Ver el código de «Hipérbola»

{{distinguir|Hipérbole}}
[[Archivo:Hyperbola properties.svg|280px|thumb|Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), '''C'''. Los dos puntos focales se denominan '''F'''<sub>1</sub> y '''F'''<sub>2</sub>, la línea negra que une los vértices es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, '''D'''<sub>1</sub> y '''D'''<sub>2</sub>. La excentricidad '''e''' (e>1), es similar al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto '''P''' de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±'''a''' con respecto al centro.]]

Una '''hipérbola''' (del [[griego antiguo|griego]] ὑπερβολή) es una [[curva]] abierta de dos ramas, obtenida [[sección cónica|cortando]] un [[Cono (geometría)|cono]] recto o de revolución mediante un plano oblicuo no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la [[generatriz]] respecto del eje de revolución.<ref>Si el ángulo del plano de intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la [[generatriz]] y el eje de revolución, la intersección será una [[elipse]]. Será una [[Parábola (matemática)|parábola]] si es paralelo al citado eje, y una [[circunferencia]] si es perpendicular al eje.</ref> 

En [[geometría analítica]], una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados [[Foco (geometría)|focos]], es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.<ref>{{DRAE|hipérbola}}</ref> Siendo esta constante menor a la distancia entre los focos.

== Etimología ==
[[Archivo:Conic Sections.svg|lang=es|thumb|Secciones cónicas.]]

«Hipérbola» proviene de la palabra [[idioma griego|griega]] ὑπερβολή (''exceso''), y es [[cognado]] del término literario «[[hipérbole]]».

== Historia ==
[[Archivo:Cono - hipérbola.svg|thumb|Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.]]

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por el [[geómetra]] y [[matemático]] griego [[Menecmo]] (380{{esd}}a.{{esd}}c.-320{{esd}}a.{{esd}}c.), en su estudio del problema de la [[duplicación del cubo]],<ref name="Heath">{{cita libro | apellidos = Heath | nombre = Sir Thomas | título = A history of Greek Mathematics vol. 1 |idioma=en| año = 1921 | editorial = Londres, Inglaterra: [[Oxford University Press]] | id = {{OCLC|2014918}} }}</ref> mediante el cual demostró la existencia de una solución usando el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por los también geómetras [[Proclo]] y [[Eratóstenes]].<ref>{{cita web |url=http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers1999/schmarge.html |título=Conic Sections in Ancient Greece |fechaacceso=2 de junio de 2008 |autor=Ken Schmarge | idioma=en}}</ref>

Sin embargo, el primero en usar el vocablo «hipérbola» fue [[Apolonio de Perge]] en su tratado ''Cónicas'',<ref>{{cita web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius.html|título=Apollonius of Perga|fechaacceso=2 de junio de 2008|autor=O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick|idioma=inglés}}</ref> considerada la obra cumbre sobre el tema de la matemática griega, y donde se desarrolla el estudio de las [[Tangente (geometría)|tangentes]] a las secciones cónicas.

== Ecuaciones de la hipérbola ==

=== Ecuaciones canónicas en [[coordenadas cartesianas]] ===
La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas <math>O(0, 0) \,</math>es representable mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:

{{Ecuación|<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1\Rightarrow  b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2</math>|1|center}}
o 
{{Ecuación|<math>\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2} = 1\Rightarrow  b^2y^2-a^2x^2=a^2b^2</math>|2|center}}

En dichas ecuaciones <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, representan a los semiejes transverso, conjugado y focal, respectivamente. La ecuación {{Eqnref|1}} representa a las hipérbolas cuyo eje focal es colineal al eje <math>x</math> y la {{Eqnref|2}} para aquellas que lo son respecto al eje <math>y</math>. En la primera ecuación, los focos están en <math>F(\pm c, 0)</math> y los vértices en <math>V(\pm a,0)</math>. En la segunda, los focos están en <math>F(0, \pm c)</math> y los vértices en <math>V(0, \pm a)</math>. En cualquier caso, la relación entre los tres semiejes viene dada por la igualdad:

{{Ecuación|<math>c^2=a^2+b^2</math>|3}}Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente <math>a>b</math>.

===Ecuaciones de una hipérbola con centro en el punto <math>C(h, k)</math> ===
Como en el caso anterior, la ecuación asume una de las siguientes formas:

{{Ecuación|<math>\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 </math>|4}}
o 
{{Ecuación|<math>\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 </math>|5}}
    
La ecuación {{Eqnref|4}} corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos al eje <math>x</math>, en las cuales el vértice se halla en <math>V(h \pm a, k)</math> y los focos en <math>F(h \pm c, k)</math>. La ecuación {{Eqnref|5}} es la de las hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos respecto al eje <math>y</math> en las cuales los vértices están ubicados en <math>V(h, k \pm a)</math> y los focos en <math>F(h, k \pm c)</math>.

==Excentricidad==
[[File:Conic sections ani.gif|thumb|Secciones cónicas.]]
La excentricidad <math>e</math> de una hipérbola es un valor definido como:
:<math>e=\frac{c}{a}</math>
donde:

<math>c</math> representa la mitad de la distancia del eje focal.<br>
<math>a</math> representa la mitad de la distancia del eje mayor.<br>

Ya que <math>c</math> es un valor mayor que <math>a</math>, la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que 1.

==Ecuación general de la hipérbola==
La ecuación general de una hipérbola es la siguiente:
{{Ecuación|<math>Ax^2-Cy^2+Dx+Ey+F=0</math>|5|center}}

Si los coeficientes <math>A</math> y <math>C</math> son de signos diferentes, no nulos y <math>A>0</math> y <math>C>0</math>, entonces {{Eqnref|5}} representa la ecuación general de una hipérbola cuyos ejes son paralelos o colineales a los ejes coordenados o un par de rectas que se cortan.<ref>{{Cita libro|apellidos=Lehmann|nombre=Charles H.|enlaceautor=|título=Geometría Analítica|url=|fechaacceso=|año=1988|editorial=Editorial Limusa S.A. de C.V.|isbn=9681811763|editor=|ubicación=Ciudad de México|página=|idioma=|capítulo=|traductores=Rafael García Díaz y Marcelo Santaló Sors}}</ref>

===Demostración===
En la ecuación {{Eqnref|5}} son separadas las variables en <math>x</math> y <math>y</math> convirtiendo a <math>A</math> y <math>C</math> en factores comunes:

{{Ecuación|<math>A\left(x^2+\frac{D}{A}x\right)-C\left(y^2-\frac{E}{C}y\right)=-F</math>|6|center}}
Mediante la [[completación de cuadrados]] se reescribe la ecuación anterior como:
{{Ecuación|<math>A\left(x^2+\frac{D}{A}x+\frac{D^2}{4A^2}\right)-C\left(y^2-\frac{E}{C}y+\frac{E^2}{4C^2}\right)=\frac{D^2}{4A}-\frac{E^2}{4C}-F</math>|7|center}}

Ahora se convierten los trinomios de la izquierda en binomios notables:
{{Ecuación|<math>A\left(x+\frac{D}{2A}\right)^2-C\left(y-\frac{E}{2C}\right)^2=\frac{D^2}{4A}-\frac{E^2}{4C}-F</math>|8|center}}
Se convierte el término de la derecha a una constante denominada <math>t</math>. De acuerdo al valor de <math>t</math>, se presentan los siguientes casos:

# Si <math>t>0</math>, los ejes transverso y focal de la curva son paralelos o colineales al eje <math>x</math>.
# Si <math>t<0</math>, los ejes transverso y focal de la curva son paralelos o colineales al eje <math>y</math>.
# Si <math>t=0</math>, la ecuación representa a dos rectas que se cortan.

Cualquiera que sea el caso, el centro de la hipérbola o el punto de intersección de las dos rectas es siempre <math>C\left(-\frac{D}{2A}, \frac{E}{2C}\right)</math>.

==Ecuación de la hipérbola en su forma compleja==

Una hipérbola en el [[plano complejo]] es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos <math>z\,</math>, en el plano <math>Re Im\,</math>; tales que, cualquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias <math>|z-w_1|-|z-w_2|\,</math>, a dos puntos fijos llamados focos <math>w_1\,</math> y <math>w_2\,</math>, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea <math>2l\,</math> ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal:

: <math>|z-w_1|-|z-w_2|=2l\,</math> 

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los [[números complejos]].

== Ecuaciones en [[coordenadas polares]] ==

[[Archivo:Drini-conjugatehyperbolas.png|thumb|250px|Dos hipérbolas y sus [[asíntotas]] en [[coordenadas cartesianas]].]] 

''Hipérbola abierta de derecha a izquierda:'' [[Archivo:Hyperbola2.png|80px]]
:<math>r^2 =a\sec 2\theta \,</math>

''Hipérbola abierta de arriba abajo:''
:<math>r^2 =-a\sec 2\theta \,</math>

''Hipérbola abierta de noreste a suroeste:'' [[Archivo:Giperbola-ravnoboch.png|80px]]
:<math>r^2 =a\csc 2\theta \,</math>

''Hipérbola abierta de noroeste a sureste:''
:<math>r^2 =-a\csc 2\theta \,</math>

Hipérbola con origen en el foco derecho:

<math>r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1-\varepsilon\cos\theta}</math>

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

<math>r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1+\varepsilon\cos\theta}</math>

== Ecuaciones paramétricas ==
''Hipérbola abierta de derecha a izquierda:''
:<math>\begin{matrix}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}\;\; t \in\,]-\pi/2,\; \pi/2[\,\cup\, ]\pi/2,\; 3\pi/2[ \;\;\mbox{(un intervalo para cada rama)}
</math>

o

<math>\begin{matrix}
 x = \pm a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}\;\; t \in\,]-\pi/2,\; \pi/2[ \;\mbox{(un signo para cada rama)}
</math>

''Más manejable ''  es la parametrización

<math>r(t)=( a\cosh(t),\;\pm b\sinh(t)), \; t \in\, \R
</math> (un signo para cada rama). 

En este caso el vértice en cada rama es <math>r(0)</math> y los puntos <math>r(t)</math> y <math>r(-t)</math> son simétricos respecto al eje focal. En particular podemos graficar una parte de cada rama usando cualquier intervalo: <math>t \in\,[-s,\;s]</math>, por ejemplo <math>t \in\,[-1,\;1]</math>

''Hipérbola abierta de arriba abajo:''
:<math>\begin{matrix}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{matrix}
</math>

También 

<math>r(t)=( a\sinh(t),\;\pm b\cosh(t)), \; t \in\, \R
</math>.  

En este caso el vértice en cada rama es <math>r(0)</math> y los puntos <math>r(t)</math> y <math>r(-t)</math> son simétricos respecto al eje focal.

En todas las fórmulas <math>h</math> y <math>k</math> son las abcisa y ordenada, respectivamente, del centro de la hipérbola, <math>a</math> es la longitud del [[semieje mayor]], <math>b</math> es la longitud del [[semieje menor]].

== Parámetros focales de la hipérbola ''y=1/x'' ==
{{VT|Hipérbola unitaria}}
[[Archivo:Hipérbola focal.png|thumb|250px|Correspondencia entre la hipérbola equilátera <math>y = 1/x</math> y su forma focal <math>x'^2/2-y'^2/2 = 1</math>]]

Para determinar los parámetros focales de una hipérbola equilátera definida según la ecuación:

:<math>y = 1/x</math>

se puede aplicar una operación matricial que permite modificar las coordenadas de un conjunto de puntos del plano cuando se les aplica un giro <math>\theta</math>:

:<math>\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  \sen\theta \\ -\sen \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>

Como la hipérbola equilátera <math>y = 1/x</math> está girada con respecto al eje x según un ángulo <math>\theta=45\text{°}</math>, la matriz de transformación toma la forma:

:<math>\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 &  \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}</math>

Partiendo de la ecuación de la hipérbola equilátera <math>y = 1/x</math>, la transformación pasa a ser:

:<math>\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 &  \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 1/x \end{bmatrix}</math>

Operando la matriz, resulta:
:<math>x' = \sqrt{2}/2\,(x + 1/x)</math>
:<math>y' = \sqrt{2}/2\,(-x + 1/x)</math>

Calculando <math>x'^2-y'^2</math>, se tiene que:
:<math>x'^2-y'^2 = 2/4\,[(x^2+1/x^2+2)-(x^2+1/x^2-2)] = 2</math>

de donde se deduce que:
:<math>x'^2/2-y'^2/2 = 1</math>

De acuerdo con la notación focal, se tiene que la hipérbola equilátera <math>y = 1/x</math> tiene semiejes de valor <math>a = b = \sqrt{2}</math>, y la distancia de sus focos al origen es:
:<math>c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2+2} = 2</math>
Dado que los focos se encuentran en la recta de simetría <math> y = x</math> (inclinada 45°) que corta la hipérbola equilátera <math>y = 1/x</math>, sus coordenadas proyectadas sobre los ejes son:

:<math>f_1= 2\,(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})</math>
:<math>f_2= 2\,(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2) = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})</math>

== Elementos de la hipérbola ==
[[Archivo:Hyperbola (PSF).svg|thumb|Obtención de una hipérbola mediante la sección de un cono doble.]]
=== Eje transversal o transverso ===
Se le denomina al segmento rectilíneo donde se encuentran los focos y los vértices de la hipérbola. Su valor es <math>2a</math> y es perpendicular al eje conjugado.

===  Eje conjugado ===
Es el segmento rectilineo que pasa por el centro de la hipérbola y que es perpendicular o normal al eje transversal y cuya longitud es de <math>2b</math>.

===  Eje focal  ===
Es el segmento rectilineo cuyos extremos son los focos de la hipérbola y cuya longitud es de <math>2c</math>. Este eje es colineal con el eje transversal.

=== Asíntotas ===
Son las rectas que se intersecan en el centro de la hipérbola y se acercan a las ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas aplicables a las ecuaciones {{Eqnref|1}} y {{Eqnref|2}} son, respectivamente: 

<math>
\left\{\begin{array}{llr}
    y&=&\displaystyle \pm \frac{b}{a}x \\ \\
    y&=&\displaystyle \pm \frac{a}{b}x
\end{array}
\right. 
</math>

Las asíntotas de las hipérbolas representadas por las ecuaciones {{Eqnref|4}} y {{Eqnref|5}} son expresadas, respectivamente, igualando estas a cero, como sigue:<ref>{{Cita libro|apellidos=Zill|nombre=Dennis|título=Álgebra, trigonometría y geometría analítica|año=2012|editorial=McGraw-Hill/Interamericana Editores S.A. de C.V.|isbn=9786071507143|editor=López Hernández, Sergio|ubicación=Ciudad de México.|página=499|capítulo=11. Temas de Geometría Analítica|apellidos2=Dewar|nombre2=Jacqueline|traductor=Carril Villarreal, María del Pilar}}</ref>

<math>
\left\{\begin{array}{lr}
    \displaystyle\left(\frac{x-h}{a}-\frac{y-k}{b}\right)\left(\frac{x-h}{a}+\frac{y-k}{b}\right)=0 \\ \\
    \displaystyle\left(\frac{y-k}{a}-\frac{x-h}{b}\right)\left(\frac{y-k}{a}+\frac{x-h}{b}\right)=0
\end{array}
\right. 
</math>

=== Vértices ===
Los vértices de una hipérbola son los puntos que son los extremos de su eje transversal.
Un vértice es un punto de intersección en el que se encuentran dos o más líneas o segmentos de línea. En matemáticas y geometría, los vértices son elementos fundamentales de las figuras geométricas.

=== Focos ===
Son dos puntos, <math> F_1 \,y\, F_2</math>, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, <math>x</math>, de dicha hipérbola.

:<math>\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=2a</math>

=== Centro ===
Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

=== Tangentes ===
La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.
===Radio de curvatura===
Sea <math>M (x_0, y_0) </math> un punto de la hipérbola, entonces el radio de curvatura de la curva es:<ref name=":0">{{cita libro|apellidos=Bronshtein|nombre=Ilya|enlaceautor=|título=Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes|url=|fechaacceso=|año=1988|fecha=|editorial=Editorial Mir|isbn=9785030006260|editor=|ubicación=Moscú|edición=1a.|página=|idioma=|capítulo=|apellidos2=Semendiaev|nombre2=Konstantin|traductores=Harding Rojas, Inés; Aparicio Bernardo, Emiliano}}</ref>
 
{{Ecuación| <math>R = a^2b^2\left(\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}\right)^\frac{3}{2} = \frac{(r_1\cdot r_2)^{1.5} }{ab}</math>}}

===Áreas===

==== Área comprendida entre una rama de hipérbola y una cuerda que la atraviesa ====
Sea un segmento <math>AMN </math> donde <math>A</math>, es el vértice de una rama y <math>M</math> y <math>N</math> son los extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es:<ref name=":0" /> 
{{ecuación|<math>AMN = x\cdot y -a\cdot b\cdot \ln \left(\frac{x}{a} +\frac{y}{b}\right) = a\cdot b \cdot  \cosh^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)</math>||center}}

==== Área bajo un arco de hipérbola ====
Sea un cuadrilátero curvo <math>OAMG</math>, formado por los puntos <math>O</math> que es el origen de coordenadas; <math>A</math> que es un vértice; <math>M(x, y)</math> que es un punto de la rama de una hipérbola y <math>G</math> un punto sobre una asíntota, tal que el segmento <math>MG</math> es paralelo a la otra asíntota. El área comprendida por los límites de la figura es:<ref name=":0" />
{{ecuación|
<math>OAMG =  \frac{a \cdot b}{4} + \frac{a \cdot b}{2} \cdot \ln \left(\frac{2 OG}{c}\right) </math>
||center}}

===Trisección angular===
[[File:Hyperbola angle trisection.svg|thumb|Trisección de un ángulo (AOB) usando una hipérbola de excentricidad 2 (curva amarilla)]]

Como demostró [[Apolonio de Perge]], se puede usar una hipérbola para [[Trisección del ángulo|trisecar un ángulo]], un problema de geometría bien estudiado. Dado un ángulo, primero se dibuja un círculo centrado en su vértice '''O''', que interseca los lados del ángulo en los puntos '''A''' y '''B'''. A continuación, se traza el segmento con los extremos '''A''' y '''B''' y su bisectriz perpendicular <math>\ell</math>. Constrúyase una hipérbola de [[Excentricidad (matemática)|excentricidad]] ''e''=2 con <math>\ell</math> como [[Sección cónica|directriz]] y '''B''' como foco. Sea '''P''' la intersección (superior) de la hipérbola con el círculo. El ángulo '''POB''' triseca el ángulo '''AOB'''.

Para probar esto, reflejar el segmento '''OP''' sobre la línea <math>\ell</math> para obtener el punto '''P''' como la imagen de '''P'''. El segmento '''AP''' tiene la misma longitud que el segmento '''BP''' debido a la reflexión, mientras que el segmento '''PP''' tiene la misma longitud que el segmento '''BP''' debido a la excentricidad de la hipérbola. Como '''OA''', '''OP''', '''OP''' y '''OB''' son todos radios del mismo círculo (y por lo tanto, tienen la misma longitud), los triángulos '''OAP''', '''OPP''' y '''OPB''' son todos congruentes. En consecuencia, el ángulo se ha trisecado, ya que 3×'''POB'''='''AOB'''.<ref> Esta construcción es debida a [[Papo de Alejandría]] (hacia el 300 d.C.) y la demostración figura en {{harvtxt|Kazarinoff|1970|loc=pg. 62}}.</ref>

== Otras propiedades ==
[[File:Lemniskate hyperbel.svg|mini|Relación de [[inversión (geometría)|inversión]] entre la hipérbola y la [[lemniscata de Bernouilli]]]]

* La [[inversión (geometría)|inversión]] de una hipérbola equilátera es una [[lemniscata de Bernouilli]] y viceversa.
* La lemniscata de Bernouilli es la [[podaria]] de una hipérbola equilátera.

== Véase también ==
* [[Geometría analítica]]
* [[Sección cónica]]
* [[Recta]]
* [[Circunferencia]]
* [[Elipse]]
* [[parábola (matemática)|Parábola]]
* [[Esferas de Dandelin]]
* [[Hipérbola unitaria]]
* [[Hiperbólico]]

== Referencias ==

{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{citation |last=Kazarinoff |first=Nicholas D. |title=Ruler and the Round |year=2003 |publisher=Dover |location=Mineola, N.Y. |isbn=0-486-42515-0}} 

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Hyperbolas}}
* [http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_Hip%C3%A9rbola Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre hipérbola]
* [https://web.archive.org/web/20111012051005/http://stefanelli.eng.br/webpage/es_hiperbola.html Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola]
* [https://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=196&bodyId=204 Apollonius' Derivation of the Hyperbola] at [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
* {{planetmath reference|id=5996|title=Unit hyperbola}}
* {{planetmath reference|id=3584|title=Conic section}}
* {{planetmath reference|id=6241|title=Conjugate hyperbola}}
* {{MathWorld |id=Hyperbola}}

{{Sectrices}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Secciones cónicas]]