Ver el código de «Icosaedro truncado»

{| border="1" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="250"
!bgcolor=#D78B40 colspan=2|'''Icosaedro Truncado'''
|-
|align=center colspan=2|[[Archivo:Truncatedicosahedron.jpg|245px]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Grupo||[[Sólidos de Arquímedes]]
|-
|bgcolor=#d78b40|Número de [[Cara (Geometría)|caras]]||32
|-
|bgcolor=#d78b40|[[Polígono]]s que forman las caras||12 [[Pentágono|Pentágonos]]<br />20 [[Hexágono|Hexágonos]]
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|bgcolor=#d78b40|Número de [[Arista (Geometría)|aristas]]||90
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|bgcolor=#d78b40|Número de [[Vértice (Geometría)|vértices]]||60 
|-
|bgcolor=#d78b40|Tipo de Vértice||Uniforme de Orden 3
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|bgcolor=#d78b40|Caras relacionadas en los vértices||2 [[Hexágono]]s <br /> 1 [[Pentágono]]
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|bgcolor=#d78b40|Simetría||Icosaédrica ''(I<sub>h</sub>)''
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|bgcolor=#d78b40|[[Poliedro dual]]||[[Pentaquisdodecaedro]]
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|bgcolor=#d78b40|Propiedades||Poliedro convexo, de [[poliedro de vértices uniformes|vértices uniformes]]
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|align=center colspan=2|
|}

El '''icosaedro truncado''' es un [[sólido de Arquímedes]] que se obtiene [[truncamiento (geometría)|truncando]] cada [[Vértice (geometría)|vértice]] de un [[icosaedro]].

==Propiedades generales==
En [[geometría]], el '''[[icosaedro]] truncado''' es un [[Sólidos arquimedianos|sólido arquimediano]], uno de los 13 sólidos no prismáticos [[Figura isogonal|isogonales]] convexos cuyas 32 [[Cara (geometría)|caras]] son dos o más tipos de [[polígono regular|polígonos regulares]]. Es la única de estas formas que no contiene triángulos ni cuadrados. En el uso general, se supone que el grado de truncamiento es [[Truncamiento (geometría)|uniforme]] a menos que se especifique lo contrario.

Tiene 12 caras regulares [[pentágono|pentagonales]], 20 caras regulares [[hexágono|hexagonales]], 60 vértices y 90 aristas.

Es el [[poliedro de Goldberg]] GP<sub>V</sub>(1,1) o {5+,3}<sub>1,1</sub>, que contiene caras pentagonales y hexagonales.

Esta geometría está asociada con los [[balón de fútbol|balones de fútbol]], habitualmente estampados con hexágonos blancos y pentágonos negros. Las [[Cúpula geodésica|cúpulas geodésicas]], como aquellas en cuya arquitectura fue pionero [[Richard Buckminster Fuller]], a menudo se basan en esta estructura. También corresponde a la geometría de la molécula del fullereno [[Buckminsterfullereno|C<sub>60</sub>]] ("buckybola").

Se utiliza en el teselado hiperbólico de llenado del espacio con una [[figura isoedral]], el [[panal dodecaédrico bitruncado de orden-5]].

==Construcción==
[[Archivo:Polyhedron 20 max.png|thumb|100px|left|[[Icosaedro]]]]

Este poliedro se puede construir a partir de un [[icosaedro]] con los 12 vértices [[Truncamiento (geometría)|truncados]] (''cortados'' o seccionados) de modo que un tercio de cada arista se corta en cada uno de los dos extremos. Esto crea 12 nuevas caras pentagonales y deja las 20 caras triangulares originales como hexágonos regulares. Así, la longitud de los bordes es un tercio de la de los bordes originales. Además, la forma tiene 1440 diagonales interiores (cada vértice del icosaedro truncado está rodeado perimetralmente por otros 11 vértices, con los que no forma diagonales interiores; y tampoco forma una diagonal consigo mismo, luego cada vértice se puede combinar con otros 48 vértices (48=60-12); en consecuencia, el número de diagonales es el resultado de dividir por dos -la diagonal entre el vértice A y el B, es la misma que la diagonal entre el vértice B y el A- el producto de ambas cifras, de forma que 60·48/2=1440).{{clear|left}}

==Características==
En [[geometría]] y en [[teoría de grafos]], hay algunos [[Poliedro|poliedros característicos]] estándar.
 
===Coordenadas cartesianas===
Las [[coordenadas cartesianas]] para los vértices de un ''icosaedro truncado'' centrado en el origen son todas [[paridad de una permutación|permutaciones pares]]:

:(0, ±1, ±3''φ'')
:(±1, ±(2&nbsp;+&nbsp;''φ''), ±2''φ'')
:(±''φ'', ±2, ±(2''φ''&nbsp;+&nbsp;1))

donde ''φ''&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}} es el [[número áureo]]. El circunradio es {{sqrt|9''φ'' + 10}} ≈ 4.956 y las aristas tienen longitud 2.<ref>{{mathworld|title=Icosahedral group|urlname=IcosahedralGroup}}</ref>

===Proyecciones ortogonales===
El ''icosaedro truncado'' tiene cinco tipos de [[operador de proyección|proyecciones ortogonales]] especiales centradas: en un vértice, en dos tipos de aristas y en dos tipos de caras (hexagonal y pentagonal). Las dos últimas corresponden a los [[plano de Coxeter|planos de Coxeter]] A<sub>2</sub> y H<sub>2</sub>.
{|class=wikitable
|+ Proyecciones ortogonales
|-
!Centradas por
!Vértice
!Arista<br />5-6
!Arista<br />6-6
!Cara<br />hexagonal
!Cara<br />pentagonal
|-
!Sólido
|
|
|[[Archivo:Polyhedron truncated 20 from blue max.png|120px]]
|[[Archivo:Polyhedron truncated 20 from yellow max.png|120px]]
|[[Archivo:Polyhedron truncated 20 from red max.png|120px]]
|-
!Alámbrico
|[[Archivo:Dodecahedron t12 v.png|120px]]
|[[Archivo:Dodecahedron t12 e56.png|120px]]
|[[Archivo:Dodecahedron t12 e66.png|120px]]
|[[Archivo:Icosahedron t01 A2.png|120px]]
|[[Archivo:Icosahedron t01 H3.png|120px]]
|- align=center
!Simetría<br />proyectiva
|[2]
|[2]
|[2]
|[6]
|[10]
|-
!Dual
|[[Archivo:Dual dodecahedron t01 v.png|120px]]
|[[Archivo:Dual dodecahedron t01 e56.png|120px]]
|[[Archivo:Dual dodecahedron t01 e66.png|120px]]
|[[Archivo:Dual dodecahedron t01 A2.png|120px]]
|[[Archivo:Dual dodecahedron t01 H3.png|120px]]
|}

===Teselado esférico{{anchor|Esférico}}===
El icosaedro truncado también se puede representar como un [[poliedro esférico]] y proyectarlo en un plano mediante una [[proyección estereográfica]]. Esta proyección es [[Transformación conforme|conforme]], preservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las ''líneas rectas'' sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
{|class=wikitable
|- align=center valign=bottom
|[[Archivo:Uniform tiling 532-t12.png|160px]]
|[[Archivo:Truncated icosahedron stereographic projection pentagon.png|160px]]<br />Centrada en [[pentágono]]
|[[Archivo:Truncated icosahedron stereographic projection hexagon.png|160px]]<br />Centrada en [[hexágono]]
|-
![[Proyección ortogonal]]
!colspan=2|[[Proyección estereográfica|Proyecciones estereográficas]]
|}

===Dimensiones===
[[Imagen:Icosahedron-golden-rectangles.svg|120px|thumb|right|Rectángulos áureos mutuamente ortogonales dibujados en el icosaedro original (antes del corte)]]

Si la longitud de la arista de un icosaedro truncado es ''a'', el [[radio (geometría)|radio]] de una  esfera circunscrita (una que toca el icosaedro truncado en todos los vértices) es:

:<math>r_\mathrm{u}= \frac{a}{2} \sqrt{1 + 9\varphi^2}= \frac{a}{4} \sqrt{58 +18\sqrt{5}} \approx 2.478\,018\,66  a</math>

donde ''φ'' es el [[número áureo]].

Este resultado es fácil de obtener utilizando uno de los tres [[rectángulo dorado|rectángulos áureos]] ortogonales dibujados en el icosaedro original (antes del corte) como punto de partida para las consideraciones realizadas. El ángulo entre los segmentos que unen el centro y los vértices conectados por el borde compartido (calculado sobre la base de esta construcción) es de aproximadamente 23,281446°.

===Área y volumen===
El área ''A'' y el volumen ''V'' del icosaedro truncado de longitud de arista ''a'' son:
:<math>\begin{align}
A &= \left ( 20 \cdot \frac32\sqrt{3} + 12 \cdot \frac54\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}} \right ) a^2 &&\approx 72.607\,253a^2 \\
V &= \frac{125+43\sqrt{5}}{4} a^3 &&\approx 55.287\,7308a^3. 
\end{align}</math>
Con aristas unitarias, el área de la superficie (redondeada) es de 21 para los pentágonos y de 52 para los hexágonos, que suman 73 (véase [[Polígono regular|áreas de polígonos regulares]]).

El icosaedro truncado muestra fácilmente la [[característica de Euler]]:
:32 + 60 − 90 = 2.

==Aplicaciones==
[[Archivo:Truncated icosahedron cherry model by George W. Hart.jpg|mini|left|175px|Escultura de un icosaedro truncado de madera, obra de [[George W. Hart]]]]
[[Archivo:Peter Stehlik 2010.08.03 003.jpg|mini|175px|[[Radomo]] icosaédrico truncado en una [[estación meteorológica]]]]

Los [[Balón de fútbol|balones de fútbol]] y los de [[balonmano]] son quizás el ejemplo más conocido de un [[poliedro esférico]] análogo al icosaedro truncado que se encuentra en la vida cotidiana.<ref>{{Cite journal|title=The Topology and Combinatorics of Soccer Balls|first1=Dieter|author1-link=Dieter Kotschick|last1=Kotschick|journal=American Scientist|year=2006|volume=94|issue=4|pages=350–357|doi=10.1511/2006.60.350}}</ref> Disponen del mismo patrón de pentágonos regulares y hexágonos regulares, pero adoptan una forma más esférica debido a la presión del aire en el interior y la elasticidad de la pelota. Este tipo de balones se introdujo en [[Copa Mundial de Fútbol de 1970]] (a partir de [[Copa Mundial de Fútbol de 2006|2006]], este diseño icónico ha sido reemplazado por [[Balón de fútbol|otros patrones]]).

Las señales de tráfico británicas que indican campos de fútbol utilizan una sección de [[teselado hexagonal]] de color uniforme para representar un balón de fútbol, en lugar de un icosaedro truncado. Esto enfureció al matemático y comediante [[Matt Parker]], quien inició una petición al gobierno del [[Reino Unido]] para cambiar estos signos, de forma que fuesen geométricamente más precisos. La petición fue finalmente rechazada.

Las [[Cúpula geodésica|cúpulas geodésicas]] generalmente se basan en facetas triangulares de esta geometría, con estructuras que pueden servir de ejemplo distribuidas por todo el mundo, popularizadas por [[Richard Buckminster Fuller]].<ref>{{cite news|last1=Krebs|first1=Albin|title=R. Buckminster Fuller Dead; Futurist Built Geodesic Dome|url=https://www.nytimes.com/1983/07/02/obituaries/r-buckminster-fuller-dead-futurist-built-geodesic-dome.html|access-date=2021-11-07|work=The New York Times|date=1983-07-02|location=New York, N.Y.|page=1}}</ref>

Se utilizó una variación del icosaedro como base de las ruedas de nido de abeja (hechas de un material polifundido) utilizadas por la [[Pontiac|Pontiac Motor Division]] entre 1971 y 1976 en sus modelos [[Pontiac Firebird|Trans Am]] y [[Pontiac Grand Prix|Grand Prix]].

Esta forma también fue la configuración de las lentes utilizadas para enfocar las ondas de choque explosivas de los detonadores de las primeras [[arma nuclear|bombas atómicas]], tanto en la [[prueba Trinity]] como en el diseño de la ''[[Fat Man]]''.<ref>{{cite book
|author=Rhodes, Richard
|title=Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb
|isbn=0-684-82414-0
|publisher=Touchstone Books
|year=1996
|pages=[https://archive.org/details/darksun00rich/page/195 195]
|url=https://archive.org/details/darksun00rich/page/195
}}</ref>

El icosaedro truncado también se puede describir como un modelo de la molécula del [[buckminsterfullereno]] (fullereno) (C<sub>60</sub>), o "buckybola", una [[alotropía]] de carbono elemental, descubierta en 1985. El [[diámetro]] de la pelota de fútbol y de la molécula de fullereno son 22&nbsp;cm y aproximadamente 0,71&nbsp;[[Nanómetro|nm]], respectivamente, por lo que la relación de tamaño es ≈31 000 000:1.

En la cultura artesanal popular, los ''[[sparkleball|sparkleballs]]'' grandes (pantallas de lámpara decorativas de forma esférica generalmente confeccionadas con materiales reutilizados) se pueden hacer usando un [https://sparkleball.com/going-big/truncated patrón de icosaedro truncado] y vasos de plástico, espuma de [[poliestireno]] o papel.

===En las artes===
<gallery widths="250" heights="250">
Archivo:Comparison of truncated icosahedron and soccer ball.png|El icosaedro truncado (izquierda) comparado con un [[balón de fútbol]]
Archivo:Buckminsterfullerene Model in Red Beads.jpg|Molécula de [[Buckminsterfullereno|fullereno]] C<sub>60</sub>
Archivo:Truncated icosahedron by Sean Journot.jpg|Icosaedro truncado mecanizado a partir de [[aluminio 6061]]
</gallery>

==Poliedros relacionados==
{{Truncados icosaédricos}}
{{Tabla Imágenes Truncados2}}

Estos [[poliedro uniforme estrellado|poliedros uniformes estrellado]]<nowiki/>s y una estelación icosaédrica tienen una [[envolvente convexa]] de icosaedros truncados no uniformes:

{|class="wikitable collapsible collapsed"
!Poliedros en estrella uniformes con bases convexas de icosaedros truncados
|-
|
{|class=wikitable
![[Archivo:Nonuniform truncated icosahedron.png|64px]]<br />Icosaedro truncado<br />no uniforme<br />2 5|3
|[[Archivo:Great truncated dodecahedron.png|64px]]<br />[[Gran dodecaedro truncado|U37]]<br /> 2 {{sfrac|5|2}}|5
|[[Archivo:Great dodecicosidodecahedron.png|64px]]<br />[[Gran dodecicosidodecaedro|U61]]<br /> {{sfrac|5|2}} 3|{{sfrac|5|3}}
|[[Archivo:Uniform great rhombicosidodecahedron.png|64px]]<br />[[Gran rombicosidodecaedro no convexo|U67]]<br /> {{sfrac|5|3}} 3|2
|[[Archivo:Great rhombidodecahedron.png|64px]]<br />[[Gran rombicosidodecaedro|U73]]<br />2 {{sfrac|5|3}} ({{sfrac|3|2}} {{sfrac|5|4}})
|[[Archivo:Complete icosahedron ortho stella.png|64px]]<br />[[Estelación completa del icosaedro|Estelación completa]]
|-
![[Archivo:Rhombidodecadodecahedron convex hull.png|64px]]<br />Icosaedro truncado<br />no uniforme<br />2 5|3
|[[Imagen:Rhombidodecadodecahedron.png|64px]]<br />[[Rombidodecadodecaedro|U38]]<br />{{sfrac|5|2}} 5|2
|[[Imagen:Icosidodecadodecahedron.png|64px]]<br />[[Icosidodecadodecaedro|U44]]<br />{{sfrac|5|3}} 5|3
|[[Imagen:Rhombicosahedron.png|64px]]<br />[[Rombicosaedro|U56]]<br />2 3 (5/4 {{sfrac|5|2}})|
|-
![[Archivo:Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png|64px]]<br />Icosaedro truncado<br />no uniforme<br />2 5|3
|[[Archivo:Small snub icosicosidodecahedron.png|64px]]<br />[[Pequeño icosicosidodecaedro achatado|U32]]<br />|{{sfrac|5|2}} 3 3
|}
|}
Este poliedro se parece al [[dodecaedro achaflanado]] uniforme, que también tiene 12 pentágonos pero que cuenta con 30 hexágonos.

==Grafo icosaédrico truncado==
{{Ficha de grafo
|nombre= Grafo icosaédrico truncado
|imagen= [[Archivo:Truncated icosahedral graph.png|240px]]
|pie= [[Diagrama de Schlegel]] con simetría de multiplicidad 6
|namesake= 
|vértices= 60
|aristas= 90
|automorfismos= 120
|radius= 
|diameter= 
|girth= 
|número_cromático= 3
|propiedades= [[Grafo cúbico|Cúbico]], [[Camino hamiltoniano|hamiltoniano]], [[Grafo regular|regular]], [[grafo cero-simétrico|cero-simétrico]]
}}

En el campo de la [[teoría de grafos]], un '''grafo icosaédrico truncado''' es el [[N-esqueleto|''esqueleto'']] del ''icosaedro truncado'', uno de los [[Sólidos arquimedianos]]. Tiene 60 [[Vértice (teoría de grafos)|vértices]] y 90 aristas, y es un [[grafo arquimediano]] [[Grafo cúbico|cúbico]].<ref>{{cite book|last1=Read|first1=R. C.|last2=Wilson|first2=R. J.|title=An Atlas of Graphs|publisher=[[Oxford University Press]]|year= 1998|page=268}}</ref><ref>{{MathWorld|TruncatedIcosahedralGraph|Truncated icosahedral graph}}</ref><ref>Godsil, C. and Royle, G. ''Algebraic Graph Theory'' New York: Springer-Verlag, p. 211, 2001</ref><ref>Kostant, B. ''The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois.'' Notices Amer. Math. Soc. 42, 1995, pp. 959-968 [http://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf PDF]</ref>

{|class=wikitable
|+ Proyección ortográfica
|- align=center
|[[Archivo:Icosahedron t01 H3.png|240px]]<br />5-veces simétrica
|[[Archivo:Truncated icosahedral graph pentcenter.svg|240px]]<br />5-diagrama de Schlegel
|}
{{clear|right}}

==Historia==
[[Archivo:Piero della Francesca - Libellus de quinque corporibus regularibus - p52b (cropped).jpg|thumb|Imagen de [[Piero della Francesca]] de un icosaedro truncado, de su libro ''[[De quinque corporibus regularibus]]'']]

El icosaedro truncado fue conocido por [[Arquímedes]], quien clasificó los conocidos como 13 sólidos de Arquímedes en un trabajo perdido. Todo lo que se sabe de su trabajo sobre estas formas proviene de [[Papo de Alejandría]], quien se limitó a enumerar el número de caras de cada una: 12 pentágonos y 20 hexágonos, en el caso del icosaedro truncado. La primera imagen conocida y descripción completa de un icosaedro truncado proviene de un redescubrimiento de [[Piero della Francesca]], en su libro del {{siglo|XV||s}} ''[[De quinque corporibus regularibus]]'',<ref>{{cite conference|url=https://www.researchgate.net/publication/318646465|contribution=Bridges between mathematics, natural sciences, architecture and art: case of fullerenes|title=Art, Science, and Technology: Interaction Between Three Cultures, Proceedings of the First International Conference|year=2011|last=Katz|first=Eugene A.|pages=60–71}}</ref> que incluía cinco de los sólidos de Arquímedes (los cinco truncamientos de los poliedros regulares). La misma forma fue representada por [[Leonardo da Vinci]], en sus ilustraciones para el plagio de [[Luca Pacioli]] del libro de della Francesca en 1509. Aunque [[Alberto Durero]] omitió esta forma de los otros sólidos de Arquímedes enumerados en su libro de 1525 sobre poliedros, ''Underweysung der Messung'', se encontró una descripción en sus artículos póstumos, publicados en 1538. Más adelante, [[Johannes Kepler]] redescubrió la lista completa de los 13 sólidos de Arquímedes, incluido el icosaedro truncado, y los incluyó en su libro de 1609, ''[[Harmonices mundi]]''.<ref>{{cite journal|last=Field|first=J. V.|author-link=Judith V. Field|doi=10.1007/BF00374595|issue=3–4|journal=[[ Archive for History of Exact Sciences]]|mr=1457069|pages=241–289|title=Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler|volume=50|year=1997|jstor=41134110|s2cid=118516740 }}</ref>

==Véase también==
* [[Fullereno]]
* [[ Hyperbolic soccerball]]
* [[ Snyder equal-area projection]]
* [[Balón de fútbol]]

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} (Sección 3-9)
* {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry"|url=https://archive.org/details/polyhedra0000crom|chapter=Archimedean solids|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|pages=[https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/79 79]–86|isbn=0-521-55432-2|oclc=180091468}}

==Enlaces externos==
{{wiktionary}}
* {{mathworld|urlname=TruncatedIcosahedron|title=Truncated icosahedron|urlname2=ArchimedeanSolid|title2=Archimedean solid}}
** {{mathworld|urlname=TruncatedIcosahedralGraph|title=Truncated icosahedral graph}}
* {{KlitzingPolytopes|polyhedra.htm|3D convex uniform polyhedra|x3x5o - ti}}
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html Red imprimible editable de un icosaedro truncado con vista 3D interactiva]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ Los poliedros uniformes]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html "Polyhedra de Realidad Virtual"]—''La Enciclopedia de Poliedros''
* [http://visualoop.com/blog/22881/3d-world-cup-dataviz-ball-by-times-of-oman Visualización de datos en papel 3D Balón de la Copa del Mundo] {{Wayback|url=http://visualoop.com/blog/22881/3d-world-cup-dataviz-ball-by-times-of-oman |date=20210318033609 }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sólidos arquimedianos]]
[[Categoría:Poliedros de Goldberg]]
[[Categoría:Grafos individuales]]
[[Categoría:Teselados truncados]]
[[Categoría:Poliedros uniformes]]
[[Categoría:Poliedros regulares]]