Ver el código de «Modelo de Kuramoto»

[[File:Wesphysdemo - Synchronized Metronomes.webm|thumb|upright=1.1|[[Metrónomo|Metrónomos]], inicialmente desfasados, se sincronizan a través de pequeños movimientos de la base sobre la que están colocados. Se ha demostrado que este sistema es equivalente al modelo Kuramoto.<ref>{{cite journal|url=http://www.math.pitt.edu/~bard/classes/mth3380/syncpapers/metronome.pdf|title=Sincronización de metrónomos|last1=Pantaleone|first1=James|date=Octubre 2002|journal=American Journal of Physics|volume=70|issue=10|pages=992-1000|bibcode=2002AmJPh..70..992P|doi=10.1119/1.1501118}}</ref>]]El '''modelo de Kuramoto''' (o '''modelo de Kuramoto-Daido''') es un [[modelo matemático]] utilizado para describir la [[sincronización]] propuesto por {{nihongo|[[Yoshiki Kuramoto]]|蔵本 由紀|}} en 1984;<ref>{{cita libro|last=Kuramoto|first=Yoshiki|title=Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics|volumen=39|editor=H. Araki|página=420|año=1975}}</ref><ref>{{cita libro|author=Kuramoto Y|title=Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence|publisher=New York, NY: Springer-Verlag|año=1984}}</ref> para describir el comportamiento de un gran conjunto de [[osciladores]] acoplados.<ref>{{cite journal | autor = Strogatz S | título = De Kuramoto a Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4 | pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143.... 1S | doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4 | url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf | fechaacceso = 20 de noviembre de 2021 | fechaarchivo = 11 de octubre de 2021 | urlarchivo = https://web.archive.org/web/20211011215501/http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf | deadurl = yes }}</ref><ref>{{Cita publicación|url=https://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf|título=The Kuramoto model: a simple paradigm for synchronization phenomena|apellidos=A. Acebrón|nombre=Juan|publicación=Scala UC3M|fechaacceso=21 de noviembre de 2021|fechaarchivo=27 de octubre de 2021|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20211027221616/https://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf|deadurl=yes}}</ref> Su formulación fue motivada por el comportamiento de sistemas de osciladores [[químicos]] y biológicos, y ha encontrado amplias aplicaciones en áreas como la [[neurociencia]].<ref name=":0">{{Cita publicación|url=https://doi.org/10.1186/s13408-020-00086-9|título=Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review|apellidos=Bick|nombre=Christian|apellidos2=Goodfellow|nombre2=Marc|fecha=2020-05-27|publicación=The Journal of Mathematical Neuroscience|volumen=10|número=1|páginas=9|fechaacceso=2021-11-21|issn=2190-8567|doi=10.1186/s13408-020-00086-9|pmid=32462281|apellidos3=Laing|nombre3=Carlo R.|apellidos4=Martens|nombre4=Erik A.}}</ref><ref>{{Cita publicación|url=https://www.frontiersin.org/article/10.3389/fnhum.2010.00190|título=Generative Models of Cortical Oscillations: Neurobiological Implications of the Kuramoto Model|apellidos=Breakspear|nombre=Michael|apellidos2=Heitmann|nombre2=Stewart|fecha=2010|publicación=Frontiers in Human Neuroscience|volumen=4|páginas=190|fechaacceso=2021-11-21|issn=1662-5161|doi=10.3389/fnhum.2010.00190|apellidos3=Daffertshofer|nombre3=Andreas}}</ref><ref>{{cite journal|title=Explorando los mecanismos de la conectividad funcional espontánea en MEG: Cómo las interacciones de red retardadas conducen a las envolventes de amplitud estructurada de las oscilaciones filtradas por paso de banda|apellidos=Cabral|apellidos2=Luckhoo|journal=NeuroImage|volume=90|pages=423-435|doi=10.1016/j.neuroimage.2013.11.047|pmid=24321555|apellidos3=Woolrich|apellidos4=Mohseni|apellidos5=Baker|apellidos6=Kringelbach|apellidos7=Deco|apellidos8=Joensson|year=2014}}</ref> Kuramoto se sorprendió bastante cuando vio que el comportamiento de algunos sistemas físicos, concretamente las matrices acopladas de uniones de Josephson, seguían su modelo.<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>

El modelo hace varias suposiciones, incluyendo que hay un acoplamiento débil, que los osciladores son idénticos o casi idénticos, y que las interacciones dependen sinusoidalmente de la diferencia de fase entre cada par de objetos.

== Ecuaciones del modelo ==

=== Definición inicial ===
[[File:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|thumb|right|Bloqueo de fases en el modelo de Kuramoto|upright=1.1]]En la versión más conocida del modelo de Kuramoto, se considera que cada uno de los osciladores tiene su propia [[frecuencia natural]] intrínseca <math>\omega_i</math>, y cada uno está acoplado por igual a todos los demás osciladores. Sorprendentemente, este modelo totalmente no lineal puede resolverse exactamente cuando el número de osciladores N tiende a infinito, ''N''→ ∞;<ref name=":0" /> alternativamente, utilizando argumentos de autoconsistencia se pueden obtener soluciones de estado estacionario de r, el parámetro que describe el grado de sincronización del sistema.<ref>{{Cita publicación|url=http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf|título=From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators|apellidos=H. Strogatz|nombre=Steven|publicación=University of Pitsburg|fechaacceso=20 de noviembre de 2021|fechaarchivo=11 de octubre de 2021|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20211011215501/http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf|deadurl=yes}}</ref>

La forma más popular del modelo tiene las siguientes ecuaciones de gobierno:<ref name=":1">{{Cita publicación|url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.1205369|título=Entrainment of a Population of Synthetic Genetic Oscillators|apellidos=Mondragón-Palomino|nombre=Octavio|apellidos2=Danino|nombre2=Tal|fecha=2011-09-02|publicación=Science|volumen=333|número=6047|páginas=1315–1319|fechaacceso=2021-11-21|doi=10.1126/science.1205369|pmc=4841678|pmid=21885786|apellidos3=Selimkhanov|nombre3=Jangir|apellidos4=Tsimring|nombre4=Lev|apellidos5=Hasty|nombre5=Jeff}}</ref>

<math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>,

donde el sistema se compone de ''N'' osciladores de ciclo límite, con fases <math> \theta_i </math> y constante de acoplamiento ''K''.  Se puede añadir ruido al sistema mediante la introducción de un parámetro, <math>\zeta_{i}</math>, que fluctúa en función del tiempo, generando la nueva ecuación:<ref name=":1" />

<math>
\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^Nsin(\theta_{j}-\theta_{i})
</math>

=== Parámetros de orden ===
Para resolver este modelo, definimos dos nuevos "parámetros de orden": ''r'', que representa la [[coherencia (física)|coherencia de fase]] de la población de osciladores y ''ψ'', que indica la fase media. Así:<ref name=":2">{{Cita publicación|url=http://arxiv.org/abs/1801.01309|título=The mathematics of asymptotic stability in the Kuramoto model|apellidos=Dietert|nombre=Helge|apellidos2=Fernandez|nombre2=Bastien|fecha=2018-12|publicación=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volumen=474|número=2220|páginas=20180467|fechaacceso=2021-11-21|issn=1364-5021|doi=10.1098/rspa.2018.0467}}</ref>
:<math>re^{i \psi} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \theta_j}
\Rightarrow
\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + K r \sin(\psi-\theta_i)  </math>
De esta manera, las ecuaciones de los osciladores ya no están explícitamente acopladas, sino que son los parámetros de orden los que gobiernan el comportamiento. Se puede hacer una transformación más, a un marco de rotación en el que la media estadística de las fases sobre todos los osciladores es cero (es decir, <math>\psi=0</math>), de manera que las ecuaciones de gobierno se convertirían en:<ref name=":2" />

<math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i - K r \sin(\theta_i) </math>.

=== ''Transformación cuando N'' → ∞ ===
Consideremos ahora el caso cuando ''N'' tiende a infinito.  Tomemos la distribución [[constante de normalización|normalizada]] de las frecuencias naturales intrínsecas como ''g''(''ω'') y supongamos que la densidad de osciladores en una fase dada ''θ'', con una frecuencia natural dada ''ω'', en el tiempo ''t'' sigue la función <math>\rho(\theta, \omega, t)</math>.  Dado que, como requisito de la normalización, la integral de <math>\rho(\theta, \omega, t)</math> entre <math> - \pi </math> y <math> \pi </math> siempre será 1, y, tomando ''v'' como la velocidad de deriva de los osciladores:<ref name=":3">{{Cita publicación|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2018.0467|título=The mathematics of asymptotic stability in the Kuramoto model|apellidos=Dietert|nombre=Helge|apellidos2=Fernandez|nombre2=Bastien|fecha=2018-12-21|publicación=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volumen=474|número=2220|páginas=20180467|fechaacceso=2021-11-21|doi=10.1098/rspa.2018.0467|pmc=6304033|pmid=30602931}}</ref> 
:<math> \int_{-\pi}^{\pi} \rho(\theta, \omega, t) \, d \theta = 1
\Rightarrow
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho v] = 0 </math>

De manera que: 
:<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho \omega + \rho K r \sin(\psi-\theta)] = 0. </math>
Por último, podemos reescribir la definición de los parámetros de orden tal que:<ref name=":3" />

<math> 
r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta.
</math>

== Soluciones ==
El estado [[Coherencia (física)|inherente]] en el cual todos los osciladores oscilan aleatoriamente (<math>r = 0</math>) corresponde a la solución <math>\rho = 1/(2\pi)</math>. En este caso, los osciladores se distribuyen uniformemente a través de todas las fases posibles, y la población se encuentra en un [[estado estacionario]] (aunque los osciladores individuales siguen cambiando de fase de acuerdo con su ''ω'' intrínseco).

Cuando la fuerza de acoplamiento ''K'' es suficientemente fuerte, es posible una solución totalmente sincronizada. En el estado totalmente sincronizado, todos los osciladores comparten una frecuencia común, aunque sus fases pueden ser diferentes.

Sin embargo, para valores intermedios de K, se produce un estado de sincronización parcial, un estado en el que solo algunos osciladores (los que están cerca de la frecuencia natural media del conjunto) se sincronizan; otros osciladores derivan de forma incoherente. Matemáticamente, el estado tiene las ecuaciones:<ref name=":4">{{Cita publicación|url=https://www.nature.com/articles/srep07262|título=Exact solution for first-order synchronization transition in a generalized Kuramoto model|apellidos=Hu|nombre=Xin|apellidos2=Boccaletti|nombre2=S.|fecha=2014-12-01|publicación=Scientific Reports|volumen=4|número=1|páginas=7262|fechaacceso=2021-11-21|idioma=en|issn=2045-2322|doi=10.1038/srep07262|apellidos3=Huang|nombre3=Wenwen|apellidos4=Zhang|nombre4=Xiyun|apellidos5=Liu|nombre5=Zonghua|apellidos6=Guan|nombre6=Shuguang|apellidos7=Lai|nombre7=Choy-Heng}}</ref>
:<math>\rho = \delta\left(\theta - \psi - \arcsin\left(\frac{omega}{K r}\right)\right)</math> 
para los osciladores bloqueados, y:<ref name=":4" />
:<math>\rho = \frac{\rm{constante \; de \; normalizacion}}{(\omega - K r \sin(\theta - \psi))}</math>
para osciladores a la deriva. Este caso se produce cuando <math>|\omega| < K r </math>.

== Variaciones del modelo ==
[[File:Spatial synchronization patterns in variants of the Kuramoto Model.png|thumb|upright=1.1|right|Patrones de sincronización distintos en un conjunto bidimensional de osciladores tipo Kuramoto con diferentes funciones de interacción de fase y topologías de acoplamiento espacial. 
{{Columnas}}
(A) Molinetes
(C) Quimeras
{{Nueva columna}}
(B) Ondas                         
(D) Quimeras y ondas
{{Final columnas}} 
La escala de colores indica la fase del oscilador]]
=== Influencia de la topología de la red ===
Además del modelo original, que considera que todos los osciladores interaccionan igualmente entre ellos independientemente de su distancia, se han desarrollado variaciones que tienen en cuenta [[Topología|topologías]] de [[red compleja]] que admiten estados quimera y comportamientos locales diferenciados.<ref>{{cite journal|title=Chimera states for coupled oscillators|last1=Abrams|first1=D.M.|last2=Strogatz|first2=S.H.|journal=Physical Review Letters|volume=93|issue=17|pages=174102|bibcode=2004PhRvL..93q4102A|doi=10.1103/physrevlett.93.174102|pmid=15525081|year=2004|arxiv=nlin/0407045|s2cid=8615112}}</ref>

En redes bidimensionales de Kuramoto con acoplamiento local difusivo, es habitual encontrar sincronía uniforme, ondas y espirales cuya estabilidad puede determinarse analíticamente utilizando los métodos del análisis de estabilidad de Turing.<ref>{{cite journal|title=Pattern formation in an array of oscillators with electrical and chemical coupling|last1=Kazanci|first1=F.|last2=Ermentrout|first2=B.|journal=SIAM J Appl Math|volume=67|issue=2|pages=512-529|doi=10.1137/060661041|year=2006}}</ref> 

La topología sobre la que se estudia el modelo Kuramoto puede hacerse adaptativa mediante el uso de un modelo de aptitud, lo que mejora la sincronización y la percolación de forma autoorganizada.<ref>{{Cita publicación|url=https://www.nature.com/articles/srep27111|título=Concurrent enhancement of percolation and synchronization in adaptive networks|apellidos=Eom|nombre=Young-Ho|apellidos2=Boccaletti|nombre2=Stefano|fecha=2016-06-02|publicación=Scientific Reports|volumen=6|número=1|páginas=27111|fechaacceso=2021-11-21|idioma=en|issn=2045-2322|doi=10.1038/srep27111|apellidos3=Caldarelli|nombre3=Guido}}</ref>

=== Interacción variable entre osciladores ===
Algunos trabajos se han centrado en el modelo Kuramoto en redes en las que la fuerza de interconexión entre dos osciladores cualesquiera es arbitraria. La dinámica de este modelo es la siguiente:

: <math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \sum_{j=1}^{N} a_{ij} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>

donde <math>a_{ij}</math> es un [[número real]] positivo no nulo si el oscilador <math>j</math> está conectado al oscilador <math>i</math>. 

Este modelo permite un estudio más realista de, por ejemplo, la coordinación de bandadas de pájaros o de vehículos.<ref>{{cite journal|title=Synchronization in complex networks of phase oscillators: A survey|last1=Dorfler|first1=F.|last2=Bullo|first2=F.|journal=Automatica|volumen=50|issue=6|pages=1539-1564|doi=10.1016/j.automatica.2014.04.012|año=2014}}</ref> Dado que el modelo de Kuramoto parece desempeñar un papel clave en la evaluación de los fenómenos de sincronización en el cerebro,<ref>{{cite journal|title=Role of local network oscillations in resting-state functional connectivity|last1=Cabral|first1=J.|last2=Hugues|first2=E.|journal=NeuroImage|volume=57|issue=1|pages=130-139|doi=10.1016/j.neuroimage.2011.04.010|pmid=21511044|last3=Sporns|first3=O.|last4=Deco|first4=G.|year=2011|s2cid=13959959}}</ref> estas variaciones podrían allanar el camino para una comprensión más profunda de los fenómenos de sincronización neuronal.<ref>{{cite journal|title=Stability Conditions for Cluster Synchronizations in Networks of Heterogeneous Kuramoto Oscillators|last1=Menara|first1=T.|last2=Baggio|first2=G.|journal=IEEE Transactions on Control of Network Systems|volume=7|issue=1|pages=302-314|doi=10.1109/TCNS.2019.2903914|last3=Bassett|first3=D.|last4=Pasqualetti|first4=F.|year=2020|arxiv=1806.06083|s2cid=73729229}}</ref>

== Implementaciones de software ==

* [https://github.com/annoviko/pyclustering pyclustering] incluye una implementación en Python y C++ del modelo Kuramoto y sus modificaciones. También implementa redes oscilatorias (para el análisis de clusters, [[reconocimiento de patrones]], coloreado de grafos, segmentación de imágenes) basadas en el modelo de Kuramoto.
* [https://github.com/fabridamicelli/kuramoto kuramoto] es una librería de python que implementa el modelo de kuramoto y sus principales gráficos

== Referencias ==
{{Listaref}}
{{Traducido ref|en|Kuramoto Model|oldid=1054527859|fecha=21 de noviembre de 2021}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Oscilaciones]]
[[Categoría:Sistemas no lineales]]
[[Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales]]
[[Categoría:Wikipedia:Artículos con texto en japonés]]
[[Categoría:Wikipedia:Páginas con traducciones sin revisar]]