Ver el código de «Leyes de De Morgan»

{{Reglas de transformación}}
En [[lógica proposicional]] y [[álgebra de Boole]], las '''leyes de [[Augustus De Morgan|De Morgan]]'''<ref>Copi y Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore y Parker</ref> son un par de reglas de transformación que son ambas [[reglas de inferencia]] [[Validez lógica|válidas]]. Las normas permiten la expresión de las [[Conjunción lógica|conjunciones]] y [[disyunción lógica|disyunciones]] puramente en términos de  vía negación. 

Las reglas se pueden expresar en español.La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.<br>La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
«'''''no (A y B)'''''» es lo mismo que «'''''(no A) o (no B)'''''»<br><br>y  también,<br><br>«'''''no (A o B)'''''» es lo mismo que «'''''(no A) y (no B)'''''»

Las reglas pueden ser expresadas en  [[lenguaje formal]] con dos proposiciones ''P'' y ''Q'', de esta forma:

:<math>\neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q)</math>
:<math>\neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q)</math>

donde:
*¬ es el operador de negación (NO)
*<math>\land</math> es el operador de conjunción (Y)
*<math>\lor</math>  es el operador de disyunción (O)
*⇔ es un símbolo [[metalógica|metalógico]] que significa «puede ser reemplazado en una [[prueba formal|prueba lógica]]»

Entre las aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de [[Expresión (informática)|expresiones]] lógicas en [[Programa informático|programas de computación]] y [[diseño de circuitos]] digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de [[Dualidad (matemáticas)|dualidad matemática]].

== Notación formal == 

La regla de la negación de la conjunción se puede escribir en la subsiguiente notación:
:<math>\neg(P \land Q) \vdash (\neg P \lor \neg Q)</math>

La regla de la negación de disyunción se puede escribir como:
:<math>\neg(P \lor Q) \vdash (\neg P \land \neg Q)</math>

En [[regla de inferencia|forma de regla]]: ''negación de la conjunción''
:<math>\frac{\neg (P \land Q)}{\therefore \neg P \lor \neg Q}</math>

y
''negación de la disyunción''
:<math>\frac{\neg (P \lor Q)}{\therefore \neg P \land \neg Q}</math>

y se expresa como una [[tautología (lógica)|tautología]] verdad-funcional o [[teorema]] de lógica proposicional:

:<math>\neg (P \land Q) \to (\neg P \lor \neg Q)</math>
:<math>\neg (P \lor Q) \to (\neg P \land \neg Q)</math>

donde <math>P</math>, y <math>Q</math> son proposiciones expresadas en algún [[sistema formal]].

=== Forma de sustitución ===
Normalmente, las leyes de De Morgan se muestran en forma compacta como se muestran arriba, con la negación de la salida de la izquierda y la de las entradas a la derecha. Aunque una forma de sustitución más clara para la conjunción y la disyunción es la que se muestra abajo:

==== Conjunción ====
La conjunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la disyunción de los términos negados 

:<math>\frac{P \land Q}{\ \neg (\neg P \lor \neg Q)}</math>

==== Disyunción ====
La disyunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y la negación de Q

:<math>\frac{P \lor Q}{\ \neg ( \neg P \land \neg Q)}</math>

==== Negaciones de operadores en las conjunciones y disyunciones ====

'''Conjunción con P negada'''

La conjunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la disyunción de P y la negación de Q

:<math>\frac{\neg P \land Q}{\ \neg (P \lor \neg Q)}</math>

'''Conjunción con Q negada'''

La conjunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la disyunción de la negación de P y Q

:<math>\frac{P \land \neg Q}{\ \neg (\neg P \lor Q)}</math>

'''Conjunción tanto de P como de Q negadas'''

La conjunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la negación de la disyunción de P y Q

:<math>\frac{\neg P \land \neg Q}{\ \neg (P \lor Q)}</math>

'''Disyunción con P negada'''

La disyunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la conjunción de P y la negación de Q

:<math>\frac{\neg P \lor Q}{\ \neg (P \land \neg Q)}</math>

Esta forma también es equivalente al implica de la negación del término P y la negación del término Q

:<math>\frac{\neg (P \lor Q)}{\ \neg (\neg P \rightarrow  Q)}</math>

'''Disyunción con Q negada'''

La disyunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y Q

:<math>\frac{P \lor \neg Q}{\ \neg (\neg P \land Q)}</math>

'''Disyunción tanto de P como de Q negadas'''

La disyunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la conjunción de la disyunción de P y Q

:<math>\frac{\neg P \lor \neg Q}{\ \neg (P \land Q)}</math>

Esto pone de relieve la necesidad de invertir tanto en las entradas como en las salidas, así como también cambiar el operador, haciendo una sustitución.

=== Teoría de conjuntos y el álgebra de Boole ===

En la [[teoría de conjuntos]] y el [[álgebra booleana|álgebra de Boole]], a menudo se indica como «intercambio de unión e intersección bajo complementarios»,<ref>''Boolean Algebra'' Por R. L. Goodstein. ISBN 0-486-45894-6</ref> que puede ser expresado formalmente como:
*<math>\overline{A \cup B}\equiv\overline{A} \cap \overline{B}</math>
*<math>\overline{A \cap B}\equiv\overline{A} \cup \overline{B}</math> 

donde: 
*{{overline|''A''}} es la negación de A, la línea alta está escrita sobre las términos que se niegan
*<math> \cap </math> es el operador [[Intersección de conjuntos|intersección]] (Y)
*<math> \cup </math> es el operador [[Unión de conjuntos|unión]] (O)

La forma generalizada es:
: <math>\overline{\bigcap_{i \in I} A_{i}}\equiv\bigcup_{i \in I} \overline{A_{i}}</math>
: <math>\overline{\bigcup_{i \in I} A_{i}}\equiv\bigcap_{i \in I} \overline{A_{i}}</math>

donde ''I'' es un conjunto indexado, posiblemente no numerable.

Se puede recordar la ley de De Morgan, en notación de conjunto, mediante la regla [[nemotécnica]] "romper la línea, cambiar el signo".<ref>[http://books.google.com/books?id=NdAjEDP5mDsC&pg=PA81&lpg=PA81&dq=break+the+line+change+the+sign&source=web&ots=BtUl4oQOja&sig=H1Wz9e6Uv_bNeSbTvN6lr3s47PQ#PPA81,M1 2000 Solved Problems in Digital Electronics] de S. P. Bali</ref>

=== Ingeniería ===

En [[ingeniería electrónica]] e [[Ingeniería informática | informática]], la ley de De Morgan se escribe comúnmente como:
: <math>\overline{A \cdot B} \equiv \overline {A} + \overline {B}</math>
: <math>\overline{A + B} \equiv \overline {A} \cdot \overline {B}</math>

Que se puede leer como:
:La negación del producto es igual a la suma de los negados.
:La negación de la suma es igual al producto de los negados.


donde:
* <math> \cdot </math> es el producto lógico (Y).
* <math>+</math> es la suma lógica (O).
* la {{overline|barra superior}} es la negación lógica (NO) de lo que está por debajo de la barra superior.

== Historia ==

La ley lleva el nombre de [[Augustus De Morgan]] (1806-1871)<ref>''[http://www.mtsu.edu/~phys2020/Lectures/L19-L25/L3/DeMorgan/body_demorgan.html DeMorgan’s Theorems] {{Wayback|url=http://www.mtsu.edu/~phys2020/Lectures/L19-L25/L3/DeMorgan/body_demorgan.html |date=20080323122125 }}'' en mtsu.edu</ref> que presentó una versión formal de las leyes de la [[lógica proposicional]] clásica. La formulación de De Morgan fue influenciada por la alegorización de la lógica emprendida por [[George Boole]], que más tarde consolidó la afirmación de De Morgan para el hallazgo. Aunque [[Aristóteles]] ya había hecho una observación similar y eran conocidas por los lógicos griegos y medievales<ref>Bocheński's ''History of Formal Logic'' (''Historia de la lógica formal'')</ref> (en el {{siglo|XIV||s}}, [[Guillermo de Ockham]] escribió las palabras que resultarían leyendo las leyes a cabo),<ref>William of Ockham, ''Summa Logicae'', parte II, secciones 32 y 33.</ref> a De Morgan se le da crédito de afirmar formalmente las leyes y de su incorporación al lenguaje de la lógica. Las leyes de De Morgan pueden ser probadas fácilmente, e incluso pueden parecer triviales.<ref>[https://web.archive.org/web/20100715185655/http://www.engr.iupui.edu/~orr/webpages/cpt120/mathbios/ademo.htm Augustus De Morgan (1806-1871)] por Robert H. Orr</ref> Sin embargo, estas leyes son útiles para hacer inferencias válidas en las pruebas y los argumentos deductivos.

== Prueba informal ==

El teorema de De Morgan se puede aplicar tanto a la negación de una [[disyunción lógica|disyunción]] como a la negación de una [[conjunción lógica|conjunción]] en la totalidad o parte de una fórmula.

=== Negación de una disyunción ===
En el caso de su aplicación a una disyunción, considere la siguiente afirmación: «es falso que uno de A o B es verdadero», que se escribe como:
:<math>\neg(A\land B)</math> 
En que se ha establecido que ni A ni B es cierto, entonces debe seguir que tanto A no es verdad como B no es verdad, que puede ser escrito directamente como:
:<math>(\neg A)\lor(\neg B)</math>

Presentadas en español, esto sigue la lógica de que «Como es falso que dos cosas sean verdaderas, al menos uno de ellos debe ser falsa».

Trabajando en dirección opuesta, la segunda expresión afirma que A es falsa y B es falsa (o equivalentemente que «no A» y «no B» son verdaderas). Sabiendo esto, una disyunción de A y B también debe ser falsas. Por lo tanto, la negación de dicha separación debe ser verdad, y el resultado es idéntico al de la primera reivindicación.

== Prueba formal ==
La prueba que <math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math> se realiza por primera probando que <math>(A\cap B)^c \subseteq A^c \cup B^c</math>, y luego probando que <math>A^c \cup B^c \subseteq (A\cap B)^c</math> obviamente este procedimiento es válido.

Considérese <math>x \in (A \cap B)^c</math>.  Entonces <math>x \not\in A \cap B</math>.  Ya que <math>A \cap B = \{y | y \in A \text{ y } y \in B\}</math>, entonces ya sea <math>x \not\in A</math> o <math>x \not\in B</math>.  Si <math>x \not\in A</math>, entonces <math>x \in A^c</math>, entonces <math>x \in A^c \cup B^c</math>.  De otro modo, si <math>x \not\in B</math>, entonces <math>x \in B^c</math>, por lo tanto <math>x \in A^c\cup B^c</math>.  Debido a que esto es cierto para cualquier arbitrario <math>x \in (A\cap B)^c</math>, entonces <math>\forall x \in (A\cap B)^c, x \in A^c \cup B^c</math>, y entonces <math>(A\cap B)^c \subseteq A^c \cup B^c</math>.

Para probar la dirección inversa, asumir que <math>\exist x \in A^c \cup B^c</math> de tal forma que <math>x \not\in (A\cap B)^c</math>.  Entonces <math>x \in A\cap B</math>. De ello resulta que <math>x \in A</math> y <math>x \in B</math>.  Entonces <math>x \not\in A^c</math> y <math>x \not\in B^c</math>.  Pero luego <math>x \not\in A^c \cup B^c</math>, contradiciendo la hipótesis de que <math>x \in A^c \cup B^c</math>. Por lo tanto, <math>\forall x \in A^c \cup B^c, x \in (A\cap B)^c</math>, y <math>A^c \cup B^c \subseteq (A\cap B)^c</math>.

Como <math>A^c \cup B^c \subseteq (A\cap B)^c</math> y <math>(A \cap B)^c \subseteq A^c \cup B^c</math>, entonces <math>(A\cap B)^c = A^c \cup B^c</math>, concluyendo la prueba de la ley de De Morgan.

De manera similar, se comprueba la otra ley de De Morgan, que <math>(A\cup B)^c = A^c \cap B^c</math>.

== Extensiones ==

[[Archivo:DeMorgan Logic Circuit diagram DIN.svg|thumb|Las leyes de De Morgan representadas como un circuito con puertas lógicas]]

En extensiones de la lógica proposicional, se mantiene la dualidad clásica, (es decir, a cualquier operador lógico siempre podemos encontrar su doble), ya que en la presencia de las identidades que rigen la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el doble de De Morgan del otro. Esto conduce a una importante propiedad de la lógica basada en la lógica clásica, a saber, la existencia de [[formas normales de negación]]: cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula en la que solo se producen negaciones aplicadas a las atómicas no lógicas de la fórmula. La existencia de formas normales negadas conduce a muchas aplicaciones, por ejemplo en el diseño de [[circuito digital|circuitos digitales]], donde se utiliza para manipular los tipos de [[puerta lógica|compuertas lógicas]], y en la lógica formal, donde es un requisito previo para encontrar la [[forma normal conjuntiva]] y la [[forma normal disyuntiva]] de una fórmula. Los programadores de computadoras los utilizan para simplificar o bien negar complicadas [[Sentencia condicional|condiciones lógicas]]. También suelen ser útiles para los cálculos en la [[teoría de probabilidad]] elemental.

Vamos a definir el dual de cualquier operador P(''p'', ''q'', ...) en función de las proposiciones elementales ''p'', ''q'', ... para ser el operador <math>\mbox{P}^d</math> definido por

:<math>\mbox{P}^d(p, q, ...) = \neg P(\neg p, \neg q, \dots).</math>

Esta idea se puede generalizar a los cuantificadores, así que, por ejemplo el [[cuantificador universal]] y [[cuantificador existencial]] son duales:

:<math> \forall x \, P(x) \equiv \neg \exists x \, \neg P(x), </math>

:<math> \exists x \, P(x) \equiv \neg \forall x \, \neg P(x). </math>

Relacionar estas dualidades del cuantificador a las leyes de De Morgan, establecer un [[Teoría de modelos|modelo]] con un pequeño número de elementos en su dominio ''D'', tales como

:''D'' = {''a'', ''b'', ''c''}.

Entonces

:<math> \forall x \, P(x) \equiv P(a) \land P(b) \land P(c) </math>

y

:<math> \exists x \, P(x) \equiv P(a) \lor P(b) \lor P(c).\, </math>

Pero, usando las leyes de De Morgan,

:<math> P(a) \land P(b) \land P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \lor \neg P(b) \lor \neg P(c)) </math>

y

:<math> P(a) \lor P(b) \lor P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \land \neg P(b) \land \neg P(c)), </math>
verificando las dualidades del cuantificador en el modelo.

Entonces, las dualidades del cuantificador pueden ser extendidas aún más a la [[lógica modal]], que relaciona el cuadro de los operadores («necesariamente») y diamante («posiblemente»):

:<math> \Box p \equiv \neg \Diamond \neg p, </math>
:<math> \Diamond p \equiv \neg \Box \neg p.\, </math>

En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, [[Aristóteles]] observó este caso, y en el caso de la [[lógica modal normal]], se puede entender la relación de estos operadores modales a la cuantificación mediante la creación de modelos utilizando la [[semántica de Kripke]].

== Véase también ==
*[[Isomorfismo]] (operador NO como isomorfismo entre lógica positiva y lógica negativa)
*[[Lista de temas de álgebra de Boole|Lista de los temas de álgebra de Boole]]
*[[Proposición]]

== Referencias ==
{{listaref}}

==Enlaces externos == 
* {{springer|título=Duality principle (Principio de dualidad)|id=p/d034130}}
* {{MathWorld | url=deMorgansLaws | título=de Morgan's Laws}}
* {{PlanetMath | url=DeMorgansLaws | título= Leyes de De Morgan | id=2308}} (en inglés)
{{traducido ref|en|De Morgan's laws|oldid=596487957|trad=total y basada en}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Lógica matemática]]
[[Categoría:Reglas de inferencia]]
[[Categoría:Teorías de dualidad]]]
[[Categoría:Teoremas de la lógica proposicional]]
[[Categoría:Leyes epónimas|De Morgan]]
[[Categoría:Epónimos relacionados con las matemáticas|Morgan, leyes]]