Ver el código de «Grupo ordenado linealmente»

En [[matemáticas]], específicamente en [[álgebra abstracta]], un '''grupo ordenado linealmente''' (también denominado '''grupo totalmente ordenado''') es un [[Grupo (matemática)|grupo]] ''G'' equipado con un [[orden total]] "≤", que es ''invariante a las traslaciones''. Esto puede tener diferentes significados. Se dice que (''G'', ≤) es un:

* '''Grupo ordenado por la izquierda''' si ≤ es invariante por la izquierda, es decir, ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'' implica que ''ca''&nbsp;≤&nbsp;''cb'' para todo ''a'', ''b'' y ''c'' en ''G''.
* '''Grupo ordenado por la derecha''' si ≤ es invariante por la derecha, es decir, ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b'' implica que ''ac''&nbsp;≤&nbsp;''bc'' para todo ''a'', ''b'' y ''c'' en ''G''.
* '''Grupo biordenado''' si ≤ es biinvariante, es decir, es invariante tanto a la izquierda como a la derecha.

Se dice que un grupo ''G'' es '''ordenable por la izquierda''' (u '''ordenable por la derecha''', o bien '''biordenable''') si existe un grupo por la izquierda (u orden invariante por la derecha o por ambos lados) en ''G''. Una condición necesaria simple para que un grupo pueda ordenarse por la izquierda es no tener elementos de orden finito. Sin embargo, esta no es una condición suficiente. Es equivalente a que un grupo se pueda ordenar por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son biordenables.

==Otras definiciones==

En esta sección <math>\le</math> es un orden invariante a la izquierda en un grupo <math>G</math> con [[elemento neutro]] <math>e</math>. Todo lo dicho se aplica a órdenes invariantes por la derecha con las modificaciones obvias. Téngase en cuenta que el hecho de que <math>\le</math> sea invariante a la izquierda es equivalente al orden <math>\le'</math> definido por <math>g \le' h </math> si y solo si <math> h^{-1} \le g^{-1}</math> es invariante a la derecha. En particular, un grupo que se puede ordenar por la izquierda es lo mismo que por la derecha.

En analogía con los números ordinarios, se denomina a un elemento <math>g \not= e</math> de un grupo ordenado '''positivo''' si <math>e \le g</math>. El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se denomina '''cono positivo''' y a menudo se denota como <math>G_+</math>; se utiliza la notación ligeramente diferente <math>G^+</math> para el cono positivo junto con el elemento de identidad. {{sfn|Deroin|Navas|Rivas|2014|loc=1.1.1}}

El cono positivo <math>G_+</math> caracteriza el orden <math>\le</math>. De hecho, por la invariancia hacia la izquierda se observa que <math>g \le h</math> si y solo si <math>g^{-1} h \in G_+</math>. De hecho, un grupo ordenado por la izquierda se puede definir como un grupo <math>G</math> junto con un subconjunto <math>P</math> que satisface las dos condiciones siguientes:
#Para <math>g, h \in P</math> también se tiene que <math>gh \in P</math>
#Sea <math>P^{-1}= \{g^{-1}, g \in P\}</math>, entonces <math>G</math> es la [[unión disjunta]] de <math>P, P^{-1}</math> y <math>\{e\}</math>.
El orden <math>\le_P</math> asociado con <math>P</math> está definido por <math>g \le_P h \Leftrightarrow g^{-1} h \in P</math>; la primera condición equivale a la invariancia por la izquierda y la segunda a que el orden esté bien definido y sea total. El cono positivo de <math>\le_P</math> es <math>P</math>.

El orden invariante por la izquierda <math>\le</math> es bi-invariante si y solo si es invariante de conjugación, es decir, si <math>g \le h</math> entonces para cualquier <math>x \in G</math> también se tiene que <math>xgx^{-1} \le xhx^{-1}</math>. Esto equivale a que el cono positivo sea estable bajo [[automorfismo interno|automorfismos internos]].

Si <math>a \in G</math>, entonces el '''valor absoluto''' de <math>a</math>, denotado por <math>|a|</math>, se define como:

:<math>|a|:=\begin{cases}a, & \text{ si }a \ge 0,\\ -a, & \text{ en caso contrario}.\end{cases}</math>

Si además el grupo <math>G</math> es [[Grupo abeliano|abeliano]], entonces para cualquier <math>a, b \in G</math> se satisface la [[desigualdad triangular]]: <math>|a+b|\le|a|+|b|</math>.

==Ejemplos==
* El conjunto de los [[Número real|números reales]] dotado con la operación suma es un grupo ordenable, ya que el orden total habitual es invariante a las traslaciones.
* Cualquier [[subgrupo]] ''H'' de un grupo ordenable ''G'' es también ordenable, ya que dado un orden total de ''G'' invariante por la izquierda, se obtiene uno para ''H'' restringiéndolo.
* <math> \mathbb Z^n </math> es ordenable. Esto puede mostrarse fácilmente de dos maneras. Una forma es utilizar un [[homomorfismo]] inyectivo de <math> \Z^n </math> en <math> \R </math> y utilizar lo dicho en el ejemplo anterior. Otra forma es utilizar el [[orden lexicográfico]].
* El [[producto directo]] entre dos grupos ordenables es ordenable, utilizando el orden lexicográfico.
* El [[grupo libre]] con ''n'' generadores es ordenable para todo ''n'', proposición demostrada por [[Wilhelm Magnus]].<ref name=dnr>{{cita libro |apellido= Deroin| apellido2=Navas|apellido3=Rivas |nombre1=Bertrand |nombre2= Andrés|nombre3=Cristóbal |enlaceautor= |título= Groups, orders and dynamics |url=https://archive.org/details/arxiv-1408.5805|fechaacceso=27 de septiembre de 2014 |idioma= inglés |otros= |edición= |año= 2014|editor= |editorial=  |ubicación= http://arxiv.org/abs/1408.5805|isbn= |capítulo= |páginas= |cita= }}</ref>
* El grupo de los [[homeomorfismo]]s de <math> \R </math> que preservan la orientación (<math>Homeo_+(\R)</math>) es un grupo ordenable. Dada una sucesión <math>(a_n) </math> densa en <math> \R </math>, se define el orden <math> \preceq </math> sobre <math>Homeo_+(\R)</math> de la siguiente manera: si <math>f\neq g </math> se dice que <math> f\prec g</math> cuando el mínimo ''n'' tal que <math> f(a_n)\neq g(a_n) </math> verifica que <math> f(a_n)< g(a_n) </math>.<ref name=ghys> Ettiene Ghys (2001), Groups acting on the circle, L´Eins. Math. 47: 329–407. </ref>
* Cualquier grupo que se pueda ordenar por la izquierda o por la derecha está libre de [[Torsión (álgebra)|torsión]], es decir, no contiene elementos de orden finito además de la identidad. Por el contrario, [[Friedrich Wilhelm Levi]] demostró que un [[grupo abeliano]] libre de torsión es biordenable.{{sfn|Levi|1942}} Esto sigue siendo cierto para [[grupo nilpotente|grupos nilpotentes]],{{sfn|Deroin|Navas|Rivas|2014|loc=1.2.1}} pero existen [[presentación de grupo|presentaciones de grupos]] libres de torsión que no se pueden ordenar por la izquierda.

===Grupos con orden de Arquímedes===

[[Otto Hölder]] demostró que cada [[grupo arquimediano]] (un grupo biordenado que satisface el [[axioma de Arquímedes]]) es [[Isomorfismo|isomorfo]] respecto a un [[subgrupo]] del grupo aditivo de los [[números reales]], {{harv|Fuchs|Salce|2001|p=61}}.
Para componer un grupo arquimediano linealmente ordenado multiplicativamente, se debe considerar la [[completación de Dedekind-MacNeille|completación de Dedekind]], <math>\widehat{G}</math> del cierre de un grupo linealmente ordenado bajo las raíces <math>n</math>-ésimas. Dotamos a este espacio con el [[Espacio topológico|topology]] habitual de orden lineal, y luego se puede demostrar que para cada <math>g\in\widehat{G}</math> los mapas exponenciales <math>g^{\cdot}:(\mathbb{R},+)\to(\widehat{G},\cdot) :\lim_{i}q_{i}\in\mathbb{Q}\mapsto \lim_{i}g^{q_{i}}</math> son isomorfismos [[grupo topológico]] que preservan/invierten el orden bien definidos. Completar un grupo linealmente ordenado puede resultar difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su [[Rango de un grupo|rango]], que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos.

===Otros ejemplos===

Los [[grupo libre|grupos libres]] se pueden ordenar por la izquierda. En términos más generales, este también es el caso de los [[grupo de Artin en ángulo recto|grupos de Artin en ángulo recto]].<ref>{{cite journal|last1=Duchamp|first1=Gérard|last2=Thibon|first2=Jean-Yves|date= 1992|title=Simple orderings for free partially commutative groups|url=|journal=International Journal of Algebra and Computation|volume=2|issue=3|pages=351–355|doi=10.1142/S0218196792000219|zbl=0772.20017|access-date=}}</ref> Los [[grupo de trenzas|grupos de trenzas]] también se pueden ordenar por la izquierda.<ref>{{cite book|last1=Dehornoy|first1=Patrick|last2=Dynnikov|first2=Ivan|last3=Rolfsen|first3=Dale|last4=Wiest|first4=Bert|author-link=|date= 2002|title=Why are braids orderable?|url=|location=Paris|publisher=Société Mathématique de France|page=xiii + 190|isbn=2-85629-135-X}}</ref>

El grupo dado por la presentación <math>\langle a, b|a^2ba^2b^{-1}, b^2ab^2a^{-1}\rangle</math> está libre de torsión pero no se puede ordenar por la izquierda.{{sfn|Deroin|Navas|Rivas|2014|loc=1.4.1}} Téngase en cuenta que es un [[grupo espacial|grupo cristalográfico]] tridimensional (se puede realizar como el grupo generado por dos medias vueltas deslizadas con ejes ortogonales y la misma longitud de traslación), y es el mismo grupo que demostró ser un contraejemplo de la [[conjeturas de Kaplansky|conjetura unitaria]]. De manera más general, el tema de la ordenabilidad de grupos de 3 variedades es interesante por su relación con distintos invariantes topológicos.<ref>{{cite journal|last1=Boyer|first1=Steven|last2=Rolfsen|first2=Dale|last3=Wiest|first3=Bert|date=2005|title=Orderable 3-manifold groups|doi=10.5802/aif.2098|journal=Annales de l'Institut Fourier|volume=55|issue=1|pages=243–288|zbl=1068.57001|arxiv=math/0211110 }}</ref> Existe un grupo de 3 variedades que se puede ordenar por la izquierda, pero que no es biordenable.<ref>
{{cite journal|last=Bergman|first=George|date=1991|title=Right orderable groups that are not locally indicable|url=|journal=Pacific Journal of Mathematics|volume=147|issue=2|pages=243–248|doi=10.2140/pjm.1991.147.243|zbl=0677.06007}}</ref> De hecho, no satisface la propiedad más débil de ser localmente indicable.

Los grupos ordenables por la izquierda también han suscitado interés desde la perspectiva de los [[sistema dinámico|sistemas dinámicos]], ya que se sabe que un grupo numerable se puede ordenar por la izquierda si y solo si actúa en la recta real mediante homeomorfismos.{{sfn|Deroin|Navas|Rivas|2014|loc=Proposition 1.1.8}} Contraejemplos relacionados con este paradigma son los [[Retículo (subgrupo discreto)|retículos]] en [[Grupo de Lie|grupos de Lie]] de rango superior, y se sabe que (por ejemplo) los subgrupos de índice finito en <math>\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)</math> no se pueden ordenar por la izquierda. Se ha realizado una amplia generalización de este hecho.<ref>{{cite journal|last=Witte|first=Dave|date=1994|title=Arithmetic groups of higher \(\mathbb{Q}\)-rank cannot act on \(1\)-manifolds|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=122|issue=2|pages=333–340|doi=10.2307/2161021|jstor=2161021|zbl=0818.22006}}</ref><ref>{{cite arXiv|last1=Deroin|first1=Bertrand|last2=Hurtado|first2=Sebastian|eprint=2008.10687|title=Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups|class=math.GT|date=2020 }}</ref>

==Algunos resultados==
* El primer resultado en la teoría de grupos ordenables es debido a [[Otto Hölder]]: todo grupo con un orden total invariante por la izquierda que satisface una [[propiedad arquimediana]] es [[isomorfo]] a un subgrupo del grupo aditivo de los números reales.
* Si un grupo es ordenable, entonces está libre de torsión. Esto se prueba fácilmente: si <math> \preceq</math> es un orden total invariante por la izquierda para ''G'' y <math>g\in G</math>, entonces <math>g \preceq id</math> o <math>id \preceq g</math>. En el primer caso es sencillo mostrar que se tendrá <math>g^n \preceq g^{n-1}</math> para todo <math>n\in\Z^+</math>, por lo que <math>g^n \neq id</math> para todo n si <math>g \neq id</math>.
* Dada una [[sucesión exacta]] corta <math>\{1\} \longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow \{1\}</math>, si ''A'' y ''C'' son ordenables, entonces ''B'' también lo es. De hecho, por cada par de órdenes elegidos en ''A'' y ''C'' se tendrá un orden distinto en ''B''.
* Un grupo ''G'' es ordenable si y solo si todo subgrupo finitamente generado de ''G'' es ordenable.<ref name= dnr/>
* Con el resultado anterior, y ya sabiendo que <math> \Z^n</math> es ordenable, se deduce que todo grupo abeliano libre de torsión es ordenable. Esto es consecuencia del teorema de estructura que dice que todo [[grupo abeliano]] finitamente generado es una suma directa de grupos cíclicos.<ref>{{cita libro |apellido= Rotman |nombre= Joseph|enlaceautor= |título= An introduction to the theory of groups |url=https://archive.org/details/introductiontoth00rotm_373|url-access= registration |fechaacceso=27 de septiembre de 2014 |idioma= inglés |otros= |edición= cuarta |año= 1995|editor= |editorial= Springer-Verlag |ubicación= |isbn= |capítulo= Abelian groups |páginas= [https://archive.org/details/introductiontoth00rotm_373/page/n339 319] |cita= }}</ref>
* Si ''G'' es ordenable y numerable, entonces ''G'' es [[isomorfo]] a un subgrupo de <math>Homeo_+(\R)</math>.<ref name= ghys/>
* En un grupo biordenable se cumple la propiedad de raíz única: si <math>g^n=h^n </math>, entonces <math> g=h </math>.

==Conos positivo y negativo==
Un orden invariante por la izquierda está determinado por su cono positivo, o sea el conjunto de elementos mayores a la identidad del grupo.

Un grupo ''G'' es ordenable si y solo si existe un semigrupo ''P'' tal que <math>P\cap P^{-1}=\varnothing</math> y <math> G=P\cup P^{-1}\cup\{id\} </math>. Con esta caracterización es fácil demostrar que un grupo admite un orden total invariante por la izquierda si y solo si admite un orden total invariante a derecha; esta es la razón por la que no exista una teoría de grupos ordenables a derecha.

Para que ''G'' sea biordenable es además necesario que el semigrupo ''P'' sea invariante por conjugaciones, o sea <math>gPg^{-1}=P</math> para todo <math>g\in G</math>.

==El espacio de órdenes==
Dado ''G'' un grupo ordenable, se tiene el conjunto ''LO(G)'' formado por los órdenes totales en ''G'' invariantes por la izquierda.

Está demostrado que ''LO(G)'' es finito o no numerable<ref>{{cita libro |apellido= Linnell |nombre= Peter|enlaceautor= |título=  The space of left orders of a group is either finite or uncountable |url=https://archive.org/details/arxiv-0909.2497|fechaacceso=27 de septiembre de 2014 |idioma= inglés |otros= |edición= cuarta |año= 2009|editor= |editorial=  |ubicación= http://arxiv.org/abs/0909.2497 |isbn= |capítulo= |páginas= |cita= }}</ref> (o sea, no existe ningún grupo tal que admita exactamente una cantidad infinita numerable de órdenes totales invariantes por la izquierda). Este resultado no es cierto para los biórdenes.<ref name=dnr/>

En ''LO(G)'' generalmente se define una [[topología]], con sub base <math> \{U_f: \ f\in G\}</math>, siendo <math> U_f=\{\preceq: \ f\preceq id\}</math>. Con esta [[topología]] ''LO(G)'' resulta un [[espacio compacto]] totalmente disconexo.<ref name=dnr/>

==Véase también==
*[[Grupo ordenado cíclicamente]]
*[[Teorema de embebido de Hahn]]
*[[Grupo parcialmente ordenado]]

==Referencias==
{{reflist|group=lower-alpha}}
{{listaref}}

==Bibliografía==
*{{cite arXiv|last1=Deroin|first1=Bertrand|last2=Navas|first2=Andrés|last3=Rivas|first3=Cristóbal|author-link=|eprint=1408.5805|title=Groups, orders and dynamics|class=math.GT|date=2014 }}
*{{Citation|last1=Levi|first1=F.W.|title=Ordered groups.|journal=Proc. Indian Acad. Sci.|year=1942|volume=A16|issue=4|pages=256–263|doi=10.1007/BF03174799|s2cid=198139979 }}
*{{Citation|last1=Fuchs|first1=László|last2=Salce|first2=Luigi|title=Modules over non-Noetherian domains|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=Mathematical Surveys and Monographs|isbn=978-0-8218-1963-0|mr=1794715|year=2001|volume=84}}
*{{Citation|last1=Ghys|first1=É.|title=Groups acting on the circle.|journal=L'Enseignement Mathématique|year=2001|volume=47|pages=329–407}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Grupos ordenados]]