Ver el código de «Matemáticas y arte»

[[Archivo:Dürer Melancholia I.jpg|thumb|250px|Matemáticas en el arte: grabado en placa de cobre de [[Alberto Durero]] ''[[Melancolía I]]'', 1514. Las referencias matemáticas incluyen una brújula para la [[geometría]], un [[cuadrado mágico]] y un [[Sólido de Durero|romboedro truncado]], mientras que la medición está indicada por las escalas y el [[reloj de arena]].<ref name=Ziegler/>]]
[[Archivo:Paolo uccello, studio di vaso in prospettiva 02.jpg|thumb|250px|[[Wireframe|Dibujo alámbrico]]<ref name="ColomboDel Bimbo2005"/> de un vaso como [[sólido de revolución]],<ref name="ColomboDel Bimbo2005">{{cite journal |last1=Colombo |first1=C. |last2=Del Bimbo |first2=A. |last3=Pernici |first3=F. |title=Metric 3D reconstruction and texture acquisition of surfaces of revolution from a single uncalibrated view |journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=27 |issue=1 |year=2005 |pages=99–114 |doi=10.1109/TPAMI.2005.14|pmid=15628272 |cita=10.1.1.58.8477 }}</ref> obra de [[Paolo Uccello]]. Siglo XV]]

Las '''matemáticas y el arte''' están relacionados de varias maneras. De hecho, es frecuente encontrar las [[matemáticas]] descritas como un [[arte]] debido a la [[Belleza matemática|belleza]] o la elegancia de muchas de sus formulaciones, y se puede encontrar fácilmente su presencia en manifestaciones como la [[Música y matemáticas|música]], la [[danza]], la [[pintura]], la [[matemáticas y arquitectura|arquitectura]], la [[escultura]] y las [[Matemáticas y artes textiles|artes textiles]]. 

Este artículo se centra en la influencia de las matemáticas en las artes visuales. 

Las matemáticas y el arte tienen una larga relación histórica. Está documentada la existencia de [[Anexo:Lista de artistas matemáticos|artistas matemáticos]] desde el {{siglo|IV|a|s}}, cuando el [[Escultura|escultor]] griego [[Policleto]] escribió su ''"Canon"'', prescribiendo proporciones basadas en la relación 1:{{raíz|2}} para el desnudo masculino ideal. Curiosamente, cada vez son más frecuentes presuntas evidencias del uso del [[número áureo]] en el arte y la arquitectura antiguos, sin bases fiables que respalden estas teorías. En el [[Renacimiento]] italiano, [[Luca Pacioli]] escribió el influyente tratado ''[[De divina proportione]]'' (1509), ilustrado con grabados en madera realizados por [[Leonardo da Vinci]], sobre el uso de la proporción áurea en el arte. Otro pintor italiano, [[Piero della Francesca]], desarrolló las ideas de [[Euclides]] sobre la [[perspectiva]] en tratados como ''[[De Prospectiva pingendi|De Prospectiva Pingendi]]'' y en sus propias pinturas. El grabador [[Alberto Durero]] efectuó numerosas referencias a las matemáticas en su obra, con trabajos como ''[[Melancolía I]]''. En los tiempos modernos, el [[artista gráfico]] [[M. C. Escher]] hizo un uso intensivo del [[teselado]] y de la [[geometría hiperbólica]] con la ayuda del matemático [[Harold Scott MacDonald Coxeter]], mientras que el movimiento [[De Stijl]] liderado por [[Theo van Doesburg]] y [[Piet Mondrian]] abarcó explícitamente las formas geométricas. Las matemáticas han inspirado las artes textiles tales como el [[quilting]], el [[punto (lana)|punto]], el [[punto de cruz]], el [[ganchillo]], el [[bordado]], la [[tejeduría]], las [[Alfombra turca|alfombras]] y otras creaciones como el [[kilim]]. En el [[arte islámico]], las simetrías son evidentes en formas tan variadas como el [[girih]] persa y el azulejo [[zellige]] marroquí, las pantallas [[Arquitectura mogola|mogolas]] [[jali]] de piedra perforada y las bóvedas decoradas con [[mocárabe]].

El influjo directo de las matemáticas sobre el arte se evidencia en el uso de herramientas conceptuales como la [[perspectiva]], el análisis de la [[simetría]] y en la presencia en diversas obras de objetos matemáticos que han ejercido una especial atracción sobre artistas de distintas épocas, como los [[poliedro]]s o la [[banda de Möbius]]. [[Magnus Wenninger]] creó [[Estelación|poliedros estrellados]] coloridos, originalmente como modelos para la enseñanza. 

Conceptos matemáticos como [[recursión]] y paradojas lógicas se pueden ver en las pinturas de [[René Magritte]] y en grabados de [[M. C. Escher]]. El [[arte computacional]] a menudo hace uso de [[fractal]]es, incluido el [[conjunto de Mandelbrot]], y, a veces, explora otros objetos matemáticos como los [[autómata celular|autómatas celulares]]. De forma controvertida, ligando la [[óptica]] con la pintura, el artista [[David Hockney]] ha argumentado que desde el Renacimiento en adelante la mayoría de los artistas utilizaron la [[cámara lúcida]] para dibujar representaciones precisas de escenas; y el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera similar que [[Johannes Vermeer]] usó la [[cámara oscura]] en la composición de sus pinturas.

Otras relaciones incluyen el análisis algorítmico de las obras de arte mediante la [[fluorescencia de rayos X]], o el hallazgo de que los [[batik]] tradicionales de diferentes regiones de la [[Java (isla)|isla de Java]] tienen [[dimensión fractal|composiciones fractales]]. El arte ha servido en ocasiones como estímulo para la investigación matemática, especialmente en el caso de la teoría de la perspectiva de [[Filippo Brunelleschi]], que finalmente llevó a [[Girard Desargues]] al desarrollo de la [[geometría proyectiva]]. Una visión persistente, basada en última instancia en la noción [[Pitagóricos|pitagórica]] de armonía en la música, sostiene que el universo está organizado según relaciones numéricas, que Dios es el geómetra del mundo y que, por lo tanto, la [[Geometría sagrada|geometría es sagrada]], tal como queda reflejado en obras de arte como ''[[El anciano de los días]]'' de [[William Blake]].

== Orígenes: desde la antigua Grecia hasta el Renacimiento ==
{{Ancla|Policleto}}

=== ''Canon'' y ''simetría'' de Policleto ===
[[Archivo:Doryphoros MAN Napoli Inv6011-2.jpg|thumb|upright=0.6|Copia romana en mármol del ''[[Doríforo]]'', originalmente un bronce obra de [[Policleto]]]]
{{AP|Policleto}}

[[Policleto]] el mayor (c. 450–420 a.&nbsp;C.) fue un [[escultura|escultor]] [[Pueblo griego|griego]] de la escuela de [[Argos (Grecia)|Argos]], contemporáneo de [[Fidias]]. La temática de sus estatuas de bronce consistía principalmente en atletas. Según el filósofo y matemático [[Jenócrates]], Policleto está clasificado como uno de los escultores más importantes de la [[antigüedad clásica]] por su trabajo en el ''[[Doríforo]]'' y en la estatua de [[Hera]] en el [[Hereo de Argos]].<ref name=Stewart>{{cite journal |last1=Stewart |first1=Andrew |title=Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works |journal=[[The Journal of Hellenic Studies]] |date=November 1978 |volume=98 |pages=122–131 |doi=10.2307/630196|jstor=630196}}</ref> Mientras que sus esculturas pueden no ser tan famosas como las de Fidias, también son muy admiradas. En su ''"Canon"'', un tratado que escribió para documentar las proporciones "perfectas" de la [[anatomía]] del desnudo masculino, Policleto introdujo un enfoque matemático para esculpir el cuerpo humano.<ref name=Stewart/>

Utilizaba la longitud de la [[Falange (hueso)|falangeta]] del [[meñique de la mano]] como el módulo básico para determinar las proporciones del cuerpo humano.<ref name=Tobin>{{cite journal|author=Tobin, Richard |title=The ''Canon'' of Polykleitos |journal=[[American Journal of Archaeology]] |volume=79 |issue=4 |date=October 1975 |pages=307–321 |doi=10.2307/503064|jstor=503064 }}</ref> Policleto multiplicaba la longitud de la falangeta por la [[raíz cuadrada de dos]] ({{raíz|2}}) para obtener la distancia de la segunda falange (falangina) y multiplicaba la longitud nuevamente por {{raíz|2}} para obtener la longitud de la tercera falange. A continuación, tomaba la longitud del [[dedos de la mano|meñique]] y la multiplica por {{raíz|2}} para obtener la longitud de la palma desde la base del dedo hasta el [[cúbito]]. Esta [[serie geométrica]] de medidas avanza hasta formar el brazo, el tórax y el cuerpo completo con todas sus partes.<ref name=Lawton>{{cite journal |last1=Lawton |first1=Arthur J. |title=Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture |journal=Past |date=2013 |volume=36 |url=http://www.pioneeramerica.org/past2013/past2013artlawton.html |quote=La figura base es un cuadrado de la longitud y el ancho de la falange distal del dedo meñique. Sus diagonales giradas hacia un lado transforman el cuadrado en un rectángulo de proporción 1:{{raíz|2}}. En la Figura 5, esta figura rectangular marca el ancho y el largo de la falange medial adyacente. Se gira en diagonal la longitud de la falange medial para obtener la falange proximal y de manera similar desde allí hasta la muñeca, desde la muñeca hasta el codo y desde el codo hasta la parte superior del hombro. Cada nuevo paso avanza el punto de pivote de la diagonal.|accessdate=25 de junio de 2015}}</ref>

La influencia del "Canon" de Policleto es inmensa en la escultura de la [[Griego antiguo|antigua Grecia]], [[Antigua Roma|Roma]] y el [[Renacimiento]], y numerosos escultores siguieron sus prescripciones. Si bien no se conserva ninguna de las obras originales de Policleto, las copias romanas muestran su ideal de perfección física y precisión matemática. Algunos estudiosos argumentan que el pensamiento [[Pitagóricos|pitagórico]] influyó en el ''"Canon"'' de Policleto,<ref name=Raven>{{cite journal |last1=Raven |first1=J. E. |title=Polyclitus and Pythagoreanism |journal=[[Classical Quarterly]] |date=1951 |volume=1|issue=3–4 |pages=147– |doi=10.1017/s0009838800004122}}</ref> donde se aplican los conceptos matemáticos básicos de la geometría griega, como la relación, la proporción y la ''simetría'' (en griego significa "armonía en las proporciones") y los convierte en un sistema capaz de describir la forma humana a través de una serie de [[Serie geométrica|progresiones geométricas]] continuas.<ref name=Tobin/>

=== Perspectiva y proporción ===
{{AP|Perspectiva}}

[[Archivo:Brunelleschi's perspective experiment.jpg|thumb|Experimento de [[Filippo Brunelleschi|Brunelleschi]] sobre la [[perspectiva]]]]

En la antigüedad clásica, en lugar de ajustar el tamaño de las figuras de una composición de acuerdo con su distancia al observador (según las reglas de la [[perspectiva]]), los pintores establecían el tamaño de objetos y figuras según su importancia temática. En la Edad Media, algunos artistas usaron la [[perspectiva invertida]] para dar un énfasis especial a determinados motivos. El matemático musulmán [[Alhacén]] (Ibn al-Haytham) describió una teoría geométrica de la óptica en su "[[Libro de Óptica]]" en 1021, pero nunca la aplicó al arte.<ref name=StAndrews/> El Renacimiento vio el resurgir de las ideas griegas y romanas clásicas en la cultura, incluido el estudio de las matemáticas para comprender la [[naturaleza]] y el [[numeración de las artes|arte]]. Dos motivos principales llevaron a los artistas de finales de la Edad Media y del Renacimiento hacia las matemáticas: en primer lugar, los pintores necesitaban descubrir cómo representar escenas tridimensionales en un lienzo bidimensional; y en segundo lugar, tanto los filósofos como los artistas estaban convencidos de que las matemáticas eran la verdadera esencia del mundo físico y que todo el universo, incluidas las artes, podía explicarse en términos geométricos.<ref name=Emmer>{{cite book |editor=Emmer, Michelle |title=The Visual Mind II |publisher=MIT Press |date=2005 |isbn=978-0-262-05048-7 |url=https://archive.org/details/visualmindartmat0000unse }}</ref>

Los rudimentos de la perspectiva llegaron con [[Giotto]] (1266/7-1337), que intentó dibujar en perspectiva utilizando un método algebraico para determinar la ubicación de las líneas distantes. En 1415, el [[arquitecto]] italiano [[Filippo Brunelleschi]] y su amigo [[Leon Battista Alberti]] demostraron en Florencia el método geométrico necesario para aplicar la perspectiva, utilizando el [[semejanza (geometría)|principio de semejanza]] tal como lo formuló [[Euclides]] para determinar la altura aparente de objetos distantes.<ref>{{cite book |author=Vasari, Giorgio |authorlink=Giorgio Vasari |date=1550 |title=Lives of the Artists |publisher=Torrentino |page=Chapter on Brunelleschi|}}</ref><ref>{{cite book |last1=Alberti |first1=Leon Battista |last2=Spencer |first2=John R. |title=On Painting |date=1956 |publisher=Yale University Press |origyear=1435|url=http://www.noteaccess.com/Texts/Alberti/}}</ref> Aunque se han perdido las pinturas en perspectiva de Brunelleschi, los frescos de [[Masaccio]] de la Santísima Trinidad muestra sus principios en funcionamiento.<ref name=StAndrews/><ref>{{cite book |last1=Field |first1=J. V. |title=The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance |url=https://archive.org/details/inventionofinfin0000fiel |date=1997 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-852394-9}}</ref><ref>{{cite web |last1=Witcombe |first1=Christopher L. C. E. |title=Art History Resources |url=http://arthistoryresources.net/renaissance-art-theory-2012/perspective.html |accessdate=5 de septiembre de 2015}}</ref>

[[Archivo:San Romano Battle (Paolo Uccello, London) 01.jpg|thumb|left|upright=1.2<!--width for very low image-->|[[Paolo Uccello]] utilizó la [[perspectiva]] de forma innovadora en la ''[[Batalla de San Romano]]'' (c.&nbsp;1435–1460)]]

El pintor italiano [[Paolo Uccello]] (1397-1475) estaba fascinado por la perspectiva, como se muestra en sus pinturas de la ''[[Batalla de San Romano]]'' (c. 1435–1460): las lanzas rotas convergen convenientemente según líneas de perspectiva.<ref name="Hart">{{cite web |url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/art.html |title=Polyhedra in Art |author=Hart, George W. |authorlink=George W. Hart |accessdate=24 de junio de 2015}}</ref><ref name="CunninghamReich2014">{{cite book |last1=Cunningham |first1=Lawrence |last2=Reich |first2=John |last3=Fichner-Rathus |first3=Lois |title=Culture and Values: A Survey of the Western Humanities |url=https://books.google.com/books?id=0t0bCgAAQBAJ&pg=PA375 |date=1 de enero de 2014 |publisher=Cengage Learning |isbn=978-1-285-44932-6 |page=375 |quote=que ilustran la fascinación de Uccello por la perspectiva. Los combatientes se amoldan a un campo de batalla lleno de lanzas rotas caídas sobre una cuadrícula virtual cercana y apuntan hacia un punto de fuga en algún lugar en la distancia.}}</ref>

El pintor [[Piero della Francesca]] (c. 1415–1492) ejemplificó este nuevo cambio en el pensamiento del Renacimiento italiano, aunando su condición de artista con la de experto [[matemático]] y [[geometría|geómetra]], autor de libros sobre la [[geometría del espacio]] y la [[perspectiva]], incluyendo ''[[De Prospectiva pingendi]] (Sobre la perspectiva para pintar)'', ''Trattato d'Abaco (Tratado del [[Ábaco]])'', y ''De corporibus regularibus (Sobre los Sólidos Regulares)''.<ref>{{cite book |author=della Francesca, Piero |title=De Prospectiva Pingendi |editor=G. Nicco Fasola |location=Florence |year=1942 |origyear=c. 1474}}</ref><ref>{{cite book |author=della Francesca, Piero |title=Trattato d'Abaco |editor=G. Arrighi |location=Pisa |year=1970 |origyear=Fifteenth century}}</ref><ref>{{cite book |author=della Francesca, Piero |title=L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli |editor=G. Mancini |year=1916}}</ref>

El historiador [[Giorgio Vasari]] en su obra ''[[Las vidas de los más excelentes arquitectos, pintores y escultores italianos]]'' llama a Piero el ''"geómetra más grande de su tiempo, o quizás de cualquier época"''.<ref>{{cite book |author=Vasari, G. |title=Le Opere, volume 2 |editor=G. Milanesi |date=1878 |page=490}}</ref> El interés de Piero della Francesca por la perspectiva se puede ver en sus pinturas, incluyendo el [[Políptico de San Antonio]],<ref>{{cite book |last=Zuffi |first=Stefano|title=Piero della Francesca |url=https://archive.org/details/pierodellafrance00zuff |publisher=L'Unità – Mondadori Arte |year=1991 |page=[https://archive.org/details/pierodellafrance00zuff/page/n52 53]}}</ref> el ''Retablo de San Agostino'' y ''[[Cristo en la columna]]''. Su trabajo sobre geometría influyó en matemáticos y artistas posteriores, incluido [[Luca Pacioli]] en su obra ''[[De divina proportione]]'' y sobre [[Leonardo da Vinci]]. Estudió matemáticas clásicas y los trabajos de [[Arquímedes]],<ref>{{cite book |author=Heath, T.L. |title=The Thirteen Books of Euclid's Elements |url=https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ |publisher=Cambridge University Press |year=1908 |page=[https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ/page/n101 97]}}</ref> y aprendió aritmética comercial en "escuelas del ábaco". El formato de sus escritos recuerda al de los libros de texto de la escuela del ábaco,<ref>{{cite book |author=Grendler, P. |title=What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education |work=Piero della Francesca and His Legacy |editor=M.A. Lavin |publisher=University Press of New England |year=1995 |pages=161–176}}</ref> siguiendo muy posiblemente el estilo del influyente ''[[Liber abaci]]'', publicado en 1202 por Leonardo de Pisa ([[Leonardo de Pisa|Fibonacci]]). La irrupción de la [[Perspectiva|perspectiva lineal]] en el mundo artístico ya era un hecho. Alberti explicó en su tratado de 1435 ''[[De pictura]]'' que: ''"Los rayos de luz viajan en línea recta desde los puntos en la escena observada hasta el ojo, formando una especie de [[pirámide (arquitectura)|pirámide]] con el ojo como vértice"''. Una pintura construida mediante la perspectiva lineal es una [[Sección (geometría)|sección transversal]] de esa pirámide.<ref>{{cite book |author=Alberti, Leon Battista |title=On Painting |url=https://archive.org/details/onpainting0000albe |editor= Kemp, Martin |author2=Grayson, Cecil (trans.) |publisher=Penguin Classics |year=1991}}</ref>

En "De Prospectiva Pingendi", Piero transformó sus observaciones empíricas de la forma en que los aspectos de una figura cambian con el punto de vista en pruebas matemáticas. Su tratado parte del trabajo de Euclides: define el punto como ''"la cosa más pequeña que es posible que el ojo comprenda"''.<ref>En el italiano de Piero della Francesca: "Una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere"</ref><ref name=Emmer/> Utiliza el [[razonamiento deductivo]] para guiar al lector a la representación en perspectiva de un cuerpo tridimensional.<ref>{{cite web |author=Peterson, Mark |url=http://www.mtholyoke.edu/courses/rschwart/mac/Italian/geometry.shtml |title=The Geometry of Piero della Francesca |quote=En el Libro I, después de algunas construcciones elementales para presentar la idea de que el tamaño aparente de un objeto es en realidad su ángulo subtendido en el ojo, y refiriéndose a los Libros de los Elementos I y VI de Euclides, y a la Óptica de Euclides, se convierte, en la Proposición 13, en la representación de una plaza con su suelo tendido delante del espectador. ¿Qué debe dibujar realmente el artista? Después de esto, los objetos se construyen a partir de cuadrados (con diagonales, por ejemplo, para representar un piso de azulejos), y los objetos correspondientes se construyen en perspectiva; en el Libro II, los prismas se erigen sobre estos objetos planos, para representar casas, columnas, etc.; pero la base del método es el cuadrado original, del que sigue todo lo demás. |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=1 de julio de 2016 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160701204113/https://www.mtholyoke.edu/courses/rschwart/mac/Italian/geometry.shtml |deadurl=yes }}</ref>

El artista [[David Hockney]] argumentó en su libro ''[[Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters|Conocimiento secreto: redescubriendo las técnicas perdidas de los antiguos maestros]]'' que los artistas comenzaron a usar una [[cámara lúcida]] a partir de la década de 1420, lo que dio como resultado un cambio repentino en la precisión y en el realismo, y que esta práctica fue continuada por los principales artistas, incluidos [[Jean-Auguste-Dominique Ingres|Ingres]], [[Jan van Eyck|Van Eyck]] y [[Caravaggio]].<ref>{{cite book |last=Hockney |first=David |title=Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters |year=2006 |publisher=Thames and Hudson |isbn=978-0-500-28638-8}}</ref> Los críticos no se ponen de acuerdo en si la tesis de Hockney es correcta.<ref>{{cite web |last1=Van Riper |first1=Frank |title=Hockney's 'Lucid' Bomb At the Art Establishment |url=https://www.washingtonpost.com/wp-srv/photo/essays/vanRiper/030220.htm |publisher=The Washington Post |accessdate=4 de septiembre de 2015}}</ref><ref>{{cite news |last1=Marr |first1=Andrew |title=What the eye didn't see |url=https://www.theguardian.com/theobserver/2001/oct/07/featuresreview.review1 |newspaper=The Guardian |accessdate=4 de septiembre de 2015 |date=7 de octubre de 2001}}</ref> Del mismo modo, el arquitecto Philip Steadman argumentó de manera controvertida<ref>{{cite web |last1=Janson |first1=Jonathan |title=An Interview with Philip Steadman |url=http://www.essentialvermeer.com/interviews_newsletter/steadman_interview.html#.VeqxKJdUWHg |publisher=Essential Vermeer |accessdate=5 de septiembre de 2015 |date=25 de abril de 2003}}</ref> que [[Johannes Vermeer]] había usado un dispositivo diferente, una [[cámara oscura]], para ayudarle a crear sus pinturas con su distintiva forma de observación de los motivos representados.<ref>{{cite book |last1=Steadman |first1=Philip |title=Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces |date=2002 |publisher=Oxford |isbn=978-0-19-280302-3 |url=https://archive.org/details/vermeerscameraun0000stea }}</ref>

[[Archivo:De divina proportione - Vigintisex Basium Planum Vacuum.jpg|mini|200px|Rombicuboctaedro hueco en perspectiva, obra de Leonardo]]

En 1509, [[Luca Pacioli]] (c. 1447-1517) publicó ''[[De divina proportione]]'' sobre la relación de las [[matemáticas]] y el [[arte]] a través de la [[Proporcionalidad|proporción]], abordando incluso por este método cuestiones como la representación del rostro humano. [[Leonardo da Vinci]] (1452–1519) ilustró el texto con grabados de sólidos regulares mientras estudiaba con Pacioli en la década de 1490. Los dibujos de Leonardo son probablemente las primeras ilustraciones realistas de sólidos geométricos reducidos a un armazón de gruesas aristas.<ref>{{cite web |url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pacioli.html |title=Luca Pacioli's Polyhedra |author=Hart, George |authorlink=George W. Hart |accessdate=13 de agosto de 2009}}</ref> Figuras como el [[rombicuboctaedro]] fueron de las primeras en ser dibujadas de esta manera para demostrar la perspectiva, mediante la superposición de las aristas situadas en primer plano sobre las del fondo, que podían a su vez verse por los huecos de las caras. El trabajo discute la perspectiva en los trabajos de [[Piero della Francesca]], [[Melozzo da Forlì]] y [[Marco Palmezzano]].<ref>{{cite news |last1=Morris |first1=Roderick Conway |title=Palmezzano's Renaissance:From shadows, painter emerges |url=https://www.nytimes.com/2006/01/27/arts/27iht-conway.html?pagewanted=all&_r=0 |newspaper=New York Times |accessdate=22 de julio de 2015 |date=27 de enero de 2006}}</ref>

Da Vinci estudió la "Summa" de Pacioli, de la que copió las tablas de proporciones.<ref>{{cite web |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html |author=Calter, Paul |title=Geometry and Art Unit 1 |publisher=[[Dartmouth College]] |accessdate=13 de agosto de 2009 |fechaarchivo=21 de agosto de 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20090821025325/http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html |deadurl=yes }}</ref> En ''[[La Gioconda]]'' y en ''[[La Última Cena]]'', incorporó una perspectiva lineal con un [[punto de fuga]] para obtener una apariencia de profundidad.<ref>{{cite book |author=Brizio, Anna Maria |title=Leonardo the Artist |url=https://archive.org/details/leonardoartist00briz |publisher=McGraw-Hill |year=1980}}</ref> ''[[La Última Cena]]'' se ideó con una proporción estrecha de 12:6:4:3, al igual que la ''[[La escuela de Atenas]]'' de [[Rafael Sanzio|Rafael]], que incluye a Pitágoras con unas tablas de proporciones ideales, sagradas para los pitagóricos.<ref name="Ladwein2006">{{cite book |last=Ladwein |first=Michael |title=Leonardo Da Vinci, the Last Supper: A Cosmic Drama and an Act of Redemption |url=https://books.google.com/books?id=wMFem_x1M04C&pg=PA62 |year=2006 |publisher=Temple Lodge Publishing |isbn=978-1-902636-75-7|pages=61–62}}</ref><ref>{{cite book |author=Turner, Richard A. |title=Inventing Leonardo |publisher=Alfred A. Knopf |year=1992}}</ref> En el ''[[Hombre de Vitruvio]]'', Leonardo expresó las ideas del arquitecto romano [[Vitruvio]], mostrando de manera innovadora la figura masculina, centrándola en un círculo y en un cuadrado.<ref>{{cite web |last=Wolchover |first=Natalie |title=Did Leonardo da Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'? |url=http://www.nbcnews.com/id/46204318/ns/technology_and_science-science/#.Vi_b7msvuHg |publisher=NBC News |accessdate=27 de octubre de 2015 |date=31 de enero de 2012}}</ref>

Ya en el {{siglo|XV||s}}, la [[perspectiva curvilínea]] encontró su camino en las pinturas de artistas interesados en las distorsiones de la imagen. El ''[[Retrato de Giovanni Arnolfini y su esposa]]'', pintado por [[Jan van Eyck]] en 1434, contiene un espejo convexo con reflejos de las personas en la escena,<ref>{{cite journal |author1=Criminisi, A. |author2=Kempz, M. |author3=Kang, S. B. |url=http://research.microsoft.com/pubs/72436/Criminisi_ReflectionsOfReality_2003.pdf |title=Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin |journal=Historical Methods |volume=37 |issue=3 |pages=109–121 |year=2004 |doi=10.3200/hmts.37.3.109-122}}</ref> mientras que [[Parmigianino]], en su ''Autorretrato en un espejo convexo'' (c. 1523–1524), muestra la cara casi sin distorsión del artista en el centro, con un fondo muy curvado y la mano del artista alrededor del borde.<ref name=Cucker299>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=299–300<!--Parmigianino-->, 306–307<!--van Eyck-->}}</ref>

El espacio tridimensional puede representarse de manera convincente en el arte, como en el [[dibujo técnico]], por medios distintos a la perspectiva. Los sistemas de [[proyección oblicua]], incluida la [[perspectiva caballera]] (utilizada por artistas militares franceses para representar fortificaciones en el {{siglo|XVIII||s}}), fueron utilizados de forma continua y ubicua por artistas chinos desde el primer o segundo siglo hasta el {{siglo|XVIII||s}}. Los chinos adquirieron la técnica de la India, que la adquirió de la Antigua Roma. La proyección oblicua también aparece en el arte japonés, como en las pinturas [[Ukiyo-e]] de [[Torii Kiyonaga]] (1752–1815).<ref name=Cucker269>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/269 269]–278}}</ref>

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File:Pacioli De Divina Proportione Head Equilateral Triangle 1509.jpg|Grabado de [[Luca Pacioli]] de ''[[De divina proportione]]'' (1509) con un [[triángulo equilátero]] sobre un rostro humano
File:Camera Lucida in use drawing small figurine.jpg|[[Cámara lúcida]] en uso. ''[[Scientific American]]'', 1879
File:Camera obscura2.jpg|Ilustración de un artista utilizando una [[cámara oscura]]. Siglo XVII
File:Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg|Proporción: el ''[[hombre de Vitruvio]]'' de [[Leonardo da Vinci|Leonardo]], c. 1490
File:Masaccio, trinità.jpg|Teoría de la perspectiva de [[Filippo Brunelleschi]]: la [[Trinidad (Masaccio)|''Trinità'']] de [[Masaccio]], c. 1426–1428, en la [[Basílica de Santa María Novella]]
File:Della Pittura Alberti perspective pillars on grid.jpg|Diagrama de [[Leon Battista Alberti]] de su obra ''[[De pictura]]'' (1435), con pilares en perspectiva sobre una cuadrícula
File:Piero - The Flagellation.jpg|[[Perspectiva]] de [[Piero della Francesca]] en ''[[La flagelación (Piero della Francesca)|La flagelación de Cristo]]'', c. 1455–1460
File:The Arnolfini Portrait, détail (2).jpg|[[Perspectiva curvilínea]]: [[espejo curvo]] en el ''[[Retrato de Giovanni Arnolfini y su esposa]]'' de [[Jan van Eyck]], 1434
File:Parmigianino Selfportrait.jpg|[[Parmigianino]], ''[[Autorretrato en un espejo convexo]]'', c. 1523–1524
File:Pythagoras with tablet of ratios.jpg|Pitágoras con una tabla de proporciones, en la ''[[La escuela de Atenas]]'' de [[Rafael Sanzio]], 1509
<!--File:Jiajing Emperor on his state barge.jpg|[[Proyección oblicua]]: the Emperor [[Jiajing]] on his state barge. [[Dinastía Ming]] scroll painting, China, c. 1538-->
File:Xu Yang - Entrance and yard of a yamen.jpg|[[Proyección oblicua]]: ''Entrada y patio de un yamen''. Detalle del rollo sobre la ciudad de [[Suzhou]], obra de Xu Yang encargada por el emperador [[Qianlong]]. Siglo XVIII
File:3 Brettspiele.jpg|[[Proyección oblicua]]: mujeres jugando [[shōgi]], [[go]] y [[sugoroku|ban-sugoroku]]. Pintura de [[Torii Kiyonaga]], Japón, c. 1780
</gallery>

=== Relación de oro ===
{{AP|Sección áurea}}

El [[número áureo]] (aproximadamente igual a 1.618) ya era conocido por [[Euclides]].<ref>{{cite web |last1=Joyce |first1=David E. |title=Euclid's Elements, Book II, Proposition 11 |url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookII/propII11.html |publisher=Clark University |accessdate=24 de septiembre de 2015 |date=1996}}</ref> La proporción áurea ha sido reivindicada de forma persistente<ref>{{cite journal |author1=Seghers, M. J. |author2=Longacre, J. J. |author3=Destefano, G. A. |title=The Golden Proportion and Beauty |journal=Plastic and Reconstructive Surgery |volume=34 |issue=4 |pages=382–386 |date=1964 |doi=10.1097/00006534-196410000-00007}}</ref><ref>{{cite book |author=Mainzer, Klaus |title=Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science |publisher=Walter de Gruyter |date=1996 |page=118}}</ref><ref>{{cite web |url=http://mathsforeurope.digibel.be/amphi.htm |title=Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres |accessdate=29 de enero de 2014 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170715212252/http://mathsforeurope.digibel.be/amphi.htm |fechaarchivo=15 de julio de 2017 }}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.the-colosseum.net/architecture/ellipsis.htm |title=Architecture: Ellipse? |publisher=The-Colosseum.net |accessdate=29 de enero de 2014 |fechaarchivo=11 de diciembre de 2013 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20131211055626/http://www.the-colosseum.net/architecture/ellipsis.htm |deadurl=yes }}</ref> en tiempos modernos por su presunta utilización en el arte y especialmente en la [[Matemáticas y arquitectura|arquitectura]] del antiguo Egipto, Grecia y otras culturas sin evidencias fiables.<ref name=Markowsky>{{cite journal |author=Markowsky, George |url=http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.pdf |title=Misconceptions about the Golden Ratio |journal=The College Mathematics Journal |volume=23 |issue=1 |pages=2–19 |date=January 1992 |doi=10.2307/2686193 |jstor=2686193 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20080408200850/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.pdf |fechaarchivo=8 de abril de 2008 }}</ref>

Esta situación puede derivar en parte de la confusión de la "relación áurea" con la "media dorada", que para los griegos antiguos significaba "evitar el exceso en cualquier dirección", no una relación geométrica.<ref name=Markowsky/> Desde el {{siglo|XIX||s}}, numerosos expertos y aficionados a la ''[[piramidología]]'' han argumentado utilizando dudosos razonamientos matemáticos para hallar la proporción de oro en el diseño de las pirámides.<ref>Por ejemplo, se encuentran afirmaciones como: ''La relación del lado inclinado respecto a la mitad de la longitud de la base es de 1.619, a menos del 1% con respecto a la proporción áurea, lo que implica el uso del [[triángulo de Kepler]] (ángulo entre lados de 51°49')''. Es más probable que las pirámides se hicieran con [[triángulos rectángulos especiales|triángulos 3-4-5]] (ángulo entre lados 53°8'), conocidos según se sabe por el [[Papiro de Ahmes]]; o con el triángulo con relación base/hipotenusa 1:4/π (ángulo de la cara 51°50').</ref><ref name=Markowsky/><ref>{{cite book |first=Socrates G. |last=Taseos |title=Back in Time 3104 B.C. to the Great Pyramid |url=https://archive.org/details/backintime3104bc0000tase |publisher=SOC Publishers |date=1990}}</ref><ref>{{cite book |first=Midhat |last=Gazale |title=Gnomon: From Pharaohs to Fractals |journal=European Journal of Physics |volume=20 |issue=6 |pages=523 |publisher=Princeton University Press |date=1999 |isbn=978-0-691-00514-0|bibcode=1999EJPh...20..523G }}</ref> Se ha afirmado que [[Partenón]], un templo del {{siglo|V|a|s}} en Atenas, se utiliza la proporción áurea en su [[fachada]] y en su plano de planta,<ref>{{cite book |author=Huntley, H.E. |title=The Divine Proportion |url=https://archive.org/details/divineproportion0000hunt_o2w9 |publisher=Dover |year=1970}}</ref><ref>{{cite book |author=Hemenway, Priya |year=2005 |title=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science |url=https://archive.org/details/divineproportion0000heme |publisher=Sterling |page=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/96 96]}}</ref><ref>{{cite web |last1=Usvat |first1=Liliana |title=Mathematics of the Parthenon |url=http://www.mathematicsmagazine.com/Articles/Mathematics_ofTheParthenon.php#.VYqGl0Z0dIQ |publisher=Mathematics Magazine |accessdate=24 de junio de 2015}}</ref> pero estas afirmaciones también son refutadas por las medidas reales del monumento.<ref name=Markowsky/>

La [[Gran Mezquita de Kairuán]] en Túnez también se ha afirmado que utilizó la proporción áurea en su diseño,<ref>{{cite journal|author1=Boussora, Kenza |author2=Mazouz, Said |url=http://www.nexusjournal.com/BouMaz.html |title=The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan |journal=Nexus Network Journal |volume=6 |issue=1 |date=Spring 2004 |pages=7–16 |doi=10.1007/s00004-004-0002-y |quote=La técnica geométrica de construcción de la sección áurea parece haber determinado las principales decisiones de la organización espacial. La sección áurea aparece repetidamente en algunas partes de las medidas del edificio. Se encuentra en la proporción general de la planta y en el dimensionamiento del espacio de oración, el patio y el minarete. La existencia de la sección áurea en algunas partes de la mezquita de Kairouan indica que los elementos diseñados y generados con este principio pueden haberse realizado en el mismo período.|deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20081004154727/http://www.nexusjournal.com/BouMaz.html |archivedate=4 de octubre de 2008}}</ref> pero la citada proporción no aparece en las partes originales de la mezquita.<ref>{{cite journal |author1=Brinkworth, Peter |author2=Scott, Paul |title=The Place of Mathematics |journal=Australian Mathematics Teacher |volume=57 |issue=3 |year=2001 |page=2}}</ref> El historiador de la arquitectura [[Frederik Macody Lund]] argumentó en 1919 que la [[Catedral de Chartres]] ({{siglo|XIII||s}}), la [[Catedral de Laon]] (1157-1205) y la [[Catedral de Notre Dame (París)]] (1160) están diseñados de acuerdo con el [[número áureo]],<ref>{{cite book |author=Chanfón Olmos, Carlos |title=Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladores en construcción |publisher=Convenio de intercambio Unam–Uady. México – Mérica |date=1991}}</ref> dibujando líneas auxiliares para demostrar su tesis. Otros estudiosos argumentan que hasta el trabajo de Pacioli en 1509, la proporción de oro era desconocida para los artistas y arquitectos.<ref>{{cite book |author=Livio, Mario |authorlink=Mario Livio |year=2002 |title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number |url=https://archive.org/details/goldenratiostory00livi |journal=The Golden Ratio : The Story of Phi |bibcode=2002grsp.book.....L }}</ref> Por ejemplo, la altura y el ancho de la parte delantera de Notre-Dame de Laon tienen la proporción 8/5 o 1.6, no 1.618. Tales términos de la [[sucesión de Fibonacci]] se convierten rápidamente en difíciles de distinguir de la proporción áurea.<ref>{{cite journal |last1=Smith |first1=Norman A. F. |title=Cathedral Studies: Engineering or History |url=http://pubs-newcomen.com/tfiles/73ap095.pdf |journal=[[Transactions of the Newcomen Society]] |date=2001 |volume=73 |pages=95–137 |doi=10.1179/tns.2001.005 |deadurl=yes |archiveurl=https://www.webcitation.org/6dh0wipJN?url=http://pubs-newcomen.com/tfiles/73ap095.pdf |archivedate=11 de diciembre de 2015}}</ref> Después de Pacioli, la proporción áurea es más perceptible en las obras de arte, incluida ''[[La Gioconda]]'' de Leonardo.<ref>{{cite news|last1=McVeigh|first1=Karen|title=Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret|url=https://www.theguardian.com/artanddesign/2009/dec/28/golden-ratio-us-academic|newspaper=The Guardian|accessdate=27 de octubre de 2015|date=28 de diciembre de 2009}}</ref>

Otro número morfológico del que se ha escrito abundantemente es el ''[[número plástico]]'',<ref>{{cite journal |last1=Aarts |first1=J. |last2=Fokkink |first2=R. |last3=Kruijtzer |first3=G. |title=Morphic numbers |journal=Nieuw Arch. Wiskd. |series=5 |volume=2 |issue=1 |year=2001 |pages=56–58 |url=http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2001-02-1-056.pdf}}</ref><ref>'[[Artes plásticas|Plástico]]' hace referencia a la capacidad de tomar una forma tridimensional elegida.</ref> ideado en 1928 por el arquitecto holandés [[Hans van der Laan]] (originalmente llamado en francés ''"le nombre radiant"'', ''el número radiante'').<ref name=Padovan>{{cite journal |url=http://www.nexusjournal.com/conferences/N2002-Padovan.html |title=Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number |last=Padovan |first=Richard |authorlink=Richard Padovan |journal=Nexus IV: Architecture and Mathematics |editor1=Williams, Kim|editor2=Francisco Rodrigues, Jose |pages=181–193 |year=2002}}</ref> Su valor es la solución de la [[función cúbica|ecuación cúbica]]

: <math>x^3=x+1\,</math>,

un número irracional que es aproximadamente 1.325. Según el arquitecto [[Richard Padovan]], esta conectado con las fracciones características {{sfrac|3|4}} y {{sfrac|1|7}}, que gobiernan los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan usó estas proporciones al diseñar la iglesia de [[St. Benedictusberg Abbey]] (1967) en los Países Bajos.<ref name=Padovan/>

{|class="wikitable" style="font-size:85%; line-height:125%;"
|valign="top"|[[Archivo:Mathematical Pyramid.svg|x220px|center]]<br />'''[1]'''
|valign="top"|[[Archivo:Laon Cathedral's regulator lines.jpg|x220px|center]]<br />'''[2]'''
|valign="top"|[[Archivo:Mona Lisa Golden Ratio.jpg|x220px|center]]<br />'''[3]'''
|valign="top"|[[Archivo:Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg|x220px|center]]<br />'''[4]'''
|-
|colspan=4 style="background:Azure;"|
* '''[1]''' El cociente Base:Hipotenusa (b:a) de la [[Gran Pirámide de Guiza]], se ha relacionado con: 1:φ ([[Triángulo de Kepler]]), 3:5 ([[Triángulos rectángulos especiales|Triángulo 3-4-5]]), o 1:4/π
* '''[2]''' Supuestas líneas de proporción: [[Catedral de Laon]]
* '''[3]''' Rectángulos áureos superpuestos sobre [[La Gioconda]]
* '''[4]''' La iglesia de la [[St. Benedictusberg Abbey]] (1967), obra de [[Hans van der Laan]], utiliza en sus proporciones el [[número plástico]]
|}

=== Simetrías planas ===
{{VT|Simetría|Grupo del papel pintado|Patrones geométricos islámicos|Kilim}}
[[Archivo:Carpet with Double Medallion.jpg|thumb|upright|left|Presencia poderosa:<ref name=Salingaros/> alfombra con doble medallón. [[Anatolia]] Central (Konya-Karapınar), paso del siglo XVI al XVII. [[Mezquita Alâeddin]]]]

Las [[Simetría|simetrías en el plano]] se han utilizado durante milenios en obras de arte como [[alfombra]]s, celosías, textiles y todo tipo de adornos.<ref name=Cucker89/><ref name=Lerner/><ref name=Ellison/><ref name=Castera/>

Muchas alfombras tradicionales, ya sean de pelo o del tipo [[kilim]] de tejido plano, se dividen en un campo central y un borde de encuadre. Ambos pueden presentar simetrías, aunque en las alfombras tejidas a mano a menudo están ligeramente alteradas por pequeños detalles, variaciones de patrón y cambios de color introducidos por el tejedor.<ref name=Cucker89>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/89 89]–102}}</ref> En los kilims de [[Anatolia]], los [[motivo (artes textiles)|motivos]] utilizados son generalmente simétricos. En el diseño general también suele estar presente la simetría, con configuraciones tales como franjas, franjas alternas con filas de motivos, y arreglos agrupados de motivos aproximadamente hexagonales. El campo se presenta comúnmente como un fondo asimilable a un patrón del ''[[grupo del papel pintado]]'' de configuración ''pmm'', mientras que el borde toma la forma de un [[friso (matemáticas)|friso]] del tipo ''pm11'', ''pmm2'' o ''pma2''. Los kilims turcos y de Asia central a menudo tienen tres o más fronteras entre diferentes grupos de frisos. Es obvio que los tejedores ciertamente buscaban la simetría, sin el conocimiento explícito de sus matemáticas.<ref name=Cucker89/>

El matemático y teórico de la arquitectura [[Nikos Salingaros]] sugiere que la "poderosa presencia"<ref name=Salingaros/> (efecto estético) de una "gran alfombra",<ref name=Salingaros/> como las mejores alfombras de dos medallones Konya del {{siglo|XVII||s}}, se crean mediante técnicas matemáticas relacionadas con las teorías del arquitecto [[Christopher Alexander]]. Estas técnicas incluyen introducir zonas de color como pares opuestos; diferenciar áreas geométricamente, ya sea utilizando formas complementarias o equilibrando la direccionalidad de los ángulos agudos; utilizar la complejidad a pequeña escala (desde el nivel de nudo hacia arriba) y la simetría a pequeña y a gran escala; y la utilización de elementos repetidos en una jerarquía de diferentes escalas (con una relación de aproximadamente 2.7 de cada nivel al siguiente). Salingaros sostiene que "todas las alfombras consideradas artísticas satisfacen al menos nueve de las diez reglas anteriores", y sugiere que podría ser posible crear una métrica a partir de estas reglas.<ref name=Salingaros>{{cite journal |author=Salingaros, Nikos |title=The 'life' of a carpet: an application of the Alexander rules |url=http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/life.carpet.html |journal=8th International Conference on Oriental Carpets |date=November 1996 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=5 de marzo de 2016 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160305001146/http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/life.carpet.html |deadurl=yes }} Reprinted in {{cite book |editor1-last=Eiland |editor1-first=M. |editor2-last=Pinner |editor2-first=M. |title=Oriental Carpet and Textile Studies V |date=1998 |publisher=Conference on Oriental Carpets |location=Danville, CA}}</ref>

Elaborados enrejados se encuentran en los trabajos de la India denominados [[jali]], tallados en mármol para adornar tumbas y palacios.<ref name=Lerner>{{cite book |last1=Lerner |first1=Martin |title=The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections |date=1984 |publisher=Metropolitan Museum of Art |edition=Exhibition Catalogue |url=http://libmma.contentdm.oclc.org/cdm/compoundobject/collection/p15324coll10/id/105494}}</ref> Las celosías chinas, siempre con cierta simetría, existen en 14 de los 17 grupos de simetría planar; a menudo presentan simetría de espejo, de doble espejo o simetría rotacional. Algunas presentan un medallón central y otras incluyen un borde con un friso.<ref name=Cucker103>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/103 103]–106}}</ref> Muchas celosías chinas han sido analizadas matemáticamente por Daniel S. Dye, que ha identificado [[Sichuan]] como el centro de este arte.<ref>{{cite book |last1=Dye |first1=Daniel S. |title=Chinese Lattice Designs |url=https://archive.org/details/chineselatticede00dyed |date=1974 |publisher=Dover |pages=[https://archive.org/details/chineselatticede00dyed/page/30 30]–39}}</ref>

[[Archivo:Girih tiles.svg|thumb|upright|[[Dovelas girih]]]]

Las simetrías tienen un papel muy destacado en las [[artes textiles]], incluyendo el [[quilting]],<ref name=Ellison>{{cite book |last1=Ellison |first1=Elaine |last2=Venters |first2=Diana |publisher=Key Curriculum |title=Mathematical Quilts: No Sewing Required |url=https://archive.org/details/mathematicalquil0000vent |year=1999}}</ref> el [[punto (lana)|punto]],<ref>{{cite journal |last1=b<!--sic, l/c-->elcastro |first1=s<!--sic, l/c-->arah-m<!--sic, l/c-->arie |title=Adventures in Mathematical Knitting |url=http://www.americanscientist.org/issues/feature/adventures-in-mathematical-knitting/1 |journal=American Scientist |volume=101 |issue=2 |page=124 |date=2013 |doi=10.1511/2013.101.124 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=4 de marzo de 2016 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160304032908/http://www.americanscientist.org/issues/feature/adventures-in-mathematical-knitting/1 |deadurl=yes }}</ref> el [[punto de cruz]], el [[ganchillo]],<ref>{{cite book |author=Taimina, Daina |title=Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes |year=2009 |publisher=A K Peters |isbn=978-1-56881-452-0}}</ref> los [[bordado]]s<ref>Snook, Barbara. ''Florentine Embroidery''. Scribner, Second edition 1967.</ref><ref>Williams, Elsa S. ''Bargello: Florentine Canvas Work''. Van Nostrand Reinhold, 1967.</ref> y los distintos tipos de [[tejeduría]],<ref>{{cite journal |doi=10.2307/2690105 |author1=Grünbaum, Branko |authorlink1=Branko Grünbaum |author2=Shephard, Geoffrey C. |title=Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics |date=May 1980 |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=53 |issue=3 |pages=139–161 |jstor=2690105|bibcode=1975MathM..48...12G }}</ref> donde estos patrones pueden ser puramente decorativos o pueden indicar el estatus de su propietario.<ref name=Gamwell423>{{cite book |last1=Gamwell |first1=Lynn |title=Mathematics and Art: A Cultural History |date=2015 |publisher=Princeton University Press |page=423 |isbn=978-0-691-16528-8}}</ref> La [[simetría rotacional]] se encuentra en estructuras circulares tales como [[cúpula]]s, en ocasiones elaboradamente decoradas con patrones simétricos por dentro y por fuera, como en la [[Mezquita del jeque Lotf Allah]] de [[Isfahán]] (1619).<ref>{{cite book |last1=Baker |first1=Patricia L. |last2=Smith |first2=Hilary |title=Iran |url=https://books.google.com/books?id=a40CkMNqU8AC&lpg=PA107&pg=PA108#v=onepage&q&f=false |edition=3 |year=2009 |publisher=Bradt Travel Guides |isbn=978-1-84162-289-7 |page=107}}</ref> Los artículos de bordado y [[encaje]] como manteles y tapetes de mesa, hechos con bobinas o con [[frivolité|bolillos]], pueden tener una amplia variedad de reflexiones y rotaciones simétricas, que han sido exploradas matemáticamente.<ref>{{cite journal |last1=Irvine |first1=Veronika |last2=Ruskey |first2=Frank |title=Developing a Mathematical Model for Bobbin Lace |journal=[[Journal of Mathematics and the Arts]] |date=2014 |volume=8 |issue=3–4 |pages=95–110 |doi=10.1080/17513472.2014.982938 |arxiv=1406.1532}}</ref>

En el [[arte islámico]], los [[Patrones geométricos islámicos|patrones geométricos]] están presentes en muchas de sus formas de arte, especialmente en los embaldosados [[dovelas girih|girih]]. Estos teselados se forman utilizando un conjunto de cinco formas de baldosas, a saber: un decágono regular, un hexágono alargado, una ''pajarita'', un rombo y un pentágono regular. Todos los lados de estos azulejos tienen la misma longitud; y todos sus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 [[radián|radianes]]), mostrando simetrías de cinco y diez módulos. Las baldosas están decoradas con líneas de [[lacería]] en relieve (girih), generalmente más visibles que los límites de las baldosas. En 2007, los físicos [[Peter Lu]] y [[Paul Steinhardt]] argumentaron que el enlosado girih era similar al [[cuasicristal]] definido por la [[teselación de Penrose]].<ref>{{cite journal |author1=Lu, Peter J. |author2=Steinhardt, Paul J. |year=2007 |title=Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture |journal=[[Science]] |volume=315 |pages=1106–1110 |doi=10.1126/science.1135491 |pmid=17322056 |issue=5815 |bibcode=2007Sci...315.1106L}}</ref> Las baldosas geométricas elaboradas con pequeñas teselas (''[[zellige]]'') son un elemento distintivo en la arquitectura de [[Marruecos]].<ref name=Castera>{{cite book |last1=Castera |first1=Jean Marc |last2=Peuriot |first2=Francoise |title=Arabesques. Decorative Art in Morocco |date=1999 |publisher=Art Creation Realisation |isbn=978-2-86770-124-5}}</ref> Las bóvedas decoradas con [[mocárabe]] son tridimensionales, pero están diseñadas en dos dimensiones con dibujos de celdas geométricas.<ref>{{cite web |author1=van den Hoeven, Saskia|author2=van der Veen, Maartje |title=Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts |url=http://www.wiskuu.nl/muqarnas/Muqarnas_english8.pdf |accessdate=15 de enero de 2016 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130927070005/http://www.wiskuu.nl/muqarnas/Muqarnas_english8.pdf |archivedate=27 de septiembre de 2013}}</ref>

<gallery perrow="6" widths="200">
File:Hotamis Kilim.jpg|Detalle de un kilim de Hotamis, [[Anatolia]] central, comienzo del siglo XIX
File:Ming flower brocade (cropped)2.jpg|Detalle de un brocado de la [[dinastía Ming]], utilizando un patrón con un [[teselado hexagonal]]
File:Salim Chishti Tomb-2.jpg|Celosía ''[[Jali]]'' de mármol en la tumba de [[Salim Chishti]], [[Fatehpur Sikri]], [[India]]
File:Florentine Bargello Pattern.png|[[Simetría]]s: [[Bargello (bordado)|bargello]] florentino
File:Isfahan Lotfollah mosque ceiling symmetric.jpg|Techo de la [[mezquita del jeque Lotf Allah]], [[Isfahán]], 1619
File:Frivolité.jpg|[[Simetría rotacional]] en un [[encaje]]: [[frivolité|encaje de bolillos]]
File:Darb-i Imam shrine spandrel.JPG|[[Teselado girih]]: patrones a escalas grandes y pequeñas en una [[enjuta]] del santuario de [[Darb-i Imam]], Isfahan, 1453
File:Fes Medersa Bou Inania Mosaique2.jpg|[[Teselado]]s: mosaicos ''[[zellige]]'' en la [[Madrasa de Bou Inania]], [[Fez (Marruecos)]]
File:Sally Port of Sheikh Lotf Allah Mosque.JPG|La compleja geometría y los techos de la bóveda [[mocárabe]] de la mezquita Sheikh Lotfollah, Isfahan
File:Topkapi Scroll p294 muqarnas.JPG|Plano del arquitecto de una quinta bóveda de muqarnas. [[Tira del Topkapı]]
File:Tupa-inca-tunic.png|[[Túpac Yupanqui]]; túnica procedente del [[Perú]], 1450-1540, un [[textil andino]] indicador de un alto rango<ref name=Gamwell423/>
File:Samarcanda, Registán 32.jpg|Detalle decorativo en la madrasa de Sherdor. Samarcanda (Uzbekistán)
</gallery>

=== Poliedros ===
[[Archivo:Pacioli.jpg|mini|Retrato de [[Luca Pacioli]] disertando sobre los poliedros, atribuido a [[Jacopo de'Barbari]] (1495)]]

Los [[sólidos platónicos]] y otros [[poliedro]]s son un tema recurrente en el arte occidental. Se encuentran, por ejemplo, en un mosaico de mármol donde aparece un ''[[pequeño dodecaedro estrellado]]'' atribuido a Paolo Uccello y que forma parte del suelo de la [[Basílica de San Marcos]] en Venecia;<ref name="Hart"/> en los diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci dibujados como ilustraciones para el libro 1509 de [[Luca Pacioli]] ''[[De divina proportione|De Divina Proportione]]'';<ref name="Hart"/> como un [[rombicuboctaedro]] de cristal en el retrato de Pacioli de Jacopo de' Barbari, pintado en 1495;<ref name="Hart"/> y en el poliedro truncado (y varios otros objetos matemáticos) que aparecen en el grabado de [[Alberto Durero]] titulado ''[[Melancolía I]]''.<ref name="Hart"/>

[[Alberto Durero]] (1471-1528) fue un artista [[Pueblo alemán|alemán]] del Renacimiento, que hizo importantes contribuciones al estudio de los poliedros en su libro de 1525, ''Underweysung der Messung (Educación sobre la medición)'', destinado a la enseñanza de la [[perspectiva]], la [[geometría]] en [[arquitectura]], los [[sólidos platónicos]], y los [[polígono regular|polígonos regulares]]. Durero probablemente estuvo influenciado por los trabajos de [[Piero della Francesca]] y [[Luca Pacioli]] durante sus viajes a [[Italia]].<ref>{{cite book |author=Panofsky, E. |title=The Life and Art of Albrecht Durer |publisher=Princeton |year=1955}}</ref> Mientras que los ejemplos de perspectiva en "Underweysung der Messung" están poco desarrollados y contienen imprecisiones, el texto contiene una discusión detallada sobre los poliedros. Durero es también el primero en introducir en el texto la idea del [[desarrollo de un poliedro]],<ref>{{cite web |author=Hart, George W. |url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/durer.html |title=Dürer's Polyhedra |accessdate=13 de agosto de 2009}}</ref> incluyendo poliedros desplegados para que queden planos para su impresión. Durero publicó en 1528 otro libro influyente sobre las proporciones del cuerpo humano,<ref>{{cite book |last1=Dürer |first1=Albrecht |title=Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion|url=https://archive.org/details/hierinnsindbegri00dure |accessdate=24 de junio de 2015 |location=Nurenberg |date=1528}}</ref> titulado "Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Cuatro libros sobre la proporción humana)". 

El conocido grabado de Durero titulado ''[[Melancolía I]]'', representa a un ser alado, sentado en actitud pensativa. La imagen incluye un [[cuadrado mágico]] y un ''[[trapezoedro triangular truncado]]''.<ref name=Ziegler/> Estos dos elementos, y el grabado en su conjunto, han sido objeto de más interpretaciones modernas que casi cualquier otra obra comparable,<ref>{{cite journal |author=Schreiber, P. |title=A New Hypothesis on Durer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving 'Melencolia I' |journal=[[Historia Mathematica]] |volume=26 |issue=4 |pages=369–377 |date=1999 |doi=10.1006/hmat.1999.2245}}</ref><ref>{{cite book |first=Campbell |last=Dodgson |title=Albrecht Dürer |location= London |publisher=Medici Society |year=1926 |page=94}}</ref><ref name="Schuster">{{cite book |last=Schuster |first=Peter-Klaus |title=Melencolia I: Dürers Denkbild |pages=17–83 |location=Berlin |publisher=Gebr. Mann Verlag |year=1991}}</ref> incluyendo un libro de dos volúmenes de Peter-Klaus Schuster, y un influyente análisis contenido en la monografía de [[Erwin Panofsky]] sobre Durero.<ref name=Ziegler>{{cite news |last1=Ziegler |first1=Günter M. |title=Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube |url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/dec/03/durers-polyhedron-5-theories-that-explain-melencolias-crazy-cube |newspaper=The Guardian |accessdate=27 de octubre de 2015 |date=3 de diciembre de 2014}}</ref><ref name="Panofsky">{{cite book |title=Saturn and melancholy |first1=Erwin |last1=Panofsky |author1-link=Erwin Panofsky |last2=Klibansky |first2=Raymond |author2-link=Raymond Klibansky |last3=Saxl |first3=Fritz |author3-link=Fritz Saxl |publisher=Basic Books |year=1964 |url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=genpub;cc=genpub;q1=Klibansky;op2=and;op3=and;rgn=works;rgn1=author;rgn2=author;rgn3=author;view=toc;idno=0431529.0001.001}}</ref>

Otro famoso pintor que incluyó poliedros en algunas de sus pinturas es el español [[Salvador Dalí]]. En su cuadro titulado ''La Última Cena'', Cristo y sus discípulos están representados dentro de un [[dodecaedro]] gigante. Otra de sus obras, la ''[[Crucifixión (Dalí)|Crucifixión]]'' (1954),<ref>Óleo sobre lienzo, 194.3 × 123.8 cm del [[Museo Metropolitano de Arte]] de Nueva York</ref> muestra un [[hipercubo]] desplegado, que hace alusión a la perspectiva divina en cuatro dimensiones.<ref name="Rucker">[https://books.google.com/books?id=0xReBAAAQBAJ Rudy Rucker, ''The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality''], Courier Corporation, 2014, {{ISBN|0486798194}}</ref><ref name=CorpusHypercubus>{{cite web |title=Crucifixion (Corpus Hypercubus) |url=http://www.metmuseum.org/collection/the-collection-online/search/488880 |publisher=Metropolitan Museum of Art |accessdate=5 de septiembre de 2015}}</ref>

=== Dimensiones fractales ===

[[Archivo:Batik pedalaman - parang klithik.JPG|thumb|Un ''[[batik]]'', tejido tradicional procedente de [[Surakarta (Indonesia)|Surakarta]], Java, como este ''parang klithik'' con patrón de espadas, tiene una [[dimensión fractal]] de entre 1.2 y 1.5]]

Los diseños tradicionales de [[batik]], teñidos en Indonesia mediante el procedimiento de [[Técnica de teñido por reserva|''reserva con cera'']], combinan motivos figurativos (como elementos florales y vegetales) con motivos abstractos y algo caóticos, incluida la imprecisión derivada de la aplicación de la reserva de cera, y la variación aleatoria introducida por el agrietamiento de la propia cera. Los diseños de batik tienen una [[dimensión fractal]] de entre 1 y 2, que varía en diferentes estilos regionales. Por ejemplo, el batik de [[Cirebon]] tiene una dimensión fractal de 1.1; los batiks de [[Yogyakarta]] y [[Surakarta (Indonesia)|Surakarta]] (la ciudad de Solo) en el centro de [[Java (isla)|Java]] tienen una dimensión fractal de 1.2 a 1.5; y los batiks de [[Rembang Regency|Lasem]] en la costa norte de Java y de [[Tasikmalaya]] en Java occidental, tienen una dimensión fractal de entre 1.5 y 1.7.<ref>{{cite journal |last1=Lukman |first1=Muhamad |last2=Hariadi |first2=Yun |last3=Destiarmand |first3=Achmad Haldani |title=Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity |journal=Proceeding Generative Art X, Milan, Italy |date=2007 |url=http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/36748400/32.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1474897246&Signature=kXmu3pdTrpZ1pkw8CLV3GHNR%2FVs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DBatik_Fractal_Traditional_Art_to_Modern.pdf |accessdate=26 de septiembre de 2016}}</ref>

Las obras de ''[[dripping]]'' del artista moderno [[Jackson Pollock]] son igualmente distintivas por su dimensión fractal. Su obra titulada ''Número 14'' de 1948 tiene una dimensión de 1.45, mientras que sus pinturas posteriores tuvieron dimensiones fractales sucesivamente más altas y, por consiguiente, patrones más elaborados. Una de sus últimas obras, ''Blue Poles'', le llevó seis meses de trabajo, y tiene una dimensión fractal de 1.72.<ref>{{cite news |last1=Ouellette |first1=Jennifer |title=Pollock's Fractals |url=http://discovermagazine.com/2001/nov/featpollock |accessdate=26 de septiembre de 2016 |agency=Discover Magazine |date=November 2001}}</ref>

== Una relación compleja ==
El astrónomo [[Galileo Galilei]] en su obra "[[El ensayador]]" escribió que ''"[El universo] está escrito en el [[Patrones en la naturaleza|lenguaje de las matemáticas]], y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas"''. Los artistas<ref>{{cite book |author=Galilei, Galileo |authorlink=Galileo Galilei |title=The Assayer |year=1623}}, as translated in {{cite book |author=Drake, Stillman |authorlink=Stillman Drake |year=1957 |title=Discoveries and Opinions of Galileo |publisher=Doubleday |pages=[https://archive.org/details/discoveriesopini00gali_0/page/237 237–238] |isbn=978-0-385-09239-5 |url=https://archive.org/details/discoveriesopini00gali_0/page/237 }}</ref> que se esfuerzan y buscan estudiar la naturaleza, según Galileo, deben primero ver y entender completamente las matemáticas.

Sin embargo, los matemáticos han tratado de interpretar y analizar el arte a través de la lente de la geometría y de la racionalidad. El matemático Felipe Cucker sugiere que las matemáticas, y especialmente la geometría, son una fuente de reglas para la "creación artística impulsada por reglas", aunque no la única.<ref>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |page=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/381 381]}}</ref> Algunas de las muchas cadenas de la compleja relación resultante<ref>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |page=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/10 10]}}</ref> se describen a continuación.

[[Archivo:Ghhardy@72.jpg|thumb|upright|El matemático [[Godfrey Harold Hardy]] definió un conjunto de criterios para calificar la [[belleza matemática]]]]

=== Las matemáticas como arte ===
{{AP|Belleza matemática}}

El matemático Jerry P. King describe las matemáticas como un arte, afirmando que "las claves de las matemáticas son la belleza y la elegancia y no el aburrimiento y los tecnicismos", y que la belleza es la fuerza motivadora de la investigación matemática.<ref>{{cite book |last1=King |first1=Jerry P. |title=The Art of Mathematics |date=1992 |publisher=Fawcett Columbine |isbn=978-0-449-90835-8 |pages=8–9}}</ref> King cita el ensayo matemático publicado por [[Godfrey Harold Hardy]] en 1940, titulado ''[[Apología de un matemático]]''. En este escrito, Hardy analiza por qué encuentra dos teoremas de la [[antigüedad clásica]] como de primera clase, a saber, la prueba de [[Euclides]] de que hay infinitos [[número primo|números primos]], y la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es un [[número irracional]]. King evalúa estos teoremas según los criterios de Hardy para estimar la [[Belleza matemática|elegancia matemática]]: ''"sobriedad, profundidad, generalidad, imprevisibilidad, inevitabilidad"'' y ''"economía"'' (las ''cursivas'' son de King), y describe la prueba como "estéticamente agradable".<ref>{{cite book |last1=King |first1=Jerry P. |title=The Art of Mathematics |date=1992 |publisher=Fawcett Columbine |isbn=978-0-449-90835-8 |pages=135–139}}</ref> El matemático húngaro [[Paul Erdős]] estuvo de acuerdo en que las matemáticas poseían belleza, pero consideró las razones más allá de la explicación: "¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es hermosa la [[Sinfonía n.º 9 (Beethoven)|Novena Sinfonía de Beethoven]]. Si no ves el porqué, nadie te lo puede explicar. Yo ''sé'' que los números son hermosos".<ref>{{cite book |last=Devlin |first=Keith |title=The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip |publisher=Basic Books |year=2000 |page=140 |chapter=Do Mathematicians Have Different Brains? |chapter-url=https://books.google.com/books?id=AJdmfYEaLG4C |isbn=978-0-465-01619-8}}</ref>

=== Herramientas matemáticas para el arte ===
[[Archivo:Octopod by syntopia.jpg|thumb|''Octopod'', obra de Mikael Hvidtfeldt Christensen. [[Arte algorítmico]] producido con el programa ''Structure Synth'']]
{{VT|Anexo:Lista de artistas matemáticos|fractalismo|arte computacional}}

Las matemáticas aparecen en el sustrato de prácticamente todas las artes, como la [[música]], la [[danza]],<ref>{{cite web |last1=Wasilewska |first1=Katarzyna |title=Mathematics in the World of Dance |url=http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-453.pdf |publisher=Bridges |accessdate=1 de septiembre de 2015 |date=2012}}</ref> la [[pintura]], la [[arquitectura]] y la [[escultura]]. 

Cada una está asociado con las matemáticas de una manera particular.<ref name=Malkevitch>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art1 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref> Gracias a su conexión con las artes visuales, las matemáticas pueden proporcionar herramientas para los artistas, como las reglas de la [[perspectiva]] descritas por [[Brook Taylor]] y [[Johann Heinrich Lambert]], o los métodos de [[geometría descriptiva]], posteriormente aplicados al modelado de sólidos por ordenador, y cuyos orígenes teóricos se remontan a Durero y a [[Gaspard Monge]].<ref>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art2 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref>

Los artistas de la [[Edad Media]] y del [[Renacimiento]] (como Luca Pacioli, Leonardo da Vinci y Durero) han utilizado y desarrollado ideas matemáticas mientras investigaban nuevas formas de llevar a cabo su trabajo artístico.<ref name=Malkevitch/><ref>{{cite web |title=Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty |url=http://www.maa.org/meetings/calendar-events/math-and-art-the-good-the-bad-and-the-pretty |publisher=Mathematical Association of America |accessdate=2 de septiembre de 2015 |fechaarchivo=9 de septiembre de 2015 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20150909085252/http://www.maa.org/meetings/calendar-events/math-and-art-the-good-the-bad-and-the-pretty |deadurl=yes }}</ref> El uso de la perspectiva comenzó, a pesar de algunos intentos incipientes en la arquitectura de la antigua Grecia, con los pintores italianos como [[Giotto]] en el {{siglo|XIII||s}}; reglas como la del [[punto de fuga]] fueron formuladas por primera vez por [[Filippo Brunelleschi]] alrededor de 1413,<ref name=StAndrews>{{cite web |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |title=Mathematics and art – perspective |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Art.html |publisher=University of St Andrews |accessdate=1 de septiembre de 2015 |date=January 2003}}</ref> y sus teorías influyeron definitivamente en Leonardo y en Durero.

El trabajo de [[Isaac Newton]] sobre el [[Espectro visible|espectro óptico]] influyó en la [[teoría de los colores]] de un literato como [[Johann Wolfgang von Goethe|Goethe]] y, a su vez, en artistas como [[Philipp Otto Runge]], [[J. M. W. Turner]],<ref>{{cite journal|last1=Cohen|first1=Louise|title=How to spin the colour wheel, by Turner, Malevich and more|url=http://www.tate.org.uk/context-comment/articles/how-to-spin-the-colour-wheel|publisher=Tate Gallery|accessdate=4 de septiembre de 2015|date=1 de julio de 2014}}</ref> los miembros de la [[Hermandad Prerrafaelita]] y sobre [[Vasili Kandinski]].<ref>{{cite book |last1=Kemp |first1=Martin |title=The Science of Art: Optical Themes in Western Art from Brunelleschi to Seurat |date=1992 |publisher=Yale University Press |isbn=978-968-867-185-6}}</ref><ref name="Gage1999">{{cite book |last=Gage |first=John |title=Color and Culture: Practice and Meaning from Antiquity to Abstraction |url=https://books.google.com/books?id=oq_GtjmoTNgC&pg=PA207 |year=1999 |publisher=University of California Press |isbn=978-0-520-22225-0 |page=207}}</ref>

Los artistas también pueden analizar la [[simetría]] de una escena, y trabajar sobre este concepto. Las mismas herramientas<ref>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art. 3. Symmetry |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art3 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref> pueden ser aplicadas por matemáticos que están explorando el arte, o por artistas inspirados en las matemáticas, como [[M. C. Escher]] (inspirado en [[Harold Scott MacDonald Coxeter]]) o el arquitecto [[Frank Gehry]], quien argumentó que el [[diseño asistido por computadora]] le permitió expresarse de una manera completamente nueva.<ref>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art. 4. Mathematical artists and artist mathematicians |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art4 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref>

El artista Richard <!--no, not that Richard Wright-->Wright argumenta que los objetos matemáticos que pueden construirse pueden verse "como procesos para simular fenómenos" o como obras de "[[arte computacional]]". Considera la naturaleza del pensamiento matemático, observando que los matemáticos conocían los [[fractal]]es desde un siglo antes de que fueran reconocidos como tales. Wright concluye afirmando que es apropiado someter los objetos matemáticos a cualquier método utilizado para "llegar a un acuerdo con conceptos culturales como el arte, la tensión entre objetividad y subjetividad, sus significados metafóricos y el carácter de los sistemas de representación". Da como ejemplos una imagen del [[conjunto de Mandelbrot]], una imagen generada por un algoritmo de [[autómata celular]] y una imagen [[Renderización|renderizada]], y discute, con referencia al [[Test de Turing]], si los productos de un [[algoritmo]] pueden ser arte.<ref>{{cite journal |last1=Wright |first1=Richard |title=Some Issues in the Development of Computer Art as a Mathematical Art Form |journal=[[Leonardo Arte y Tecnología|Leonardo]] |date=1988 |volume=1 |issue=Electronic Art, supplemental issue |pages=103–110 |doi=10.2307/1557919 |jstor=1557919}}</ref> Sasho Kalajdzievski, en su obra ''"Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics (Matemáticas y Arte: una introducción a las matemáticas visuales)'' adopta un enfoque similar, analizando temas matemáticos visuales adecuados, como teselados, fractales y geometría hiperbólica.<ref>{{cite book |last1=Kalajdzievski |first1=Sasho |title=Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics |url=https://archive.org/details/mathartintroduct0000kala |date=2008 |publisher=Chapman and Hall |isbn=978-1-58488-913-7}}</ref>

Algunas de las primeras obras de arte computacional fueron creadas por "Drawing Machine 1", un sistema ideado por [[Desmond Paul Henry]], que consistía en una [[computadora analógica]] basada en un [[visor de bombardero]], exhibida en 1962.<ref name=Beddard>{{cite web |last1=Beddard |first1=Honor |title=Computer art at the V&A |url=http://www.vam.ac.uk/content/journals/research-journal/issue-02/computer-art-at-the-v-and-a/ |publisher=Victoria and Albert Museum |accessdate=22 de septiembre de 2015|date=26 de mayo de 2011 }}</ref><ref>{{cite news |title=Computer Does Drawings: Thousands of lines in each |agency=The Guardian |date=17 de septiembre de 1962}} in Beddard, 2015.</ref> La máquina era capaz de crear dibujos lineales complejos, abstractos, asimétricos o curvilíneos, pero repetitivos.<ref name=Beddard/><ref>{{cite book |author=O'Hanrahan, Elaine |year=2005 |title=Drawing Machines: The machine produced drawings of Dr. D. P. Henry in relation to conceptual and technological developments in machine-generated art (UK 1960–1968). Unpublished MPhil. Thesis. |publisher=John Moores University, Liverpool}} in Beddard, 2015.</ref> Más recientemente, [[Hamid Naderi Yeganeh]] ha creado formas sugerentes de objetos del mundo real, como peces y aves, utilizando fórmulas que son sucesivamente variadas para dibujar familias de curvas o líneas en ángulo.<ref>{{cite news |title=Catch of the day: mathematician nets weird, complex fish |url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/feb/24/catch-of-the-day-mathematician-nets-weird-complex-fish |date=24 de febrero de 2015 |first=Alex |last=Bellos|publisher=The Guardian |accessdate=25 de septiembre de 2015}}</ref><ref name=Yeganeh2>{{cite web|url=http://www.ams.org/mathimagery/displayimage.php?album=40&pid=684#top_display_media|title="A Bird in Flight (2016)," by Hamid Naderi Yeganeh|publisher=[[American Mathematical Society]]|date=23 de marzo de 2016|accessdate=6 de abril de 2017|fechaarchivo=29 de marzo de 2017|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20170329234641/http://www.ams.org/mathimagery/displayimage.php?album=40&pid=684#top_display_media|deadurl=yes}}</ref><ref>{{cite news |title=Next da Vinci? Math genius using formulas to create fantastical works of art |url= http://www.cnn.com/2015/09/17/arts/math-art/ |date=18 de septiembre de 2015 |first=Stephy |last=Chung |work=[[CNN]]}}</ref> Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de arte algorítmico escribiendo rutinas para un sistema de software como ''Structure Synth'': el artista dirige efectivamente el sistema para aplicar una combinación deseada de operaciones matemáticas a un conjunto de datos previajente elegido.<ref>{{cite web |last1=Levin |first1=Golan |title=Generative Artists |url=http://cmuems.com/2013/a/resources/artists-generative/ |publisher=CMUEMS |accessdate=27 de octubre de 2015 |date=2013 |fechaarchivo=21 de septiembre de 2015 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20150921020620/http://cmuems.com/2013/a/resources/artists-generative/ |deadurl=yes }} This includes a link to [http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/generative-art-links/ Hvidtfeldts Syntopia].</ref><ref>{{cite web |last1=Verostko |first1=Roman |authorlink=Roman Verostko |title=The Algorists |url=http://www.verostko.com/algorist.html |accessdate=27 de octubre de 2015}}</ref>

<gallery perrow="6" widths="200">
File:Bathsheba Grossman geometric art.jpg|Escultura matemática, obra de [[Bathsheba Grossman]], 2007
File:Hartmut Skerbisch.jpg|Escultura [[fractal]]: ''3D Fraktal 03/H/dd'', obra de [[Hartmut Skerbisch]], 2003
File:FWF Samuel Monnier détail.jpg|[[Fibonacci word]]: detalle del trabajo de Samuel Monnier, 2009
File:Wiki.picture by drawing machine 1.jpg|Imagen de [[arte computacional]] producida por [[Desmond Paul Henry]] con su "Drawing Machine 1", exhibido en 1962
File:A Bird in Flight by Hamid Naderi Yeganeh 2016.jpg|''[[A Bird in Flight]]'', por [[Hamid Naderi Yeganeh]], 2016, construido con una familia de curvas matemáticas
File:Deep Dream of Electric Sheep.jpg|Imagen modificada mediante el programa ''[[Deep Dream]]''
</gallery>

=== De las matemáticas al arte ===
{{VT|Protocubismo|Teselación|M. C. Escher|Origami|Matemáticas y artes del tejido}}
[[Archivo:Theo van Doesburg 122.jpg|thumb|upright=0.4|[[Theo van Doesburg]]: ''Seis Momentos en el Desarrollo del Plano al Espacio'', 1926 o 1929]]

El matemático y [[física teórica|físico teórico]] [[Henri Poincaré]], autor de ''[[Ciencias e Hipótesis]]'', fue leído ampliamente por los [[Cubismo|cubistas]], incluyendo a [[Pablo Picasso]] y a [[Jean Metzinger]].<ref name="Miller"/><ref>{{cite book |author=Miller, Arthur I. |title=Insights of Genius: Imagery and Creativity in Science and Art |publisher=Springer |year=2012 |isbn=978-1-4612-2388-7}}</ref> Poincaré veía la [[geometría euclidiana]] como una de las muchas configuraciones posibles del espacio, en lugar de como una verdad objetiva absoluta. Picasso, en su obra de 1907 ''[[Las señoritas de Avignon]]'' utilizó la proyección en una cuarta dimensión para mostrar simultáneamente las figuras de frente y de perfil.<ref>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/315 315]–317}}</ref>

La posible existencia de una [[cuarta dimensión en el arte|cuarta dimensión]] inspiró a los artistas la posibilidad de cuestionar la [[perspectiva]] clásica heredada del Renacimiento: la [[geometría no euclidiana]] se convirtió en una alternativa válida más.<ref name=Henderson>{{cite book |author=Henderson, Linda D. |title=The Fourth Dimension and Non-Euclidean geometry in Modern Art |url=https://archive.org/details/fourthdimensionn0000lind |publisher=Princeton University Press |year=1983}}</ref><ref>{{cite book |url=http://eres.lndproxy.org/edoc/AH317Antliff-09.pdf |author1=Antliff, Mark |author2=Leighten, Patricia Dee |title=Cubism and Culture |publisher=Thames & Hudson |year=2001 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=26 de julio de 2020 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20200726154229/http://eres.lndproxy.org/edoc/AH317Antliff-09.pdf |deadurl=yes }} (enlace roto)</ref><ref>{{cite book |last=Everdell |first=William R. |authorlink=William Everdell |title=The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought |year=1997 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-22480-0 |page=[https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever/page/312 312] |url=https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever/page/312 }}</ref> El concepto de que la pintura podría expresarse matemáticamente, en color y forma, contribuyó al cubismo, el movimiento artístico que condujo al [[arte abstracto]].<ref>{{cite book |author=Green, Christopher |title=Cubism and its Enemies, Modern Movements and Reaction in French Art, 1916–1928 |url=https://archive.org/details/cubismitsenemies0000gree |publisher=Yale University Press |year=1987 |pages=[https://archive.org/details/cubismitsenemies0000gree/page/n22 13]–47}}</ref> Metzinger, en 1910, escribió que ''"[Picasso] presenta una perspectiva móvil y gratuita, desde la que ese ingenioso matemático, [[Maurice Princet]], ha deducido toda una geometría"''.<ref>{{cite journal |last=Metzinger |first=Jean |authorlink=Jean Metzinger |date=October–November 1910 |title=Note sur la peinture |journal=Pan |page=60}} in {{cite book |last=Miller |title=Einstein, Picasso |año=2001 |url=https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill |publisher=Basic Books |page=[https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill/page/167 167]}}</ref> Más adelante, escribió en sus memorias:

{{Cita|Maurice Princet nos reunía frecuentemente&nbsp;... era un artista que conceptualizaba las matemáticas, e invocaba un continuo ''n''-dimensional con pretensiones estéticas. Le encantaba ver cómo los artistas se interedaban en las [[Diagrama de Schlegel|nuevas visiones espaciales]] desarrolladas por [[Victor Schlegel|Schlegel]] y otros matemáticos. Tuvo éxito en este cometido.<ref>{{cite book |last=Metzinger |first=Jean |authorlink=Jean Metzinger |title=Le cubisme était né |year=1972 |publisher=Éditions Présence |pages=43–44}} in {{cite book |last=Ferry |first=Luc |authorlink=Luc Ferry |others=Robert De Loaiza, trans. |title=Homo Aestheticus: The Invention of Taste in the Democratic Age |year=1993 |publisher=University of Chicago Press |isbn=978-0-226-24459-4 |page=[https://archive.org/details/homoaestheticusi0000ferr/page/215 215] |url=https://archive.org/details/homoaestheticusi0000ferr/page/215 }}</ref>}}

El impulso de hacer modelos de enseñanza o investigación de formas matemáticas crea naturalmente objetos que tienen simetrías y formas sorprendentes o agradables. Algunos de estos objetos han inspirado a artistas como los [[Dadaísmo|dadaistas]] [[Man Ray]]<ref>{{cite web |title=Man Ray–Human Equations A Journey from Mathematics to Shakespeare. February 7 – May 10, 2015 |url=http://www.phillipscollection.org/events/2015-02-07-exhibition-man-ray-human-equations |publisher=Phillips Collection|accessdate=5 de septiembre de 2015}}</ref> [[Marcel Duchamp]]<ref>{{cite journal |last1=Adcock |first1=Craig |title=Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis |journal=Iowa Research Online |date=1987 |volume=16 |issue=1 |pages=149–167 |url=http://ir.uiowa.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1208&context=dadasur |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=24 de noviembre de 2015 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20151124231528/http://ir.uiowa.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1208&context=dadasur |deadurl=yes }}</ref> y [[Max Ernst]],<ref name="Elder2013">{{cite book |last=Elder |first=R. Bruce |title=DADA, Surrealism, and the Cinematic Effect |url=https://books.google.com/books?id=mhXaAgAAQBAJ&pg=PA602 |year=2013 |publisher=Wilfrid Laurier University Press |isbn=978-1-55458-641-7 |page=602}}</ref><ref>{{cite book |author=Tubbs, Robert |title=Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning |url=https://books.google.com/books?id=h1vBAwAAQBAJ&pg=PA118 |year=2014 |publisher=JHU Press |page=118 |isbn=978-1-4214-1402-7}}</ref> y tras Man Ray, a [[Hiroshi Sugimoto]].<ref>{{cite web|title=Hiroshi Sugimoto Conceptual Forms and Mathematical Models February 7 – May 10, 2015 |url=http://www.phillipscollection.org/events/2015-02-07-exhibition-hiroshi-sugimoto |publisher=Phillips Collection |accessdate=5 de septiembre de 2015}}</ref>

[[Archivo:Museum Reina Sofia (4251493091).jpg|thumb|upright|left|Retrato de Joella. [[Man Ray]] y [[Salvador Dalí]] ([[Museo Reina Sofía]])]]

Man Ray fotografió algunos de los modelos matemáticos conservados en el [[Institut Henri Poincaré]] en París, incluyendo "Objet Matemathique" (Objeto Matemático). Señaló que representaba [[Superficie de Enneper|superficies de Enneper]] con [[curvatura]] constante, derivadas de una [[pseudoesfera]]. Este fundamento matemático era importante para él, ya que le permitía negar que el objeto era "abstracto", permitiéndole afirmar que era tan real como el orinal que Duchamp convirtió en una obra de arte. Admitió que la fórmula de la superficie de Enneper que definía el objeto ''"no significaba nada para mí, pero las formas en sí mismas eran tan variadas y auténticas como cualquier otra en la naturaleza"''. Utilizó sus fotografías de los modelos matemáticos como figuras de su serie sobre las obras de [[William Shakespeare]], como su pintura "Antony and Cleopatra" de 1934.<ref>{{cite book |last1=Tubbs |first1=Robert |title=Mathematics in 20th-Century Literature and Art |date=2014 |publisher=Johns Hopkins |isbn=978-1-4214-1380-8 |pages=8–10}}</ref> El reportero de arte Jonathan Keats, en un artículo de la revista "ForbesLife", sostiene que Man Ray fotografió "los paraboloides elípticos y los puntos cónicos con la misma luz sensual que sus imágenes de [[Alice Prin]]", y "replantea ingeniosamente los cálculos geniales de las matemáticas para revelar la topología del deseo".<ref>{{cite web |last1=Keats |first1=Jonathon |title=See How Man Ray Made Elliptic Paraboloids Erotic At This Phillips Collection Photography Exhibit |url=https://www.forbes.com/sites/jonathonkeats/2015/02/13/see-how-man-ray-made-elliptic-paraboloids-sexy-at-this-phillips-collection-photography-exhibit/ |publisher=Forbes |accessdate=10 de septiembre de 2015 |date=13 de febrero de 2015}}</ref> tomaron escultores del {{siglo|XX||s}} como [[Henry Moore]], [[Barbara Hepworth]] y [[Naum Gabo]] inspiración de los modelos matemáticos.<ref>{{cite book |last1=Gamwell |first1=Lynn |title=Mathematics and Art: A Cultural History |date=2015 |publisher=Princeton University Press |pages=311–312 |isbn=978-0-691-16528-8}}</ref> Moore escribió sobre su ''Madre e hijo con cuerdas'' de 1938: "Sin duda, la fuente de mis figuras con cuerdas fue el [[Museo de Ciencias de Londres]]&nbsp;... Me fascinaron los modelos matemáticos que vi allí&nbsp;... "no fue el estudio científico de estos modelos, sino la capacidad de mirar a través de las cuerdas como en una jaula de pájaros y de ver una forma dentro de otra, lo que me emocionó".<ref>{{cite book |editor1-last=Hedgecoe |editor1-first=John |title=Henry Moore: Text on His Sculpture |work=Henry Spencer Moore |date=1968 |publisher=Simon and Schuster |page=105}}</ref>

Los artistas [[Theo van Doesburg]] y [[Piet Mondrian]] fundaron el movimiento [[De Stijl]], que pretendía "establecer un vocabulario visual de formas geométricas elementales comprensibles por todos y adaptables a cualquier disciplina".<ref name=tate>{{cite web |url=http://www.tate.org.uk/learn/online-resources/glossary/d/de-stijl |title=De Stijl |accessdate=11 de septiembre de 2015 |work=Tate Glossary |publisher=The Tate}}</ref><ref>{{cite book |last=Curl |first=James Stevens |title=A Dictionary of Architecture and Landscape Architecture |url=https://archive.org/details/dictionaryofarch00curl_0 |year=2006 |edition=Second |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-860678-9}}</ref> Muchas de sus obras de arte consisten visiblemente en cuadrados y triángulos, a veces también con círculos. Los artistas de De Stijl trabajaron en pintura, mobiliario, diseño de interiores y arquitectura.<ref name=tate/> Después de la separación de De Stijl, Van Doesburg fundó el movimiento [[vanguardismo|vanguardista]] ''[[Art Concret]]'', describiendo su obra de finales de la década de 1920 titulada''Seis Momentos en el Desarrollo del Plano al Espacio'', como una serie de cuatro cuadrados negros sobre la diagonal de un fondo cuadrado, como "una estructura que se puede controlar, una superficie ''definida'' sin elementos aleatorios ni capricho individual", pero "No le falta espíritu, no le falta lo universal y no&nbsp;... vacío, ya que posee un ''todo'' que se ajusta al ritmo interno". La crítica de arte Gladys Fabre observó que hay dos progresiones trabajando en la pintura, a saber, los cuadrados negros en crecimiento y los fondos alternos.<ref>{{cite book |author=Tubbs, Robert |title=Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning|year=2014 |publisher=JHU Press |pages=44–47 |isbn=978-1-4214-1402-7}}</ref>

Las matemáticas del [[teselado]], los poliedros, la configuración del espacio y la autorreferencia proporcionaron al artista gráfico [[M. C. Escher]] (1898-1972) material de por vida para sus grabados en madera.<ref>{{cite web |url=http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-main1.html |title=Tour: M.C. Escher – Life and Work |publisher=NGA |accessdate=13 de agosto de 2009 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090803124602/http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-main1.html |archivedate=3 de agosto de 2009}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/ |title=MC Escher |publisher=Mathacademy.com |date=1 de noviembre de 2007 |accessdate=13 de agosto de 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20071011061406/http://mathacademy.com/pr/minitext/escher/ |fechaarchivo=11 de octubre de 2007 }}</ref> En el ''Boceto de la Alhambra'', Escher demostró que es posible crear arte con polígonos o formas regulares como triángulos, cuadrados y hexágonos. También usó polígonos irregulares para teselar el plano y a menudo utilizó reflexiones y [[Traslación (geometría)|traslaciones]] para obtener patrones adicionales. Muchas de sus obras contienen construcciones imposibles, hechas con objetos geométricos que configuran una contradicción entre la proyección en perspectiva y las tres dimensiones, pero son agradables a la vista humana. Su grabado "[[Ascending and Descending|Ascendente y Descendente]]" se basa en la "[[Escalera de Penrose|escalera imposible]]" creada por el científico [[Lionel Sharples Penrose]] y su hijo el matemático [[Roger Penrose]].<ref>{{cite journal |last1=Penrose |first1=L.S. |last2=Penrose |first2=R. |title=Impossible objects: A special type of visual illusion |journal=[[British Journal of Psychology]] |year=1958 |volume=49 |issue=1 |pages=31–33 |doi=10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x |pmid=13536303}}</ref><ref>{{cite book |last1=Kirousis |first1=Lefteris M. |last2=Papadimitriou |first2=Christos H. |author2-link=Christos Papadimitriou |title=The complexity of recognizing polyhedral scenes |doi=10.1109/sfcs.1985.59 |pages=175–185 |journal=26th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS 1985) |year=1985|isbn=978-0-8186-0644-1 |cita=10.1.1.100.4844 }}</ref><ref>{{cite book |last=Cooper |first=Martin |contribution=Tractability of Drawing Interpretation |doi=10.1007/978-1-84800-229-6_9 |isbn=978-1-84800-229-6 |pages=[https://archive.org/details/linedrawinginter00coop_873/page/n218 217]–230 |publisher=Springer-Verlag |title=Line Drawing Interpretation |url=https://archive.org/details/linedrawinginter00coop_873 |year=2008}}</ref>

Algunos de los muchos dibujos de teselado de Escher se inspiraron en conversaciones con el matemático [[Harold Scott MacDonald Coxeter]] sobre la [[geometría hiperbólica]].<ref>{{cite book |author=Roberts, Siobhan |authorlink=Siobhan Roberts|work=King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry |page=Chapter 11 |title='Coxetering' with M.C. Escher |publisher=Walker |year=2006}}</ref> Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros específicos, que aparecen muchas veces en su trabajo. Los [[sólidos platónicos]] (tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros) aparecen especialmente destacados en "Orden y Caos" y "Cuatro Sólidos Regulares".<ref>{{cite book |author=Escher, M.C. |title=The World of MC Escher |publisher=Random House |date=1988}}</ref> Estas figuras a menudo se sitúan dentro de otras formas que distorsionan aún más el ángulo de visión y la conformación de los poliedros, proporcionando una obra de arte en perspectiva multifacética.<ref>{{cite book |author1=Escher, M.C. |author2=Vermeulen, M.W. |author3=Ford, K. |title=Escher on Escher: Exploring the Infinite |url=https://archive.org/details/escheronescherex0000esch |year=1989 |publisher=HN Abrams}}</ref>

La complejidad visual de las estructuras matemáticas, como las teselaciones y los poliedros, ha inspirado una gran variedad de obras de arte matemáticas. [[Stewart Coffin]] diseñó rompecabezas poliédricos en maderas raras y hermosas; [[George W. Hart]] trabajó en la teoría de [[poliedro]]s y esculpió objetos inspirados en ellos; [[Magnus Wenninger]] realizó modelos "especialmente hermosos" de poliedros estrellados complejos.<ref>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art5 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref>

Las perspectivas distorsionadas con efectos de [[anamorfosis]] se han explorado en el arte desde el {{siglo|XVI||s}}, cuando [[Hans Holbein el Joven]] incorporó un cráneo severamente distorsionado en su pintura "[[Los embajadores]]" de 1533. Muchos artistas desde entonces, incluido Escher, han hecho uso de trucos anamórficos.<ref>{{cite book |author=Marcolli, Matilde |authorlink=Matilde Marcolli |title=The notion of Space in Mathematics through the lens of Modern Art |publisher=Century Books |date=July 2016 |url=http://www.its.caltech.edu/~matilde/SpaceMathArticle.pdf |pages=23–26}}</ref>

Las matemáticas propias de la [[topología]] han inspirado a varios artistas en los tiempos modernos. El escultor [[John Robinson (escultor)|John Robinson]] (1935-2007) creó obras como ''Gordian Knot'' y ''Bands of Friendship'', mostrando la [[teoría de nudos]] en bronce pulido.<ref name=Emmer/>

Otros trabajos de Robinson exploran la topología de [[toro (geometría)|figuras toroidales]]. Su obra ''Genesis'' se basa en un ''[[nudo borromeo]]'', un conjunto de tres aros entrelazados.<ref>{{cite web |url=http://www.bradshawfoundation.com/jr/ |title=John Robinson |date=2007 |publisher=Bradshaw Foundation |accessdate=13 de agosto de 2009}}</ref> El escultor [[Helaman Ferguson]] creó complejas [[Superficie (matemática)|superficies]] y otros [[Espacio topológico|objetos topológicos]].<ref>{{cite web |url=http://www.helasculpt.com/index.html |title=Helaman Ferguson web site |publisher=Helasculpt.com |accessdate=13 de agosto de 2009 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090411034819/http://www.helasculpt.com/index.html |archivedate=11 de abril de 2009}}</ref> Sus obras son representaciones visuales de objetos matemáticos; ''The Eightfold Way'' se basa en [[grupo lineal especial proyectivo]] [[PSL(2,7)]], un grupo finito de 168 elementos.<ref>{{cite book |url=http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/thurston.pdf |title=The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson |author=Thurston, William P. |work=Volume 35: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve |publisher=MSRI Publications |year=1999 |pages=1–7 |editor=Levy, Silvio}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.maa.org/reviews/eightfold.html |title=MAA book review of ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve'' |publisher=Maa.org |date=14 de noviembre de 1993 |accessdate=13 de agosto de 2009 |fechaarchivo=21 de diciembre de 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20091221061724/http://www.maa.org/reviews/eightfold.html |deadurl=yes }}</ref> La escultora [[Bathsheba Grossman]] basó su trabajo en estructuras matemáticas de manera similar.<ref>{{cite web |url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-math-geek-holiday-gift-guide/ |title=The Math Geek Holiday Gift Guide |publisher=[[Scientific American]] |date=23 de noviembre de 2014 |accessdate=7 de junio de 2015}}</ref><ref>{{cite web |last1=Hanna |first1=Raven |title=Gallery: Bathsheba Grossman |url=http://www.symmetrymagazine.org/article/september-2005/gallery-bathsheba-grossman |publisher=Symmetry Magazine |accessdate=7 de junio de 2015}}</ref>

Un proyecto de investigación sobre artes liberales examina las conexiones entre las matemáticas y el arte a través de la [[banda de Möbius]], [[flexágono]]s, origamis y [[panorama|fotografías panorámicas]].<ref>{{cite book |last1=Fleron |first1=Julian F. |last2=Ecke |first2=Volker |last3=von Renesse |first3=Christine |last4=Hotchkiss |first4=Philip K. |title=Art and Sculpture: Mathematical Inquiry in the Liberal Arts |date=January 2015 |publisher=Discovering the Art of Mathematics project |edition=2nd |url=https://www.artofmathematics.org/books/art-and-sculpture}}</ref>

Los objetos matemáticos, incluidos el [[Atractor de Lorenz]] y el [[plano hiperbólico]], se han creado utilizando el [[Matemáticas y el arte del tejido|arte del tejido]], incluido el crochet.<ref>Las imágenes y videos de la variedad de Lorenz realizadas por [[Hinke Osinga]] en ganchillo llegaron a los noticias de televisión internacionalmente, como se puede ver en el sitio web vinculado:{{cite web |last1=Osinga |first1=Hinke |title=Crocheting the Lorenz manifold |url=https://www.math.auckland.ac.nz/~hinke/crochet/ |publisher=University of Auckland |accessdate=12 de octubre de 2015 |date=2005 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150410054845/https://www.math.auckland.ac.nz/~hinke/crochet/ |archivedate=10 de abril de 2015}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Henderson |first1=David |last2=Taimina |first2=Daina |author2-link=Daina Taimina |doi=10.1007/BF03026623 |issue=2 |journal=[[The Mathematical Intelligencer]] |pages=17–28 |title=Crocheting the hyperbolic plane |url=http://www.math.cornell.edu/%7Edwh/papers/crochet/crochet.PDF |volume=23 |year=2001}}.</ref><ref>{{cite journal |last1=Osinga |first1=Hinke M |author1-link=Hinke Osinga |last2=Krauskopf |first2=Bernd |doi=10.1007/BF02985416 |issue=4 |journal=[[The Mathematical Intelligencer]] |pages=25–37 |title=Crocheting the Lorenz manifold |url=http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.html |volume=26 |year=2004 |cita=10.1.1.108.4594 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=19 de abril de 2013 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20130419094659/http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.html |deadurl=yes }}</ref> El tejedor estadounidense [[Ada Dietz]] escribió una monografía en 1949 titulada "Expresiones algebraicas en textiles tejidos a mano", que define patrones de tejido basados en la expansión de [[polinomio]]s de múltiples variables.<ref>{{citation |last=Dietz |first=Ada K. |location=Louisville, Kentucky |publisher=The Little Loomhouse |title=Algebraic Expressions in Handwoven Textiles |url=http://www.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf |year=1949 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160222003421/http://www.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf |fechaarchivo=22 de febrero de 2016 }}</ref>

El matemático [[J. C. P. Miller]] usó el [[autómata celular]] [[Rule 90]] para diseñar [[Tapiz|tapices]] que representaban tanto árboles como patrones abstractos de triángulos.<ref>{{cite journal |first=J. C. P. |last=Miller |authorlink=J. C. P. Miller |title=Periodic forests of stunted trees |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]] |series=Series A, Mathematical and Physical Sciences |volume=266 |issue=1172 |year=1970 |pages=63–111 |doi=10.1098/rsta.1970.0003 |jstor=73779|bibcode=1970RSPTA.266...63M }}</ref> Los "mathekniticians"<ref>{{cite web |title=Pat Ashforth & Steve Plummer – Mathekniticians |url=http://www.woollythoughts.com/aboutus.html |website=Woolly Thoughts |accessdate=4 de octubre de 2015}}</ref> Pat Ashforth y Steve Plummer usaron versiones tejidas de objetos matemáticos como [[flexágono]]s para sus clases, aunque su [[esponja de Menger]] demostró ser demasiado compleja para tejerse y se confeccionó con lona plástica en su lugar.<ref>{{cite news |last1=Ward |first1=Mark |title=Knitting reinvented: Mathematics, feminism and metal |url=https://www.bbc.co.uk/news/technology-19208292 |publisher=BBC |accessdate=23 de septiembre de 2015 |date=20 de agosto de 2012|work=BBC News }}</ref><ref>{{cite web |last1=Ashforth |first1=Pat |last2=Plummer |first2=Steve |title=Menger Sponge |url=http://www.woollythoughts.com/menger.html |website=Woolly Thoughts: In Pursuit of Crafty Mathematics |accessdate=23 de septiembre de 2015}}</ref> Su proyecto "mathghans" (Afghanos en las Escuelas) introdujo el [[punto (lana)|punto]] en el currículo británico de matemática y tecnología.<ref>{{cite web |last1=Ashforth |first1=Pat |last2=Plummer |first2=Steve |title=Afghans for Schools |url=http://www.woollythoughts.com/schools/index.html |website=Woolly Thoughts: Mathghans |accessdate=23 de septiembre de 2015}}</ref><ref>{{cite journal |title=Mathghans with a Difference |url=http://www.simplyknitting.co.uk/2008/07/01/mathghans-with-a-difference/ |publisher=Simply Knitting Magazine |accessdate=23 de septiembre de 2015 |date=1 de julio de 2008 |publicación= |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20150925133153/http://www.simplyknitting.co.uk/2008/07/01/mathghans-with-a-difference/ |fechaarchivo=25 de septiembre de 2015 }}</ref>

<gallery perrow="6" widths="200">
File:Hans Holbein the Younger - The Ambassadors - Google Art Project.jpg|[[Anamorfismo]]: ''[[Los embajadores]]'', obra de [[Hans Holbein el Joven]], 1533, con una calavera fuertemente distorsionada 
File:Jouffret.gif|[[Cuarta dimensión]] en el [[cubismo]]: [[Esprit Jouffret]], 1903. ''Tratado elemental de geometría en cuatro dimensiones''.<ref>{{cite book|last=Jouffret|first=Esprit|title=Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=04810001|accessdate=26 de septiembre de 2015|year=1903|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|language=francés|oclc=1445172}}</ref><ref>[[Maurice Princet]] le dio una copia a [[Pablo Picasso]], cuyos cuadernos de dibujo para '' [[Las señoritas de Avignon]] '' ilustran la influencia de Jouffret.</ref><ref name="Miller">{{cite book|last=Miller|first=Arthur I.|title=Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc|url=https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill|year=2001|publisher=Basic Books|location=New York|isbn=978-0-465-01860-4|page=[https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill/page/171 171]}}</ref><ref>{{cite book|last=Seckel|first=Hélène|editor=William Rubin|editor2=Hélène Seckel|editor3=Judith Cousins|title=Les Demoiselles d'Avignon|year=1994|publisher=Museum of Modern Art|location=New York|isbn=978-0-87070-162-7|page=264|chapter=Anthology of Early Commentary on ''Les Demoiselles d'Avignon''}}</ref>
File:JuanGris.Portrait of Picasso.jpg|Retrato de [[Pablo Ruiz Picasso]], por [[Juan Gris]]. Proyección de un modelo tridimensional en facetas planas superpuestas
File:Theo van Doesburg Composition I.jpg|Movimiento de [[De Stijl]]: ''Composition I (Still Life)'', obra de [[Theo van Doesburg]] de 1916
File:Moebiusstripscarf.jpg|Una [[banda de Möbius]], en forma de bufanda de [[ganchillo]], 2007
File:Magnus Wenninger polyhedral models.jpg|[[Pedagogía]] y arte: [[Magnus Wenninger]] con algunos de sus [[poliedros estrellados]], 2009
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=== Ilustrando matemáticas ===
{|class="wikitable floatleft" width=250px
||[[Archivo:Polittico stefaneschi, verso.jpg|x200px|center]]
||[[Archivo:Polittico Stefaneschi, dettaglio.jpg|x200px|center]]
|-
|colspan=2 style="font-size:85%; line-height:125%;"|''[[Tríptico Stefaneschi]]'' de [[Giotto]] (1320), ejemplo de [[recursión]]. A la derecha, detalle con el Cardenal Stefaneschi sujetando el tríptico completo
|}
[[Archivo:BRX-musée-magritte.2.JPG|mini|Fachada del [[Museo Magritte]]: el lienzo representa un escenario real envuelto por el propio lienzo]]
[[Archivo:Palacio de Gaviria Escher.jpg|thumb|upright|Autorretrato de [[M. C. Escher]] (1935) reflejado sobre una esfera de cristal]]

El modelado está lejos de ser la única manera posible de ilustrar conceptos matemáticos. El ''[[Tríptico Stefaneschi]]'' de Giotto (1320), ilustra la [[recursión]] en la forma de ''[[mise en abyme]]''. El panel central del tríptico contiene en su parte inferior izquierda la figura arrodillada del cardenal Stefaneschi, sosteniendo el tríptico completo como ofrenda.<ref>{{cite web |title=Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych |url=http://mv.vatican.va/3_EN/pages/PIN/PIN_Sala02_03.html |publisher=The Vatican |accessdate=16 de septiembre de 2015}}</ref> Las pinturas [[metafísica]]s de [[Giorgio de Chirico]], como su "Gran Interior metafísico" de 1917, exploran la cuestión de los niveles de representación en el arte mediante la inclusión de pinturas dentro de sus pinturas.<ref>{{cite book |last1=Gamwell |first1=Lynn |title=Mathematics and Art: A Cultural History |date=2015 |publisher=Princeton University Press |pages=337–338 |isbn=978-0-691-16528-8}}</ref>

El arte puede ejemplificar paradojas lógicas, como algunas pinturas del [[surrealismo|surrealista]] [[René Magritte]], que se pueden leer como bromas de [[semiótica]] sobre la confusión entre niveles de significado. En ''[[La condición humana (pintura)|La condition humaine]]'' (1933), Magritte representa un caballete (sobre el lienzo real), en el que aparece una vista a través de una ventana que está enmarcada por cortinas "reales" en la pintura. De manera similar, ''[[Print Gallery (M. C. Escher)|Print Gallery]]'' de Escher (1956), representa una ciudad distorsionada que contiene una galería en la que [[recursión]]mente aparece la propia imagen, y así ''[[ad infinitum]]''.<ref>{{cite web |last1=Cooper |first1=Jonathan |title=Art and Mathematics |url=http://www.doctordada.com/art/art-and-mathematics/ |accessdate=5 de septiembre de 2015 |date=5 de septiembre de 2007}}</ref> Magritte hizo uso de esferas y cuboides para distorsionar la realidad de forma diferente, pintándolas junto a distintas casas en su obra ''Aritmética mental'' de 1931 como si fueran bloques de construcción para niños, pero del tamaño de una casa.<ref>{{cite book |last1=Hofstadter |first1=Douglas R. |authorlink=Douglas Hofstadter |title=Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid |titlelink=Gödel, Escher, Bach |date=1980 |publisher=Penguin |isbn=978-0-14-028920-6 |page=627}}</ref> Un artículo de ''[[The Guardian]]'' señalaba que la "imagen misteriosa de la ciudad de juguete" profetizaba la usurpación por parte del [[modernismo]] de las "tradicionales formas acogedoras", pero que también jugaba con la tendencia humana a buscar [[patrones en la naturaleza]].<ref>{{cite news |last1=Hall |first1=James |title=René Magritte: The Pleasure Principle – exhibition |url=https://www.theguardian.com/artanddesign/2011/jun/10/rene-magritte-pleasure-principle-exhibition |newspaper=The Guardian |accessdate=5 de septiembre de 2015 |date=10 de junio de 2011}}</ref>

El cuadro de Salvador Dalí, ''[[La cola de golondrina]]'' (1983), fue parte de una serie inspirada en la [[teoría de las catástrofes]] de [[René Thom]].<ref name="King">{{cite book |last1=King |first1=Elliott |editor1-last=Ades |editor1-first=Dawn |title=Dali |date=2004 |publisher=Bompiani Arte |location=Milan |pages=418–421}}</ref> El pintor y escultor español [[Pablo Palazuelo]] (1916-2007) se centró en la investigación de la forma. Desarrolló un estilo que describió como ''la geometría de la vida y la geometría de toda la naturaleza'', consistente en formas geométricas simples con patrones y colores detallados, en obras como ''Angular I'' y ''Automnes'', Palazuelo se expresó mediante transformaciones geométricas.<ref name=Emmer/>

El artista Adrian Gray ideó el [[Rock balancing|equilibrio de rocas]], jugando con las condiciones de [[fricción]] y el [[centro de masas]] para crear composiciones sorprendentes y aparentemente imposibles.<ref>{{cite journal |title=Stone balancing |url=http://mei.org.uk/files/pdf/MM_July_2013.pdf |journal=Monthly Maths |issue=29 |date=July 2013 |accessdate=10 de junio de 2017 |fechaarchivo=16 de abril de 2021 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20210416080503/https://mei.org.uk/files/pdf/MM_July_2013.pdf |deadurl=yes }}</ref>

Los artistas, sin embargo, no necesariamente asumen literalmente las propiedades de la geometría como ciencia. Como [[Douglas Hofstadter]] escribió en su reflexión de 1980 sobre el pensamiento humano, ''[[Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle]]'', a través de (entre otras cosas) las matemáticas del arte: "La diferencia entre un dibujo de Escher y la [[geometría no euclidiana]] es que en esta última, se pueden encontrar interpretaciones comprensibles para los términos indefinidos, lo que resulta en un sistema total comprensible, mientras que para el primero, el resultado final no se puede reconciliar con la propia concepción del mundo, sin importar cuánto se mire a las imágenes". Hofstadter discute la aparentemente [[paradoja|paradójica]] litografía "Print Gallery" obra de M. C. Escher, que representa una ciudad costera que a su vez contiene una galería de arte que parece contener una pintura de la ciudad costera, con un "bucle extraño o jerarquía entramada" entre los distintos niveles de realidad de la imagen. El propio artista, observa Hofstadter, no se ve; su realidad y su relación con la litografía no son paradójicas.<ref name=GEB>{{cite book |last1=Hofstadter |first1=Douglas R. |authorlink=Douglas Hofstadter |title=Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid |titlelink=Gödel, Escher, Bach |date=1980 |publisher=Penguin |isbn=978-0-394-74502-2 |pages=98–99, 690–717}}</ref> El vacío central de la imagen también ha atraído el interés de los matemáticos Bart de Smit y [[Hendrik Lenstra]], quienes proponen que podría contener una copia de sí misma, rotada y encogida mediante el [[efecto Droste]]; esta sería una ilustración más de la recursión más allá de lo señalado por Hofstadter.<ref>{{Cite journal |last=de Smit |first=B. |title=The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery |year=2003 |journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] |volume=50 |issue=4 |pages=446–451}}</ref><ref name=LenstraWebsite>{{cite web |last1=Lenstra |first1=Hendrik |last2=De Smit |first2=Bart |title=Applying mathematics to Escher's Print Gallery |url=http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu=intro |publisher=Leiden University |accessdate=10 de noviembre de 2015 |fechaarchivo=14 de enero de 2018 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20180114013908/http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu=intro |deadurl=yes }}</ref>

=== Análisis de la historia del arte ===

El análisis algorítmico de imágenes de obras de arte, por ejemplo, utilizando [[fluorescencia de rayos X]], puede revelar información sobre el arte. Tales técnicas pueden descubrir imágenes en capas de pintura cubiertas más tarde por un artista; ayudar a los historiadores del arte a visualizar una obra de arte antes de que se agriete o se desvanezca; ayudar a diferenciar una copia de un original, o distinguir el estilo de trazo de pincel de un maestro del de sus aprendices.<ref>{{cite web |last1=Stanek |first1=Becca |title=Van Gogh and the Algorithm: How Math Can Save Art |url=http://time.com/2884058/math-art-van-gogh-duke/ |publisher=Time Magazine |accessdate=4 de septiembre de 2015 |date=16 de junio de 2014}}</ref><ref>{{cite web |last1=Sipics |first1=Michelle |title=The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study |url=https://www.siam.org/news/news.php?id=1568 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |accessdate=4 de septiembre de 2015 |date=18 May 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20150907222302/http://www.siam.org/news/news.php?id=1568 |fechaarchivo=7 de septiembre de 2015 }}</ref>

[[Archivo:Lissajous figures 08079 nevit.jpg|thumb|[[Max Ernst]] experimentó con [[curva de Lissajous|curvas de Lissajous]] en la década de 1940]]

El estilo denominado ''[[dripping]]'' ("goteo") ideado por [[Jackson Pollock]]<ref name="Emmerling">{{cite book |last=Emmerling
|first=Leonhard |title=Jackson Pollock, 1912–1956 |date=2003 |page=63 |isbn=978-3-8228-2132-9 |url=https://books.google.com/books?id=K-ZZmvjJ_-IC&pg=PA63}}</ref> posee una [[dimensión fractal]] definida;<ref>{{cite journal |author1=Taylor, Richard P. |author2=Micolich, Adam P. |author3=Jonas, David |title=Fractal analysis of Pollock's drip paintings |journal=[[Nature]] |volume=399 |issue=6735 |page=422 |date=June 1999 |doi=10.1038/20833 |url=http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/Nature1.pdf |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150816105250/http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/Nature1.pdf |archivedate=16 de agosto de 2015 |df= |bibcode=1999Natur.399..422T }}</ref> entre los artistas que pueden haber influido en el [[Teoría del caos|chaos]] controlado de Pollock,<ref>{{cite journal|url=http://phys.unsw.edu.au/phys_about/PHYSICS!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html|title=Fractal Expressionism: Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?|last1=Taylor|first1=Richard|last2=Micolich|first2=Adam P.|date=October 1999|journal=[[Physics World]]|volumen=12|número=10|páginas=25–28|fechaacceso=2 de abril de 2019|doi=10.1088/2058-7058/12/10/21|quote=Pollock murió en 1956, antes de que se descubrieran la teoría del caos y los fractales. Por lo tanto, es muy poco probable que hubiera entendido conscientemente los fractales que estaba pintando. Sin embargo, su introducción de fractales fue deliberada. Por ejemplo, el color de la capa de anclaje se eligió para producir el contraste más nítido con el fondo del lienzo y esta capa también ocupa más espacio en el lienzo que las otras capas, lo que sugiere que Pollock quería que esta capa altamente fractal dominara visualmente la pintura. Además, una vez que se completaron las pinturas, recortó los lienzos para eliminar regiones cerca del borde donde la densidad del patrón era menos uniforme.|last3=Jonas|first3=David|archive-date=5 de agosto de 2012|archive-url=https://archive.today/20120805084052/http://phys.unsw.edu.au/phys_about/PHYSICS!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html|dead-url=yes}}</ref> Max Ernst pintó [[Curva de Lissajous|curvas de Lissajous]] directamente haciendo balancearse un cubo de pintura agujereado colgado sobre un lienzo.<ref>{{cite web |url=https://www.herts.ac.uk/__data/assets/pdf_file/0013/12307/WPIAAD_vol2_king.pdf |title=From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science. |last=King |first=M. |date=2002 |accessdate=17 de septiembre de 2015}}</ref>

El científico informático [[Neil Dodgson]] investigó si las pinturas de rayas de [[Bridget Riley]] podían caracterizarse matemáticamente, concluyendo que si bien la distancia de separación podía "proporcionar cierta caracterización" y el concepto de [[entropía]] global funcionaba en algunas pinturas, la [[autocorrelación|correlación]] obtenida no era concluyente, porque sus patrones eran irregulares. El análisis de la entropía local funcionó mejor, y se correlacionó bien con la descripción del crítico de arte Robert Kudielka.<ref>{{cite journal |last1=Dodgson |first1=N. A. |title=Mathematical characterisation of Bridget Riley's stripe paintings |journal=[[Journal of Mathematics and the Arts]] |date=2012 |volume=5 |issue=2–3 |pages=89–106 |url=http://www.cl.cam.ac.uk/~nad10/pubs/jma12.pdf |quote=over the course [of] the early 1980s, Riley's patterns moved from more regular to more random (as characterised by global entropy), without losing their rhythmic structure (as characterised by local entropy). This reflects Kudielka's description of her artistic development. |doi=10.1080/17513472.2012.679468}}</ref>

La ''medida estética'' del matemático estadounidense [[George David Birkhoff]], publicada en 1933, propone una métrica cuantitativa de la [[Estética|calidad estética]] de una obra de arte. No intenta medir las connotaciones de una obra, como el significado de una pintura, sino que se limita a los "elementos de orden" de una figura poligonal. Para ello, combina (como suma) cinco de estos parámetros: si existe un eje vertical de simetría; si hay equilibrio óptico; cuántas simetrías rotacionales tiene; cómo es el fondo de la figura; y si hay características insatisfactorias, como tener dos vértices demasiado juntos. Esta métrica, ''O'', toma un valor entre −3 y 7. La segunda métrica, ''C'', tiene en cuenta los elementos de la figura, que para un polígono es el número de diferentes líneas rectas que contienen al menos uno de sus lados. A continuación, define su medida estética de la belleza de un objeto como "O/C". Esto se puede interpretar como un equilibrio entre el placer de ver el objeto dado y la cantidad de esfuerzo necesario para asimilarlo. La propuesta de Birkhoff ha sido criticada de varias maneras, no solo por tratar de reducir la belleza a una fórmula, aunque siempre negó haberlo hecho.<ref name=Cucker116>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/116 116]–120}}</ref>

=== Los estímulos a la investigación matemática ===
{{VT|Geometría proyectiva|Matemáticas del origami}}
[[Archivo:Origami spring.jpg|mini|left|[[Origami]] matemático: ''[[Resorte|Muelle]] en Acción'', por Jeff Beynon, construido con un único rectángulo de papel.<ref>[http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/ The World of Geometric Toys], ''[http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/spring/z_spring.html Origami Spring]'', August, 2007.</ref>]]
[[Archivo:Della Pittura Alberti perspective circle to ellipse.jpg|mini|Origen remoto de la [[geometría proyectiva]]: diagrama de [[Leon Battista Alberti|Alberti]] mostrando un círculo en perspectiva visto como una [[elipse]]. ''Della Pittura'', 1435–6]]

El arte a veces ha estimulado el desarrollo de las matemáticas, como cuando la teoría de Brunelleschi sobre la arquitectura y la pintura supuso el inicio de un ciclo de investigación que condujo al trabajo de [[Brook Taylor]] y [[Johann Heinrich Lambert]] sobre los fundamentos matemáticos del dibujo en perspectiva,<ref>{{cite web |last1=Treibergs |first1=Andrejs |title=The Geometry of Perspective Drawing on the Computer |url=http://www.math.utah.edu/~treiberg/Perspect/Perspect.htm |publisher=University of Utah |accessdate=5 de septiembre de 2015 |date=24 de julio de 2001}}</ref> y, en última instancia, a las matemáticas de la [[geometría proyectiva]] de [[Girard Desargues]] y [[Jean-Victor Poncelet]].<ref>{{cite book |last1=Gamwell |first1=Lynn |title=Mathematics and Art: A Cultural History |date=2015 |publisher=Princeton University Press |page=xviii |isbn=978-0-691-16528-8}}</ref>

El arte japonés de plegado de papel, el [[origami]], ha sido revisado matemáticamente por [[Tomoko Fuse]]. Partiendo de piezas de papel congruentes, como cuadrados, analiza las operaciones necesarias para convertirlas en poliedros o teselas.<ref>{{cite web |last1=Malkevitch |first1=Joseph |title=Mathematics and Art. 6. Origami |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art6 |publisher=American Mathematical Society |accessdate=1 de septiembre de 2015}}</ref> Esta técnica fue utilizada en 1893 por T. Sundara Rao en sus "Ejercicios geométricos de plegado de papel" para determinadas demostraciones geométricas.<ref>{{cite book |title=Geometric Exercises in Paper Folding |author=T. Sundara Rao |url=http://name.umdl.umich.edu/ACV5060.0001.001|publisher=Addison |year=1893}}</ref> Las [[matemáticas del origami]] han sido exploradas en el [[teorema de Maekawa]],<ref>{{cite journal |last=Justin |first=J. |title=Mathematics of Origami, part 9 |journal=British Origami |date=June 1986 |pages=28–30}}.</ref> el [[teorema de Kawasaki]],<ref>{{cite book |title=Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics |first1=Claudi |last1=Alsina |first2=Roger |last2=Nelsen |publisher=[[Mathematical Association of America]] |isbn=978-0-88385-348-1 |series=Dolciani Mathematical Expositions |volume=42 |year=2010 |page=57 |url=https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA57}}</ref> y en los [[axiomas de Huzita–Hatori]].<ref>{{cite journal |title=One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms |url=http://www.math.sjsu.edu/~alperin/AlperinLang.pdf |author1=Alperin, Roger C. |author2=Lang, Robert J. |journal=4OSME |year=2009 |fechaacceso=2 de abril de 2019 |fechaarchivo=13 de febrero de 2022 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20220213123946/http://www.math.sjsu.edu/~alperin/AlperinLang.pdf |deadurl=yes }}</ref>

=== Ilusiones ópticas y Op-art ===
{{AP|Op-art}}

[[Archivo:Fraser spiral.svg|thumb|upright|[[Ilusión de la espiral de Fraser]], nombrada así por Sir James Fraser, que la descubrió en 1908]]

Las [[Ilusión óptica|ilusiones ópticas]] como la [[Ilusión de la espiral de Fraser|espiral de Fraser]] demuestran sorprendentemente las limitaciones en la percepción visual humana, creando lo que el [[historia del arte|historiador del arte]] [[Ernst Gombrich]] llamó un "truco desconcertante". Las líneas en blanco y negro que parecen formar [[espiral]]es son de hecho [[concéntrico|concéntricas]]. El estilo de las pinturas y los gráficos del movimiento [[Op-art]] de mediados del {{siglo|XX||s}} aprovechó tales efectos para crear la impresión de movimiento y patrones de vibración o destellos, propios del trabajo de artistas como [[Bridget Riley]], Spyros Horemis,<ref>{{cite book |last1=Cucker |first1=Felix |title=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics |url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck |date=2013 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-72876-8 |pages=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/163 163]–166}}</ref> y [[Victor Vasarely]].<ref>{{cite book |last1=Gamwell |first1=Lynn |title=Mathematics and Art: A Cultural History |date=2015 |publisher=Princeton University Press |pages=406–410 |isbn=978-0-691-16528-8}}</ref>

=== Geometría sagrada ===
{{further|Geometría sagrada|Música y matemáticas}}

Una corriente del arte desde la antigua Grecia en adelante ve a Dios como el geómetra del mundo, y la geometría del mundo, por lo tanto, como sagrada. La creencia de que Dios creó el universo de acuerdo con un plan geométrico tiene orígenes antiguos. [[Plutarco]] atribuyó la creencia a [[Platón]], escribiendo que "Platón dijo que Dios geometriza continuamente" (''Convivialium disputationum'', liber 8,2). Esta imagen ha influido en el pensamiento occidental desde entonces. El concepto platónico derivó a su vez de una noción de armonía [[Pitágoras|pitagórica]] en la música, donde las notas estaban espaciadas en proporciones perfectas, correspondientes a las longitudes de las cuerdas de la lira; de hecho, los pitagóricos sostenían que todo estaba organizado por el ''Número''. De la misma manera, en el pensamiento platónico, los [[sólidos platónicos]] (los cinco [[poliedro regular|poliedros regulares convexos]]) dictan las proporciones encontradas en la naturaleza y en el arte.<ref>{{cite book |last1=Ghyka |first1=Matila |title=The Geometry of Art and Life |date=2003 |publisher=Dover |isbn=978-0-486-23542-4 |pages=[https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/ ix–xi] |url=https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/ }}</ref><ref>{{cite book |last1=Lawlor |first1=Robert |title=Sacred Geometry: Philosophy and Practice |date=1982 |publisher=Thames & Hudson |isbn=978-0-500-81030-9 |url=https://archive.org/details/sacredgeometryph00lawl }}</ref> Una ilustración de un manuscrito medieval puede referirse a un verso del Antiguo Testamento: "Cuando estableció los cielos, yo estaba allí: cuando estableció un compás sobre la faz de lo profundo" (Proverbios 8:27), que muestra a Dios dibujando el universo con un par de compases.<ref name=Calter>{{cite web |last1=Calter |first1=Paul |title=Celestial Themes in Art & Architecture |url=https://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit10/unit10.html |publisher=Dartmouth College |accessdate=5 de septiembre de 2015 |date=1998 |fechaarchivo=23 de junio de 2015 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20150623104029/http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit10/unit10.html |deadurl=yes }}</ref>

En 1596, el astrónomo y matemático [[Johannes Kepler]] modeló el universo como un conjunto de sólidos platónicos anidados, determinando los tamaños relativos de las órbitas de los planetas. Dos pinturas de [[William Blake]], ''Ancient of Days''<ref name=Calter/> e ''Isaac Newton'', intentan representar el contraste entre el mundo espiritual matemáticamente perfecto y el mundo físico imperfecto.<ref>{{cite web |title=The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe |url=http://www.mathpages.com/home/kmath522/kmath522.htm |publisher=MathPages |accessdate=5 de septiembre de 2015}}</ref> [[Salvador Dalí]], por su parte, en su obra de 1954 ''[[Crucifixión (Dalí)|Crucifixión]]'', visualiza la cruz como un [[hipercubo]], que representa la perspectiva divina con cuatro dimensiones en lugar de las tres habituales.<ref name=CorpusHypercubus /> En otra de sus obras, ''[[La Última Cena (Dalí)|La Última Cena]]'' (1955), Cristo y sus discípulos están representados en el interior de un gran [[dodecaedro]].<ref>{{cite web |last1=Livio |first1=Mario |authorlink=Mario Livio |title=The golden ratio and aesthetics |url=https://plus.maths.org/content/golden-ratio-and-aesthetics |accessdate=26 de junio de 2015|date=November 2002 }}</ref> gigante

<gallery perrow="6" widths="200">
File:God the Geometer.jpg|Dios el geómetra. ''[[Codex Vindobonensis]]'', c. 1220
File:Kepler-solar-system-2.png|[[Sólidos platónicos]] encajados, modelo de los planetas en el [[sistema solar]] incluido en el ''[[Mysterium Cosmographicum]]'' de [[Johannes Kepler]], 1596
File:The Ancient of Days.jpg|''The Ancient of Days'', obra de [[William Blake]], 1794
File:William Blake - Newton.png|''Newton'', en el lugar de Dios como geómetra, c. 1800
File:Back-of-dollar-1.jpg|Asociación de Dios con una forma triangular (reverso de un billete de 1 dólar)
File:Masonic SquareCompassesG.svg|Símbolos [[Francmasonería|masónicos]]: Dios como el supremo arquitecto
</gallery>

== Véase también ==
* [[Arquitectura y matemáticas]]
* [[Música y matemáticas]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.bridgesmathart.org/ Bridges Organization] conferencia sobre conexiones entre arte y matemáticas
* [http://www.scientificamerican.com/slideshow/bridging-the-gap/ Bridging the Gap entre Math and Art] - Presentación de diapositivas de '' [[Scientific American]] ''
* [https://web.archive.org/web/20070926215621/http://www.btinternet.com/~connectionsinspace/index.html Conexiones en el espacio: topología en el arte]
* [https://www.artofmathematics.org/ Descubriendo el arte de las matemáticas]
* [http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art1 Matemáticas y Arte] - [[American Mathematical Society|AMS]]
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/ArtMath.shtml Mathematics and Art] - [[Alexander Bogomolny]]
* [http://www.ams.org/mathimagery/ Imágenes matemáticas] - [[American Mathematical Society]]
* [https://web.archive.org/web/20150507151115/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.shtml Matemáticas en Arte y Arquitectura] - Universidad Nacional de Singapur
* [http://virtualmathmuseum.org/mathart/MathematicalArt.html Mathematical Art] - Museo Virtual de Matemáticas
* [https://www.sciencenews.org/article/when-art-and-math-collide Cuando el arte y las matemáticas chocan] - [[Science News]]
* [https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/dec/02/why-the-history-of-maths-is-also-the-history-of-art Why la historia de las matemáticas es también la historia del arte]: Lynn Gamwell en '' [[The Guardian]] ''

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[[Categoría:Historia del arte]]
[[Categoría:Matemática y cultura|Art]]
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[[Categoría:Matemáticas aplicadas]]
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