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Un '''grupoide''',  en [[matemática]], especialmente en [[teoría de las categorías]] y en [[homotopía]],  es un concepto que, simultáneamente, generaliza [[Teoría de grupos|grupo]]s, [[relación de equivalencia|relaciones de equivalencia]] en [[conjunto]]s, y [[acción (álgebra)|acciones]] de grupos en conjuntos.
<br>Frecuentemente, son usados para captar información acerca de objetos geométricos tales como [[variedad]]es.

El término "grupoide" también es usado para un [[magma (álgebra)|magma]]: un [[conjunto]] con cualquier tipo de [[Operación matemática|operación binaria]] en él.
No usaremos ese término para tal concepto en este artículo.

== Definiciones ==

Desde un punto de vista de categorías, un grupoide es simplemente una de [[teoría de las categorías|ellas]] en la que todo [[morfismo]] es un [[isomorfismo]] (o sea, aquel es  inversible).<ref>[http://books.google.es/books?id=i5SlbIA-KwUC&pg=PA284&dq=groupoid+term+magma+algebra&hl=es&sa=X&ei=8B9mUYC5BsjD7AalgYFY&ved=0CFUQ6AEwBw#v=onepage&q=groupoid%20term%20magma%20algebra&f=false Post-Modern Algebra-Chapter IV universal Algebra pag. 284]</ref> 

Alternativamente es posible dar la siguiente definición equivalente: un grupoide  <math>G \rightrightarrows M</math> consiste de
:* Dos conjuntos <math>G^{}</math>, el grupoide y <math>M</math>, la base.
:* <math>s,t:G \to M</math> funciones sobreyectivas. <math>s</math> es llamada proyección origen o fuente y <math>t</math> es llamada la proyección final o destino.
:* Una aplicación <math>1: M \to G</math>, <math>x \mapsto 1_x</math>, la aplicación de inclusión o identidad.
:* Si <math> G * G := \{(\eta,\xi) \in G \times G:t(\xi) = s(\eta) \}</math>, entonces hay una multiplicación parcial <math>G*G \to G</math> que satisface las siguientes condiciones
::* <math>s(hg) = s(g)</math>, <math>t(hg) = t(h)</math>, para todo  <math>(h,g) \in G*G</math>.
::* Asociatividad.
::* <math>s(1_x) = t(1_x) = x</math>, para todo <math>x \in M</math>.
::* <math>g 1_{s(g)} = 1_{t(g)}g = g</math>, para todo <math>g \in G</math>.
::* Para todo <math>g \in G</math>, existe <math>g^{-1} \in G</math>, tal que <math>g^{-1}g = 1_{s(g)}</math> y <math>gg^{-1} = 1_{t(g)}</math>.

== Ejemplos ==
* Los grupos son los grupoides con base trivial. 

* Sea <math>M</math> conjunto, <math>G</math> grupo, <math>s: M \times G \times M \to M</math> la proyección a la tercera coordenada, <math>t: M \times G \times M \to M</math> la proyección a la primera coordenada, <math> 1: M \to M \times G \times M </math> dada por <math> x \mapsto (x,1,x) </math>. La multiplicación parcial e inversa dadas por <math> (z,h,y)(y,g,x) =  (z,hg,x)</math>, <math>\,\,(y,g,x)^{-1} =(x,g^{-1},y) </math>, respectivamente. Esto resulta ser un grupoide que se denota  <math>M \times G \times M  \rightrightarrows M</math> y es llamado el ''grupoide trivial'' sobre <math>M</math> con grupo <math>G</math>.

* En [[topología]], el grupoide fundamental de un espacio topológico <math>X \,</math>  es el conjunto de clases de [[homotopía]] de curvas  con la [[Operación matemática|operación]] yuxtaponer clases (cuando es posible hacerlo). Se lo representa con la expresión <math>\pi_1(X)</math>.

:Las clases de homotopía son las [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]] determinadas por la relación de ser homotópicas, es decir, dos curvas <math>\alpha,\beta:[0,1]\to X \,</math> tal que   <math>\alpha(0)=\beta(0)\,</math> y <math>\alpha(1)=\beta(1)\,</math>; son homotópicas si existe una [[Aplicación matemática|aplicación]] [[continua]] <math>H:[0,1]\times [0,1]\to X\, </math> tal que

:<math>H(k,0)=\alpha(k) \,</math>, <math>H(k,1)=\beta(k) \,</math>
:<math>H(0,r)= \alpha(0)=\beta(0) \,</math>, <math>H(1,r)= \alpha(1)=\beta(1) \,</math>.
: En este caso la base es el espacio  <math>X \,</math>, las aplicaciones origen y final son el origen y el final de cada curva. La aplicación identidad es <math>1_x(r) = x</math>, es decir la clase de equivalencia de la curva constante en <math>x</math> y la inversa es recorrer la curva en sentido contrario.  
:Es claro que el grupoide fundamental incluye a todos los [[grupo fundamental|grupos fundamentales]] y los integra en una sola estructura, que a la postre resulta ser más natural para el estudio de la homotopía.   

*Si <math>X</math> es un [[conjunto]] y <math>\simeq</math> es una [[relación de equivalencia]] en <math>X</math>, entonces podemos formar un '''grupoide''' que representa esta relación de equivalencia como sigue:  la base  es <math>X</math>, y para cualesquiera dos elementos <math>x,\, y</math> en <math>X</math>, hay un único morfismo desde <math>x</math> hasta <math>y</math> [[si y sólo si]] <math>x \simeq y</math>.

==Grupoides de Lie y algebroides de Lie==

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides que se presentan llevan a menudo alguna [[variedad|estructura diferenciable]], convirtiéndose en '''[[grupoide de Lie|grupoides de Lie]]'''. Estos se pueden estudiar en términos de los [[algebroide de Lie|algebroides de Lie]], en analogía a la relación entre los [[grupo de Lie|grupos de Lie]] y las [[álgebra de Lie|álgebras de Lie]].

== Véase también ==

*[[Heinrich Brandt]]

== Referencias ==
{{listaref}}
*{{cita libro | apellido=Paterson | nombre=Alan L.T. | título=Groupoids, Inverse Semigroups, and Their Operator Algebras | editorial=Springer Velag. | editor=Alan L.T. Paterson | ubicación=Berlín | año=1999 | isbn=0817640517 | páginas= |idioma= inglés}}

== Enlaces externos ==

*Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, [http://math.berkeley.edu/~alanw/Groupoids.ps Groupoids.ps] o [http://www.ams.org/notices/199607/weinstein.pdf weinstein.pdf]
* Parte VI de Geometric Models for Noncommutative Algebras, ''por A. Cannas da Silva y A. Weinstein'' [https://web.archive.org/web/20060617222431/http://math.berkeley.edu/~acannas/notes_latest.pdf archivo PDF.]

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