S_5</math> implicaría la demostración fehaciente de lo que Abel descubrió sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado mediante el uso de radicales.

Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en [[teoría de grupos]]; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta.

La [[Teoría de grupos|moderna teoría de grupos]] (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí.{{Refn|1=En ''[[Mathematical Reviews]]'' se publican 3 224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones, escritos durante el año 2005.|group=nota}} Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensibles, como [[subgrupo]]s, [[Grupo cociente|grupos cociente]] y [[Grupo simple|grupos simples]]. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus [[Representación de grupo|representaciones de grupo]]), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminó con la [[Teorema de clasificación de grupos simples|clasificación de los grupos simples finitos]] completada en 1983.{{Refn|1=La clasificación fue anunciada en 1983, pero las diferencias se encontraron en la prueba. Véase el [[teorema de clasificación de grupos simples]] para más información.|group=nota}} Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como [[Cuerpo geométrico|objetos geométricos]], se ha convertido en un área particularmente activa en la amplia teoría de grupos.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en [[física]] como en [[matemática]] radica en que los [[isomorfismo]]s de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por [[Élie Cartan]], es un punto culminante de la matemática europea, solo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que esta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer ''a priori'' los grupos de [[automorfismo]]s de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el ''[[Programa de Erlangen]]'' de [[Felix Klein]], este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del [[lagrangiano]] de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. La clasificación de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetrías infinitesimales, válidos para eventuales y futuros modelos científicos.

== La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones ==
La teoría de grupos comparte un parentesco fundamental con la noción de [[simetría]]. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un [[Geometría|objeto geométrico]]: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan invariante el objeto y la operación de combinar dos de estas transformaciones. 
#Tales grupos de simetría y en especialmente los [[grupos de Lie]] diferenciables, tienen un papel importante en [[topología]] y otras ramas de la [[matemática]] como los grupos matriciales y operadores.
#En [[física]] son utilizados para entender las leyes físicas fundamentales en las que se basa la [[Relatividad de escala|relatividad]], también se utilizan en campos de la física muy diversos como la [[física de partículas]], [[teoría de campos]], [[física cuántica]] e incluso los nuevos campos de la física actual como las teorías unificadoras ([[teoría M]] y teoría de cuerdas) entre otras muchas aplicaciones.
#En [[química]] los estudios relacionados con la teoría de enlace, [[simetría molecular]], simetría atómica e incluso [[radiactividad]].
#En [[geología]] y más concretamente en [[cristalografía]].

=== Segundo ejemplo: un grupo de simetría ===

Las [[simetría]]s (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un [[cuadrado]] forman un grupo llamado [[Grupo diédrico|diédrico]], y se expresa como <math>D_4</math>. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Archivo:group D8 id.svg|140px]] <br /> id (se mantiene tal y como está) || [[Archivo:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (rotación de 90° a la derecha) || [[Archivo:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (rotación de 180° a la derecha) || [[Archivo:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (rotación de 270° a la derecha)
|-
| [[Archivo:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (vuelta vertical) || [[Archivo:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (vuelta horizontal)|| [[Archivo:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (vuelta diagonal) || [[Archivo:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (vuelta contra diagonal)
|-
|style="text-align:left" colspan=4 | Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (<math>D_4</math>). Los vértices se pintan y se numeran al objeto de poder visualizar las operaciones.
|}

* La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como <math>\text{id}.</math>
* Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con ''r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub> y r<sub>3</sub>'', respectivamente.
* Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f<sub>v</sub> y f<sub>h</sub>), o respecto de las dos diagonales (f<sub>d</sub> y f<sub>c</sub>)
== Notación y nomenclatura en teoría de grupos ==
=== Axiomática de grupos ===
El par ('''G''',<math>\circledast</math>) representa a un conjunto, no necesariamente numérico, al que denotamos con '''G''' (de grupo) y una operación binaria interna <math>\circledast</math>, que no tiene por qué ser una operación aritmética al uso.

*Se pueden utilizar otras letras mayúsculas para representar a los conjuntos que son grupos, en general, se prefiere el uso de las letras A hasta G inclusive, excepto C (complejos), siendo la primera opción '''G'''. 
**En el caso de subgrupos, la primera opción es '''H''' y siguientes, exceptuando K (cuerpos), N (naturales), R (reales), I (identidad o irracionales), Q (racionales) y Z (enteros) o cualquier otra que origine falta de claridad expositiva.
* Los elementos de grupo se representan con letras minúsculas: a, b, c, d, f, g... 
** Los elementos simétricos respecto a uno dado, se representan con la misma letra marcados con [[macrón]]: <math> \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}, \bar{f}, \bar{g}, ... </math>.
** El elemento neutro se representa con la letra e.
* Para representar las leyes de composición internas, se suelen emplear los siguientes símbolos: 
<math>
   \odot

   \; , \quad
   \circledcirc
   \; , \quad
   \oplus
   \; , \quad
   \ominus
   \; , \quad
   \circledast
   \; , \quad
   \otimes
   \; , \quad
   \oslash
   \; .
</math>

=== Notación multiplicativa ===

Es la notación más frecuente en los libros de texto:

* La operación se denomina producto o [[multiplicación]]. Dependiendo del contexto, se denota con alguno de los símbolos siguientes (entre otros):
::<math>
   \cdot
   \; , \quad
   \bullet
   \; , \quad
   \ast
   \; , \quad
   \star
   \; , \quad
   \odot
   \; , \quad
   \times
   \; , \quad
   \otimes
   </math>

:Lo más frecuente es la utilización del signo «por» (<math>\cdot</math>) o su elisión. El producto repetido de un elemento ''a'' consigo mismo se denota como
::<math> \quad { \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n \,\,\, \text{veces}} </math>
::<math> a^n = \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ...\cdot a}</math>.
* [[Elemento neutro]] que pasa a denominarse '''elemento uno''', y se denota por <math>1</math> en lugar de <math>e</math>. Cuando puede existir confusión entre dos o más grupos, se denota el símbolo del neutro con un subíndice, como en <math>1_G</math>, para referirse específicamente al uno del grupo <math>G</math>.
* [[Elemento simétrico]]: En los grupos multiplicativos se denomina '''elemento inverso''' y su notación es <math>x^{-1}</math>. La [[División (matemática)|división]] de dos números, simbolizada por signos como (<math>:</math>) o (<math>/</math>), se define como el producto de un número por el inverso del otro. Las notaciones del tipo <math>\frac{a}{b}</math> o <math> a/b </math> suelen reservarse para grupos numéricos (en general, abelianos) pues de otro modo podría dar lugar a confusión entre <math>a^{-1} \cdot b</math> y <math>b \cdot a^{-1}</math>, que pueden diferir{{Harvnp|Artin|1991}}. En general, para el inverso es preferible la notación <math> a^{-1} </math>, antes que <math> 1/a </math>.

=== Notación aditiva ===

La notación aditiva se emplea exclusivamente para grupos abelianos:{{Harvnp|Hatcher|2002|p=23}}{{Harvnp|Lang|2005|p=17}}
* Como símbolo de la operación se emplea [[Signos más y menos|el de la suma]], <math>+</math>. La suma repetida de un elemento ''a'' consigo mismo se denota como{{Harvnp|Rotman|1994|p=12}}
:<math> \quad { \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n \,\,\, \text{veces}}  </math>
:<math> na = \overbrace {a + a + a + ... + a} </math>.
* El [[elemento neutro]] para la adición se denota por <math>0</math>, en lugar de <math>e</math>, y se denomina '''cero''' o '''elemento nulo'''. Cuando puede existir confusión entre dos o más grupos, se denota el símbolo del cero con un subíndice, como en <math>0_G,</math> para referirse específicamente al cero del grupo <math>G</math>.
* El [[elemento simétrico|simétrico]] de un elemento <math>x</math> se denota como <math>-x</math>. En este contexto se le denomina elemento [[opuesto]] o negativo de <math>x</math>. En aplicación rigurosa de la notación aditiva se debería escribir <math>x+(-y)</math>, pero frecuentemente se utiliza <math>x-y</math>, donde la [[resta]] de dos números se define como la suma del primero más el opuesto del segundo. En cualquier grupo, el opuesto de <math>-x</math> es <math>x</math>, y por tanto se tiene que <math>-(-x)=x.</math>

En lo anterior no se asume que <math>x</math> sea [[Número positivo|positivo]] y que <math>-x</math> sea negativo porque, entre otras razones, en algunos grupos en lo que se utiliza la notación aditiva no existe una noción intrínseca del [[Signo (matemáticas)|signo del elemento]], como por ejemplo en los [[Número complejo|números complejos]] o en los [[Vector|vectores]].

== Conceptos y resultados principales ==

=== Resultados elementales ===

De la definición de la estructura de grupo, basada solamente en los cuatro axiomas mencionados antes, se derivan directamente varias consecuencias inmediatas:

* El elemento neutro del grupo es único.{{Harvnp|Hall|1967|p=5}}
{{Demostración|1 = Sea '''G''' un grupo que tiene dos elementos identidad, denotados ''e<sub>1</sub>'' y ''e<sub>2</sub>''. Aplicando la definición, como el primero de ellos es la identidad:
::''e<sub>1</sub>e<sub>2</sub> = e<sub>2</sub>''.
Pero también el segundo es la identidad, y por tanto 
::''e<sub>1</sub>e<sub>2</sub> = e<sub>1</sub>''.
Como el producto de dos elementos es único, se sigue que ''e<sub>1</sub> = e<sub>2</sub>''.
}}

* Cada elemento de un grupo tiene un único elemento simétrico.
{{Demostración|1 = Sea <math>{x}</math> un elemento arbitrario de un grupo '''G'''. Supongamos que este elemento tiene dos inversos, denotados <math>\bar{x}</math> y <math>\tilde{x}</math>. Aplicando la definición de elemento simétrico: 
::<math>{x}\bar{x}=e</math>.
Multiplicando ambos lados de la igualdad por la izquierda por <math>\tilde{x}</math> se obtiene
::<math>\tilde{x}{x}\bar{x}=\tilde{x}</math>.
Pero como <math>\tilde{x}{x}=e</math>, simplificando estos términos en el lado izquierdo resulta
::<math>\bar{x}=\tilde{x}</math>,
con lo que ambos inversos son el mismo elemento.
}}

* Propiedad cancelativa: dados tres elementos arbitrarios ''a'', ''b'' y ''c'' de un grupo '''G''':{{Harvnp|Artin|1991|p=42}}
** ''ac = bc'' implica que ''a = b'', y
** ''ab = ac'' implica que ''b = c''.
{{Demostración|1 = En la primera igualdad, multiplicando ambos miembros por la derecha por el inverso de ''c'' (que existe en '''G'''):
:: <math>ac \ c^{-1} = bc \ c^{-1} \implies ae = a = b = be</math>
En la segunda igualdad se obtiene un resultado análogo, al multiplicar por la izquierda por el inverso de ''a''. Este argumento hace uso de la propiedad asociativa al cambiar el orden de evaluación <math>(ac) \ c^{-1} = a \ (c \ c^{-1} )</math>.
}}

* Dados dos elementos cualesquiera <math>A</math> y <math>B</math> de un grupo '''G''', la ecuación <math>Ax=B</math> tiene solución en '''G''' y es única.{{Harvnp|Hall|1967|p=5}}
{{Demostración|1 = Premultiplicando ambos lados de la ecuación por <math>A^{-1}</math> se obtiene
::<math>A^{-1} Ax=A^{-1} B</math>.
En consecuencia existe una solución <math>x=A^{-1} B</math>. Además es única, pues si existe otro elemento <math>y</math> tal que <math>Ay=B</math> entonces <math>Ax=Ay</math>. Cancelando <math>A</math> se deduce que <math>x=y</math>.
}}

=== Subgrupos ===
{{AP|Subgrupo}}

Dado un grupo '''G''', se dice que un subconjunto '''H''' es un [[subgrupo]] de '''G''' si, considerando la [[Restricción (matemáticas)|restricción]] de la operación en '''G''' a los elementos de '''H''', se satisfacen los axiomas de grupo.{{Harvnp|Herstein|1988|p=50}} En la práctica ello significa que es cerrado (el producto de dos de sus elementos está en el subgrupo) y que contiene los inversos de todos sus elementos.{{Harvnp|Artin|1991|p=44}}

Dado un subgrupo '''H''' del grupo '''G''', se definen las [[clase lateral|clases laterales]] izquierdas de '''H''' en '''G''' como los conjuntos de la forma
::<math>aH = \{ ah \mid h \in H \}</math>.
De manera análoga se definen las clases laterales derechas <math>Ha</math>. Las clases laterales son [[Clase de equivalencia|clases de equivalencia]], y por tanto determinan una [[Partición de un conjunto|partición]] de '''G'''. Un subgrupo se denomina ''[[Subgrupo normal|normal]]'' si sus clases laterales izquierdas y derechas coinciden.{{Harvnp|Artin|1991|cap=2.6}}

=== Orden del grupo y sus elementos ===
{{AP|Orden (teoría de grupos)}}

Un grupo puede tener [[infinito]]s elementos, como por ejemplo, el grupo aditivo de los enteros, o por el contrario tener un número finito de elementos. En un [[grupo finito]] (cuyo conjunto subyacente es [[Conjunto finito|finito]]), se define el orden del grupo como el número de sus elementos. Dado un elemento ''a'' de un grupo, se define el subgrupo generado por ''a'' como el conjunto de elementos obtenidos por multiplicación repetida de ''a'' o su inverso. Cuando este subgrupo es finito, de orden ''k'', se dice que el orden de ''a'' es ''k''. Este es el menor número positivo tal que <math>a^k=e</math>. En otro caso se dice que ''a'' es de orden infinito.{{Harvnp|Artin|1991|p=47}}

El orden de los elementos y el orden de los subgrupos de un grupo finito divide al orden del grupo ([[Teorema de Lagrange (teoría de grupos)|teorema de Lagrange]]). Este resultado es consecuencia de que las clases laterales de un subgrupo tienen todas el mismo [[Número cardinal|cardinal]], igual al del subgrupo.{{Harvnp|Herstein|1988|p=41}}

=== Homomorfismos de grupos ===
{{AP|Homomorfismo de grupos}}

De entre todas las [[Función (matemática)|funciones]] que se pueden definir entre dos grupos ''G'' y ''H'', de especial interés son aquellas compatibles con la operación interna de cada uno de ellos: se dice que una aplicación <math>\phi\colon G\to H</math> es un '''homomorfismo''' (de grupos) si para todo par de elementos <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math> se verifica
::<math>\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\,</math>
donde se ha utilizado la convención de escribir <math>ab</math> para indicar la operación de ''a'' con ''b'' en ''G'', y <math>\phi(a)\phi(b)</math> la operación de <math>\phi(a)</math> con <math>\phi(b)</math> en ''H''.

Un homomorfismo de grupos [[Biyección|biyectivo]] se denomina '''isomorfismo'''. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, se dice que estos son '''isomorfos''', en cuyo caso su estructura es idéntica, y solo se diferencian entre sí por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

=== Acciones de grupo ===
{{AP|Acción (matemática)}}

== Ejemplos de algunos grupos notables ==

Típicamente, la [[suma]] de [[número]]s y de otros tipos de objetos matemáticos se puede describir mediante un grupo abeliano:
* Los grupos aditivos de los números [[Número entero|enteros]], [[Número racional|racionales]], [[Número real|reales]] y [[Número complejo|complejos]]:
:<math>(\mathbb{Z}, +) \subset (\mathbb{Q}, +) \subset (\mathbb{R}, +) \subset (\mathbb{C}, +)</math>.
* Los grupos aditivos de los [[vector]]es libres de dimensión ''n'' con componentes reales <math>(\mathbb{R}^n, +)</math> o complejos <math>(\mathbb{C}^n, +)</math>.
* Los grupos aditivos de las [[Matriz (matemática)|matrices]] de orden ''m x n'' con entradas en un [[Anillo (matemática)|anillo]] <math>\mathcal{A}</math> arbitrario: <math>(\mathcal{M}_{m\times n}(\mathcal{A}), +)</math>.
* El grupo aditivo de [[Sucesión (matemática)|sucesiones]] de números reales, con la suma término a término: <math>(\mathbb{R}^\mathbb{N}, +)</math>.
* Las clases de restos módulo ''n'' con la [[aritmética modular|suma módular]], <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, forman un grupo finito de orden ''n''. Por ejemplo, el grupo <math>\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}</math> representa las horas en la esfera de un [[reloj]], donde ''12+1=1'' (''12'' es la identidad del grupo).

Igualmente, el [[Multiplicación|producto]] de ciertas entidades matemáticas les dota de estructura de grupo, no siempre abeliano. No obstante, se deben excluir los elementos que carecen de [[inverso multiplicativo]] (como el [[número cero]]):
* Los grupos multiplicativos de los números racionales, reales y complejos (excluyendo el cero, lo que se denota con el superíndice <math>\square^\times</math>):
:<math>(\mathbb{Q}^\times, \cdot) \subset (\mathbb{R}^\times, \cdot) \subset (\mathbb{C}^\times, \cdot)</math>.
* En los números exteros, el grupo multiplicativo de los enteros que tienen inverso (lo que se denomina en general, en cualquier anillo unitario, su [[grupo de unidades]]):
:<math>U(\mathbb{Z}) = (\{-1,1\}, \cdot)</math>.
* Las matrices cuadradas de orden ''n'' con coeficientes reales y [[Determinante (matemática)|determinante]] distinto de cero (por tanto invertibles) forman un grupo con el [[producto matricial]], que no es conmutativo cuando ''n>1''. Se denomina [[grupo general lineal]] y se denota <math>GL(\mathbb{R},n)</math> o bien <math>{GL}_n(\mathbb{R})</math>.
* Las sucesiones de números reales positivos con el producto término a término <math>((\mathbb{R}^+)^\mathbb{N}, \cdot)</math>.
* El grupo multiplicativo de los números complejos de [[Módulo de un número complejo|módulo]] 1: <math>(\{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}, \cdot)</math>.
* En las clases de restos módulo ''n'' con la [[aritmética modular|multiplicación modular]], se define su grupo multiplicativo como el conjunto de las clases [[Coprimo|coprimas]] con ''n''. Por ejemplo, en <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math>, el grupo multiplicativo está formado por las clases de restos <math>\{1,5\}</math>. Si ''n'' es [[Número primo|primo]] entonces el grupo multiplicativo contiene a todos los elementos excepto la identidad, con lo que su orden es ''n-1''.

Otros ejemplos de grupos (típicamente no conmutativos) se obtienen al considerar grupos de transformaciones de un espacio '''X''' (funciones [[Biyeccion|biyectivas]] de '''X''' en sí mismo), donde la operación es la [[Función compuesta|composición]] de aplicaciones y el elemento neutro es la [[función identidad]]:
* El [[grupo simétrico]]: el grupo que contiene todas las transformaciones de un espacio '''X'''. 
* El grupo de los movimientos del espacio o [[grupo de isometría]] del [[espacio euclídeo]].
* El grupo de las semejanzas del plano o el grupo de las afinidades de una recta (las aplicaciones de la forma <math>x \mapsto ax+b</math> con ''a'' distinto de cero).
* El [[grupo de Galileo]], formado por las transformaciones del [[espacio-tiempo]] en [[mecánica clásica]]. En la [[teoría de la relatividad]], el equivalente es el [[grupo de Lorentz]], que es a su vez subgrupo del [[grupo de Poincaré]], este último de interés en [[teoría cuántica de campos]].

== Tipos de grupos ==

Dependiendo de los [[Conjunto generador de un grupo|conjuntos generadores de un grupo]], se pueden distinguir los grupos finitamente generados, que son aquellos que cuentan con un conjunto generador finito. Un contraejemplo es el grupo de los [[Número real|números reales]] bajo la suma <math>(\mathbb{R},+)</math>, que no está generado por ninguno de sus subconjuntos finitos. Todo [[grupo finito]] está finitamente generado, pero el recíproco no es cierto, como en el caso de los [[Grupo libre|grupos libres]] o los [[Grupo abeliano libre|grupos abelianos libres]]. El grupo finito de menor orden es el [[grupo trivial]], que contiene un solo elemento, luego necesariamente es la identidad. Todos los grupos contienen al grupo trivial como subgrupo.

Los grupos finitamente generados más elementales son los [[Grupo cíclico|grupos cíclicos]], en los que un solo elemento basta para generar el grupo. Un ejemplo es el grupo aditivo de los enteros <math>(\mathbb{Z},+)</math>, que está generado por el ''1'' (o alternativamente por el ''-1'', lo cual muestra que no hay necesariamente un único elemento generador). Salvo isomorfismo, todo grupo cíclico infinito es isomorfo a éste, mientras que los cíclicos finitos son isomorfos a <math>\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}</math>, para cierto número natural ''n'' igual al orden del grupo.

Los grupos en los que se verifica la [[propiedad conmutativa]] se denominan [[Grupo abeliano|grupos abelianos]] (o conmutativos). En ellos, el subconjunto de los elementos de orden finito (llamados elementos de [[Torsión (álgebra)|torsión]]) forman un subgrupo: el subgrupo de torsión. Cuando ningún elemento distinto de la identidad es de torsión, se dice que es un ''grupo libre de torsión''.{{Harvnp|Rotman|1994|p=308}} El teorema de estructura de grupos abelianos finitamente generados establece que cualquiera de estos grupos es [[producto directo]] de un grupo libre de torsión, producto de varias copias de <math>\mathbb{Z}</math>, (salvo que sea finito) y de su subgrupo de torsión (producto de grupos cíclicos finitos o bien trivial).

Un [[grupo topológico]] es un [[espacio topológico]] dotado además de estructura de grupo, compatible con la topología (es decir, que tanto la operación del grupo como la inversión son funciones continuas). Si además tiene estructura de [[variedad diferenciable]], entonces se denomina [[grupo de Lie]]. Otros grupos topológicos son los [[Grupo discreto|grupos dicretos]], que son aquellos dotados de la [[topología discreta]] (en la que cada elemento es aislado). Ejemplos de estos últimos son los [[Grupo kleiniano|grupos kleinianos]], los [[Grupo fuchsiano|fuchsianos]] o los [[Grupo triangular|triangulares]], entre otros.

Cuando un grupo carece de subgrupos normales propios se denomina [[grupo simple]]. En ocasiones (p.e. en los grupos finitos) es posible descomponer un grupo en grupos simples, llamados grupos factores, por medio de una [[serie de composición]]. Cuando existe, esta serie es única, pero dos grupos con la misma serie no son necesariamente isomorfos. Si todos los factores son grupos abelianos se dice que el grupo es [[grupo resoluble|resoluble]].{{Harvnp|Rotman|1994|p=102}}
== Véase también ==
* [[grupo cíclico]].
* [[grupo lineal]].
* [[grupo de Lie]], [[grupo uniparamétrico]].

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| Grupo
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| [[Monoide]]
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| [[Semigrupo]]
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{|
| [[Magma (álgebra)|Magma]]
|
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| [[Conjunto]]
|-
| [[Ley de composición]]
|-
| [[Operación interna|Interna]]
|}
|}
|-
| [[Asociatividad (álgebra)|Asociatividad]]
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|}
|-
| [[Elemento neutro]]
|}
|}
|-
| [[Elemento simétrico]]
|}
|}
|}
|}

== Notas ==
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== Fuentes ==
=== Referencias ===
{{Listaref|2}}

=== Bibliografía ===
==== Referencias generales ====
* {{Cita libro
  | apellido = Artin | nombre = Michael | enlaceautor = Michael Artin | título = Algebra
  | editorial = [[Prentice Hall]] | isbn = 9780130047632 | año = 1991 }} El capítulo 2 contiene una exposición introductoria de los conceptos cubiertos en este artículo.
* {{Citation | last=Bourbaki | first=Nicolas. | title= Éléments de Mathématique (vol. I) Algèbre: Chapitres 1-3| publisher=Springer Paris | ISBN=978-3-662-43705-6 | year=1975;2014}}.
* {{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | authorlink1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* {{Cita libro | enlaceautor=George G. Hall | apellido=Hall | nombre=George G. | título=Applied group theory | editorial=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | año=1967}}, enfocado a la teoría de representación.
* {{Cita libro | apellido=Herstein | nombre=Israel Nathan |enlaceautor= Israel Nathan Herstein | title=Álgebra Abstracta | editorial=Iberoamérica | location=México D.F. | edición=traducción de la 1º edición en ingles (1986) | isbn=968-7270-42-X | año=1988}}.
* {{Cita libro | last=Herstein | first=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theory of finite groups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | mr=0054593 | year=1953}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to group theory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
*Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. [https://raw.githubusercontent.com/FMurphyHernandez/math/master/doc/AMod.pdf Notas de Álgebra Moderna 1.]
* {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.
* {{Cita libro
 | apellido = Rotman | nombre = Joseph J. | título = An introduction to the theory of groups 
 | año = 1994 | edición = 4ª | idioma = inglés | editorial = Springer}}

==== Referencias especiales ====
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF| year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]   | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}.
* {{Citation| last = Becchi| first = C.|arxiv=hep-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories|year = 1997|bibcode = 1997hep.ph....5211B| pages = 5211 }}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7}}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group theory and chemistry | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Simple groups of Lie type | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-50683-6 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | arxiv=math.MG/9911185 | mr=1865535 | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie   | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}.
* {{Citation | last1=Coornaert | first1=M. | last2=Delzant | first2=T. | last3=Papadopoulos | first3=A. | title=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]| publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | mr=1075994 | year=1990 | volume=1441}}.
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal algebra and applications in theoretical computer science | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
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* {{Citation | last1=Kuipers | first1=Jack B. | title=Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | mr=1670862 | year=1999}}.
* {{Citation | last1=Kuga | first1=Michio | author-link=Michio Kuga | title=Galois' dream: group theory and differential equations | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | mr=1199112 | year=1993 | url=https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga }}.
* {{Citation | last1=Kurzweil | first1=Hans | last2=Stellmacher | first2=Bernd | title=The theory of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | mr=2014408 | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Lay | first1=David | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-70970-4 | year=2003}}.
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* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-56963-3 | mr=1304906 | year=1994 | volume=34}}.
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* {{Cita libro | apellido1=Romanowska | nombre1=A.B. | apellido2=Smith | nombre2=J.D.H. | título=Modes | publisher=[[World Scientific]] | isbn=978-981-02-4942-7 | year=2002}}.
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* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introduction to computational group theory | url=http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=44 | issue=6 | pages=671–679 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20070208012642/http://www.math.ohio-state.edu/~akos/notices.ps | archivedate=8 de febrero de 2007 | fechaacceso=21 de diciembre de 2011 }}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear representations of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | mr=0450380 | year=1977 | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
* {{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375|jstor = 1990375}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | year=1972 | isbn=0-471-92567-5 | url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0 }}.
* {{Citation | last1=Welsh | first1=Dominic | title=Codes and cryptography | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Symmetry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-02374-8 | year=1952}}.

==== Referencias históricas ====
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860)}}.
* {{Citation | last1=O'Connor | first1=J.J | last2=Robertson | first2=E.F. |  title=The development of group theory | url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html|year=1996}}.
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | authorlink = Charles W. Curtis | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=von Dyck | year=1882|first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies) | doi=10.1007/BF01443322 | journal=[[Mathematische Annalen]]   | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 }}.
* {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=París | year=1908}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations]| url=http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35001297 | publisher=Gauthier-Villars | location=París | year=1870 }}
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey  | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]]   | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 }}.
* {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | mr=0392459 | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The theory of unitary group representations | publisher=[[University of Chicago Press]] | mr=0396826 | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=http://www.gutenberg.org/etext/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.


== Enlaces externos ==
{{wikilibros|Álgebra Abstracta}} incluyendo un capítulo grupos.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Estructuras algebraicas]]