Ver el código de «Número cuadrado triangular»

{{otros usos|cuadrados de números triangulares|un número triangular al cuadrado}}
[[Archivo:TriSquare36.svg|300px|thumb|El '''número cuadrado triangular''' 36, representado como ''número triangular'' y como ''número cuadrado''.]]

En [[matemáticas]], un '''número cuadrado triangular''' (o '''número triangular cuadrado''') es un número que es tanto un [[número triangular]] como un [[número cuadrado|cuadrado perfecto]].

Hay [[infinito]]s números triangulares cuadrados; los primeros son:

: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, {{OEIS|id=A001110}}.

==Fórmulas explícitas==

Escribiendo ''N''<sub>''k''</sub> para el ''k''-ésimo número cuadrado triangular, y ''s''<sub>''k''</sub> y ''t''<sub>''k''</sub> para los lados de los correspondientes cuadrado y triángulo, se tiene que:

:<math>N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}.</math>

Se define la ''raíz triangular'' de un número triangular <math>N = \frac{n(n+1)}{2}</math> para que sea <math>n</math>. De esta definición y de la fórmula cuadrática, se tiene que <math>n = \frac{\sqrt{8N + 1} - 1}{2}.</math> Por lo tanto, <math>N</math> es triangular si y solo si <math>8N + 1</math> es un cuadrado.

En consecuencia, un número <math>M^2</math> es cuadrado y triangular si y solo si <math>8M^2 + 1</math> es cuadrado. Por ejemplo, hay números <math>x</math> e <math>y</math> tales que <math>x^2 - 8y^2 = 1</math>. Esto es una consecuencia de la ecuación de Pell, con <math>n=8</math>. Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial (1,0), para cualquier n; esta solución se llama ''cero''-ésima, y es indexada como <math>(x_0,y_0)</math>. Si <math> (x_k,y_k)</math> denota la ''k''-ésima solución no trivial a cualquier ecuación de Pell para un ''n'' particular, puede ser demostrado por el método de descenso que <math>x_{k+1} = 2x_k x_1 - x_{k-1}</math> y <math>y_{k+1} = 2y_k x_1 - y_{k-1}</math>.

Por lo tanto, existe una infinidad de soluciones a cualquier ecuación de Pell para la que hay una no trivial, cuando ''n'' no es un cuadrado. La primera solución no trivial cuando n = 8 es fácil de encontrar: es (3,1). Una solución <math>(x_k,y_k)</math> a la ecuación de Pell para n = 8 produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares como sigue:

: <math>s_k = y_k , t_k = \frac{x_k - 1}{2},</math> y <math>N_k = y_k^2.</math>

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de (3,1), es 1, y el siguiente, derivado de (17,6) (= 6 × (3,1) - (1,0)), es 36.

Las secuencias ''N''<sub>''k''</sub>, ''s''<sub>''k''</sub> y ''t''<sub>''k''</sub> son las secuencias [[OEIS]] {{OEIS2C|id=A001110}}, {{OEIS2C|id=A001109}} y {{OEIS2C|id=A001108}} respectivamente.

En 1778 [[Leonhard Euler]] determinó la fórmula explícita:<ref name=Dickson>
{{cita libro | last1 = Dickson | first1 = Leonard Eugene | enlaceautor1 = Leonard Eugene Dickson |título = [[History of the Theory of Numbers]] | volumen = 2 | editorial = American Mathematical Society | ubicación = Providence | año = 1999 |origyear = 1920 | página = 16 | isbn = 978-0-8218-1935-7 }}
</ref><ref name=Euler>
{{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Leonhard Euler |year=1813 |title=Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)  |journal=Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg |volume= 4 |pages=3–17 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html |language=Latin |accessdate=11 de mayo de 2009 |quote=According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.}}
</ref>{{Rp|12–13}}

:<math>N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2</math>

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas mediante la ampliación de esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen:

:<math>\begin{align} 
N_k &= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\
&= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right).
\end{align}</math>

Las fórmulas explícitas correspondientes a ''s''<sub>''k''</sub> y ''t''<sub>''k''</sub> son<ref name=Euler />{{Rp|13}}

:<math> s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} </math>

y

:<math> t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4} </math>

== Ecuación de Pell ==
El problema de encontrar números cuadrados triangulares se reduce a la [[ecuación de Pell]] de la siguiente manera.<ref>
{{cita libro | last1 = Barbeau | first1 = Edward | título = Pell's Equation | páginas = 16–17 | url=https://books.google.com/books?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16 | fechaacceso = 10 de mayo de 2009 |series = Problem Books in Mathematics | editorial = Springer | ubicación = New York | año = 2003 | isbn = 978-0-387-95529-2 }}
</ref>
Cada número triangular es de la forma ''t'' (''t'' + 1) / 2. Por lo tanto, se buscan enteros ''t'', ''s'' tales que:

:<math>\frac{t(t+1)}{2} = s^2</math>

Con un poco de álgebra esto se convierte en:

:<math>(2t+1)^2=8s^2+1</math>

y dejando que ''x'' = 2''t'' + 1 e ''y'' = 2 ''s'', se obtiene la [[ecuación diofántica]]

:<math>x^2 - 2y^2 =1</math>

que es una forma de la [[Ecuación de Pell]]. Esta ecuación particular es resuelta por los [[número de Pell|números de Pell]] ''P''<sub>''k''</sub> como<ref>
{{cite book |last1=Hardy |first1=G. H. |authorlink1=G. H. Hardy |last2=Wright |first2=E. M. |authorlink2=E. M. Wright |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |year=1979 |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853171-0 |page=[https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/210 210] |quote=Theorem 244 |url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/210 }}
</ref>

:<math>x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k}</math>

y por lo tanto todas las soluciones están dadas por:

:<math> s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2</math>

Hay muchas identidades sobre los números de Pell que se traducen en identidades sobre los números cuadrados triangulares.

==Relaciones de recurrencia==

Hay una [[relación de recurrencia]] para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Se tiene que:<ref>{{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}</ref>{{Rp|(12)}}

:<math>N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2,\text{ con }N_0 = 0\;\text{ y }N_1 = 1</math>
:<math>N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2,\text{ con }N_0 = 0\;\text{ y }N_1 = 1</math>

y se tiene también que:<ref name=Dickson /><ref name=Euler />{{Rp|13}}

:<math>s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2},\text{ con }s_0 = 0\;\text{ y }s_1 = 1</math>
:<math>t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2,\text{ con }t_0 = 0\;\text{ y }t_1 = 1</math>

==Otras caracterizaciones==

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma ''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>, donde ''b'' / ''c'' es convergente para la [[fracción continua]] de la [[raíz cuadrada de dos]].<ref name=Ball>
{{cita libro | last1 = Ball | first1 = W. W. Rouse |enlaceautor1 = W. W. Rouse Ball | last2 = Coxeter | first2 = H. S. M. |enlaceautor2 = Harold Scott MacDonald Coxeter | título = Mathematical Recreations and Essays | url = https://archive.org/details/mathematicalrecr00coxe | editorial = Dover Publications | ubicación = New York | año = 1987 | página = [https://archive.org/details/mathematicalrecr00coxe/page/n72 59]| isbn = 978-0-486-25357-2 }}</ref>

A. V. Sylwester dio una prueba breve de que hay una infinidad de números triangulares cuadrados, a saber:<ref name=Sylwester>
{{cita publicación |apellido=Pietenpol |nombre=J. L. |autor2=A. V. Sylwester |autor3=Erwin Just |autor4=R. M Warten  |fecha=febrero de 1962 |título=Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1962-02_69_2/page/168 |publicación=American Mathematical Monthly |volumen=69 |número=2 |páginas=168–169 |ISSN=0002-9890  |jstor=2312558|editorial=Mathematical Association of America | doi = 10.2307/2312558}}
</ref>

Si el número triangular ''n'' (''n'' + 1) / 2 es cuadrado, entonces también lo es el número triangular mayor:

:<math>\frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 2^2 \, \frac{n(n+1)}{2} \,(2n+1)^2.</math>

Se sabe que este resultado tiene que ser un cuadrado, porque es un producto de tres cuadrados:

*2^2 (por el exponente)
*(n (n + 1)) / 2 (el número triangular n, por suposición de la demostración)
*(2n + 1)^2 (por el exponente)

El producto de cualquier número que sea cuadrado naturalmente va a resultar otro cuadrado. Esto puede verse por el hecho de que una condición necesaria y suficiente para que un número sea cuadrado es que solo debe haber potencias pares de primos en su factorización primaria y multiplicar dos números cuadrados conserva esta propiedad en el producto.

Las raíces triangulares <math>t_k</math> son alternativamente simultáneamente uno menos que un cuadrado y dos veces un cuadrado, si k es par; y simultáneamente un cuadrado y uno menos de dos veces un cuadrado, si k es impar. Por lo tanto: 

:<math>49 = 7^2 = 2*5^2 - 1, 288 = 17^2 - 1 = 2 * 12^2</math> y <math>1681 = 41^2 = 2 * 29^2 - 1.</math>

En cada caso, las dos raíces cuadradas involucradas se multiplican para obtener

: <math>s_k: 5 * 7 = 35, 12 * 17 = 204, </math> y <math>29 * 41 = 1189</math>{{citation needed|date=December 2014}}
: <math>N_k - N_{k-1}=s_{2k-1}: 36 - 1 = 35, 1225 - 36 = 1189,</math> y <math>41616 - 1225 = 40391</math>

En otras palabras, la diferencia entre dos números cuadrados triangulares consecutivos es la raíz cuadrada de otro número triangular cuadrado.{{cr}}

La función generadora de los números triangulares cuadrados es:<ref>{{cita web |nombre=Simon |apellido=Plouffe |enlaceautor=Simon Plouffe |título=1031 Generating Functions |url=http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/FonctionsGeneratrices.pdf |editorial=University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique |página=A.129 |formato=PDF |fecha=agosto de 1992 |fechaacceso=11 de mayo de 2009 |fechaarchivo=20 de agosto de 2012 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20120820012535/http://www.plouffe.fr/simon/articles/FonctionsGeneratrices.pdf |deadurl=yes }}</ref>

:<math>\frac{1+z}{(1-z)(z^2 - 34z + 1)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots.</math>

==Datos numéricos==

A medida que <math>k</math> se hace más grande, la relación <math>t_k/s_k</math> se acerca a <math>\sqrt{2} \approx 1.41421356</math> y la relación de números triangulares cuadrados sucesivos se aproxima a <math> (1+\sqrt{2})^4 = 17+12\sqrt{2} \approx 33.970562748</math>. La tabla siguiente muestra valores de <math>k</math> entre 0 y 11, que comprenden todos los números triangulares cuadrados hasta <math>100\,000\,000</math>.

{| class="wikitable" border="1"
|-
! <math>k</math>
! <math>N_k</math>
! <math>s_k</math>
! <math>t_k</math>
! <math>t_k/s_k</math>
! <math> N_k/N_{k-1}</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|<math>0</math>
|
|
|-
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>1.00000000</math>
|
|-
|<math>2</math>
|<math>36</math>
|<math>6</math>
|<math>8</math>
|<math>1.33333333</math>
|<math>36.000000000</math>
|-
|<math>3</math>
|<math>1\,225</math>
|<math>35</math>
|<math>49</math>
|<math>1.40000000</math>
|<math>34.027777778</math>
|-
|<math>4</math>
|<math>41\,616</math>
|<math>204</math>
|<math>288</math>
|<math>1.41176471</math>
|<math>33.972244898</math>
|-
|<math>5</math>
|<math>1\,413\,721</math>
|<math>1\,189</math>
|<math>1\,681</math>
|<math>1.41379310</math>
|<math>33.970612265</math>
|-
|<math>6</math>
|<math>48\,024\,900</math>
|<math>6\,930</math>
|<math>9\,800</math>
|<math>1.41414141</math>
|<math>33.970564206</math>
|-
|<math>7</math>
|<math>1\,631\,432\,881</math>
|<math>40\,391</math>
|<math>57\,121</math>
|<math>1.41420118</math>
|<math>33.970562791</math>
|-
|<math>8</math>
|<math>55\,420\,693\,056</math>
|<math>235\,416</math>
|<math>332\,928</math>
|<math>1.41421144</math>
|<math>33.970562750</math>
|-
|<math>9</math>
|<math>1\,882\,672\,131\,025</math>
|<math>1\,372\,105</math>
|<math>1\,940\,449</math>
|<math>1.41421320</math>
|<math>33.970562749</math>
|-
|<math>10</math>
|<math>63\,955\,431\,761\,796</math>
|<math>7\,997\,214</math>
|<math>11\,309\,768</math>
|<math>1.41421350</math>
|<math>33.970562748</math>
|-
|<math>11</math>
|<math>2\,172\,602\,007\,770\,041</math>
|<math>46\,611\,179</math>
|<math>65\,918\,161</math>
|<math>1.41421355</math>
|<math>33.970562748</math>
|}<!-- The table was generated in 23-jul-2016 using a Python script available at http://pastebin.com/sWyesrR8 -->

==Véase también==
* [[Problema de las balas de cañón]] en números que son simultáneamente cuadrados y cuadrados piramidales.
* [[Sexta potencia]], números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos

== Referencias ==
{{listaref}}

==Enlaces externos==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Números triangulares que también son cuadrados] en [[cut-the-knot]]
{{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}
* [http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/01/04/remembering-michael-dummett/ La solución de Michael Dummett]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Números figurados]]
[[Categoría:Sucesiones de números enteros]]