Ver el código de «Hexágono»

{{otros usos|Hexágono (desambiguación)}}
{{Ficha de polígono
| nombre      = Hexágono
| imagen      = [[Archivo:06-L Hexágono.svg|240px]]
| pie         = Un hexágono regular
| tipo        = [[Polígono regular]]
| lados       = 6
| simetría    = <math>D_6</math>, orden 2x6
| vértices    = 6
| Schläfli    = {6}, t{3} (hexágono regular)
| Coxeter     = {{DCD|node_1|6|node}}<br />{{DCD|node_1|3|node_1}}
| dual        = '''Autodual'''
| área        = <math>A = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2</math><br />(radio <math>R</math>) 
| ángulo      = 120°
| propiedades = [[Polígono convexo|Convexo]], [[Figura isogonal|isogonal]], [[Circunferencia circunscrita|cíclico]]
}}
[[File:Regular polygon 6 annotated.svg|mini|Un hexágono regular y sus ángulos principales]]
[[Archivo:A 2-dimensional polytope.svg|thumb|Hexágono irregular]]

En [[geometría]] plana elemental, un '''hexágono'''<ref>{{cita DPD|hexágono}}</ref><ref>{{DRAE|hexágono}}</ref> o '''exágono''' (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en la [[Diccionario de la lengua española|RAE]]) es un [[polígono]] de [[seis]] [[segmento|lados]] y seis [[vértice (geometría)|vértice]]s. Su nombre deriva del [[griego antiguo|griego]] ἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

== Propiedades ==
Un hexágono tiene:

* 6 [[vértice (geometría)|vértice]]s y [[arista (geometría)|lados]].
* 9 [[Diagonal#Número de diagonales de un polígono|diagonal]]es.
* La suma de los [[ángulo interior#Suma de los ángulos interiores de un polígono|ángulos internos]] de un hexágono es 720 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>4\pi</math> [[radián|radianes]].

== Parhexágono ==
Siguiendo el hilo de un [[paralelogramo]], un '''parhexágono''' o '''parexágono''' es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.<ref>Kasner- Newman. ''Matemáticas e maginación''. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)</ref>

=== Proposición ===
Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.<ref>Kasner-Newman. Op. cit.</ref>

== Hexágono regular ==
[[Archivo:Sechseck-Zeichnung.svg|thumb|Medidas del hexágono regular]]
{{multiple image
| align = right
| image1 = Regular Hexagon Inscribed in a Circle.gif
| width1 = 240 
| alt1 = 
| caption1 = Animación paso a paso de la construcción de un hexágono regular con [[regla y compás]], según la obra de [[Euclides]] ''[[Elementos de Euclides|Elementos]]'', Libro IV, Proposición 15: esto es posible porque 6 <math>=</math> 2 × 3, producto de una potencia de dos y [[Número de Fermat| números de Fermat]] distintos.
| image2 = 01-Sechseck-Seite-vorgegeben-wiki.svg
| width2 = 263
| alt2 = 
| caption2 = Cuando se da la longitud lateral {{Overline|AB}}, al trazar un arco de círculo desde el punto A y el punto B se obtiene la intersección M, el centro de la [[circunferencia circunscrita]]. Trasladar el [[segmento]] de recta {{Overline|AB}} cinco veces sobre la circunferencia circunscrita y unir los segmentos.
| footer = 
}}
El [[polígono regular|hexágono regular]] es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales, siempre dividido en triángulos simétricos o asimétricos.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:
* Sus [[ángulo interno|ángulos internos]] son [[Ángulos congruentes|congruentes]] midiendo 120° o <math>\frac{2\pi}{3}</math> rad. Resultado de <math> A_i = \frac{180(6-2)}{6} </math>
* Cada [[Ángulo exterior de un polígono|ángulo externo]] del hexágono regular mide 60° o <math>\frac{\pi}{3}</math> rad.
* Está íntimamente relacionado con los [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]]:
** Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
** Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
*  Además de los [[cuadrado]]s y los [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]], los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para [[Teselado regular|revestir totalmente]] una superficie plana sin dejar ningún vano.
* Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación <math> z^6 -1 = 0</math> están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el [[plano complejo]], siendo el primer vértice el punto (1,0).<ref> César A. Trejo. ''Variable compleja''</ref>

* Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia.Atendiendo a la figura, <math>r_i</math> sería el radio del círculo inscrito, <math>r_u</math> el radio del círculo circunscrito y <math>a</math> la longitud de un lado. Caben las igualdades:<ref>Edgar de Alencar Filho. ''Exercícios de geometría plana''</ref>

:: <math>a = r_u  </math>, la longitud de un lado es igual al radio del círculo circunscrito.

:: <math>r_i = \cos(30^\circ) r_u</math> , de esta forma se relacionan los radios de las circunferencias, entonces:

:: <math>r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} r_u</math> y podemos concluir que

:: <math> a = \frac{2r_i}{\sqrt{3}}</math>

:: Para una Hexágono regular de círculo circunscrito y longitud de lado <math>r_u = a = 1</math> , el radio de la inscrita sería aproximadamente <math>r_i \approx 0.866</math>

*Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.<ref> Pogorélov. Op. cit. </ref>
=== Perímetro ===
Su [[perímetro]] es seis veces la longitud de su lado.

:<math>P = n\cdot l_n = 6\ l_6</math>, donde n es el número de lados y <math> l_n</math>, la longitud del lado.

El perímetro en función de la [[apotema]] (<math>a_p</math>) es<ref name="pye">{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Calculadora del área y perímetro del hexágono regular |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria2D/area/poligono/hexagono/calculadora-area-perimetro-formulas.html |issn=2659-9899 |fechaacceso= 20 de junio de 2020 |idioma=es |publicación = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>
:<math>P = 4\cdot a_p \cdot \sqrt{3}</math>

Y en función del radio del círculo circunscrito (<math>r_u</math>) es<ref name="pye"></ref>
:<math>P = 6\cdot r_u</math>

=== Área ===
;Área del hexágono regular
Si se conoce la longitud del [[apotema]] ''a<sub>6</sub>'' del polígono, una alternativa para calcular el área es:

:<math>A = \frac{P\cdot a_p}{2} = \frac{6l_6\cdot a_p}{2} = 3l_6 \cdot a_p</math>

o

:<math>A = 2\sqrt{3}\cdot a_p^2 </math>

Si solo conocemos el lado l<sub>6</sub> podemos calcular el área con la siguiente fórmula:
:<math>A = l_6^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}</math>, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

=== Construcción geométrica ===
[[Archivo:Hexaconstruction.gif|right|thumb|250px|Construcción geométrica de un hexágono regular.]]
Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una [[regla y compás]]:

# Dado un [[punto (geometría)|punto]] ''O'' cualquiera, trazar una [[circunferencia]] cuyo [[Radio (geometría)|radio]] sea igual al lado del hexágono a construir;
# Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un [[diámetro]] que cruce ''O'' y ''A''. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como ''D'';
# Apoyando el compás en el punto ''A'', trazar un arco que cruce ''O'', cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como ''B'' y ''F'';
# Apoyando el compás en el punto ''D'', trazar un arco que cruce ''O'', cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como ''C'' y ''E''

== Punto en el plano ==
Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio <math>R</math>, cuyas distancias al [[centroide]] del hexágono regular y a sus seis vértices son <math>L</math> y <math>d_i</math> 
respectivamente, tenemos<ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|doi= 10.26713/cma.v11i3.1420|doi-broken-date= |arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>

:<math> d_1^2 + d_4^2 = d_2^2 + d_5^2 = d_3^2+ d_6^2= 2\left(R^2 + L^2\right), </math>
:<math> d_1^2 + d_3^2+ d_5^2 = d_2^2 + d_4^2+ d_6^2 = 3\left(R^2 + L^2\right), </math>
:<math> d_1^4 + d_3^4+ d_5^4 = d_2^4 + d_4^4+ d_6^4 = 3\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right). </math>

Si <math>d_i</math> son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces<ref name= Mamuka />

:<math>\left(\sum_{i=1}^6 d_i^2\right)^2 = 4 \sum_{i=1}^6 d_i^4 .</math>
== Simetría==
{| class="collapsible collapsed" align=right
! Ejemplo de hexágonos por simetría
|-
|
{| class=wikitable
|- valign=top
!
! [[File:Hexagon_r12_symmetry.png|60px]]<BR>r12<BR>regular
!
|rowspan=3|
!
! [[File:Hexagon_i4_symmetry.png|60px]]<BR>i4
!
|- valign=top
! [[File:Hexagon_d6_symmetry.png|60px]]<BR>d6<BR>[[isotoxal figure|isotoxal]]
! [[File:Hexagon_g6_symmetry.png|60px]]<BR>g6<BR>directed
! [[File:Hexagon_p6_symmetry.png|60px]]<BR>p6<BR>[[isogonal figure|isogonal]]
! [[File:Hexagon_d3_symmetry.png|60px]]<BR>d2
! [[File:Hexagon_g2_symmetry.png|60px]]<BR>g2<BR>general<BR>[[paralelogon]]
! [[File:Hexagon_p2_symmetry.png|60px]]<BR>p2
|- valign=top
!
! [[File:Hexagon_g3_symmetry.png|60px]]<BR>g3
!
!
! [[File:Hexagon_a1_symmetry.png|60px]]<BR>a1
!
|}
|}
[[File:Hexagon reflections.svg|thumb|160px|Las seis líneas de [[simetría de reflexión|reflexión]] de un hexágono regular, con simetría Dih<sub>6</sub> o '''r12''', orden 12.]]
[[File:Regular hexagon symmetries.svg|thumb|250px|Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ('''d''' para diagonal) o aristas ('''p''' para perpendiculares) Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como '''g''' para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa de la forma regular es '''r12''' y ninguna simetría se etiqueta como '''a1'''.]]

El ''hexágono regular'' tiene simetría D<sub>6</sub>. Hay 16 subgrupos. Hay 8 hasta isomorfismo: sí mismo (D<sub>6</sub>), 2 diédricos: (D<sub>3,</sub> D<sub>2</sub>), 4 [[grupo cíclico|cíclico]]: (Z<sub>6</sub>, Z<sub>3</sub>, Z<sub>2</sub>, Z<sub>1</sub>) y el trivial (e).

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. [[John Horton Conway|John Conway]] las etiqueta con una letra y un orden de grupo.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) Las simetrías de las cosas, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono pp. 275-278)</ref> '''r12''' es simetría completa, y '''a1''' no es simetría. '''p6'''', un [[figura isogonal|isogonal]] hexágono construido por tres espejos pueden alternar aristas largas y cortas, y '''d6'''', un [[figura isotoxal|isotoxal]] hexágono construido con longitudes de arista iguales, pero vértices que alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son [[polígono dual|duales]] entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas '''i4''' son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un [[rombo]]  [[Alargamiento (geometría)|elongado]], mientras que '''d2''' y '''p2''' pueden verse como [[Cometa (geometría)|cometas]] alargadas horizontal y verticalmente. Los hexágonos '''g2''', con lados opuestos paralelos, también se denominan [[paralelógono]]s hexagonales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo '''g6''' no tiene grados de libertad pero puede verse como [[Grafo dirigido| arista dirigidas]].

Los hexágonos de simetría '''g2''', '''i4''', y '''r12''', como [[paralelógono]]s pueden teselar el plano euclídeo por traslación. Otros [[Teselado hexagonal| hexágonos pueden teselar el plano]] con diferentes orientaciones.

{| class=wikitable
!p6m (*632)
!cmm (2*22)
!p2 (2222)
!p31m (3*3)
!colspan=2|pmg (22*)
!pg (××)
|-
![[File:Isohedral_tiling_p6-13.svg|120px]]<BR>[[hexagonal tiling|r12]]
![[File:Isohedral_tiling_p6-12.png|120px]]<BR>i4
![[File:Isohedral_tiling_p6-7.svg|120px]]<BR>g2
![[File:Isohedral tiling p6-11.png|120px]]<BR>d2
![[File:Isohedral tiling p6-10.png|120px]]<BR>d2
![[File:Isohedral tiling p6-9.svg|120px]]<BR>p2
![[File:Isohedral tiling p6-1.png|120px]]<BR>a1
|- valign=top al
!Dih<sub>6</sub>
!Dih<sub>2</sub>
!Z<sub>2</sub>
!colspan=3|Dih<sub>1</sub>
!Z<sub>1</sub>
|}

{{-}}

=== Grupos A2 y G2  ===
{| class=wikitable align=right style="text-align:center;"
|-
| [[File:Root system A2.svg|120px]]<BR>A2 group roots<BR>{{Dynkin|node_n1|3|node_n2}}
| [[File:Root system G2.svg|120px]]<BR>G2 group roots<BR>{{Dynkin2|nodeg_n1|6a|node_n2}}
|}
Las 6 raíces del [[grupo de Lie simple]] [[Diagrama de Dynkin#Ejemplo: A2|A2]], representadas por un [[Diagrama de Dynkin]] {{Dynkin|nodo_n1|3|nodo_n2}}, están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del [[Grupo de Lie excepcional#Casos excepcionales|Grupo de Lie excepcional]] [[G2 (matemáticas)|G2]], representadas por un [[Diagrama de Dynkin]] {{Dynkin2|nodeg_n1|6a|node_n2}} también tienen forma hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.
== Disección ==
{| class=wikitable align=right style="text-align:center;"
! [[6-cube]] projection
!colspan=2| disección de 12 rombos
|-
| [[File:6-cube t0 A5.svg|120px]]
| [[File:6-gon rhombic dissection-size2.svg|140px]]
| [[File:6-gon rhombic dissection2-size2.svg|140px]]
|}
[[Coxeter]] afirma que todo [[zonágono]] (un polígono de 2''m'' cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en {{nowrap|{{frac|1|2}}''m''(''m'' - 1)}} paralelogramos.<ref>[[Coxeter]], Recreaciones y ensayos matemáticos, Decimotercera edición, p.141 </ref> En particular, esto es cierto para [[polígono regular]]s con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección de [[polígono de Petrie]] de un [[cubo]], con 3 de 6 caras cuadradas. Otros [[paralelogramo]]s y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de [[Cuboide (geometría)#Cuboide rectangular| Cuboides rectangulares]].
{| class="wikitable collapsible" style="text-align:center;"
!colspan=12| Disección de hexágonos en tres rombos y paralelogramos
|-
!rowspan=3| 2D
! Rombos
!colspan=3| Paralelogramos
|- valign=top
|[[File:Hexagon_dissection.svg|80px]]
|[[File:Cube-skew-orthogonal-skew-solid.png|95px]]
|[[File:Cuboid_diagonal-orthogonal-solid.png|120px]]
|[[File:Cuboid_skew-orthogonal-solid.png|120px]]
|- valign=top
| Regular {6}
|colspan=3| Hexagonal [[paralelógono]]s
|-
!rowspan=3| 3D
!colspan=2| Caras cuadradas 
!colspan=2| Caras rectangulares
|- valign=top
| [[File:3-cube_graph.svg|95px]]
| [[File:Cube-skew-orthogonal-skew-frame.png|95px]]
| [[File:Cuboid_diagonal-orthogonal-frame.png|120px]]
| [[File:Cuboid_skew-orthogonal-frame.png|120px]]
|- valign=top
|colspan=2| [[Cubo]]
|colspan=2| [[Cuboide rectangular]]
|}

== Galería de hexágonos naturales y artificiales ==
<gallery>
Archivo:564X573-Carte France geo verte.png|La Francia continental o parte [[Francia Metropolitana|metropolitana]] de [[Francia]] recibe el sobrenombre de Hexágono (''{{lang|fr|l'Hexagone}}'' en francés), por tener una forma vagamente hexagonal.
Archivo:Carapax.svg|Los escudos del [[Caparazón (tortuga)|caparazón]] de una [[Testudines|tortuga]] están conformados por hexágonos.
Archivo:PIA20513 - Basking in Light.jpg|En el polo norte de [[Saturno (planeta)|Saturno]] se encuentra un patrón de nubes formando un [[Hexágono de Saturno|hexágono]].
Archivo:Hexaschach.jpg|El [[ajedrez hexagonal]] de Władysław Gliński.
Archivo:Chinese pavilion.jpg|Los pabellones de estilo chino en los jardines botánicos tienen una estructura hexagonal.
Archivo:Reading the Hexagon Theatre.jpg|[[El hexágono (Teatro)|El hexágono]] es un teatro de arquitectura de tipo hexagonal ubicada en [[Reading]], [[Reino Unido]].
Archivo:HexagonalBarnKewauneeCountyWisconsinWIS42.jpg|Un granero hexagonal.
Archivo:Fort-Jefferson Dry-Tortugas.jpg|Vista aérea del [[Parque nacional Tortugas Secas]].
Archivo:Mustosen talon ikkuna 1870 1.jpg|Ventana hexagonal de una casa.
Archivo:Order and Chaos.tif|Una imagen de burbujas ordenadas la una a la otra da la ilusión de ver hexágonos.
Archivo:Hanksite.JPG|La [[hanksita]], de uno de los muchos minerales del [[sistema cristalino hexagonal]]
Archivo:Honey comb.jpg|Los [[Panal|panales]] están construidos con formas hexagonales.
Archivo:Giants causeway closeup.jpg|Columnas de basalto formadas naturalmente de la [[Calzada del Gigante]] en [[Irlanda del Norte]]; las masas grandes deben enfriarse lentamente para formar un patrón de fractura poligonal.
Archivo:Snowflake 300um LTSEM, 13368.jpg|La [[micrografía]] de un [[Copo de nieve de Koch|copo de nieve]].
Archivo:Graphen.jpg|La estructura cristalina del [[Grafeno]] está formada por una rejilla de hexágonos.
Archivo:Benzene-aromatic-3D-balls.png|El [[benceno]], es un [[Hidrocarburo aromático|compuesto aromático]] con forma hexagonal.
Archivo:Hexa-peri-hexabenzocoronene ChemEurJ 2000 1834 commons.jpg|Estructura cristalina de un [[Coronene|hexágono molecular]] compuesto por anillos aromáticos hexagonales.
Archivo:Assembled E-ELT mirror segments undergoing testing.jpg|Segmentos de espejo [[Telescopio Extremadamente Grande|E-ELT]] ensamblados.
Archivo:Jwst front view.jpg|El espejo del [[telescopio espacial James Webb]], está compuesto por 18 segmentos hexagonales. 
</gallery><br />

== Véase también ==
{{lista de columnas|4|
* [[Figura geométrica]]
* [[Polígono (geometría)|Polígono]]
* [[Polígono regular]]
* [[Polígono irregular]]
* [[Triángulo]]
* [[Cuadrado]]
* [[Pentágono]]
* [[Heptágono]]
* [[Octógono]]
* [[Eneágono]]
* [[Decágono]]
* [[Circunferencia]]
}}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Hexagons|hexágonos}}
{{wikcionario|hexágono}}
*[http://www.mathopenref.com/hexagon.html Definition and properties of a hexagon] with interactive animation and [http://www.mathopenref.com/consthexagon.html construction with compass and straightedge].
*[https://hexnet.org/content/hexagonal-geometry An Introduction to Hexagonal Geometry] on [https://web.archive.org/web/19980204100717/http://www.hexnet.org/ Hexnet] a website devoted to hexagon mathematics.
*{{Youtube|thOifuHs6eY|Hexagons are the Bestagons}} – an [[animation|animated]] [[internet video]] about hexagons by [[CGP Grey]].

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Polígonos]]
[[Categoría:Polígonos construibles]]
[[Categoría:Formas elementales]]
[[Categoría:Polígonos por el número de lados]]