Ver el código de «Heptadecágono»

{{Ficha de polígono
| nombre      = Heptadecágono
| imagen      = [[Archivo:17-L Heptadecágono.svg|240px]]
| pie         = Un heptadecágono regular
| tipo        = [[Polígono regular]]
| lados       = 17
| simetría    = <math>D_{17}</math>, orden 2x17
| vértices    = 17
| Schläfli    = {17} (heptadecágono regular)
| Coxeter     = {{DCD|node_1|17|node}}
| dual        = '''Autodual'''
| área        = <math>A = \frac{17}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{17}</math><br />(lado <math>a</math>)
| ángulo      = 158+14/17° ≈ 158.8235294117647058
| propiedades = [[Polígono convexo|Convexo]], [[Figura isogonal|isogonal]], [[Circunferencia circunscrita|cíclico]]
}}
[[File:Regular polygon 17 annotated.svg|mini|Un heptadecágono regular y sus ángulos principales]]

En [[geometría]], un '''heptadecágono''' es un [[polígono]] de [[diecisiete|17]] [[segmento|lados]] y 17 [[vértice (geometría)|vértice]]s. [[Carl Friedrich Gauss]] demostró que el ''heptadecágono [[Polígono regular|regular]]'' es construible con [[regla y compás]] cuando solo tenía 19 años de edad, resolviendo de forma general un problema que databa de la [[Grecia clásica]].

== Propiedades ==
Un heptadecágono tiene 119 [[diagonal]]es, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, <math>D=n(n-3)/2</math>; siendo el número de lados <math>n=17</math>, se tiene que:
:<math>D=\frac{17(17-3)}{2}=119</math>

La suma de todos los [[ángulo interior|ángulos internos]] de cualquier heptadecágono es 2700 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>15\pi</math> [[radián|radianes]].

== Heptadecágono regular ==
Un '''heptadecágono [[Polígono regular|regular]]''' es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus [[ángulo interior|ángulos internos]] [[Ángulos congruentes|iguales]]. Cada ángulo interno del heptadecágono regular mide aproximadamente 158.82º o exactamente <math>15\pi/17</math>  Cada [[Ángulo exterior de un polígono|ángulo externo]] del heptadecágono regular mide aproximadamente 21.18º o exactamente <math>2\pi/17</math> rad.

Para obtener el [[perímetro]] <math>P</math> de un heptadecágono regular, multiplíquese la longitud <math>t</math> de uno de sus lados por diecisiete (el número de lados <math>n</math> del polígono).

:<math>P = n\cdot t = 17\ t</math>

Dada la longitud '''t''' de uno de sus lados, el [[área]] '''A''' de un heptadecágono regular es:

:<math>A = \frac{17\ t^2}{4 \tan(\frac{\pi}{17})}\approx 22.7355\ t^2</math>

donde <math>\pi</math> es la constante [[Número π|pi]] y <math>\tan</math> es la función [[Tangente (trigonometría)|tangente]] calculada en radianes. 

Si se conoce la longitud de la [[apotema]] '''a''' del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

:<math>A = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{17\ t\ a}{2}</math>

== Aspecto algebraico ==

La ecuación <math>x^{17}=1</math>, contiene las 17 raíces décimoséptimas de la unidad. Sin contar la raíz <math>x=1</math>, las demás raíces son complejas y [[raíz de la unidad|primitivas]]. En un círculo unitario del [[plano complejo]] estas raíces están en los vértices de un heptadecágono.

==Nota histórica==
[[Gauss]] quiso que en su lápida se grabara un polígono regular de 17 lados, pero llegado el momento, el artesano encargado de realizar el trabajo se negó debido a la complejidad de su confección y porque además no se diferenciaría de un círculo. Cabe destacar que [[Gauss]] demostró que el polígono regular de 17 lados es [[Polígono construible|construible]] con [[regla y compás]], de ahí su deseo.<ref>{{MacTutor|título=Gauss}}</ref>

==Construcción==
Como 17 es un [[número de Fermat|número primo de Fermat]], el heptadecágono regular es un [[polígono construible]] (es decir, se puede construir usando solamente [[regla y compás]]), lo que fue demostrado por [[Carl Friedrich Gauss]] en 1796 a la edad de 19 años.<ref name="Jones">Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, ''Abstract Algebra and Famous Impossibilities'', Springer, 1991, {{ISBN|0387976612}}, [https://books.google.com/books?id=6dSIBBW87b8C&pg=PA178 p. 178.]</ref> Esta prueba representó el primer progreso en la construcción de un polígono regular en más de 2000 años.<ref name="Jones"/> La demostración de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresibilidad de las [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]] de un ángulo en términos de operaciones [[aritmética]] y extracciones de [[raíz cuadrada|raíces cuadradas]], y en segundo lugar en su demostración de que esto se puede hacer si los factores primos impares de <math>N</math>, el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, es decir, que son de la forma <math>F_n = 2^{2^n} + 1</math> para algún entero no negativo <math>n</math>. Por tanto, construir un heptadecágono regular implica hallar el coseno de <math>2\pi/17</math> en términos de raíces cuadradas, lo que implica una ecuación de grado 17, un primo de Fermat. El libro de Gauss ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' incluye la expresión (en notación moderna):<ref name=Callagy>Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon", ''Mathematical Gazette'' 67, December 1983, 290–292.</ref>

: <math>
 \begin{align} 16\,\cos\frac{2\pi}{17} = & -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \\
                                                     & 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-
                                                        \sqrt{34-2\sqrt{17}}-
                                                       2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\\
= & -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \\
                                                     & 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-
                                                        \sqrt{170+38\sqrt{17}}}.
 \end{align}</math>

Euclides había dado construcciones para el [[triángulo equilátero]], el [[pentágono]], el [[pentadecágono]] y polígonos con ''2''<sup>''h''</sup> veces lados, pero las construcciones basadas en los números primos de Fermat distintos de 3 y 5 eran desconocidas para los antiguos. (Los únicos números primos de Fermat conocidos son ''F<sub>n</sub>'' para ''n'' = 0, 1, 2, 3, 4, que son 3, 5, 17, 257 y 65537).

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por [[Herbert William Richmond]] en 1893. El siguiente método de construcción usa el [[círculo de Carlyle]], como se muestra a continuación. Basado en la construcción del 17-gono regular, se puede fácilmente construir ''n''-gonos siendo ''n'' el producto de 17 por 3, por 5 (o por ambos) y cualquier potencia de 2: un polígono regular de 51, 85 o de 255 lados, y cualquier ''n''-gono regular con ''2''<sup>''h''</sup> veces más lados.
{|
||[[File:Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif|mini|x400px|center|Construcción usando el círculo de Carlyle]]
||[[File:01-Heptadecagon-Carlyle circle.gif|thumb|x400px|center|Construcción según Duane W. DeTemple con círculos de Carlyle.<ref>Duane W. DeTemple "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions" en ''The American Mathematical Monthly,Volume 98, Issuc 1 (Feb. 1991), 97–108.'' [https://web.archive.org/web/20151221113614/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#6#6 "4. Construction of the Regular Heptadecagon (17-gon)"] pp. 101–104, , p.103, web.archive document, selected on 28 January 2017</ref> Animación de 1 min 57 s]]
|}
{{clear}}

T. P. Stowell de Rochester, Nueva York, respondió a la Consulta de W.E. Heal, Wheeling, de Indiana, en ''The Analyst'' en el año 1874:<ref name=Hendricks>{{cite journal|last=Hendricks|first=J. E.|title=Answer to Mr. Heal's Query; T. P. Stowell of Rochester, N. Y.|journal=The Analyst: A Monthly Journal of Pure and Applied Mathematicus |volume=1|year=1874|pages=94–95|url=https://books.google.com/books?id=q3IKAAAAIAAJ&q=onepage&pg=RA3-PA94}} [https://books.google.de/books?id=q3IKAAAAIAAJ&pg=RA3-PA64&dq=onepage&f=false#v=onepage&q&f=false Query, by W. E. Heal, Wheeling, Indiana] p. 64; accessdate 30 April 2017</ref>

''"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo."''
''Dibujar el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tomar OQ igual a la mitad, y OD igual a la octava parte del radio: hacer que DE y DF sean cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente igual a EQ y FQ; tomar OK una media proporcional entre OH y OQ, y a través de K, dibujar KM paralelo a AB, encontrando el semicírculo descrito en OG en M; dibujar MN paralela a OC, cortando el círculo dado en N; el arco AN es la decimoséptima parte de toda la circunferencia".

{|
||[[File:01 Siebzehneck-1806.svg|400px|thumb|center|Construcción según<br />
''"enviado por T. P. Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818"''.<br />
Agregado: ''"tomar OK como la [[Teorema de la media geométrica |media proporcional]] entre OH y OQ"'']]
||[[File:01 Siebzehneck-1818-Animation.gif|535px|thumb|center|Construcción según<br />
''"enviado por T. P. Stowell, acreditado a Leybourn's Math. Repository, 1818"''.<br />
Agregado: ''"tomar OK como la media proporcional entre OH y OQ"''<br />Animación]]
|}
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El siguiente diseño simple proviene de Herbert William Richmond del año 1893:<ref>Herbert W. Richmond, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN600494829_0026&DMDID=DMDLOG_0030&LOGID=LOG_0035&PHYSID=PHYS_0218 description "A Construction for a regular polygon of seventeen side"] [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN600494829_0026&DMDID=DMDLOG_0040&LOGID=LOG_0046&PHYSID=PHYS_0301 illustration (Fig. 6)], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: pp. 206–207. Retrieved 4 December 2015</ref>
 
:: ''"SEAN OA, OB (fig. 6) dos radios perpendiculares de un círculo. Hacer OI un cuarto de OB, y el ángulo OIE un cuarto de OIA; también encuentrar en OA un punto F tal que EIF es 45°. Sea el círculo en AF el diámetro de corte OB en K, y sea el círculo cuyo centro es E y su radio EK corte OA en N<sub>3</sub> y N<sub>5</sub>; entonces si las ordenadas N<sub>3</sub>P<sub>3</sub>, N<sub>5</sub>P<sub>5</sub> se dibujan en el círculo, los arcos AP<sub>3</sub>, AP<sub>5</sub> serán 3/17 y 5/17 de la circunferencia."''

* El punto N<sub>3</sub> está muy cerca del punto central del [[Teorema de Tales]] sobre AF.
{|
||[[File:01-Siebzehneck-Richmond.svg|400px|thumb|center|Construcción según H. W. Richmond]]
||[[File:01.Siebzehneck-Animation-Richmond.gif|400px|thumb|center|Construcción según to H. W. Richmond. Animación]]
|}
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La siguiente construcción es una variante de la construcción de H. W. Richmond:

Las diferencias con la original son:
* El círculo k<sub>2</sub> determina el punto H en lugar de la bisectriz w<sub>3</sub>.
* El círculo k<sub>4</sub> alrededor del punto G'(simétrico del punto G en m) produce el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción de la tangente.
*Algunos nombres han sido cambiados.
{|
||[[File:01-Siebzehneck-Variation.svg|x400px|thumb|center|Heptadecágono según H. W. Richmond, pero con una variación de la forma de obtener el punto N]]
||[[File:Regular Heptadecagon Inscribed in a Circle.gif|mini|x400px|center|Otra construcción del heptadecágono regular con regla y compás<br />&nbsp;]]
|}
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Otra construcción más reciente la da Callagy.<ref name=Callagy/>

==Simetría==
[[File:Symmetries of heptadecagon.png|thumb|200px|Simetrías de un heptadecágono regular. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Los ejes de simetría azules se dibujan a través de vértices y bordes. Los órdenes de giro figuran en el centro]]

El heptadecágono regular posee [[Grupo diedral|simetría diedral]] <math>D_{17}</math>, de orden 34. Dado que 17 es un [[número primo]], los únicos subgrupos de <math>D_{17}</math> son: <math>\{e\}</math>, <math>C_2</math>, <math>C_{17}</math> y <math>D_{17}</math>. Estas 4 simetrías se pueden distinguir en 4 simetrías distintas en el heptadecágono.

[[John Horton Conway|John Conway]] clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letra '''r''' al grupo de simetría de la figura regular; y en el caso de los subgrupos utilizó la letra '''d''' (de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices; '''p''' para figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados; '''i''' para figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; y '''g''' para aquellas figuras solo con simetría rotacional. Con '''a1''' se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría. Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)</ref> Solo el subgrupo '''g17''' no tiene grados de libertad, pero puede verse como un [[grafo dirigido]]. (Véase un ejemplo en la [[John Horton Conway#Teoría de grupos|Teoría de grupos de John Conway]])
{{Clear}}

==Polígonos relacionados==
===Heptadecagramos===
Un heptadecagrama es un [[estrella (figura geométrica)|estrella]] de 17 lados. Hay siete formas regulares dadas por los [[Símbolo de Schläfli|símbolos de Schläfli]]: {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17/8}. Dado que 17 es un número primo, todos son estrellas regulares y no figuras compuestas.
{| class=wikitable
|- align=center
! Imagen
|[[ File:Regular star polygon 17-2.svg|120px]]<br />{17/2}
|[[ File:Regular star polygon 17-3.svg|120px]]<br />{17/3}
|[[ File:Regular star polygon 17-4.svg|120px]]<br />{17/4}
|[[ File:Regular star polygon 17-5.svg|120px]]<br />{17/5}
|[[ File:Regular star polygon 17-6.svg|120px]]<br />{17/6}
|[[ File:Regular star polygon 17-7.svg|120px]]<br />{17/7}
|[[ File:Regular star polygon 17-8.svg|120px]]<br />{17/8}
|- align=center
! Ángulo interior
| ≈137.647°
| ≈116.471°
| ≈95.2941°
| ≈74.1176°
| ≈52.9412°
| ≈31.7647°
| ≈10.5882°
|}

===Polígonos de Petrie===
El heptadecágono regular es el [[polígono de Petrie]] para un politopo convexo regular de mayor dimensión, proyectado según una [[operador de proyección|proyección]] oblicua:

{| class=wikitable
|- align=center
|[[ File:16-simplex t0.svg|150px]]<br />[[símplex]] (16D)
|}

==Referencias==
{{reflist}}

==Lecturas relacionadas==
*{{cite journal |last=Dunham |first=William |authorlink=William Dunham (mathematician) |date=September 1996 |title=1996—a triple anniversary |journal=[[Math Horizons]] |volume=4 |pages=8–13 |doi=10.1080/10724117.1996.11974982 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3057 |accessdate=2009-12-06 |fechaarchivo=13 de julio de 2010 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20100713044448/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3057 |deadurl=yes }}
*[[Felix Klein|Klein, Felix]] et al. ''Famous Problems and Other Monographs''. – Describes the algebraic aspect, by Gauss.

==Enlaces externos==
{{Commons category|17-gons}}
*{{MathWorld|title=Heptadecagon|urlname=Heptadecagon}} Contains a description of the construction.
*[https://www.mathpages.com/home/kmath487.htm Constructing the Heptadecagon] 
*[http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html Heptadecagon trigonometric functions]
*[http://www.SolarUK.net heptadecagon building] New R&D center for SolarUK
*[http://news.bbc.co.uk/1/hi/england/7911406.stm BBC video] of New R&D center for SolarUK
*{{cite web|last1=Eisenbud|first1=David|authorlink=David Eisenbud|title=The Amazing Heptadecagon (17-gon)|url=https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8|publisher=[[Brady Haran]]|accessdate=2015-03-02|format=Video}}
*[https://books.google.com/books?id=ugBDAAAAIAAJ&lpg=PA194&ots=eu5YMWxvXz&dq=heptadecagon&pg=PA194#v=onepage&q=heptadecagon&f=false heptadecagon]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Polígonos]]
[[Categoría:Geometría euclidiana plana]]
[[Categoría:Polígonos construibles]]
[[Categoría:Polígonos por el número de lados]]