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En [[estadística]], los '''métodos de Montecarlo basados en cadenas de Markov''' (MCMC por sus siglas en inglés,  ''Markov chain Montecarlo'') comprenden una clase de [[Algoritmo|algoritmos]] para el muestreo de una [[distribución de probabilidad]]. Construyendo una [[Cadena de Márkov|cadena de Markov]] que tiene la distribución deseada como su distribución de equilibrio, se puede obtener una muestra de la distribución deseada registrando estados de la cadena. Cuantos más pasos se incluyan, más se acercará la distribución de la muestra a la distribución real deseada. Existen varios algoritmos para construir cadenas, incluido el [[Algoritmo de Metropolis-Hastings|algoritmo de Metrópolis-Hastings]].

== Ámbitos de aplicación ==
Los métodos MCMC se utilizan principalmente para calcular [[Análisis numérico|aproximaciones numéricas]] de [[Integral múltiple|integrales]] múltiples, por ejemplo en [[estadística bayesiana]], [[física computacional]],<ref>{{Cita publicación|título=Retrieving fields from proton radiography without source profiles|apellidos=Kasim|nombre=M.F.|apellidos2=Bott|nombre2=A.F.A.|fecha=September 2019|publicación=Physical Review E|volumen=100|número=3|página=033208|bibcode=2019PhRvE.100c3208K|doi=10.1103/PhysRevE.100.033208|pmid=31639953|apellidos3=Tzeferacos|nombre3=P.|apellidos4=Lamb|nombre4=D.Q.|apellidos5=Gregori|nombre5=G.|apellidos6=Vinko|nombre6=S.M.|arxiv=1905.12934}}</ref> [[Biología computacional|biología computacional]]<ref>{{Cita publicación|título=Comparison of Parameter Estimation Methods in Stochastic Chemical Kinetic Models: Examples in Systems Biology|apellidos=Gupta|nombre=Ankur|apellidos2=Rawlings|nombre2=James B.|fecha=April 2014|publicación=AIChE Journal|volumen=60|número=4|páginas=1253–1268|doi=10.1002/aic.14409|pmc=4946376|pmid=27429455}}</ref> y [[lingüística computacional]].<ref>See Gill 2008.</ref><ref>See Robert & Casella 2004.</ref>

En la estadística bayesiana, el reciente desarrollo de los métodos MCMC ha permitido calcular grandes [[Red bayesiana|modelos jerárquicos]] que requieren integraciones sobre cientos o miles de parámetros desconocidos.<ref>{{Cita libro|apellidos=Banerjee|nombre=Sudipto|apellidos2=Carlin|nombre2=Bradley P.|apellidos3=Gelfand|nombre3=Alan P.|título=Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data|editorial=CRC Press|isbn=978-1-4398-1917-3|página=xix|edición=Second|fecha=2014-09-12}}</ref>

En el muestreo de eventos raros, también se utilizan para generar muestras que pueblan gradualmente la región de fallos raros.{{Cita requerida}}

== Explicación general ==
[[Archivo:Metropolis_algorithm_convergence_example.png|miniaturadeimagen|Convergencia del [[Algoritmo de Metropolis-Hastings|algoritmo Metrópolis-Hastings]]. El método MCMC intenta aproximar la distribución azul a la distribución naranja.]]
Los métodos de Montecarlo basados en cadenas de Markov crean muestras de una [[variable aleatoria]] continua, con una [[Función de densidad de probabilidad|densidad de probabilidad]] proporcional a una función conocida. Estas muestras pueden utilizarse para evaluar una integral sobre esa variable, como su [[Esperanza (matemática)|valor esperado]] o su [[varianza]].

En la práctica, se suele desarrollar una [[Colectividad estadística|colectividad]] de cadenas que parten de un conjunto de puntos elegidos arbitrariamente y suficientemente distantes entre sí. Estas cadenas son [[Proceso estocástico|procesos estocásticos]] de "caminantes" que se desplazan aleatoriamente según un algoritmo que busca lugares con una contribución razonablemente alta a la integral para desplazarse a continuación, asignándoles mayores probabilidades.

Los métodos de Montecarlo de paseo aleatorio son un tipo de [[Simulación por computadora|simulación]] aleatoria o [[método de Montecarlo]]. Sin embargo, mientras que las muestras aleatorias del integrando utilizadas en una [[Integración de Monte Carlo|integración de Montecarlo]] convencional son [[Independencia (probabilidad)|estadísticamente independientes]], las utilizadas en MCMC están [[Autocorrelación|autocorrelacionadas]]. La correlación de las muestras introduce la necesidad de utilizar el [[teorema del límite central]] al estimar el error de los valores medios.

Estos algoritmos crean [[Cadena de Márkov|cadenas de Markov]] tales que tienen una distribución de equilibrio que es proporcional a la función dada.

== Reducción de la correlación ==
Aunque los métodos MCMC se crearon para abordar problemas multidimensionales mejor que los algoritmos genéricos de Montecarlo, cuando el número de dimensiones aumenta también tienden a sufrir la [[maldición de la dimensión]]: las regiones de mayor probabilidad tienden a estirarse y perderse en un volumen creciente de espacio que contribuye poco a la integral. Una forma de abordar este problema podría ser acortar los pasos del caminante, de forma que no intente continuamente salir de la región de mayor probabilidad, aunque de esta forma el proceso sería altamente autocorrelacionado y costoso (es decir, se necesitarían muchos pasos para obtener un resultado preciso). Métodos más sofisticados, como los métodos hamiltonianos de Montecarlo y el [[algoritmo de Wang-Landau]], utilizan diversas formas de reducir esta autocorrelación, al tiempo que consiguen mantener el proceso en las regiones que dan una mayor contribución a la integral. Estos algoritmos suelen basarse en una teoría más complicada y son más difíciles de aplicar, pero suelen converger más rápidamente.

== Ejemplos ==

=== Paseo aleatorio ===

* [[Algoritmo de Metropolis-Hastings|Algoritmo de Metrópolis-Hastings]]: Este método genera una cadena de Markov utilizando una densidad de propuesta para nuevos pasos y un método para rechazar algunos de los movimientos propuestos. En realidad es un marco general que incluye como casos especiales el primer y más sencillo MCMC (algoritmo de Metrópolis) y muchas alternativas más recientes que se enumeran a continuación.
** [[Muestreo de Gibbs]]: Este método requiere que todas las distribuciones condicionales de la distribución objetivo sean muestreadas exactamente. Cuando la extracción de las distribuciones condicionales completas no es sencilla, se utilizan otros muestreadores dentro de Gibbs (por ejemplo, véase<ref>{{Cita publicación|title=Adaptive Rejection Sampling for Gibbs Sampling|last1=Gilks|first1=W. R.|last2=Wild|first2=P.|date=1992-01-01|journal=Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics)|volume=41|issue=2|pages=337–348|doi=10.2307/2347565|jstor=2347565}}</ref><ref>{{Cita publicación|title=Adaptive Rejection Metropolis Sampling within Gibbs Sampling|last1=Gilks|first1=W. R.|last2=Best|first2=N. G.|author2-link=Nicky Best|date=1995-01-01|journal=Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics)|volume=44|issue=4|pages=455–472|doi=10.2307/2986138|last3=Tan|first3=K. K. C.|jstor=2986138}}</ref>). El muestreo de Gibbs es popular en parte porque no requiere ningún "ajuste". La estructura del algoritmo del muestreo de Gibbs se asemeja mucho a la de la inferencia variacional por ascenso de coordenadas, ya que ambos algoritmos utilizan las distribuciones condicionales completas en el procedimiento de actualización.<ref>{{Cita publicación|título=Gibbs sampler and coordinate ascent variational inference: A set-theoretical review|apellidos=Lee|nombre=Se Yoon|publicación=Communications in Statistics - Theory and Methods|páginas=1–21|doi=10.1080/03610926.2021.1921214|año=2021|arxiv=2008.01006}}</ref>
** Algoritmo de Langevin ajustado por Metrópolis y otros métodos que se basan en el gradiente (y posiblemente en la segunda derivada) de la densidad logarítmica del objetivo para proponer pasos que tengan más probabilidades de ir en la dirección de una mayor densidad de probabilidad.<ref>See Stramer 1999.</ref>
** Método de Metrópolis-Hastings pseudo-marginal: Este método sustituye la evaluación de la densidad de la distribución objetivo por una estimación insesgada y es útil cuando la densidad objetivo no está disponible analíticamente, por ejemplo, en los modelos de variables latentes.
* Muestreo por cortes: Este método se basa en el principio de que se puede realizar un muestreo de una distribución tomando muestras uniformes de la región bajo el gráfico de su función de densidad. Alterna el muestreo uniforme en la dirección vertical con el muestreo uniforme de la "rebanada" horizontal definida por la posición vertical actual.
* Método de Metrópolis de múltiples intentos: Este método es una variación del algoritmo Metrópolis-Hastings que permite realizar múltiples ensayos en cada punto. Al permitir dar pasos más grandes en cada iteración, ayuda a resolver la maldición de la dimensionalidad.
* Salto reversible: Este método es una variante del algoritmo Metropolis-Hastings que permite propuestas que cambian la dimensionalidad del espacio.<ref>See Green 1995.</ref> Los métodos de Montecarlo con cadena de Markov que cambian la dimensionalidad se han utilizado durante mucho tiempo en aplicaciones de [[física estadística]], donde para algunos problemas se utiliza una distribución que es una [[colectividad macrocanónica]] (por ejemplo, cuando el número de moléculas en una caja es variable). Pero la variante de salto reversible es útil cuando se hace un Montecarlo de cadena de Markov o un muestreo de Gibbs sobre modelos bayesianos [[Estadística no paramétrica|no paramétricos]], como los que implican el proceso de Dirichlet o el [[Proceso estocástico del restaurante chino|proceso de restaurante chino]], en los que el número de componentes de mezcla/clústeres/etc. se infiere automáticamente de los datos.
* Métodos hamiltonianos (o híbridos) de Montecarlo (HMC): Intenta evitar el comportamiento de paseo aleatorio introduciendo un [[Cantidad de movimiento|vector de momento]] auxiliar e implementando la [[Mecánica hamiltoniana|dinámica hamiltoniana]], de modo que la función de energía potencial es la densidad objetivo. Las muestras de momento se descartan después del muestreo. El resultado final del Montecarlo Híbrido es que las propuestas se mueven a través del espacio muestral en pasos más grandes; por lo tanto, están menos correlacionadas y convergen a la distribución objetivo más rápidamente.

=== Métodos de partículas interactivas ===
Las metodologías MCMC interactivas son una clase de métodos de partículas de campo medio para obtener muestras aleatorias de una secuencia de distribuciones de probabilidad con un nivel creciente de complejidad de muestreo.<ref name="dp13">{{Cita libro|apellidos=Del Moral|nombre=Pierre|título=Mean field simulation for Monte Carlo integration|año=2013|editorial=Chapman & Hall/CRC Press|url=http://www.crcpress.com/product/isbn/9781466504059|páginas=626}}</ref> Estos modelos probabilísticos incluyen modelos de estado de espacio de trayectoria con un horizonte temporal creciente, distribuciones posteriores en función de la secuencia de observaciones parciales, conjuntos de niveles de restricción crecientes para distribuciones condicionales, programas de temperatura decrecientes asociados a algunas distribuciones de Boltzmann-Gibbs, y muchos otros. En principio, cualquier muestreador de Montecarlo con cadena de Markov puede convertirse en un muestreador de Montecarlo con cadena de Markov interactiva. Estos muestreadores de Montecarlo de cadenas de Markov interactivas pueden interpretarse como una forma de ejecutar en paralelo una secuencia de muestreadores de Montecarlo de cadenas de Markov. Por ejemplo, los [[Algoritmo de recocido simulado|algoritmos de recocido simulado]] interactivo se basan en movimientos independientes de Metropolis-Hastings que interactúan secuencialmente con un mecanismo de tipo selección-muestreo. A diferencia de los métodos tradicionales de Montecarlo en cadena de Markov, el parámetro de precisión de esta clase de muestreadores de Montecarlo en cadena de Markov interactivos sólo está relacionado con el número de muestreadores de Montecarlo en cadena de Markov interactivos. Estas metodologías avanzadas de partículas pertenecen a la clase de modelos de partículas de Feynman-Kac,<ref name="dp042">{{cite book|last=Del Moral|first=Pierre|title=Feynman-Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations|year=2004|publisher=Springer|url=https://www.springer.com/mathematics/probability/book/978-0-387-20268-6|pages=575}}</ref><ref name="dmm0022">{{cite book|last1=Del Moral|editor4=Marc Yor|doi=10.1007/bfb0103798|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SPS/SPS_2000__34_/SPS_2000__34__1_0/SPS_2000__34__1_0.pdf|pages=1–145|volume=1729|date=2000|series=Lecture Notes in Mathematics|editor3=Michel Émery|first1=Pierre|editor2=Michel Ledoux|editor=Jacques Azéma|title=Séminaire de Probabilités XXXIV|contribution=Branching and Interacting Particle Systems Approximations of Feynman-Kac Formulae with Applications to Non-Linear Filtering|first2=Laurent|last2=Miclo|isbn=978-3-540-67314-9}}</ref> también llamados métodos de Montecarlo secuencial o de [[filtro de partículas]] en las comunidades de [[inferencia bayesiana]] y de [[Procesado de señal|procesamiento de señales]].<ref name=":32">{{Cita publicación|title=Sequential Monte Carlo samplers|last1=Del Moral|first1=Pierre|journal=Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology)|volume=68|issue=3|pages=411–436|doi=10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x|year=2006|arxiv=cond-mat/0212648|s2cid=12074789}}</ref> Los métodos de Montecarlo de cadenas de Markov interactivas también pueden interpretarse como un [[algoritmo genético]] de partículas de selección de mutaciones con mutaciones de Montecarlo de cadenas de Markov.

=== Cadenas de Markov cuasi-Montecarlo (MCQMC)<ref>{{Cita publicación|título=Consistency of Markov chain quasi-Monte Carlo on continuous state spaces|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_2011-04_39_2/page/673|apellidos=Chen|nombre=S.|apellidos2=Dick|nombre2=Josef|publicación=[[Annals of Statistics]]|volumen=39|número=2|páginas=673–701|doi=10.1214/10-AOS831|apellidos3=Owen|nombre3=Art B.|año=2011|arxiv=1105.1896}}</ref> ===
La ventaja de las secuencias de baja discrepancia en lugar de los números aleatorios para el muestreo Montecarlo independiente simple es bien conocida.<ref>{{Cita publicación|title=Beating Monte Carlo|last1=Papageorgiou|first1=Anargyros|last2=Traub|first2=J. F.|journal=Risk|volume=9|issue=6|pages=63–65|year=1996}}</ref> Este procedimiento, conocido como método cuasi-Montecarlo (QMC),<ref>{{Cita publicación|title=On quasi-monte carlo integrations|last1=Sobol|first1=Ilya M|journal=Mathematics and Computers in Simulation|volume=47|issue=2|pages=103–112|doi=10.1016/s0378-4754(98)00096-2|year=1998}}</ref> produce un error de integración que decae a un ritmo superior al obtenido por el muestreo IID, por la [[Sucesión de baja discrepancia|desigualdad de Koksma-Hlawka]]. Empíricamente permite reducir tanto el error de estimación como el tiempo de convergencia en un orden de magnitud.{{Citation needed|date=April 2015}} El método Array-RQMC combina el cuasi-Montecarlo aleatorio y la simulación en cadena de Markov, simulando <math>n</math> cadenas simultáneamente de forma que la distribución empírica de los <math>n</math>estados en cualquier paso dado es una mejor aproximación a la verdadera distribución de la cadena que con el MCMC ordinario.<ref>{{Cita publicación|url=https://hal.inria.fr/inria-00070462/file/RR-5545.pdf|title=A Randomized Quasi-Monte Carlo Simulation Method for Markov Chains|last1=L'Ecuyer|first1=P.|last2=Lécot|first2=C.|journal=[[Operations Research (journal)|Operations Research]]|volume=56|issue=4|pages=958–975|doi=10.1287/opre.1080.0556|last3=Tuffin|first3=B.|year=2008}}</ref> En los experimentos empíricos, la varianza de la media de una función de estado converge a veces a una velocidad <math>O(n^{-2})</math>  o incluso más rápido, en lugar del <math>O(n^{-1})</math> de Montecarlo.<ref>{{Cita publicación|título=Sorting Methods and Convergence Rates for Array-RQMC: Some Empirical Comparisons|apellidos=L'Ecuyer|nombre=P.|apellidos2=Munger|nombre2=D.|publicación=Mathematics and Computers in Simulation|volumen=143|páginas=191–201|doi=10.1016/j.matcom.2016.07.010|apellidos3=Lécot|nombre3=C.|apellidos4=Tuffin|nombre4=B.|año=2018}}</ref>

== Convergencia ==
Normalmente no es difícil construir una cadena de Markov con las propiedades deseadas. El problema más difícil es determinar cuántos pasos son necesarios para converger a la distribución estacionaria dentro de un error aceptable.<ref name="Gelman and Rubin, 19922">{{Cita publicación|url=http://www.stat.duke.edu/~scs/Courses/Stat376/Papers/ConvergeDiagnostics/GelmanRubinStatSci1992.pdf|title=Inference from iterative simulation using multiple sequences (with discussion)|last1=Gelman|first1=A.|last2=Rubin|first2=D.B.|date=1992|journal=Statistical Science|volume=7|issue=4|pages=457–511|bibcode=1992StaSc...7..457G|doi=10.1214/ss/1177011136}}</ref> Una buena cadena tendrá una mezcla rápida: la distribución estacionaria se alcanza rápidamente partiendo de una posición arbitraria. Un método empírico estándar para evaluar la convergencia consiste en ejecutar varias cadenas de Markov simuladas independientes y comprobar que la relación entre las varianzas entre cadenas y dentro de ellas para todos los parámetros muestreados es cercana a 1.<ref name="Gelman and Rubin, 19922" /><ref name="Gelman and Rubin, 19923">{{Cita publicación|url=http://www.stat.duke.edu/~scs/Courses/Stat376/Papers/ConvergeDiagnostics/GelmanRubinStatSci1992.pdf|title=Inference from iterative simulation using multiple sequences (with discussion)|last1=Gelman|first1=A.|last2=Rubin|first2=D.B.|date=1992|journal=Statistical Science|volume=7|issue=4|pages=457–511|bibcode=1992StaSc...7..457G|doi=10.1214/ss/1177011136}}</ref>

Normalmente, el muestreo de Montecarlo con cadena de Markov sólo puede aproximarse a la distribución objetivo, ya que siempre hay algún efecto residual de la posición inicial. Los algoritmos más sofisticados basados en cadenas de Markov de Montecarlo, como el acoplamiento desde el pasado, pueden producir muestras exactas, a costa de un cálculo adicional y un [[Complejidad temporal|tiempo de ejecución]] ilimitado (aunque finito en la expectativa).

Muchos métodos de Montecarlo de paseo aleatorio se mueven alrededor de la distribución de equilibrio en pasos relativamente pequeños, sin tendencia a que los pasos procedan en la misma dirección. Estos métodos son fáciles de implementar y analizar, pero desgraciadamente el caminante puede tardar mucho tiempo en explorar todo el espacio. A menudo, el caminante vuelve atrás y cubre el terreno ya cubierto.

Una consideración más detallada de la convergencia se encuentra en el teorema del límite central de la cadena de Markov. En<ref>{{Cita publicación|título=Stationarity and Convergence of the Metropolis-Hastings Algorithm: Insights into Theoretical Aspects|apellidos=Hill|nombre=S. D.|apellidos2=Spall|nombre2=J. C.|publicación=IEEE Control Systems Magazine|volumen=39|número=1|páginas=56–67|doi=10.1109/MCS.2018.2876959|año=2019}}</ref> encontramos una discusión de la teoría relacionada con la convergencia y la estacionariedad del algoritmo Metropolis-Hastings.

== Software ==
Varios programas de software proporcionan capacidades de muestreo MCMC, por ejemplo:

* El software de Montecarlo paralelo [https://github.com/cdslaborg/paramonte ParaMonte] está disponible en múltiples lenguajes de programación, como [[C (lenguaje de programación)|C]], [[C++]], [[Fortran]], [[MATLAB]] y [[Python]].
* Paquetes que utilizan dialectos del lenguaje del modelo BUGS:
** [[WinBUGS]] / OpenBUGS/ [https://www.multibugs.org/ MultiBUGS]
** JAGS
* MCSim
* El lenguaje Julia con paquetes como Turing.jl, DynamicHMC.jl, AffineInvariantMCMC.jl, y los del repositorio StanJulia.
* [[Python]] con los paquetes emcee, ParaMonte, [[PyMC]] y vandal.<ref>{{Cita publicación|url=http://arxiv.org/abs/1202.3665|título=emcee: The MCMC Hammer|apellidos=Foreman-Mackey|nombre=Daniel|apellidos2=Hogg|nombre2=David W.|fecha=2013-11-25|publicación=Publications of the Astronomical Society of the Pacific|volumen=125|número=925|páginas=306–312|doi=10.1086/670067|apellidos3=Lang|nombre3=Dustin|apellidos4=Goodman|nombre4=Jonathan}}</ref>
* [[R (lenguaje de programación)|R]] con los paquetes adaptMCMC, atmcmc, BRugs, mcmc, MCMCpack, ramcmc, rjags, rstan, etc.
* Stan
* [https://www.tensorflow.org/probability/ TensorFlow Probability] (biblioteca de programación probabilística construida sobre [[TensorFlow]])

== Referencias ==

=== Citas ===
<references />

=== Fuentes ===
 {{refbegin|40em}}
* Christophe Andrieu, Nando De Freitas, Arnaud Doucet and Michael I. Jordan [http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr06/cos598C/papers/AndrieuFreitasDoucetJordan2003.pdf ''An Introduction to MCMC for Machine Learning''], 2003
* {{cite book|last1=Asmussen|first1=Søren|last2=Glynn|first2=Peter W.|title=Stochastic Simulation: Algorithms and Analysis|publisher=Springer|series=Stochastic Modelling and Applied Probability|volume=57|year=2007}}
*{{cite web|url=http://web.math.ucsb.edu/~atzberg/pmwiki_intranet/uploads/AtzbergerHomePage/Atzberger_MonteCarlo.pdf|title=An Introduction to Monte-Carlo Methods|last=Atzberger|first=P.}}
*{{cite book|first=Bernd A.|last=Berg|author1-link=Bernd A. Berg|title=Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis|publisher=[[World Scientific]]|year=2004}}
*{{cite book|last=Bolstad|first=William M.|year=2010|title=Understanding Computational Bayesian Statistics|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-04609-8}}
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*{{Cita publicación|title=Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1990-06_85_410/page/398|last1=Gelfand|first1=A.E.|last2=Smith|first2=A.F.M.|journal=[[Journal of the American Statistical Association]]|volume=85|issue=410|pages=398–409|doi=10.1080/01621459.1990.10476213|year=1990|citeseerx=10.1.1.512.2330}}
*{{cite book|first1=Andrew|last1=Gelman|author1-link=Andrew Gelman|first2=John B.|last2=Carlin|first3=Hal S.|last3=Stern|first4=Donald B.|last4=Rubin|author4-link=Donald B. Rubin|title=Bayesian Data Analysis|publisher=[[Chapman and Hall]]|edition=1st|year=1995}} ''(See Chapter 11.)''
*{{Cita publicación|title=Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images|last1=Geman|first1=S.|last2=Geman|first2=D.|author2-link=Donald Geman|journal=[[IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence]]|volume=6|issue=6|pages=721–741|doi=10.1109/TPAMI.1984.4767596|pmid=22499653|year=1984|s2cid=5837272}}
*{{cite book|last1=Gilks|first1=W.R.|last2=Richardson|first2=S.|first3=D.J.|last3=Spiegelhalter|author3-link=David Spiegelhalter|title=Markov Chain Monte Carlo in Practice|publisher=[[Chapman and Hall]]/CRC|year=1996}}
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*{{Cita publicación|title=Reversible-jump Markov chain Monte Carlo computation and Bayesian model determination|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1995-12_82_4/page/711|journal=[[Biometrika]]|volume=82|issue=4|pages=711–732|doi=10.1093/biomet/82.4.711|year=1995|first=P.J.|last=Green|citeseerx=10.1.1.407.8942}}
*{{Cita publicación|title=Slice Sampling|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-statistics_2003-06_31_3/page/705|journal=[[Annals of Statistics]]|volume=31|issue=3|pages=705–767|doi=10.1214/aos/1056562461|year=2003|first=Radford M.|last=Neal|jstor=3448413}}
*{{cite web|url=http://www.cs.utoronto.ca/~radford/review.abstract.html|title=''Probabilistic Inference Using Markov Chain Monte Carlo Methods''|last=Neal|first=Radford M.|year=1993}}
*{{cite book|first1=Christian P.|last1=Robert|last2=Casella|first2=G.|title=Monte Carlo Statistical Methods|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-4145-2|edition=2nd|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-387-21239-5}}
*{{cite book|first1=R.Y.|last1=Rubinstein|first2=D.P.|last2=Kroese|author-link2=Dirk Kroese|title=Simulation and the Monte Carlo Method|edition=2nd|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|year=2007|isbn=978-0-470-17794-5}}
*{{Cita publicación|title=Efficient Monte Carlo Procedures for Generating Points Uniformly Distributed Over Bounded Regions|journal=[[Operations Research: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Operations Research]]|volume=32|issue=6|pages=1296–1308|doi=10.1287/opre.32.6.1296|year=1984|first=R.L.|last=Smith|hdl=2027.42/7681|hdl-access=free}}
* {{Cita publicación|title=Estimation via Markov Chain Monte Carlo|date=April 2003|journal=[[IEEE Control Systems Magazine]]|volume=23|issue=2|pages=34–45|doi=10.1109/mcs.2003.1188770|first=J.C.|last=Spall}}
*{{Cita publicación|title=Langevin-Type Models II: Self-Targeting Candidates for MCMC Algorithms|last1=Stramer|first1=O.|last2=Tweedie|first2=R.|journal=Methodology and Computing in Applied Probability|volume=1|issue=3|pages=307–328|doi=10.1023/A:1010090512027|year=1999|s2cid=1512689}}
{{refend}}
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