Ver el código de «Número de Motzkin»

{{Ficha de serie entera
| named_after = Theodore Motzkin
| publication_year = 1948
| author = Theodore Motzkin
| terms_number = Infinito
| formula = véase [[#Propiedades|Propiedades]]
| first_terms = 1, [[1 (número)|1]], [[2 (número)|2]], [[4 (número)|4]], [[9 (número)|9]], [[21 (número)|21]], [[51 (número)|51]]
| OEIS = A001006
| OEIS_name = Motzkin
}}

En [[matemáticas]], un '''número de Motzkin''' para un cierto número ''n'' es la cantidad de maneras distintas de dibujar cuerdas que no se intersecan en un círculo entre ''n'' puntos. Los números de Motzkin tienen variadas aplicaciones en [[geometría]], [[combinatoria]] y [[teoría de números]]. Los primeros números de Motzkin son ({{OEIS|A001006}}):

[[uno|1]], [[dos|2]], [[cuatro|4]], [[nueve|9]], [[veintiuno|21]], [[cincuenta y uno|51]], [[ciento veintisiete|127]], 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829

Un '''primo de Motzkin''' es un número de Motzkin que es [[número primo|primo]]. Los primeros primos de Motzkin son  ({{OEIS|A092832}}):

[[dos|2]], [[ciento veintisiete|127]], 15511, 953467954114363 

El número de Motzkin para ''n'' es también el número de secuencias de [[número entero|enteros]] positivos de longitud ''n''−1 en las cuales los elementos iniciales y finales son 1 o 2, y que la resta entre cualquier par elementos consecutivos es −1, 0 o 1.

Asimismo, en el cuadrante superior derecho de una cuadrícula, el número de Motzkin para ''n'' es la cantidad de rutas distintas desde la coordenada (0, 0) a la coordenada (''n'', 0) si sólo se permiten movimientos hacia la derecha (junto con ir hacia arriba, hacia abajo o seguir derecho) en cada paso, pero evitando pasar hacia abajo del eje ''y'' = 0.

==Ejemplos==
{|class=wikitable
|-
||
La siguiente figura muestra las 9 formas de dibujar cualquier número de cuerdas (0, 1 o 2 como máximo en este caso) con la condición de que no se corten entre sí, trazándolas entre 4 puntos de una circunferencia ({{math|1=''M''<sub>4</sub>= 9}}):
||
La siguiente figura muestra las 21 formas de dibujar cuerdas que no se corten entre sí entre 5 puntos en una circunferencia ({{math|1=''M''<sub>5</sub>= 21}}):
|-
||
[[Image:MotzkinChords4.svg|center]]
||
[[Image:MotzkinChords5.svg|center]]
|}

==Propiedades==

Los números de Motzkin satisfacen la [[relación de recurrencia]]

:<math>M_{n}=M_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}.</math>

También se pueden expresar en términos de [[coeficiente binomial|coeficientes binomiales]] y de [[números de Catalan]]:

:<math>M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k,</math>

e inversamente,<ref>{{cite journal|last1=Yi Wang and Zhi-Hai Zhang|title=Combinatorics of Generalized Motzkin Numbers|journal=Journal of Integer Sequences|issue=18|date=2015|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Wang/wang21.pdf}}</ref>

:<math>C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} M_k.</math>

La [[función generadora]] <math>m(x)= \sum_{n=0}^\infty M_n x^n</math> de los números de Motzkin satisface

:<math>x^2 m(x)^2 + (x - 1) m(x) + 1= 0</math>

y se expresa explícitamente como

:<math>m(x)= \frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2}.</math>

Una representación integral de los números de Motzkin viene dada por

:<math>M_{n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin(x)^2(2\cos(x)+1)^n dx</math>.

Tienen el comportamiento asintótico

:<math>M_{n}\sim \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}\left(\frac{3}{n}\right)^{3/2} 3^n,~ n \to \infty</math>.

Un '''primo de Motzkin''' es un número de Motzkin que es [[Número primo|primo]]. {{A fecha de|2019}}, solo se conocen cuatro primos de este tipo:

: 2, 127, 15511, 953467954114363 {{OEIS|id=A092832}}

==Interpretaciones combinatorias==
[[Image:Motzkin4.svg|mini|250px|Ejemplo de la interpretación combinatoria de los números de Motzkin]]

El número de Motzkin para {{mvar|n}} es también el número de secuencias enteras positivas de longitud {{math|1=''n'' &minus; 1}} en las que los elementos de apertura y finalización son 1 o 2, y la diferencia entre dos elementos consecutivos es &minus;1, 0 o 1. De manera equivalente, el número de Motzkin para {{mvar|n}} es el número de secuencias enteras positivas de longitud {{math|1=''n'' + 1}} en las que los elementos de apertura y finalización son 1, y la diferencia entre dos elementos consecutivos es &minus;1, 0 o 1.

Además, el número de Motzkin para {{mvar|n}} da el número de rutas en el cuadrante superior derecho de una cuadrícula desde la coordenada (0, 0) hasta la coordenada ({{mvar|n}}, 0) en {{mvar|n}} pasos si se permite moverse solo hacia la derecha (arriba, hacia abajo o en línea recta) en cada paso y queda prohibido situarse por debajo del eje {{mvar|y}} = 0.

Por ejemplo, en la imagen de la derecha se muestran los 9 caminos de Motzkin válidos desde (0, 0) hasta (4, 0).

Hay al menos catorce manifestaciones diferentes de los números de Motzkin en diferentes ramas de las matemáticas, como enumera {{harvtxt|Donaghey|Shapiro|1977}} en su estudio de los números de Motzkin.

Así mismo,{{harvtxt|Guibert|Pergola|Pinzani|2001}} demostró que las [[involución vexilar|involuciones vexilares]] se enumeran mediante números de Motzkin.

==Véase también==
* [[Número telefónico (matemáticas)|Número telefónico]], que representan el número de formas de trazar cuerdas si se permiten intersecciones
* [[Números de Delannoy]]
* [[Números de Narayana]]
* [[Números de Schröder]]

==Referencias==
{{Reflist}}

==Bibliografía==
* {{citation
|last= Bernhart
|first= Frank R.
|title= Catalan, Motzkin, and Riordan numbers 
|journal= [[ Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
|volume= 204
|year= 1999
|pages= 73–112
|doi= 10.1016/S0012-365X(99)00054-0
|issue= 1-3
 }}
* {{citation
|last1= Donaghey
|first1= R.
|last2= Shapiro
|first2= L. W.
|title= Motzkin numbers
|journal= [[ Journal of Combinatorial Theory]]|series= Series A
|volume= 23
|issue= 3
|year= 1977
|pages= 291–301
|mr= 0505544
|doi= 10.1016/0097-3165(77)90020-6
 }}
* {{Citation|last1=Guibert|first1=O.|last2=Pergola|first2=E.|last3=Pinzani|first3=R.|title=Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers|doi=10.1007/PL00001297|year=2001|journal=Annals of Combinatorics|issn=0218-0006|volume=5|issue=2|pages=153–174|mr=1904383}}
* {{citation
|last= Motzkin
|first= T. S.|author-link= Theodore Motzkin
|title= Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products
|journal= [[ Bulletin of the American Mathematical Society]]
|volume= 54
|year= 1948
|pages= 352–360
|doi= 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4
|issue= 4}}

==Enlaces externos==
* {{MathWorld|title=Motzkin Number|urlname=MotzkinNumber}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Sucesiones de números enteros|Motzkin]]
[[Categoría:Números epónimos en matemáticas|Motzkin]]
[[Categoría:Combinatoria enumerativa]]