Ver el código de «Hosoedro»

{{Ficha de poliedro
| nombre        =Conjunto de hosoedros<br />''n''-gonales regulares
| imagen        =Hexagonal Hosohedron.svg
| pie           =Ejemplo de un hosoedro [[Poliedro regular|regular]] hexagonal sobre una esfera
| tipo          =[[Poliedro]] regular o [[teselado esférico]]
| euler         =2
| caras         =''n'' [[dígono]]s
| aristas       =''n''
| vértices      =2
| confvértices  =''2''<sup>n</sup>
| schläfli      ={2,''n''}
| wythoff       =''n'' {{!}} 2 2
| coxeter-dynkin={{DCD|node_1|2x|node|n|node}}
| simetría      =D<sub>''n''h</sub>, [2,n], (*22n), orden 4n
| rotación      =D<sub>''n''</sub>, [2,n]<sup>+</sup>, (22n), orden 2n
| dual          = [[diedro]] ''n''-gonal regular
}}

[[Imagen:BeachBall.jpg|thumb|Este [[balón de playa]] puede considerarse un hosoedro con 6 caras en forma de [[luna esférica|lunas esféricas]], si se quitaran las 2 tapas blancas de los extremos]]

En [[geometría esférica]], un '''hosoedro''' [[Polígono|''n''-gonal]] es un [[teselado]] de una [[Esfera|superficie esférica]] mediante [[luna esférica|lunas]], de modo que cada luna comparte los mismos dos vértices [[Punto antipodal|polarmente opuestos]].

Un hosoedro ''n''-gonal [[Polígono regular|regular]] tiene [[símbolo de Schläfli]] {2,&nbsp;''n''}, y cada [[luna esférica]] tiene un [[ángulo interior]] de {{sfrac|2&Pi;|''n''}} [[radianes]] (en grados sexagesimales, {{sfrac|360|''n''}}).<ref>Coxeter, ''Regular polytopes'', p. 12</ref><ref>Abstract Regular polytopes, p. 161</ref>

==Hosohedros como poliedros regulares==
{{VT|Anexo:Politopos regulares y compuestos}}

Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es {''m'',&nbsp;''n''}, el número de caras poligonales es:

: <math>N_2=\frac{4n}{2m+2n-mn}.</math>

Los [[sólidos platónicos]] conocidos en la antigüedad son las únicas soluciones enteras para ''m'' ≥ 3 y ''n'' ≥ 3. La restricción ''m'' ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.

Al considerar los poliedros como [[teselado esférico|teselados esféricos]], esta restricción se puede relajar, ya que los [[dígono]]s (2-gonos) se pueden representar como lunas esféricas que tienen [[área]]s distintas de cero.

Permitir que ''m'' = 2 hace que
: <math>N_2=\frac{4n}{2\times2+2n-2n}=n,</math>
y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2,&nbsp;''n''} se representa como ''n'' lunas contiguas, con ángulos interiores de {{sfrac|2&Pi;|''n''}}. Todas estas lunas esféricas comparten dos vértices comunes.

{| class="wikitable" width="320"
|[[Archivo:Trigonal_hosohedron.png|160px]]<br />Un hosoedro trigonal regular, {2,3}, representado como un mosaico de 3 lunas esféricas sobre una esfera.
|[[Imagen:4hosohedron.svg|160px]]<br />Un hosoedro tetragonal regular, {2,4}, representado como un mosaico de 4 lunas esféricas sobre una esfera.
|}

{|class="wikitable"
|+ style="text-align:center;"|Familia de hosoedros regulares · * ''n''22 mutaciones de simetría de teselados de hosoedros regulares: ''nn''
!Espacio
!colspan=13|Esférico||Euclídeo
|- style="text-align:center;"
!Nombre del teselado
|(Monogonal)<br />[[Monógono]]
|[[Hosohedro digonal]]
|(Triangular)<br />[[Hosohedro trigonal]]
|(Tetragonal)<br />[[Hosohedro cuadrado]]
|[[Hosohedro pentagonal]]
| [[Hosoedro hexagonal]]
| Hosoedro heptagonal
| Hosoedro octogonal
| Hosoedro eneagonal
| Hosoedro decagonal
| Hosoedro hendecagonal
| Hosoedro dodecagonal
|...
|[[Hosoedro apeirogonal]]
|- style="text-align:center;"
!Imagen del teselado
|[[Imagen:Spherical henagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical digonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical trigonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical square hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical pentagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical hexagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical heptagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical octagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical enneagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical decagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical hendecagonal hosohedron.svg|80px]]
|[[Imagen:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|80px]]
|...
|[[Archivo:Apeirogonal hosohedron.svg|150px]]
|- style="text-align:center;"
![[Símbolo de Schläfli]]
|{2,1}||{2,2}||{2,3}||{2,4}||{2,5}||{2,6}||{2,7}||{2,8}||{2,9}||{2,10}||{2,11}||{2,12}||...||{2,∞}
|- style="text-align:center;"
![[Diagrama de Coxeter-Dynkin]]
|{{DCD|node_1|2x|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|2x|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|3|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|4|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|5|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|6|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|7|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|8|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|9|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|10|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|11|node}}
|{{DCD|node_1|2x|node|12|node}}
|...
|{{DCD|node_1|2x|node|infin|node}}
|- style="text-align:center;"
!Caras y aristas
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||...||∞
|- style="text-align:center;"
!Vértices
|colspan=12|2||...||2
|- style="text-align:center;"
![[Configuración de vértices]]
|2||2.2||2<sup>3</sup>||2<sup>4</sup>||2<sup>5</sup>||2<sup>6</sup>||2<sup>7</sup>||2<sup>8</sup>||2<sup>9</sup>||2<sup>10</sup>||2<sup>11</sup>||2<sup>12</sup>||...||2<sup>∞</sup>
|}

==Simetría caleidoscópica==
Las caras 2''n'' digonales en forma de lunas esféricas de un hosoedro 2''n'', {2,2''n''}, representan los dominios fundamentales de la [[simetría diedral en tres dimensiones]]: la simetría cíclica C<sub>''n''v</sub>, [''n''], (* ''nn''), orden 2''n''. Los dominios de reflexión se pueden mostrar mediante lunas de colores alternativos como imágenes en un espejo.

Bisecar cada luna en dos triángulos esféricos crea una [[bipirámide]] ''n''-gonal, que representa el [[grupo diedral]] D<sub>''n''h</sub>, orden 4''n''.

{|class="wikitable" width=480
!Simetría (orden 2''n'')
!C<sub>''n''v</sub>, [''n'']
!C<sub>1v</sub>, [ ]
!C<sub>2v</sub>, [2]
!C<sub>3v</sub>, [3]
!C<sub>4v</sub>, [4]
!C<sub>5v</sub>, [5]
!C<sub>6v</sub>, [6]
|-
!2''n''-gonal hosoedro
!Símbolo deSchläfli {2,2''n''}
!{2,2}
!{2,4}
!{2,6}
!{2,8}
!{2,10}
!{2,12}
|-
!Imagen
!Dominios fundamentales <br />en colores alternativos
|[[Imagen:Spherical digonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Imagen:Spherical square hosohedron2.png|80px]]
|[[Imagen:Spherical hexagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Imagen:Spherical octagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Imagen:Spherical decagonal hosohedron2.png|80px]]
|[[Imagen:Spherical dodecagonal hosohedron2.png|80px]]
|}

==Relación con el sólido de Steinmetz==
El hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al [[sólido de Steinmetz#Bicilindro|sólido de Steinmetz bicilíndrico]], la intersección de dos cilindros en ángulos rectos.<ref>{{mathworld|urlname=SteinmetzSolid|title=Steinmetz Solid}}</ref>

==Poliedros derivados==
El [[Poliedro conjugado|dual]] del hosoedro n-gonal {2,&nbsp;''n''} es el [[diedro]] ''n''-gonal, {''n'',&nbsp;2}. El poliedro {2,2} es auto-dual, y es a la vez hosoedro y diedro.

Un hosoedro se puede modificar de la misma manera que los otros poliedros para producir una variación [[Truncamiento (geometría)|truncada]]. El hosoedro ''n''-gonal truncado es un [[Prisma (geometría)|prisma]] n-gonal.

==Hosoedro apeirogonal==
En el límite, el hosoedro se convierte en un [[hosoedro apeirogonal]] como una teselación bidimensional:
: [[Archivo:Apeirogonal hosohedron.png|240px]]

==Hosotopos==
{{VT|Anexo:Politopos regulares y compuestos}}

Los análogos de [[Dimensión|multidimensionales]] en general se denominan '''hosotopos'''. Un hosotopo normal con [[símbolo de Schläfli]] {2, ''p'', ..., ''q''} tiene dos vértices, cada uno con una [[figura de vértice]] {''p'', ..., ''q''}.

El [[Anexo:Politopos regulares y compuestos|hosotopo bidimensional]], {2}, es un [[dígono]].

==Etimología==
El término “hosoedro” parece derivar del griego ὅσος ('' hosos '') “tantos”, la idea es que un hosoedro puede tener “'' 'tantas' '' caras como se desee”.<ref name="Schwartzman1994">{{cite book|author=Steven Schwartzman|title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English|url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw|url-access=registration|date=1994-01-01|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-511-9|pages=[https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw/page/108 108]–109}}</ref> Fue introducido por Vito Caravelli en el {{siglo|XVIII||s}}.<ref>{{cite book | title=Regular Complex Polytopes | publisher=Cambridge University Press | author=Coxeter, H.S.M. | year=1974 | location=London | pages=20 | isbn=0-521-20125-X | quote=The hosohedron {2,p} (in a slightly distorted form) was named by Vito Caravelli (1724–1800) …}}</ref>

==Véase también==
* [[Poliedro]]
* [[Politopo]]

==Referencias==
{{reflist}}

==Bibliografía==
* {{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, H.S.M]], ''"Regular Polytopes" (Politopos regulares)'' (tercera edición), [[Dover Publications]] Inc., {{ISBN|0-486-61480-8}}

==Enlaces externos==
{{Commonscat|Hosohedra}}
* {{mathworld | urlname = Hosohedron | title = Hosohedron}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Poliedros]]
[[Categoría:Teselado]]
[[Categoría:Poliedros regulares]]