Ver el código de «Hipótesis de Riemann»

[[Archivo:Criticalline.png|thumb|Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(''s'') = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(''s'') = ±14,135, ±21,022 y ±25,011.]]
[[Archivo:Zeta polar.svg|thumb|Un [[Coordenadas polares|gráfico polar]] de zeta, esto es, Re(zeta) vs. Im(zeta), a lo largo de la línea crítica ''s''=''it''+1/2, con ''t'' con valores desde 0 a 34.]]
En [[matemáticas puras]], la '''[[Hipótesis (lógica)|hipótesis]] de Riemann''', formulada por primera vez por [[Bernhard Riemann]] en 1859, es una [[conjetura]] sobre la distribución de los [[cero]]s de la [[función zeta de Riemann]] ζ(''s'').<ref name="Bombieri">{{Obra citada|last=Bombieri|year=2000|first= Enrico|authorlink=Enrico Bombieri|url=http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf|format=PDF|title=The Riemann Hypothesis - official problem description|publisher=[[Clay Mathematics Institute]]|accessdate=21 de febrero de 2011|language=inglés}} Reimpreso en {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.</ref> 

La hipótesis de Riemann, por su relación con la [[teorema de los números primos|distribución de los números primos]] en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.<ref>{{Cita web|url=https://naukas.com/2014/05/26/el-problema-cuya-solucion-quizas-la-conozcan-en-el-cielo/|título=El problema cuya solución quizás la conozcan en el cielo}}</ref> El [[Clay Mathematics Institute|Instituto Clay de Matemáticas]] ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.<ref name="Clay">{{cita web|url= http://www.claymath.org/millennium/|título= The Millennium Prize Problems|fechaacceso= 21 de febrero de 2011|idioma= inglés|fechaarchivo= 8 de enero de 2008|urlarchivo= https://web.archive.org/web/20080108223641/http://www.claymath.org/millennium/|deadurl= yes}}</ref>

La hipótesis de Riemann y algunas de sus generalizaciones, junto con la [[conjetura de Goldbach]] y la [[conjetura de los primos gemelos]], constituyen el [[octavo problema de Hilbert]] en la lista de [[problemas de Hilbert|veintitrés problemas sin resolver]] de [[David Hilbert]]; también es uno de los [[Problemas del milenio]] del [[Instituto Clay de Matemáticas]], que ofrece 1 millón de dólares a quien resuelva cualquiera de ellos. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la [[Función zeta local|hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos]].
== Definición ==

La [[función zeta de Riemann|función zeta]] de Riemann ζ(''s'') está definida en los números complejos como la suma de una [[Serie matemática|serie infinita]] de la siguiente forma:

:<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>

y es convergente cuando la parte real es estrictamente mayor que 1. [[Leonhard Euler]] (que murió 43 años antes de que Riemann naciera) demostró que esta serie equivale al [[producto de Euler]]:

:<math>\zeta(s) = \prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>

donde el [[producto infinito]] se extiende sobre el conjunto de todos los números primos ''p'', y de nuevo converge para los complejos ''s'' cuya parte real sea mayor que 1. La convergencia del producto de Euler muestra que ζ(''s'') no tiene ceros en esta región, puesto que ninguno de los factores tiene ceros.
La hipótesis de Riemann trata de los ceros fuera de la región de convergencia de la suma de la serie descrita anteriormente y del producto de Euler asociado. Para preservar el sentido de esta hipótesis es necesario [[continuación analítica|prolongar analíticamente]] la [[función zeta de Riemann|función zeta]] de Riemann ζ(''s'') de forma que tenga sentido para cualquier valor de s. En particular se puede expresar mediante la siguiente [[ecuación funcional]]:

:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sen\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!</math>

válida para todos los [[número complejo|números complejos]] excepto para ''s'' = 1, donde la función tiene un polo. Como se decía anteriormente, la hipótesis de Riemann trata de los ceros de esta versión de la función zeta extendida analíticamente. Esta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales", para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que ''s'' = −2, ''s'' = −4, ''s'' = −6, ... (todos los enteros pares negativos) son ceros triviales. Así mismo, existen otros valores complejos ''s'', que cumplen la condición 0{{esd}}<{{esd}}Re(''s''){{esd}}<{{esd}}1, para los cuales la función zeta también se anula, son los llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:

{{teorema|tipo=conjetura|La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2}}

Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica ''s'' = ''1/2 + i t'', donde ''t'' es un [[número real]] e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la [[función Z]], cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.

Entonces se puede definir ''ζ''(''s'') para todos los números complejos restantes no nulos ''s'' ({{nowrap|Re(''s'') ≤ 0}} y ''s'' ≠ 0) aplicando esta ecuación fuera de la franja, y dejando que ''ζ''(''s'') sea igual al lado derecho de la ecuación siempre que ''s'' tenga parte real no positiva (y ''s'' ≠ 0).

Si ''s'' es un entero par negativo entonces ''ζ''(''s'') = 0 porque el factor sen(πs/2) desaparece; estos son los ''ceros triviales'' de la función zeta. (Si ''s'' es un entero par positivo este argumento no se aplica porque los ceros de la función [[Seno (trigonometría)|seno]] son anulados por los polos de la [[función gamma]], ya que toma argumentos enteros negativos).

El valor [[1 + 1 + 1 + 1 + ⋯|''ζ''(0)&nbsp;=&nbsp;-1/2]] no viene determinado por la ecuación funcional, sino que es el valor límite de ''ζ''(''s'') a medida que ''s'' se aproxima a cero. La ecuación funcional también implica que la función zeta no tiene ceros con parte real negativa aparte de los ceros triviales, por lo que todos los ceros no triviales se encuentran en la ''franja crítica'' donde ''s'' tiene parte real entre 0 y 1.
<gallery mode="«packed»" heights="«300»">
File:ParametricZeta.svg|Función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica con Re(''s'') = 1/2. Los valores reales se muestran en el eje horizontal y los valores imaginarios en el eje vertical. Re(''ζ''(1/2 + ''it'')), Im(''ζ''(1/2 + ''it'')) se representa con ''t'' entre -30 y 30.<ref>Los valores de ''ζ'' se pueden encontrar calculando, por ejemplo, ''ζ''(1/2&nbsp;-&nbsp;30''i'').({{cite web |last= |first= |date= |title=Inteligencia computacional Wolframalpha |url=https://www.wolframalpha.com/input |access-date=2 octubre 2022 |website=wolframalpha.com |publisher=Wolfram |quote=}}</ref>
File:Riemann3d Re 0.1 to 0.9 Im 1 to 51.ogg|Animación que muestra en 3D la franja crítica de la función zeta de Riemann (azul, donde ''s'' tiene parte real entre 0 y 1), la línea crítica (roja, para parte real de ''s'' igual a 0,5) y los ceros (cruce entre rojo y naranja): [''x'',''y'',''z''] = [Re(''ζ''(''r'' + ''it'')), Im(''ζ''(''r'' + ''it'')), ''t''] con 0.1 ≤ ''r'' ≤ 0.9 y 1 ≤ ''t'' ≤ 51
File:RiemannCriticalLine.svg|Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann ''ζ''(''s'') a lo largo de la recta crítica en el [[plano complejo]] con parte real Re(''s'') = 1/2. Los primeros [[Trivialidad (matemáticas)|no triviales]] ceros, donde ζ(''s'') es igual a cero, ocurren donde ambas curvas tocan el eje horizontal x, para números complejos con partes imaginarias Im(''s'') iguales a ±14,135, ±21,022 y ±25,011.
</gallery>

== Historia ==
{{cita|"...es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien".<br /><br />("…es muy probable que todas las raíces sean reales. Claro que uno desearía tener una demostración rigurosa; Por el momento, tras algunos intentos fugaces en vano, he pospuesto su búsqueda, ya que parece ser prescindible para lograr el objetivo inmediato de mi investigación".)|Afirmación de Riemann sobre la hipótesis de Riemann, de {{harv|Riemann|1859}}. (Aquí habla de una versión de la función zeta de Riemann, modificada para que sus raíces (ceros) sean reales en vez de estar en la línea crítica.)}}Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado ''[[Sobre los números primos menores que una magnitud dada]]'', al desarrollar una [[fórmula explícita]] para calcular la cantidad de primos menores que ''x''. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración. Él sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta ''s'' = 1/2 + ''i t'', y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(''s'') ≤ 1.<ref>{{cita web
|url          = http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/
|título       = Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse
|fechaacceso  = 29 de diciembre de 2008

|autor        = Riemann, Bertrand
|año          = 1859
}}</ref>

En 1896, [[Jacques Hadamard|Hadamard]] y [[de la Vallée-Poussin]] probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(''s'') = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(''s'') < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del [[teorema de los números primos]].

En 1900, [[David Hilbert|Hilbert]] incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los [[Problemas de Hilbert|23 problemas no resueltos]] —es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la [[conjetura de Goldbach]]—. Cuando se le preguntó qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.

En 1914, [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(''s'') = 1/2. Sin embargo, todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.

La mayor parte de la comunidad matemática piensa que la conjetura es correcta, aunque otros grandes matemáticos como [[J. E. Littlewood]] y [[Atle Selberg]] se han mostrado escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de funciones (la [[clase de Selberg]]). Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún [[contraejemplo]]) y en el establecimiento de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).

En septiembre de 2018, [[Michael Atiyah]] –laureado con la [[Medalla Fields]] (1966), entre otros galardones– presentó una fallida [[prueba por contradicción]] de la hipótesis de Riemann en el Heidelberg Laureate Forum 2018 (Alemania).<ref>{{YouTube|jXugkzFW5qY}}</ref>

La motivación original de Riemann para estudiar la función zeta y sus ceros fue su aparición en su fórmula explícita para la [[función contadora de primos|número de primos]] π(''x'') menor o igual que un número dado ''x'', que publicó en su artículo de 1859 «[[Sobre el número de primos menores que una magnitud dada]]». Su fórmula se dio en términos de la función relacionada

:<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi(x^{1/2}) +\tfrac{1}{3} \pi(x^{1/3}) + \tfrac{1}{4}\pi(x^{1/4}) + \tfrac{1}{5} \pi(x^{1/5}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{1/6}) +\cdots </math>

que cuenta los primos y potencias de primos hasta ''x'', contando una potencia de primo ''p''<sup>''n''</sup> como {{frac|1|''n''}}. El número de primos se puede recuperar a partir de esta función utilizando la [[fórmula de inversión de Möbius]],

:<math>\begin{align} 
\pi(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)} n \Pi(x^{1/n}) \\ 
       &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{1/2}) - \frac{1}{3}\Pi(x^{1/3}) - \frac{1}{5}\Pi(x^{1/5}) + \frac{1}{6} \Pi(x^{1/6}) -\cdots, 
\end{align}</math>

donde ''μ'' es la [[función de Möbius]]. La fórmula de Riemann es entonces

:<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log 2 + \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1) \log t}</math>

donde la suma es sobre los ceros no triviales de la función zeta y donde Π<sub>0</sub> es una versión ligeramente modificada de Π que sustituye su valor en sus puntos de [[Discontinuidad (matemáticas)|discontinuidad]] por la media de sus límites superior e inferior:

:<math>\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon) + \Pi(x+\varepsilon)}2. </math>
El sumatorio de la fórmula de Riemann no es absolutamente convergente, pero puede evaluarse tomando los ceros ''ρ'' por orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la [[función integral logarítmica]] (no compensada) dada por el [[valor principal de Cauchy]] de la integral divergente

:<math>\operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t}.</math>

Los términos li(''x''<sup>''ρ''</sup>) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen (para ''x''&nbsp;>&nbsp;1) por continuación analítica en la variable compleja ''ρ'' en la región Re(''ρ'')&nbsp;>&nbsp;0, es decir, deben considerarse como {{nowrap|[[Integral exponencial|Ei]](''ρ'' log ''x'')}}. Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li(''x'') proviene del polo en ''s''&nbsp;=&nbsp;1, considerado como un cero de multiplicidad -1, y los restantes términos pequeños provienen de los ceros triviales. Para algunas gráficas de las sumas de los primeros términos de esta serie véase {{harvtxt|Riesel|Göhl|1970}} o {{harvtxt|Zagier|1977}}.

Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan la [[oscilación]]s de los números primos alrededor de sus posiciones «esperadas». Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta se distribuían simétricamente alrededor de la recta {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2 + ''it'',}} y sabía que todos sus ceros no triviales debían encontrarse en el intervalo {{nowrap|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1}}. Comprobó que algunos de los ceros estaban en la recta crítica con parte real 1/2 y sugirió que todos lo estaban; ésta es la hipótesis de Riemann.

{{cita|''El resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos por ser tan inesperado, ya que conecta dos áreas aparentemente no relacionadas de las matemáticas; a saber, la [[teoría de números]], que es el estudio de lo discreto, y el [[análisis complejo]], que se ocupa de los procesos continuos''. {{harv|Burton|2006|p=376}}}}

== La hipótesis de Riemann y los números primos ==
La formulación tradicional de la hipótesis de Riemann oscurece un poco la importancia real de la conjetura. La función zeta de Riemann tiene una profunda conexión con los números primos y [[Helge von Koch]] demostró en 1901 que la hipótesis de Riemann es equivalente al considerable refinamiento del teorema de los números primos: Existe una constante C > 0 tal que

:<math>\left|\pi(x) - \int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}\right|\le C\,\sqrt{x}\,\ln(x),</math>

para todo ''x'' suficientemente grande, donde π(''x'') es la función contadora de primos y ln(''x'') es el [[logaritmo|logaritmo natural]] de ''x''. [[Lowell Schoenfeld]] mostró que se puede tomar C = 1/(8 π) para todo x ≥ 2657.

Los ceros de la función zeta y los [[números primo]]s satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando [[Análisis armónico|análisis de Fourier]], que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Más aún, si la [[conjetura de Hilbert-Polya]] es cierta, entonces cualquier operador que nos dé las partes imaginarias de los ceros como sus valores propios debe satisfacer:

:<math> \sum_{n}e^{-\beta E_{n}}=\operatorname{tr}[e^{-\beta \hat H}]=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}}, </math>

donde tr es la [[Traza de una matriz|traza]] del operador (suma de sus valores propios), <math> \beta \,</math> es un [[número imaginario]] y <math> \psi (x) \,</math> es la [[función de Chebyshov]] que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras, dicha fórmula es una conclusión de la 'fórmula explícita' de V. Mangoldt.<ref>Explicit formula [http://www.wbabin.net/science/moreta8.pdf http://www.wbabin.net/science/moreta8.pdf] {{Wayback|url=http://www.wbabin.net/science/moreta8.pdf |date=20100619162257 }}</ref> Varios operadores propuestos por [[Carlos Castro Perelman|C. Perelman]], J. Macheca y J. García, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros.

== Cálculo numérico ==
[[Archivo:Riemann zeta function absolute value.png|thumb|250px|Valor absoluto de la función-ζ.]]
* En el año 2004 [[Xavier Gourdon]] verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo, esto no es estrictamente una demostración, numéricamente es más interesante encontrar un contraejemplo, es decir, un valor de cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echaría por los suelos la validez de la conjetura. 

* Hasta el 2005, el intento más serio para explorar los ceros de la función-ζ, es el [[ZetaGrid]], un proyecto de [[computación distribuida]] con la capacidad de verificar billones de ceros por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.

== Repercusiones de la hipótesis de Riemann ==

La hipótesis de Riemann afirma que todos los otros ceros no triviales de la función <math>\zeta</math> (zeta) se encuentran en la recta vertical que pasa por <math>\frac 12</math>, es decir, son números complejos de la forma <math>\frac 12 + it</math>, <math> t \in \R</math>. 

Esta función tiene una profunda conexión con los números primos, donde los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que estos ceros pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Conociendo la relación de los números primos con la función <math>\zeta</math>, las repercusiones que tuvo esta función son algunas de estas:

*<u>Estimadores precisos del término del resto del teorema de los números primos:</u>
Hege von Koch demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente al teorema de los números primos en el cual se enuncia que:

Existe una constante ''C'' tal que: 

{{teorema|tipo=conjetura|<math>C \geq 0 : |\pi(x) - \operatorname{Li} (x)| \leq C \sqrt x \ln x  \quad \forall x \geq 2</math> siendo <math>\pi (x) = \operatorname{card}\{p \leq x : p \text{ primo} \}</math>  la función contadora de primos y <math>\operatorname{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{\ln (t)} dt</math>}}

*<u>Comparación de <math>\pi (x)</math> y Li(''x''):</u>

Para valores de ''x'' pequeños se había demostrado  <math>\pi (x) \leq \operatorname{Li} (x)  </math>, lo que llevó a conjeturar que Li(''x'') era una cota superior estricta de <u><math>\pi (x)</math></u> y por tanto la ecuación <math>\pi (x) - \operatorname{Li} (x)</math> no tenía soluciones reales.

No obstante, en 1914 Littlewood empleó la hipótesis de Riemann para mostrar que la desigualdad <math>\pi (x) \leq \operatorname{Li} (x)</math> se invierte para valores suficientemente grandes de ''x''.

En 1933 Skewes usó la hipótesis de Reimann para mostrar que la desigualdad se invierte para algunos <math>x < 10^{10^{10^{34}}}</math>y en 1955, sin usar la hipótesis, mostró que la desigualdad se invierte para algunos <math>x < 10^{10^{10^{963}}}</math>

* <u>Las distancias entre los números primos consecutivos:</u>

Cramér mostró que la RH implica que existe una constante <math>C : p_{k+1} - p_{k} = C \sqrt {p_k} \log p_k </math> donde <math>p_k </math> es el ''k''-ésimo primo. Existe un resultado mejor que el de Cramér que es enunciado por la siguiente conjetura:

{{teorema|tipo=conjetura|Siempre hay un primo entre <math>n^2</math> y <math>(n+1)^2</math> deberían existir varios lo que implica que <math>p_{k+1} - p_k = C \sqrt{p_k}</math>}}

No obstante, Cramér también conjeturó que la brecha es <math>C(\log p_k)^2</math>.

== Véase también ==
* [[Teorema de los números primos]]
* [[Función contador de números primos]]
* [[Fórmula explícita]]
* [[Teoría analítica de números]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Obra citada |título=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil |apellidos=Artin |nombre=Emil |enlaceautor=Emil Artin |pub-periódica=[[Mathematische Zeitschrift]] |número=1 |volumen=19 |páginas=207–246 |DOI=10.1007/BF01181075 |year=1924 |s2cid=117936362}}
* {{Obra citada |título=Sur les Zéros de la Fonction ''ζ''(''s'') de Riemann |apellidos=Backlund |nombre=R. J. |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image |pub-periódica=C. R. Acad. Sci. Paris |volumen=158 |páginas=1979–1981 |year=1914}}
* {{Obra citada |título=A closure problem related to the Riemann zeta-function |apellidos=Beurling |nombre=Arne |enlaceautor=Arne Beurling |pub-periódica=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] |número=5 |volumen=41 |páginas=312–314 |PMID=16589670 |PMC=528084 |bibcode=1955PNAS...41..312B |DOI=10.1073/pnas.41.5.312 |year=1955 |mr=0070655}}
* {{Obra citada |título=A cell complex in number theory |apellidos=Björner |nombre=Anders |pub-periódica=Advances in Applied Mathematics |número=1–4 |volumen=46 |páginas=71–85 |DOI=10.1016/j.aam.2010.09.007 |year=2011 |arxiv=1101.5704}}
* {{Obra citada |título=Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ''ζ''-Funktion und die ''L''-Funktionen |apellidos=Bohr |nombre=H. |enlaceautor=Harald Bohr |pub-periódica=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] |número=1 |volumen=37 |páginas=269–272 |apellidos2=Landau |nombre2=E. |enlaceautor2=Edmund Landau |DOI=10.1007/BF03014823 |year=1914 |s2cid=121145912}}
* {{Obra citada |título=The Riemann Hypothesis – official problem description |apellidos=Bombieri |nombre=Enrico |enlaceautor=Enrico Bombieri |url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf |fechaacceso=2008-10-25 |editorial=[[Clay Mathematics Institute]] |year=2000 |archive-date=2015-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151222090027/http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |lugar=New York |editorial=Springer |lugar-publicación=New York |serie=CMS Books in Mathematics |editor=Borwein |nombre-editor=Peter |enlace-editor=Peter Borwein |ISBN=978-0-387-72125-5 |DOI=10.1007/978-0-387-72126-2 |year=2008 |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan |editor3-last=Rooney |editor4-first=Andrea |editor4-last=Weirathmueller}}
* {{Obra citada |título=Sign changes in sums of the Liouville function |apellidos=Borwein |nombre=Peter |enlaceautor=Peter Borwein |pub-periódica=[[Mathematics of Computation]] |número=263 |volumen=77 |páginas=1681–1694 |apellidos2=Ferguson |nombre2=Ron |apellidos3=Mossinghoff |nombre3=Michael J. |bibcode=2008MaCom..77.1681B |DOI=10.1090/S0025-5718-08-02036-X |year=2008 |mr=2398787}}
* {{Obra citada |título=The convergence of Euler products |apellidos=de Branges |nombre=Louis |enlaceautor=Louis de Branges |pub-periódica=Journal of Functional Analysis |número=1 |volumen=107 |páginas=122–210 |DOI=10.1016/0022-1236(92)90103-P |year=1992 |mr=1165869}}
* {{Obra citada |título=Equivalents of the Riemann Hypothesis |apellidos=Broughan |nombre=Kevin |editorial=Cambridge University Press |ISBN=978-1108290784 |year=2017}}
* {{Obra citada |título=Elementary Number Theory |apellidos=Burton |nombre=David M. |url=https://books.google.com/books?id=XMQjuoTqqRMC |editorial=Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited |ISBN=978-0-07-061607-3 |year=2006}}
* {{Obra citada |título=Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981) |apellidos=Cartier |nombre=P. |enlaceautor=Pierre Cartier (mathematician) |lugar=Boston, MA |editorial=Birkhäuser Boston |lugar-publicación=Boston, MA |capítulo=Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée |serie=Progr. Math. |volumen=22 |páginas=35–48 |year=1982}}
* {{Obra citada |título=Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function |apellidos=Connes |nombre=Alain |enlaceautor=Alain Connes |pub-periódica=Selecta Mathematica |número=1 |serie=New Series |volumen=5 |páginas=29–106 |DOI=10.1007/s000290050042 |year=1999 |arxiv=math/9811068 |mr=1694895 |s2cid=55820659}}
* {{Obra citada |título=Mathematics: frontiers and perspectives |apellidos=Connes |nombre=Alain |enlaceautor=Alain Connes |lugar=Providence, R.I. |editorial=[[American Mathematical Society]] |lugar-publicación=Providence, R.I. |capítulo=Noncommutative geometry and the Riemann zeta function |páginas=35–54 |year=2000 |mr=1754766}}
*{{Obra citada |título=Open Problems in Mathematics |apellidos=Connes |nombre=Alain |lugar=New York |editorial=Springer |lugar-publicación=New York |capítulo=An Essay on the Riemann Hypothesis |páginas=225–257 |editor=Nash |nombre-editor=J. F. |enlace-editor=John Forbes Nash Jr. |DOI=10.1007/978-3-319-32162-2_5 |year=2016 |author-link1=Alain Connes |editor2-first=Michael |editor2-last=Rassias |arxiv=1509.05576}}
* {{Obra citada |título=More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line |apellidos=Conrey |nombre=J. B. |enlaceautor=Brian Conrey |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781 |pub-periódica=J. Reine Angew. Math. |número=399 |volumen=1989 |páginas=1–26 |DOI=10.1515/crll.1989.399.1 |year=1989 |mr=1004130 |s2cid=115910600}}
* {{Obra citada |título=The Riemann Hypothesis |apellidos=Conrey |nombre=J. Brian |enlaceautor=Brian Conrey |url=https://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf |pub-periódica=Notices of the American Mathematical Society |páginas=341–353 |year=2003}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions |apellidos=Conrey |nombre=J. B. |enlaceautor=Brian Conrey |pub-periódica=International Mathematics Research Notices |número=18 |volumen=2000 |páginas=929–940 |apellidos2=Li |nombre2=Xian-Jin |enlaceautor2=Xian-Jin Li |DOI=10.1155/S1073792800000489 |year=2000 |arxiv=math/9812166 |mr=1792282 |s2cid=14678312}}
* {{Obra citada |título=La conjecture de Weil. I |apellidos=Deligne |nombre=Pierre |enlaceautor=Pierre Deligne |url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 |pub-periódica=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] |volumen=43 |páginas=273–307 |DOI=10.1007/BF02684373 |year=1974 |mr=0340258 |s2cid=123139343}}
* {{Obra citada |título=La conjecture de Weil : II |apellidos=Deligne |nombre=Pierre |enlaceautor=Pierre Deligne |url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 |pub-periódica=Publications Mathématiques de l'IHÉS |volumen=52 |páginas=137–252 |DOI=10.1007/BF02684780 |year=1980 |s2cid=189769469}}
* {{Obra citada |título=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998) |apellidos=Deninger |nombre=Christopher |enlaceautor=Christopher Deninger |capítulo=Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces |urlcapítulo=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html |serie=Documenta Mathematica |páginas=163–186 |year=1998 |mr=1648030}}
* {{Obra citada |título=On the Riemann hypothesis and the difference between primes |apellidos=Dudek |nombre=Adrian W. |fecha=2014-08-21 |pub-periódica=International Journal of Number Theory |número=3 |volumen=11 |páginas=771–778 |ISSN=1793-0421 |bibcode=2014arXiv1402.6417D |DOI=10.1142/S1793042115500426 |arxiv=1402.6417 |s2cid=119321107}}
* {{Obra citada |título=Birds and frogs |apellidos=Dyson |nombre=Freeman |enlaceautor=Freeman Dyson |url=https://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf |pub-periódica=[[Notices of the American Mathematical Society]] |número=2 |volumen=56 |páginas=212–223 |year=2009 |mr=2483565}}
* {{Obra citada |título=Riemann's Zeta Function |apellidos=Edwards |nombre=H. M. |enlaceautor=Harold Edwards (mathematician) |lugar=New York |editorial=[[Dover Publications]] |lugar-publicación=New York |ISBN=978-0-486-41740-0 |year=1974 |mr=0466039}}
* {{Obra citada |título=Analysis on arithmetic schemes. II |apellidos=Fesenko |nombre=Ivan |enlaceautor=Ivan Fesenko |pub-periódica=Journal of K-theory |número=3 |volumen=5 |páginas=437–557 |DOI=10.1017/is010004028jkt103 |year=2010}}
* {{Obra citada |título=Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function |apellidos=Ford |nombre=Kevin |pub-periódica=Proceedings of the London Mathematical Society |número=3 |serie=Third Series |volumen=85 |páginas=565–633 |DOI=10.1112/S0024611502013655 |year=2002 |mr=1936814 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007}}
* {{Obra citada |título=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206) |apellidos=Franel |nombre=J. |enlaceautor=Jérôme Franel |pub-periódica=Göttinger Nachrichten |páginas=198–206 |apellidos2=Landau |nombre2=E. |enlaceautor2=E. Landau |year=1924}}
* {{Obra citada |título=On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of {{pipe}}S(T){{pipe}} |apellidos=Ghosh |nombre=Amit |pub-periódica=J. Number Theory |volumen=17 |páginas=93–102 |DOI=10.1016/0022-314X(83)90010-0 |year=1983}}
* {{Obra citada |título=The 10<sup>13</sup> first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height |apellidos=Gourdon |nombre=Xavier |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf |year=2004}}
* {{Obra citada |título=Note sur les zéros de la fonction ''ζ''(''s'') de Riemann |apellidos=Gram |nombre=J. P. |enlaceautor=Jørgen Pedersen Gram |url=https://zenodo.org/record/1930945 |pub-periódica=Acta Mathematica |volumen=27 |páginas=289–304 |DOI=10.1007/BF02421310 |year=1903 |s2cid=115327214}}
* {{Obra citada |título=Sur la distribution des zéros de la fonction ''ζ''(''s'') et ses conséquences arithmétiques |apellidos=Hadamard |nombre=Jacques |enlaceautor=Jacques Hadamard |pub-periódica=Bulletin de la Société Mathématique de France |volumen=14 |páginas=199–220 |DOI=10.24033/bsmf.545 |year=1896}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Random matrix models for Gram's law |apellidos=Hanga |nombre=Catalin |url=https://etheses.whiterose.ac.uk/27858/ |editorial=University of York |year=2020 |type=phd}}
* {{Obra citada |título=Sur les Zéros de la Fonction ''ζ''(''s'') de Riemann |apellidos=Hardy |nombre=G. H. |enlaceautor=G. H. Hardy |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN |pub-periódica=C. R. Acad. Sci. Paris |volumen=158 |páginas=1012–1014 |year=1914 |jfm=45.0716.04}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line |apellidos=Hardy |nombre=G. H. |enlaceautor=G. H. Hardy |url=https://zenodo.org/record/1447415 |pub-periódica=Math. Z. |número=3–4 |volumen=10 |páginas=283–317 |apellidos2=Littlewood |nombre2=J. E. |enlaceautor2=John Edensor Littlewood |DOI=10.1007/BF01211614 |year=1921 |s2cid=126338046}}
* {{Obra citada |título=A disproof of a conjecture of Pólya |apellidos=Haselgrove |nombre=C. B. |pub-periódica=[[Mathematika]] |número=2 |volumen=5 |páginas=141–145 |ISSN=0025-5793 |DOI=10.1112/S0025579300001480 |year=1958 |mr=0104638 |zbl=0085.27102}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Tables of the Riemann zeta function |apellidos=Haselgrove |nombre=C. B. |enlaceautor=C. Brian Haselgrove |editorial=[[Cambridge University Press]] |serie=Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6 |apellidos2=Miller |nombre2=J. C. P. |enlaceautor2=J. C. P. Miller |ISBN=978-0-521-06152-0 |year=1960 |mr=0117905}} [https://www.jstor.org/stable/2003098 Review]
* {{Obra citada |título=On the Roots of the Riemann Zeta-Function |apellidos=Hutchinson |nombre=J. I. |enlaceautor=John Irwin Hutchinson |pub-periódica=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |número=1 |volumen=27 |páginas=49–60 |DOI=10.2307/1989163 |year=1925 |jstor=1989163}}
* {{Obra citada |título=The Distribution of Prime Numbers |apellidos=Ingham |nombre=A.E. |enlaceautor=Albert Ingham |editorial=Cambridge University Press |serie=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics |volumen=30 |year=1932}}. Reprinted 1990, {{isbn|978-0-521-39789-6}}, {{MathSciNet|1074573}}
* {{Obra citada |título=A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition) |apellidos=Ireland |nombre=Kenneth |lugar=New York |editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |lugar-publicación=New York |apellidos2=Rosen |nombre2=Michael |enlaceautor2=Michael Rosen (mathematician) |ISBN=0-387-97329-X |year=1990}}
* {{Obra citada |título=The Riemann Zeta Function |apellidos=Ivić |nombre=A. |lugar=New York |editorial=[[John Wiley & Sons]] |lugar-publicación=New York |ISBN=978-0-471-80634-9 |year=1985 |mr=0792089}} (Reprinted by Dover 2003)
* {{Obra citada |título=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |apellidos=Ivić |nombre=Aleksandar |lugar=New York |editorial=Springer |lugar-publicación=New York |capítulo=On some reasons for doubting the Riemann hypothesis |serie=CMS Books in Mathematics |páginas=131–160 |editor=Borwein |nombre-editor=Peter |ISBN=978-0-387-72125-5 |year=2008 |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan |editor3-last=Rooney |editor4-first=Andrea |editor4-last=Weirathmueller |arxiv=math.NT/0311162}}
*{{Obra citada |título=Zeros of the function ''ζ''(''s'') on short intervals of the critical line |idioma=ru |apellidos=Karatsuba |nombre=A. A. |enlaceautor=Anatolii Alexeevitch Karatsuba |pub-periódica=Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. |número=3 |volumen=48 |páginas=569–584 |year=1984a |mr=0747251}}
*{{Obra citada |título=Distribution of zeros of the function ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'') |idioma=ru |apellidos=Karatsuba |nombre=A. A. |enlaceautor=Anatolii Alexeevitch Karatsuba |pub-periódica=Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. |número=6 |volumen=48 |páginas=1214–1224 |year=1984b |mr=0772113}}
*{{Obra citada |título=Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line |idioma=ru |apellidos=Karatsuba |nombre=A. A. |enlaceautor=Anatolii Alexeevitch Karatsuba |pub-periódica=Trudy Mat. Inst. Steklov. |número=167 |páginas=167–178 |year=1985 |mr=0804073}}
*{{Obra citada |título=On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line |idioma=ru |apellidos=Karatsuba |nombre=A. A. |enlaceautor=Anatolii Alexeevitch Karatsuba |pub-periódica=Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. |número=2 |volumen=56 |páginas=372–397 |bibcode=1993IzMat..40..353K |DOI=10.1070/IM1993v040n02ABEH002168 |year=1992 |mr=1180378}}
* {{Obra citada |título=The Riemann zeta-function |apellidos=Karatsuba |nombre=A. A. |enlaceautor=Anatolii Alexeevitch Karatsuba |lugar=Berlin |editorial=Walter de Gruyter & Co. |lugar-publicación=Berlin |serie=de Gruyter Expositions in Mathematics |volumen=5 |apellidos2=Voronin |nombre2=S. M. |ISBN=978-3-11-013170-3 |DOI=10.1515/9783110886146 |year=1992 |mr=1183467}}
* {{Obra citada |título=Random matrix theory and ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'') |apellidos=Keating |nombre=Jonathan P. |pub-periódica=Communications in Mathematical Physics |número=1 |volumen=214 |páginas=57–89 |apellidos2=Snaith |nombre2=N. C. |enlaceautor2=Nina Snaith |bibcode=2000CMaPh.214...57K |DOI=10.1007/s002200000261 |year=2000 |mr=1794265 |s2cid=11095649}}
*{{Obra citada |título=On sign-changes of the difference <math>\pi(x)-\operatorname{li} x</math> |apellidos=Knapowski |nombre=S. |enlaceautor=Stanisław Knapowski |pub-periódica=Acta Arithmetica |volumen=7 |páginas=107–119 |DOI=10.4064/aa-7-2-107-119 |year=1962 |mr=133308}}
* {{Obra citada |título=Number theory, dynamical systems and statistical mechanics |apellidos=Knauf |nombre=Andreas |pub-periódica=Reviews in Mathematical Physics |número=8 |volumen=11 |páginas=1027–1060 |bibcode=1999RvMaP..11.1027K |DOI=10.1142/S0129055X99000325 |year=1999 |mr=1714352}}
* {{Obra citada |título=Sur la distribution des nombres premiers |apellidos=von Koch |nombre=Niels Helge |enlaceautor=Helge von Koch |url=https://zenodo.org/record/2347595 |pub-periódica=Acta Mathematica |volumen=24 |páginas=159–182 |DOI=10.1007/BF02403071 |year=1901 |s2cid=119914826}}
* {{Obra citada |título=Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990) |apellidos=Kurokawa |nombre=Nobushige |lugar=Tokyo |editorial=Kinokuniya |lugar-publicación=Tokyo |capítulo=Multiple zeta functions: an example |serie=Adv. Stud. Pure Math. |volumen=21 |páginas=219–226 |year=1992 |mr=1210791}}
* {{Obra citada |título=In search of the Riemann zeros |apellidos=Lapidus |nombre=Michel L. |lugar=Providence, R.I. |editorial=American Mathematical Society |lugar-publicación=Providence, R.I. |ISBN=978-0-8218-4222-5 |DOI=10.1090/mbk/051 |year=2008 |mr=2375028}}
* {{Obra citada |título=Extended computation of the Riemann zeta-function |apellidos=Lehmer |nombre=D. H. |enlaceautor=D. H. Lehmer |pub-periódica=Mathematika |número=2 |volumen=3 |páginas=102–108 |DOI=10.1112/S0025579300001753 |year=1956 |mr=0086083}}
*{{Obra citada |título=Geometry, spectral theory, groups, and dynamics |apellidos=Leichtnam |nombre=Eric |enlaceautor=Eric Leichtnam |lugar=Providence, RI |editorial=Amer. Math. Soc. |lugar-publicación=Providence, RI |capítulo=An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions |serie=Contemp. Math. |volumen=387 |páginas=201–236 |DOI=10.1090/conm/387/07243 |year=2005 |mr=2180209}}.
* {{Obra citada |título=More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2 |apellidos=Levinson |nombre=N. |enlaceautor=Norman Levinson |pub-periódica=[[Advances in Mathematics]] |número=4 |volumen=13 |páginas=383–436 |DOI=10.1016/0001-8708(74)90074-7 |year=1974 |mr=0564081}}
* {{Obra citada |título=The scientist speculates: an anthology of partly baked idea |apellidos=Littlewood |nombre=J. E. |enlaceautor=John Edensor Littlewood |lugar=New York |editorial=Basic books |lugar-publicación=New York |capítulo=The Riemann hypothesis |year=1962}}
* {{Obra citada |título=On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV |apellidos=van de Lune |nombre=J. |pub-periódica=Mathematics of Computation |número=174 |volumen=46 |páginas=667–681 |apellidos2=te Riele |nombre2=H. J. J. |apellidos3=Winter |nombre3=D. T. |enlaceautor2=Herman te Riele |DOI=10.2307/2008005 |year=1986 |jstor=2008005 |mr=829637}}
* {{Obra citada |título=Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique |apellidos=Massias |nombre=J.-P. |url=http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez= |pub-periódica=Acta Arithmetica |número=3 |volumen=50 |páginas=221–242 |apellidos2=Nicolas |nombre2=Jean-Louis |apellidos3=Robin |nombre3=G. |enlaceautor2=Jean-Louis Nicolas |DOI=10.4064/aa-50-3-221-242 |year=1988 |mr=960551}}
*{{Obra citada |título=Prime Numbers and the Riemann Hypothesis |apellidos=Mazur |nombre=Barry |url=http://wstein.org/rh/ |apellidos2=Stein |nombre2=William |year=2015}}
* {{Obra citada |título=Analytic number theory |apellidos=Montgomery |nombre=Hugh L. |enlaceautor=Hugh Montgomery (mathematician) |lugar=Providence, R.I. |editorial=American Mathematical Society |lugar-publicación=Providence, R.I. |capítulo=The pair correlation of zeros of the zeta function |serie=Proc. Sympos. Pure Math. |volumen=XXIV |páginas=181–193 |year=1973 |mr=0337821}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán |apellidos=Montgomery |nombre=Hugh L. |enlaceautor=Hugh Montgomery (mathematician) |lugar=Basel, Boston, Berlin |editorial=Birkhäuser |lugar-publicación=Basel, Boston, Berlin |capítulo=Zeros of approximations to the zeta function |páginas=497–506 |editor=Erdős |nombre-editor=Paul |enlace-editor=Paul Erdős |ISBN=978-3-7643-1288-6 |year=1983 |mr=820245}}
* {{Obra citada |título=Multiplicative Number Theory I. Classical Theory |apellidos=Montgomery |nombre=Hugh L. |editorial=Cambridge University Press |serie=Cambridge studies in advanced mathematics |volumen=97 |apellidos2=Vaughan |nombre2=Robert C. |year=2007 |author-link1=Hugh Montgomery (mathematician)}}.{{isbn|978-0-521-84903-6}}
* {{Obra citada |título=New maximal prime gaps and first occurrences |apellidos=Nicely |nombre=Thomas R. |url=http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html |pub-periódica=Mathematics of Computation |número=227 |volumen=68 |páginas=1311–1315 |bibcode=1999MaCom..68.1311N |DOI=10.1090/S0025-5718-99-01065-0 |year=1999 |mr=1627813}}.
* {{Obra citada |título=On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces |apellidos=Nyman |nombre=Bertil |lugar=University of Uppsala |editorial=University of Uppsala |lugar-publicación=University of Uppsala |serie=PhD Thesis |year=1950 |mr=0036444}}
* {{Obra citada |título=Disproof of the Mertens conjecture |apellidos=Odlyzko |nombre=A. M. |enlaceautor=Andrew Odlyzko |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 |pub-periódica=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |número=357 |volumen=1985 |páginas=138–160 |apellidos2=te Riele |nombre2=H. J. J. |enlaceautor2=Herman te Riele |DOI=10.1515/crll.1985.357.138 |year=1985 |archive-url=https://archive.today/20120711011237/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 |archive-date=2012-07-11 |mr=783538 |s2cid=13016831}}
* {{Obra citada |título=On the distribution of spacings between zeros of the zeta function |apellidos=Odlyzko |nombre=A. M. |enlaceautor=Andrew Odlyzko |pub-periódica=Mathematics of Computation |número=177 |volumen=48 |páginas=273–308 |DOI=10.2307/2007890 |year=1987 |jstor=2007890 |mr=866115}}
* {{Obra citada |título=Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results |apellidos=Odlyzko |nombre=A. M. |enlaceautor=Andrew Odlyzko |url=http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0 |pub-periódica=Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux |número=1 |serie=Série 2 |volumen=2 |páginas=119–141 |DOI=10.5802/jtnb.22 |year=1990 |mr=1061762}}
* {{Obra citada |título=The 10<sup>20</sup>-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors |apellidos=Odlyzko |nombre=A. M. |enlaceautor=Andrew Odlyzko |url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf |year=1992}} This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
* {{Obra citada |título=The 10<sup>21</sup>st zero of the Riemann zeta function |apellidos=Odlyzko |nombre=A. M. |enlaceautor=Andrew Odlyzko |url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf |year=1998}}
* {{Obra citada |título=Ramanujan's ternary quadratic form |apellidos=Ono |nombre=Ken |enlaceautor=Ken Ono |pub-periódica=[[Inventiones Mathematicae]] |número=3 |volumen=130 |páginas=415–454 |apellidos2=Soundararajan |nombre2=K. |bibcode=1997InMat.130..415O |DOI=10.1007/s002220050191 |year=1997 |author-link2=Kannan Soundararajan |s2cid=122314044}}
* {{Obra citada |título=An introduction to the theory of the Riemann zeta-function |apellidos=Patterson |nombre=S. J. |enlaceautor=S. J. Patterson |editorial=Cambridge University Press |serie=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volumen=14 |ISBN=978-0-521-33535-5 |DOI=10.1017/CBO9780511623707 |year=1988 |mr=933558}}
* {{Obra citada |título=The Riemann hypothesis is true up to <math>3\cdot 10^{12}</math> |apellidos=Platt |nombre=Dave |fecha=January 2021 |editorial=Wiley |pub-periódica=Bulletin of the London Mathematical Society |número=3 |volumen=53 |páginas=792–797 |apellidos2=Trudgian |nombre2=Tim |DOI=10.1112/blms.12460 |arxiv=2004.09765 |s2cid=234355998}}
*{{Obra citada |título=Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields |apellidos=Radziejewski |nombre=Maciej |pub-periódica=Transactions of the American Mathematical Society |número=5 |volumen=359 |páginas=2383–2394 |DOI=10.1090/S0002-9947-06-04078-5 |cita=There are infinitely many nonisomorphic algebraic number fields whose Dedekind zeta functions have infinitely many nontrivial multiple zeros. |year=2007 |mr=2276625}}
* {{Obra citada |título=The New Book of Prime Number Records |apellidos=Ribenboim |nombre=Paulo |enlaceautor=Paulo Ribenboim |lugar=New York |editorial=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |lugar-publicación=New York |ISBN=0-387-94457-5 |year=1996}}
* {{Obra citada |título={{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}} |apellidos=Riemann |nombre=Bernhard |enlaceautor=Bernhard Riemann |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ |pub-periódica=Monatsberichte der Berliner Akademie |year=1859}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/publications/riemanns-1859-manuscript/ Original manuscript] (with English translation). Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} and {{harv|Edwards|1974}}
* {{Obra citada |título=Some calculations related to Riemann's prime number formula |apellidos=Riesel |nombre=Hans |enlaceautor=Hans Riesel |pub-periódica=Mathematics of Computation |número=112 |volumen=24 |páginas=969–983 |apellidos2=Göhl |nombre2=Gunnar |DOI=10.2307/2004630 |year=1970 |mr=0277489 |jstor=2004630}}
* {{Obra citada |título=Sur l'hypothèse de Riemann |apellidos=Riesz |nombre=M. |enlaceautor=Marcel Riesz |pub-periódica=Acta Mathematica |volumen=40 |páginas=185–190 |DOI=10.1007/BF02418544 |year=1916}}
* {{Obra citada |título=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann |apellidos=Robin |nombre=G. |pub-periódica=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]] |número=2 |serie=Neuvième Série |volumen=63 |páginas=187–213 |year=1984 |mr=774171}}
* {{Obra citada |título=The de Bruijn–Newman constant is non-negative |apellidos=Rodgers |nombre=Brad |pub-periódica=Forum of Mathematics |volumen=8 |página=e6, 62 |apellidos2=Tao |nombre2=Terence |DOI=10.1017/fmp.2020.6 |year=2020 |mr=4089393 |arxiv=1801.05914}}; see also [https://terrytao.wordpress.com/2018/01/19/the-de-bruijn-newman-constant-is-non-negativ/ announcement on Tao's blog], January 19, 2018
* {{Obra citada |título=Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software |apellidos=Rosser |nombre=J. Barkley |enlaceautor=J. Barkley Rosser |lugar=Amsterdam |editorial=North-Holland |lugar-publicación=Amsterdam |capítulo=Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion) |páginas=70–76 |apellidos2=Yohe |nombre2=J. M. |apellidos3=Schoenfeld |nombre3=Lowell |enlaceautor3=Lowell Schoenfeld |year=1969 |mr=0258245}}
* {{Obra citada |título=Functional Analysis, 1st edition (January 1973) |apellidos=Rudin |nombre=Walter |enlaceautor=Walter Rudin |lugar=New York |editorial=[[McGraw-Hill]] |lugar-publicación=New York |ISBN=0-070-54225-2 |year=1973}}
* {{Obra citada |título=Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann |apellidos=Salem |nombre=Raphaël |enlaceautor=Raphaël Salem |pub-periódica=[[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences]] |volumen=236 |páginas=1127–1128 |year=1953 |mr=0053148}}
* {{Obra citada |título=Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004) |apellidos=Sarnak |nombre=Peter |enlaceautor=Peter Sarnak |url=http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf |fechaacceso=2015-07-28 |editorial=[[Clay Mathematics Institute]] |year=2005}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Sharper bounds for the Chebyshev functions ''θ''(''x'') and ''ψ''(''x''). II |apellidos=Schoenfeld |nombre=Lowell |enlaceautor=Lowell Schoenfeld |pub-periódica=Mathematics of Computation |número=134 |volumen=30 |páginas=337–360 |DOI=10.2307/2005976 |year=1976 |mr=0457374 |jstor=2005976}}
*{{Obra citada |título=Physics of the Riemann Hypothesis |apellidos=Schumayer |nombre=Daniel |pub-periódica=Reviews of Modern Physics |número=2 |volumen=83 |páginas=307–330 |apellidos2=Hutchinson |nombre2=David A. W. |bibcode=2011RvMP...83..307S |DOI=10.1103/RevModPhys.83.307 |year=2011 |arxiv=1101.3116 |s2cid=119290777}}
* {{Obra citada |título=On the zeros of Riemann's zeta-function |apellidos=Selberg |nombre=Atle |enlaceautor=Atle Selberg |pub-periódica=SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I. |volumen=10 |páginas=59 pp |year=1942 |mr=0010712}}
* {{Obra citada |título=Contributions to the theory of the Riemann zeta-function |apellidos=Selberg |nombre=Atle |enlaceautor=Atle Selberg |pub-periódica=Arch. Math. Naturvid. |número=5 |volumen=48 |páginas=89–155 |year=1946 |mr=0020594}}
* {{Obra citada |título=Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series |apellidos=Selberg |nombre=Atle |enlaceautor=Atle Selberg |pub-periódica=J. Indian Math. Soc. |serie=New Series |volumen=20 |páginas=47–87 |year=1956 |mr=0088511}}
* {{Obra citada |título=Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures) |apellidos=Serre |nombre=Jean-Pierre |enlaceautor=Peter Sarnak |url=https://eudml.org/doc/110758 |pub-periódica=Séminaire Delange-Pisot-Poitou |volumen=19 |year=1969–1970}}
* {{Obra citada |título=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T] |apellidos=Sheats |nombre=Jeffrey T. |pub-periódica=[[Journal of Number Theory]] |número=1 |volumen=71 |páginas=121–157 |DOI=10.1006/jnth.1998.2232 |year=1998 |mr=1630979 |arxiv=math/9801158 |s2cid=119703557}}
* {{Obra citada |título=Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie |apellidos=Siegel |nombre=C. L. |enlaceautor=Carl Ludwig Siegel |pub-periódica=Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2 |páginas=45–80 |year=1932}} Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
* {{Obra citada |título=Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion |apellidos=Speiser |nombre=Andreas |enlaceautor=Andreas Speiser |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1 |pub-periódica=[[Mathematische Annalen]] |volumen=110 |páginas=514–521 |DOI=10.1007/BF01448042 |year=1934 |jfm=60.0272.04 |s2cid=119413347 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150627115412/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1 |archive-date=2015-06-27}}
* {{Obra citada |título=Zeros of sections of the zeta function. II |apellidos=Spira |nombre=Robert |pub-periódica=[[Mathematics of Computation]] |número=101 |volumen=22 |páginas=163–173 |DOI=10.2307/2004774 |year=1968 |mr=0228456 |jstor=2004774}}
* {{Obra citada |título=What is Riemann's Hypothesis? |apellidos=Stein |nombre=William |enlaceautor=William A. Stein |url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf |apellidos2=Mazur |nombre2=Barry |enlaceautor2=Barry Mazur |year=2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf |archive-date=2009-03-27}}
* {{Obra citada |título=Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces |apellidos=Suzuki |nombre=Masatoshi |pub-periódica=Journal of Number Theory |número=10 |volumen=131 |páginas=1770–1796 |DOI=10.1016/j.jnt.2011.03.007 |year=2011}}
* {{Obra citada |título=The Zeros of the Riemann Zeta-Function |apellidos=Titchmarsh |nombre=Edward Charles |enlaceautor=Edward Charles Titchmarsh |editorial=The Royal Society |pub-periódica=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences |número=873 |volumen=151 |páginas=234–255 |bibcode=1935RSPSA.151..234T |DOI=10.1098/rspa.1935.0146 |year=1935 |jstor=96545 |s2cid=263711590}}
* {{Obra citada |título=The Zeros of the Riemann Zeta-Function |apellidos=Titchmarsh |nombre=Edward Charles |enlaceautor=Edward Charles Titchmarsh |editorial=The Royal Society |pub-periódica=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences |número=891 |volumen=157 |páginas=261–263 |bibcode=1936RSPSA.157..261T |DOI=10.1098/rspa.1936.0192 |year=1936 |jstor=96692 |arxiv=1004.4143}}
* {{Obra citada |título=The theory of the Riemann zeta-function |apellidos=Titchmarsh |nombre=Edward Charles |enlaceautor=Edward Charles Titchmarsh |edición=2nd |editorial=The Clarendon Press Oxford University Press |ISBN=978-0-19-853369-6 |year=1986 |mr=882550}}
* {{Obra citada |título=An improved upper bound for the argument of the Riemann zeta function on the critical line II |apellidos=Trudgian |nombre=Timothy S. |fecha=2014 |pub-periódica=J. Number Theory |volumen=134 |páginas=280–292 |DOI=10.1016/j.jnt.2013.07.017 |arxiv=1208.5846}}
* {{Obra citada |título=On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule |apellidos=Trudgian |nombre=Timothy |pub-periódica=Acta Arithmetica |número=3 |volumen=125 |páginas=225–256 |DOI=10.4064/aa148-3-2 |year=2011}}
* {{Obra citada |título=On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann |apellidos=Turán |nombre=Paul |enlaceautor=Pál Turán |pub-periódica=Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. |número=17 |volumen=24 |página=36 |year=1948 |mr=0027305}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Some calculations of the Riemann zeta-function |apellidos=Turing |nombre=Alan M. |enlaceautor=A. M. Turing |pub-periódica=Proceedings of the London Mathematical Society |serie=Third Series |volumen=3 |páginas=99–117 |DOI=10.1112/plms/s3-3.1.99 |year=1953 |mr=0055785}}
* {{Obra citada |título=Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers |apellidos=de la Vallée-Poussin |nombre=Ch.J. |enlaceautor=Charles Jean de la Vallée-Poussin |pub-periódica=Ann. Soc. Sci. Bruxelles |volumen=20 |páginas=183–256 |year=1896}}
* {{Obra citada |título=Sur la fonction ''ζ''(''s'') de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée |apellidos=de la Vallée-Poussin |nombre=Ch.J. |enlaceautor=Charles Jean de la Vallée-Poussin |pub-periódica=Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg. |número=1 |volumen=59 |year=1899–1900}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{Obra citada |título=Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent |apellidos=Weil |nombre=André |enlaceautor=André Weil |editorial=Hermann et Cie., Paris |serie=Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945) |year=1948 |mr=0027151}}
* {{Obra citada |título=Numbers of solutions of equations in finite fields |apellidos=Weil |nombre=André |enlaceautor=André Weil |pub-periódica=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |número=5 |volumen=55 |páginas=497–508 |DOI=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 |year=1949 |mr=0029393}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil {{isbn|0-387-90330-5}}
* {{Obra citada |título=Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972) |apellidos=Weinberger |nombre=Peter J. |lugar=Providence, R.I. |editorial=Amer. Math. Soc. |lugar-publicación=Providence, R.I. |capítulo=On Euclidean rings of algebraic integers |serie=Proc. Sympos. Pure Math. |volumen=24 |páginas=321–332 |year=1973 |mr=0337902}}
* {{Obra citada |título=Mathematics: frontiers and perspectives |apellidos=Wiles |nombre=Andrew |enlaceautor=Andrew Wiles |lugar=Providence, R.I. |editorial=American Mathematical Society |lugar-publicación=Providence, R.I. |capítulo=Twenty years of number theory |páginas=329–342 |ISBN=978-0-8218-2697-3 |year=2000 |mr=1754786}}
* {{Obra citada |título=The first 50 million prime numbers |apellidos=Zagier |nombre=Don |enlaceautor=Don Zagier |url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf |editorial=Springer |pub-periódica=Math. Intelligencer |volumen=1 |páginas=7–19 |DOI=10.1007/BF03039306 |year=1977 |mr=643810 |s2cid=189886510 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf |archive-date=2009-03-27}}
* {{Obra citada |título=Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979) |apellidos=Zagier |nombre=Don |enlaceautor=Don Zagier |editorial=Tata Inst. Fundamental Res., Bombay |capítulo=Eisenstein series and the Riemann zeta function |serie=Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. |volumen=10 |páginas=275–301 |year=1981 |mr=633666}}

===Exposiciones populares===
* {{Obra citada |título=The greatest unsolved problem in mathematics |apellidos=Sabbagh |nombre=Karl |enlaceautor=Karl Sabbagh |url=https://archive.org/details/riemannhypothesi00sabb |editorial=Farrar, Straus and Giroux, New York |ISBN=978-0-374-25007-2 |year=2003a |mr=1979664}}
* {{Obra citada |título=Dr. Riemann's zeros |apellidos=Sabbagh |nombre=Karl |enlaceautor=Karl Sabbagh |url=https://books.google.com/books?id=JesSAQAAMAAJ |editorial=Atlantic Books, London |ISBN=978-1-843-54101-1 |year=2003b}}
* {{Obra citada |título=The music of the primes |apellidos=du Sautoy |nombre=Marcus |enlaceautor=Marcus du Sautoy |url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa |editorial=HarperCollins Publishers |ISBN=978-0-06-621070-4 |year=2003 |mr=2060134}}
* {{Obra citada |título=Stalking the Riemann hypothesis |apellidos=Rockmore |nombre=Dan |url=https://archive.org/details/stalkingriemannh00danr |editorial=Pantheon Books |ISBN=978-0-375-42136-5 |year=2005 |mr=2269393}}
* {{Obra citada |título=Prime Obsession |apellidos=Derbyshire |nombre=John |enlaceautor=John Derbyshire |editorial=Joseph Henry Press, Washington, DC |ISBN=978-0-309-08549-6 |year=2003 |mr=1968857}}
* {{Obra citada |título=Mystery of the Prime Numbers |apellidos=Watkins |nombre=Matthew |editorial=Liberalis Books |ISBN=978-1782797814 |year=2015 |mr=0000000}}
* [[Edward Frenkel|Frenkel, Edward]] (2014), [https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo The Riemann Hypothesis] [[Numberphile]], Mar 11, 2014 (video)
* {{Cita libro |enlaceautor=Paul J. Nahin |título=In Pursuit of Zeta-3: The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem |fecha=2021 |editorial=Princeton University Press |isbn=978-0691206073 |last=Nahin |first=Paul J.}}

Note: Derbyshire 2003, Rockmore 2005, Sabbagh 2003a, Sabbagh 2003b, Sautoy 2003, and Watkins 2015 are non-technical. Edwards 1974, Patterson 1988, Borwein/Choi/Rooney/Weirathmueller 2008, Mazur/Stein 2015, Broughan 2017, and Nahin 2021 give mathematical introductions. Titchmarsh 1986, Ivić 1985, and Karatsuba/Voronin 1992 are advanced [[monograph]]s.

== Enlaces externos ==
* (en) [http://web.mala.bc.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html The Riemann Hypothesis in a Nutshell] {{Wayback|url=http://web.mala.bc.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html |date=20080615131903 }}
* (en) [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/index.html Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function]
* (en) [http://vixra.org/pdf/1301.0078v2.pdf Riemann zeros Quantum chaos]
* (en) [http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]
* (en) [https://web.archive.org/web/20060216220953/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/L_function_public/CODE/ Algoritmos para calcular los ceros de la función de Riemann, por Michael Rubinstein]
*(en) [https://revistas.unc.edu.ar/index.php/REM/article/download/12433/12730/32783 Consecuencias de la Hipótesis de Riemann]
*{{Commons category-inline}}
* [[American Institute of Mathematics]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis]
* [https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/ Zeroes database], 103 800 788 359 zeroes
* {{citation|first=Tom|last=Apostol|author-link=Tom M. Apostol|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|title=Where are the zeros of zeta of s?}} Poem about the Riemann hypothesis, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm sung] by [[John Derbyshire]].
* {{citation|title=The Riemann Hypothesis|first=Peter|last=Borwein|author-link=Peter Borwein|url=http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|url-status=|archive-url=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|archive-date=2009-03-27}} (Slides for a lecture)
* {{Citation | last1=Conrad | first1=K. | title=Consequences of the Riemann hypothesis | url=https://mathoverflow.net/q/17232 | year=2010}}
* {{citation|url=http://aimath.org/pl/rhequivalences|first1=J. Brian|last1=Conrey|first2=David W|last2=Farmer|title=Equivalences to the Riemann hypothesis|url-status=|archive-url=https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences|archive-date=2010-03-16}}
* {{citation|first1= Xavier|last1= Gourdon |first2= Pascal |last2=Sebah |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html |title=Computation of zeros of the Zeta function|year=2004}} (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
* {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|author-link=Andrew Odlyzko|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/|title=Home page}} including [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html papers on the zeros of the zeta function] and [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html tables of the zeros of the zeta function]
* {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|author-link=Andrew Odlyzko|title=Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations|year=2002|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf}} Slides of a talk
* {{citation|author-link=Ed Pegg, Jr.|first=Ed|last=Pegg|url=http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|title=Ten Trillion Zeta Zeros|year=2004|publisher=Math Games website|access-date=2004-10-20|archive-date=2004-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|url-status=}}. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
* {{citation |first=Michael |last=Rubinstein |url=http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |title=algorithm for generating the zeros |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |archive-date=2007-04-27 }}.
* {{citation|first=Marcus|last=du Sautoy|author-link=|url=http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php|title=Prime Numbers Get Hitched|publisher=Seed Magazine |year=2006|access-date=2006-03-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20170922145127/http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/|archive-date=2017-09-22}}
* {{citation | first=Matthew R. | last=Watkins | url=https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/RHproofs.htm | archive-url=https://web.archive.org/web/20221209020336/https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/RHproofs.htm | url-status= | archive-date=2022-12-09 | title=Proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis | date=2021-02-27 }} <!-- date in the containing directory is 10 March 2021 -->
* ''[https://web.archive.org/web/20131005173705/http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]'' (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
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