Ver el código de «Número e»

{{otros usos|este=la constante matemática
|Número E|el código de aditivos alimentarios}}
[[Archivo:10,000 digits of e - poster.svg|miniatura|Diez mil primeras cifras decimales del número <math>\text{e}</math> en formato [[cartel]]]]
En [[matemáticas]], la constante '''''<math>\text{e}\,</math>''''' es uno de los [[Número irracional|números irracionales]] y los [[Número trascendente|números trascendentes]] más importantes.<ref>{{cita libro |nombre=Howard Whitley |apellido=Eves |título=An Introduction to the History of Mathematics |url=http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ ||año=1969 |editorial=Holt, Rinehart & Winston |páginas=464}}</ref>

Es aproximadamente 2,71828 y aparece en diversas ramas de las [[matemáticas]], al ser la base de los [[logaritmo natural|logaritmos naturales]] y formar parte de las ecuaciones del [[interés compuesto]] y otros muchos problemas.<ref>{{Cita libro|título=Espiral 9|url=https://books.google.es/books?id=usLmD8-TLgYC&pg=SA4-PA35&dq=n%C3%BAmero+e&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwj4ypm4wpTlAhVH1hoKHTyaCqMQ6AEINjAC#v=onepage&q=n%C3%BAmero%20e&f=false|editorial=Editorial Norma|fechaacceso=11 de octubre de 2019|isbn=9789580481980|idioma=es|nombre=William Fernando Estrada|apellidos=García}}</ref>

El número <math>\text{e}\,</math>, conocido en ocasiones como '''número de Euler''' o '''constante de Napier''', fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés [[John Napier]], quien introdujo el concepto de ''[[logaritmo]]'' en el [[cálculo infinitesimal|cálculo matemático]].

Juega un papel importante en el [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,{{Harvnp|Semenovich Piskunov|1979}} la función exponencial, así como [[número π|<math>\pi\,</math>]] lo es de la [[geometría]] y el número [[número imaginario|<math>i\,</math>]] del [[análisis complejo]] y del álgebra.

El número <math>\text{e}\,</math>, al igual que el número [[número π|<math>\pi\,</math>]] y el [[número áureo]] (φ), es un [[número irracional]], no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como <math>\pi\,</math>, es un [[número trascendente]], es decir, que no puede ser raíz de [[ecuación algebraica]] alguna con coeficientes racionales.{{Harvnp|Lima|1991}}
El valor de <math>\text{e}\,</math> truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

<center><math>\text{e}\ = 2,718\;281\;828\;459\;045\;235\;360 ...</math></center>
<!--
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
-->
{| class="infobox" style ="width: 200px"
| colspan="2" align="center" | [[Anexo:Números|Lista de números]] – [[Número irracional|Números irracionales]]<br />[[Constante de Euler-Mascheroni|γ]] – [[Constante de Apéry|ζ(3)]] – [[Raíz cuadrada de 2|√<span style="border-top:1px solid #00C">2</span>]] – [[Raíz cuadrada de 3|√<span style="border-top:1px solid #00C">3</span>]] – [[Raíz cuadrada de 5|√<span style="border-top:1px solid #00C">5</span>]] – [[Número áureo|φ]] – [[Números de Feigenbaum|α]] – e – [[Número π|π]] – [[Números de Feigenbaum|δ]] – [[Número tau|τ]]
|-
|[[Sistema binario|Binario]]
| 10.10110111111000010101…
|-
|[[Sistema de numeración decimal|Decimal]]
| 2.718281828459045235360…
|-
|[[Hexadecimal]]
| 2.B7E151628AED2A6B…
|-
|[[Fracción continua]]
| <math>1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}</math><br /><small>Nótese que la fracción continua no es periódica.</small>
|}

== Historia ==

[[Archivo:Leonhard Euler.jpg|miniatura|200px|[[Leonhard Euler]] popularizó el uso de la letra ''e'' para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.]]

A diferencia de <math>\pi\,</math>, la introducción del número <math>\text{e}</math> en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de [[Eli Maor]]:<ref>{{cita libro |apellidos=Maor |nombre=Eli |título="e:" The Story of a Number: The Story of a Number |url=https://books.google.es/books?id=rCGM6TKHyboC&pg=PA12#v=onepage&q&f=false |capítulo=Recognition |url-capítulo=https://books.google.es/books?id=rCGM6TKHyboC&pg=PA11#v=onepage&q&f=false |fecha=12 de octubre de 2011 |editorial=[[Princeton University Press]] |página=12 |isbn=9781400832347}}</ref>

{{cita|The story of <math>\pi\,</math> has been extensively told, no doubt because its history goes back to ancient times, 
but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book did better than Petr Beckmann's ''A History of Pi'', a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.|col2=

La historia de <math>\pi\,</math> ha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor que ''Historia de Pi'' de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al número ''e'' no le fue tan bien. No solo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas "más elevadas".
}}

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de [[John Napier]].<ref>{{MacTutor|id=e|título=The number ''e''|clase=HistTopics|fecha =2001}}</ref>
No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. Se cree que la tabla fue escrita por [[William Oughtred]]. Unos años más tarde, en 1624, <math>\text{e}</math> se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número <math>\text{e}</math> explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de <math>\text{e}</math> es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la [[hipérbola]] rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con <math>\text{e}</math> explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva <math>yx = 1</math>. El número <math>\text{e}</math> es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que <math>\text{e}</math> sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que <math>\text{e}</math> es descubierto, sino del estudio del ''[[interés compuesto]]'', problema abordado por [[Jacob Bernoulli]] en 1683. Si se invierte una ''Unidad Monetaria'' (que abreviaremos en lo sucesivo como ''UM'') con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50<sup>2</sup> = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25<sup>4</sup> = 2,4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x <math>(1+\textstyle{1 \over 12})^{12}</math> = 2,61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de ''n'' (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de <math>\textstyle {1 \over n}</math>, el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:

:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n.</math>

Bernoulli utilizó el [[teorema del binomio]] para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar que ésta es la primera aproximación encontrada para <math>\text{e}</math>. Incluso si aceptamos ésta como una definición de <math>\text{e}</math>, sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos.
De aquí proviene la definición que se da de <math>\text{e}</math> en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital ''C'' y una tasa de interés anual ''R'', proporcionará <math>Ce^R</math> UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra ''b'', fue en una carta de [[Gottfried Leibniz]] a [[Christiaan Huygens]] en 1690 y 1691. [[Leonhard Euler]] comenzó a utilizar la letra ''e'' para identificar la constante en 1727, y el primer uso de <math>\text{e}</math> en una publicación fue en ''Mechanica'', de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra ''c'', <math>\text{e}</math> fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación con <math>\text{e}</math> en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre <math>\text{e}</math>. Allí mostró que 
:<math>\text{e} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>
y dio una aproximación para <math>\text{e}</math> de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que <math>\text{e}</math> es un [[número irracional]], y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guio a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de <math>\pi\,</math> nunca pareció replicarse de la misma manera para <math>\text{e}</math>. Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue [[William Shanks]] en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de <math>\pi</math>. [[James Whitbread Lee Glaisher]] mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de <math>\text{e}</math> eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesita alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … para obtener 200 decimales.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de <math>\text{e}</math> en base 10 con 272 cifras exactas.

En 1873, [[Charles Hermite]] (1822-1905) logró demostrar que <math>\text{e}</math> es trascendente. A dicho logro llegó usando un [[polinomio]], conseguido con ayuda de [[fracción continua|fracciones continuas]] empleadas, anteriormente, por [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]. [[David Hilbert]] (también [[Karl Weierstrass]] y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.<ref>{{cita publicación |publicación=Pro Mathematica |volumen=IV |número=7-8 |año=1990 |editorial=PUCP |ubicación=Lima |issn=1012-3938}}</ref>

== Definición ==
[[Archivo:hyperbola E.svg|miniatura|derecha|El área entre el eje <math>x</math> y la gráfica <math>y = x^{-1}</math>, entre <math>x = 1</math> y <math>x = e</math> es <math>1</math>.]]

La definición más común de <math>e</math> es como el valor límite de la sucesión <math>(1+n^{-1 })^n</math>.<ref>{{cita libro |apellido=Arias Cabezas |apellido2=Maza Sáez |nombre=José María |nombre2=Ildefonso |año=2008 |título=Matemáticas 1 |url= |fechaacceso=3 de mayo de 2017 |página=19 |capítulo=Aritmética y Álgebra |lugar=Madrid |editorial=Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada |apellido-editor=Carmona Rodríguez |apellido-editor2=Díaz Fernández |nombre-editor=Manuel |nombre-editor2=Francisco Javier |idioma=español |isbn=9788421659854 |número-autores=2}}</ref> En símbolos,
:<math>\text{e}:=\lim_{n\to\infty} \left(1+n^{-1}\right)^n</math>

A veces se toma también como punto de partida, resultado de [[Teorema_del_binomio#Serie_para_e|aplicar el teorema del binomio]], la [[serie matemática|serie]] siguiente:

:<math>\text{e}=\sum_{n=0}^\infty (n!)^{-1}</math>
que se expande como
:<math>\text{e} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots </math>

Otra definición habitual<ref> Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en ''Cálculo Infinitesimal'' 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en ''Calculus'' 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. </ref> dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación

:<math> \int_1^x \frac {dt} t = 1,</math>

es decir que se define <math>\text{e}</math> como el número para el que

:<math>\int_1^e \frac {dt} t = 1.</math>

== Propiedades matemáticas y aplicaciones ==

=== Análisis matemático ===

==== Función exponencial ====
{{AP|Función exponencial}}
[[Archivo:Exp derivative at 0.svg|derecha|''e'' es el único número ''a'', tal que la derivada de la función exponencial ''f''(''x'') = a<sup>''x''</sup> (curva azul) en el punto ''x''&nbsp;=&nbsp;0 es igual a 1. En comparación, las funciones 2<sup>''x''</sup> (curva a puntos) y 4<sup>''x''</sup> (curva a trazos) son mostradas; no son tangentes a la línea de pendiente 1 (rojo).]]

Para cualquier <math>x\in\R</math>, la [[Sucesión matemática|sucesión]] <math>\left( 1 + \tfrac{x}{n} \right)^n</math> converge. Podemos denotar dicho límite con <math>\text{e}^x</math>: 

: <math>\text{e}^x := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>

Se llama [[exponencial|función exponencial]] a la [[función real]] cuya variable independiente recorre el conjunto <math>\R</math> de los números reales, y se define como

:<math>\begin{align} f\colon \mathbb{R} &\to \mathbb{R^+} \\ x &\mapsto \text{e}^x\end{align}</math>

El rasgo más relevante de la [[función exponencial]] es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,

:<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x.</math>

Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]].

El desarrollo en serie de la función <math> f(x) = \text{e}^x </math> se realiza mediante la [[Serie de Maclaurin|fórmula de Maclaurin]]. Puesto que 

:<math> f(x) = f^{'}(x) = f^{''}(x) =...= f^{n+1}(x) = \text{e}^x, </math>
:<math> f(0) = f^{'}(0) = f^{''}(0) =...= f^{n+1}(0) = 1, </math> 

la fórmula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera:

:<math> \text{e}^x = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(0)}{k!} \, x^{k} + R_k(x)= 1 + \frac{x}{1!} + \frac {x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+O(x^{n+1})</math>

Suponiendo ''x''=1, se obtiene el valor aproximado del número 

:<math> \text{e} \approx 1 + \frac{1}{1!} + \frac {1}{2!} +\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}</math>

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.<ref>V. S. Shipachev. Op. cit.</ref>

====Problema de Steiner====

[[Archivo:Xth root of x.svg|miniatura|derecha|250px|El [[máximo absoluto|máximo global]] de <math>\sqrt[x]{x}</math> ocurre en <math>x=\text{e}</math>.]]

Este problema plantea encontrar el [[máximo absoluto]] de la función

:<math> f(x) = x^{1/x}.</math>

Este máximo se da precisamente en <math>\text{e}</math>.<ref>{{cita libro |apellido=Dorrie |nombre=Heinrich |título=100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution |url=https://archive.org/stream/100GreatProblemsOfElementaryMathematicsDoverHeinrichDrrie/100%20Great%20Problems%20of%20Elementary%20Mathematics%20%28Dover%29%20-%20Heinrich%20D%C3%B6rrie#page/n357/mode/2up |capítulo=The Problem of the Loxodrome |url-capítulo=https://archive.org/stream/100GreatProblemsOfElementaryMathematicsDoverHeinrichDrrie/100%20Great%20Problems%20of%20Elementary%20Mathematics%20%28Dover%29%20-%20Heinrich%20D%C3%B6rrie#page/n327/mode/2up |año=1965 |editorial=Courier Corporation |página=359 |isbn=9780486613482}}</ref>

Asimismo, <math>1/\text{e}</math> es el [[mínimo absoluto]] de la función

:<math> f(x) = x^x\, </math>

definida para <math>x>0</math>. Más en general, la función

:<math> \!\ f(x) = x^{x^n} </math>

alcanza su máximo global en <math>1/\text{e}</math> para <math>n<0</math>; y el mínimo global se encuentra en <math>\text{e}^{-1/n}</math> para <math>n>0</math>.

La [[tetración]] infinita

:<math> x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} </math> o <math>{^\infty}x</math>

converge si y solo si <math>\text{e}^{-\text{e}}\leq x\leq \text{e}^{1/\text{e}}</math>, por un teorema de [[Leonhard Euler]].<ref>{{cita libro |apellido=Euler |nombre=Leonhard |enlaceautor=Leonhard Euler |capítulo=De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus |título=Acta Acad. Scient. Petropol. 2'' |páginas=29-51 |año=1783}}</ref><ref>{{cita libro |apellido=Euler |nombre=Leonhard |enlaceautor=Leonhard Euler |título=Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae'' |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E532.pdf |ubicación=Leipzig |editorial=Teubner |páginas=350-369 |año=1921}}</ref>

=== Números complejos ===
[[Archivo:Euler's formula.svg|miniatura|250px|Representación geométrica de la [[fórmula de Euler]]]]

El número <math>\text{e}</math> presenta en la [[fórmula de Euler]] un papel importante relacionado con los [[números complejos]]:

:<math>\text{e}^{ix} = \cos x + i\sen x,\,\!</math>

El caso especial con <math>x=\pi</math> es conocido como [[identidad de Euler]] o ''fórmula mística de Euler''

:<math>\text{e}^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

de lo que se deduce que:

:<math>\log_e (-1) = i\pi .\,\!</math>

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:
:<math>(\cos x + i\sen x)^n = \left(\text{e}^{ix}\right)^n = \text{e}^{inx} = \cos (nx) + i \sen (nx)</math>
que es la [[fórmula de De Moivre]].

Esta fórmula llegó como una revelación a [[Benjamin Peirce]], profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.<ref>{{cita libro |nombre=Kasner |apellido=Newman |título=Matemáticas e imaginación |url=https://books.google.es/books?id=zdBHMHV3m5YC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false |editorial=Libraria |año=2007 |páginas=256 |isbn=9789685374200}}</ref>

=== Probabilidad y estadística ===

El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los [[Subfactorial|desarreglos]], descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con [[Pierre Raymond de Montmort]], también conocido como ''el problema de los sombreros'':<ref>{{cita libro |apellido=Grinstead |nombre=Charles Miller |apellido2=Snell |nombre2= James Laurie |título=Introduction to Probability |url=https://books.google.es/books?hl=es&id=7ip55ODL72wC&pg=PA85#v=onepage&q&f=false |capítulo=Combinatorics |url-capítulo=https://books.google.es/books?hl=es&id=7ip55ODL72wC&pg=PA75#v=onepage&q&f=false |editorial=American Mathematical Soc. |año=2012 |página=85 |isbn=9780821894149}}</ref> los {{math|''n''}} invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en {{math|''n''}} compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:

:<math>P(n) = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>

A medida que el número {{math|''n''}} de invitados tiende a infinito, {{math|''P''(''n'')}} se aproxima a {{math|1/''e''}}. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es {{math|''n''!/''e''}} redondeado al entero más cercano, para cada positivo {{math|''n''}}.<ref>{{cita libro |nombre=Donald E. |apellido=Knuth |enlaceautor=Donald E. Knuth |título=The Art of Computer Programming |url=https://books.google.es/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA183#v=onepage&q&f=false |volumen=I |editorial=Addison-Wesley Professional |fecha=4 de julio de 1997 |página=183 |isbn=9780321635747}}</ref>
El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea <math>P(n)</math> la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., ''n'' en sí mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces
:<math>\lim_{n\to\infty}P(n)=1-\frac{1}{e}=0.6321205588...</math> 

Otra aparición de <math>\text{e}</math> en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias {{math|''X''<sub>1</sub>}}, {{math|''X''<sub>2</sub>}}…, con [[Distribución uniforme continua|distribución uniforme]] en [0,1]. Sea {{math|''N''}} el menor entero {{math|''n''}} tal que la suma de las primeras {{math|''n''}} observaciones es mayor que 1:

: <math>N = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.</math>

Luego, <math>E(N)=\text{e}</math>.<ref>{{cita web |nombre=Dan |apellido=Ma |título=A randomized definition of the natural logarithm constant |url=https://probabilityandstats.wordpress.com/2015/12/12/a-randomized-definition-of-the-natural-logarithm-constant/ |fecha=12 de diciembre de 2015 |fechaacceso=9 de septiembre de 2017 |obra=Probability and Stats}}</ref> Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias.<ref>{{cita publicación |apellido=Russell |nombre=K. G. |año=1991 |título=Estimating the Value of e by Simulation |url=https://www.jstor.org/stable/2685243?seq=1#page_scan_tab_contents |publicación=The American Statistician |volumen=45 |número=1 |fecha=febrero de 1991 |páginas=66–68}}</ref>

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número <math>\text{e}</math> en esta rama de la matemática viene dado a través de la [[función de densidad de probabilidad]] para la [[distribución normal]] con [[Media aritmética|media]] μ y [[desviación estándar]] σ, que depende de la [[integral de Gauss|integral gaussiana]]:<ref>{{MathWorld|GaussianIntegral|Gaussian Integral|fecha=7 de octubre de 2004|fechaacceso=8 de noviembre de 2007}}</ref>

:<math>\phi(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\text{e}^{-(x-\mu )^2/2\sigma^2}.</math>

El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.

=== Teoría de números ===

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del [[teorema de los números primos]]<ref>S. M. Ruiz 1997</ref>

:<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math>

donde <math> p_n </math> es ''n''-esimo [[número primo|primo]] y <math> p_n \# </math> es el [[primorial]] del ''n''-esimo primo.

:<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math>

donde <math> \pi(n) </math> la [[función contador de números primos|función contadora de primos]].

=== Geometría ===

[[Archivo:Espiral3.jpg|miniatura|250px|derecha|Espiral equiangular de ángulo α]]
 
Al igual que <math>\pi</math>, <math>\text{e}</math> puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. 
Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de <math>\pi/4</math> [[radianes]] (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica).<ref>{{cita libro |nombre=Maurice Edmond J. |apellido=Gheury de Bray |título=Exponentials made easy, or the story of 'epsilon' |url=https://archive.org/stream/exponentialsmade00gheuuoft#page/108/mode/2up |capítulo=Epsilone home: The logarithmic spiral |url-capítulo=https://archive.org/stream/exponentialsmade00gheuuoft#page/106/mode/2up |editorial=Wentwoth Press |ubicación=Londres |año=1921 |páginas=108-110 |isbn=9781362576259}}</ref><ref>{{cita libro |nombre=Théodore |apellido=Olivier |título=Complements de geometrie descriptive |url=https://archive.org/stream/complmentsdegom01olivgoog#page/n443/mode/2up |capítulo=Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques |url-capítulo=https://archive.org/stream/complmentsdegom01olivgoog#page/n415/mode/2up |editorial=Carilian-Goeury et Dalmont |ubicación=París |año=1845 |página=445}}</ref> Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva <math>P_1,P_2</math> con una separación angular de 1 [[radián]], y <math>r_i=\operatorname{dist}(P_i,O), r_1<r_2,</math> entonces se tiene

:<math>\frac{r_2}{r_1}=\text{e}.</math>
 
Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más que usual dentro del conjunto de [[curvas mecánicas]]). 
La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial de [[espiral logarítmica]] o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de «equiangularidad», su ecuación en coordenadas polares <math>(r,\theta)</math> viene dada por
:<math>r(\theta)=Ae^{\theta}, \qquad\theta\in \mathbb{R}, A>0.</math>
Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo <math>0<\alpha\leq \pi/2</math>, entonces su expresión en [[coordenadas polares]] es
:<math>r(\theta)=Ae^{\cot(\alpha)\cdot\theta}.</math>

Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con la [[catenaria]]. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la
gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.

=== Irracionalidad y trascendencia ===

{{AP|Demostración de que e es irracional}}

El [[número real]] <math>\text{e}</math> es [[número irracional|irracional]],<ref>{{cita web |nombre=Jonathan |apellido=Snow |título=A Geometric Proof that e is Irrational and a New Measure of its Irrationality |url=http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.1282.pdf |obra=Cornell University Library}}</ref> lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró [[Euler]] en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de ''e'' como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un [[número racional]]. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por [[Joseph Fourier|Fourier]], y se basa en el desarrollo en serie del número. 

En 1768, [[J. H. Lambert]] (1728-1777) probó que <math>\text{e}^{p/q}</math> es irracional si <math>\tfrac{p}{q}</math> es un racional positivo.

También es un [[número trascendente|trascendente]], es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver [[teorema de Lindemann–Weierstrass]]). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el [[número de Liouville]]). La demostración de esto fue dada por [[Charles Hermite]] en 1873.<ref>{{cita web |título=Trascendence of e |url=http://www.math.utk.edu/~freire/m400su06/transcendence%20of%20e.pdf |obra=University of Tennessee}}</ref>
Se cree que ''e'' además es un [[número normal]]. No se sabe si ''e'' es un [[Periodo algebraico|período algebraico]].<ref>{{Cita libro|título=Periods|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-56478-9_39|editorial=Springer|fecha=2001|fechaacceso=2024-10-01|isbn=978-3-642-56478-9|páginas=771–808|doi=10.1007/978-3-642-56478-9_39|idioma=en|nombre=Maxim|apellidos=Kontsevich|nombre2=Don|apellidos2=Zagier|nombre-editor=Björn|apellido-editor=Engquist}}</ref>

=== Fórmulas que contienen al número e ===

A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a <math>\text{e}</math>:

:<math> \frac{1}{\text{e}}= \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!}. </math><ref>Fórmulas 2–7: [[Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]], [http://www.brotherstechnology.com/docs/Improving_Convergence_(CMJ-2004-01).pdf Improving the convergence of Newton's series approximation for ''e''], ''The College Mathematics Journal'', Vol.35, No.1,(2004), pp.34–39.</ref>

:<math>\sqrt{\text{e}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}.</math>

:<math>\frac{\text{e}+1}{e-1} = 2+\cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{18 + {\ddots}}}}}.</math>

:<math>\sqrt{\text{e}} -1= \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + {\ddots}}}}}}}}}}.
</math>

:<math> 2 = \frac{\text{e}^{1}}{\text{e}^{1/2}}\cdot\frac{\text{e}^{1/3}}{\text{e}^{1/4}}\cdot\frac{\text{e}^{1/5}}{\text{e}^{1/6}}\cdot\frac{\text{e}^{1/7}}{\text{e}^{1/8}}\cdots,</math>
la cual se obtiene de la identidad <math> \ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots</math>

:<math>\text{e}-\frac{1}{\text{e}} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{1}{k^2\pi^2} \right ).</math>

:<math>\text{e}+\frac{1}{\text{e}} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{4}{(2k-1)^2\pi^2} \right ).</math>

[[Identidad de Euler]] o ''fórmula mística de Euler''

:<math>\text{e}^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

[[Fórmula de Stirling]]:
: <math> n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n. </math>

Fórmula de Gosper:
:<math>-\frac{\pi^2}{12\text{e}^3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ).</math>

== Representaciones de ''e'' ==

El número <math>\text{e}</math> puede ser representado como un [[número real]] en varias formas: como [[Serie matemática|serie infinita]], como [[producto infinito]], como [[fracción continua]] o como [[límite de una sucesión]]. 

=== Como límite ===

La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de [[cálculo]], es la propia definición de <math>\text{e}</math>, es decir, el límite:
:<math>\text{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>
En 1975, el suizo [[Felix A. Keller]] obtuvo el límite simétrico:<ref>[[Harlan J. Brothers|H. J. Brothers]] and J. A. Knox, [http://www.brotherstechnology.com/docs/Closed-Form_Approximations_(MI-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant ''e'',] ''The Mathematical Intelligencer'', Vol. 20, No. 4, (1998), pp. 25–29.</ref><ref>{{Cita web|título=From Lobatto Quadrature to the Euler constant e|url=http://ans.hsh.no/home/skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf|apellido=Khattri|nombre=Sanjay}}</ref>

:<math>\text{e}=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ].</math>

De la [[fórmula de Stirling]] se obtiene

:<math> \text{e}= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n} </math> y

:<math> \text{e}=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} </math>.<ref> V. Vodney y otros ''Fórmulas matemáticas fundamentales'' Euro Omega, Madrid/ 1995</ref>

Se mostró también que

:<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math>

donde <math> p_n </math> es enésimo [[número primo|primo]] y <math> p_n \# </math> es el [[primorial]] del enésimo primo.

:<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math>

donde <math> \pi(n) </math> la [[función contador de números primos|función contadora de primos]].

=== Como serie o suma infinita ===

:<math>\text{e} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math>

:<math>\text{e} = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

:<math>\text{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

:<math>\text{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>

:<math>\text{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2k+3}{(k+2)!}</math><ref>A. G. Llorente, [https://osf.io/3yzbj A Novel Simple Representation Series for Euler’s Number ''e''], preprint, 2023.</ref>

:<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}</math> donde <math>B_n</math> es el <math>n</math>-esimo [[número de Bell]]. 

Algunos ejemplos de esta última caracterización:
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}</math>
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}</math>
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}</math>
::<math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}</math>

=== Como producto infinito ===

El número <math>\text{e}</math> puede expresarse también mediante [[producto infinito|productos infinitos]] «del tipo Wallis» de diversas formas,<ref>http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf</ref> incluyendo el producto de [[Nick Pippenger|Pippenger]]<ref>Weisstein, Eric W. "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html</ref><ref>. N. Pippenger, An infinite product for e, Amer. Math. Monthly 87 (1980) 391.</ref>

:<math>\text{e}= 2\left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8}\left ( \frac{8}{9}\; \frac{10}{9}\; \frac{10}{11}\; \frac{12}{11}\; \frac{12}{13}\; \frac{14}{13}\; \frac{14}{15}\; \frac{16}{15} \right )^{1/16} \cdots , </math>

el producto de Catalán 

:<math>\text{e} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{4}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7} \right )^{1/4} 
\left (\frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15} \right )^{1/8} \cdots ,</math>

y el producto de Guillera<ref>J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math/0401406 A faster product for pi and a new integral for ln pi/2,] ''Amer. Math. Monthly'' 112 (2005) 729–734.</ref><ref>J. Guillera and J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319 Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,]''Ramanujan Journal'' 16 (2008), 247–270.</ref>
:<math>\text{e} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,</math>
donde el ''n''-ésimo factor es la ''n''-ésima raíz del producto
:<math>\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},</math>

como también el producto infinito

:<math>\text{e} = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.</math>

=== Como fracción continua ===

El desarrollo decimal de ''e'' no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las [[fracción continua|fracciones continuas]], que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
<center><math>\text{e} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{2} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{4} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{6} + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}, </math></center>

lo que se escribe <math>\text{e} = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]</math>, propiedad descubierta por [[Leonhard Euler]]<ref>{{Cita web|fecha=Jueves, 16 de febrero de 2006|título=How Euler Did It: Who proved ''e'' is Irrational?|url=http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf|fechaacceso=18 de junio de 2010|editorial=MAA Online|apellido=Sandifer|nombre=Ed}}</ref> ([[oeis:A003417|A003417]] en [[OEIS]]). En fracción continua no normalizada se tiene
<center><math>\text{e} = 2 + \frac{2}{2 + \cfrac{3}{3 + \cfrac{4}{4 + \cfrac{5}{5 + \cfrac{6}{6 + \cfrac{7}{7 + \cdots}}}}}} </math></center>
En ambos casos, ''e'' presenta regularidades no fortuitas.

=== Dígitos conocidos ===

El número de dígitos conocidos de ''e'' ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant e and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref> 
En 1949, [[J. von Neumann]] y su grupo utilizaron el [[ENIAC]] para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales.

En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por
ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador [[Intel Pentium|Pentium]] III 800, se obtuvieron
12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ '''Número de dígitos decimales conocidos de <math>\text{e}</math> '''
! Fecha || Cantidad de cifras || Realizador del cálculo
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Jacob Bernoulli]]
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Roger Cotes]]<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria," ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''29''' (338) : 5-45; [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 see especially the bottom of page 10.] From page 10: ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Leonhard Euler]]<ref>Leonhard Euler, ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, [https://books.google.com/books?id=jQ1bAAAAQAAJ&hl=en&pg=PA90#v=onepage&q&f=false page 90.]</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[William Shanks]]<ref>William Shanks, ''Contributions to Mathematics'', … (London, England: G. Bell, 1853), [https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89#v=onepage&q&f=false page 89.]</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || William Shanks<ref>William Shanks (1871) [https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27#v=onepage&q&f=false "On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"] ''Proceedings of the Royal Society of London'', '''20''' : 27-29.</ref>
|-
| 1884 ||align=right| 346 || J. Marcus Boorman<ref>J. Marcus Boorman (October 1884) [https://books.google.com/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204#v=onepage&q&f=false "Computation of the Naperian base,"] ''Mathematical Magazine'', '''1''' (12) : 204-205.</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2,010 || [[John von Neumann]] (en el [[ENIAC]])
|-
| 1961 ||align=right| 100,265 || [[Daniel Shanks]] y [[John Wrench]]<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{Cita publicación|año=1962|título=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|volumen=16|doi=10.2307/2003813|páginas=76–99 (78)|cita=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|número=77|publicación=Mathematics of Computation|autor=Daniel Shanks and John W Wrench}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| 116,000 || [[Steve Wozniak]] en el [[Apple II]]<ref name="wozniak198106">{{Cita noticia|fecha=Martes, 16 de junio de 1981|título=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer|url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up|fechaacceso=18 de octubre de 2013|páginas=392|periódico=BYTE|autor=Wozniak, Steve}}</ref>
|-
| 1994
| align=right| 10 000 000
| Robert Nemiroff y Jerry Bonnell<ref>{{cita web|autor=Nemiroff, Robert|título=The Number e to 1 Million Digits|url=http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil|fechaacceso=16 de junio de 2013|idioma=inglés|coautores=Bonnell, Jerry}}</ref>
|-
| Mayo de 1997
| align=right| 18 199 978
| Patrick Demichel
|-
| Agosto de 1997
| align=right| 20 000 000
| Birger Seifert
|-
| Septiembre de 1997
| align=right| 50 000 817
| Patrick Demichel
|-
| Febrero de 1999
| align=right| 200 000 579
| Sebastián Wedeniwski
|-
| Octubre de 1999
| align=right| 869 894 101
| Sebastián Wedeniwski
|-
| 21 de noviembre de 1999
| align=right| 1 250 000 000
| [[Xavier Gourdon]]
|-
| 10 de julio de 2000
| align=right| 2 147 483 648
| Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 16 de julio de 2000|| align=right| 3 221 225 472 || Colin Martin y Xavier Gourdon
|-
| 2 de agosto de 2000|| align=right| 6 442 450 944 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 16 de agosto de 2000|| align=right| 12 884 901 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 21 de agosto de 2003|| align=right| 25 100 000 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 18 de septiembre de 2003|| align=right| 50 100 000 000 || Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
|-
| 27 de abril de 2007|| align=right| 100 000 000 000 || Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
|-
| 6 de mayo de 2009|| align=right| 200 000 000 000 || Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
|-
| 21 de febrero de 2010|| align=right| 500 000 000 000 || Alexander J. Yee<ref name="Announcing 500 billion digits of e...">[http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html Announcing 500 billion digits of e...]</ref>
|-
| 5 de julio de 2010|| align=right| 1 000 000 000 000 || Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
|-
| 24 de junio de 2015|| align=right| 1 400 000 000 000 || Matthew Hebert<ref>[http://www.numberworld.org/digits/E/ ''A list of notable large computations of'' e]</ref>
|}

En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

===Primeras cien cifras decimales===

Las cien primeras cifras de <math>\text{e}</math> son:
: <math>\text{e} \approx 2,7182818284</math> <math>5904523536</math> <math>0287471352</math> <math>6624977572</math> <math>4709369995</math> <math>9574966967</math> <math>6277240766</math> <math>3035354759</math> <math>4571382178</math> <math>5251664274</math>
<!--
2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
-->

==Cuestiones abiertas sobre <math>\text{e}</math>==
* No se sabe si <math>\text{e}</math> es simplemente normal en base 10 (o alguna otra base). Esto es, que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal.
* No se sabe si <math>\text{e}^e</math> es trascendente
* No se sabe si <math>\pi+e</math> y <math>\pi\cdot e</math> son [[número irracional|irracionales]]. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 10<sup>9</sup>.<ref>{{cita publicación |apellido=Bailey |nombre=David H. |título=Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler's Constant |url=https://www.jstor.org/stable/2007931?seq=1#page_scan_tab_contents |publicación=Mathematics of Computation |volumen=50 |número=181 |páginas=275-281 |fecha=enero de 1988 |doi=10.2307/2007931}}</ref><ref>{{cita web |título=Pi |url=http://mathworld.wolfram.com/Pi.html |idioma=inglés |fechaacceso=21 de abril de 2008 |obra=Wolfram Math World}}</ref>

== Cultura popular ==
A diferencia del número π, el número e no es tan popular como el primero. Sin embargo, hay cientos de entusiastas que memorizan sus dígitos. El récord actual lo posee Sharma, Rahul con 25 000 cifras memorizadas y la plusmarca de la categoría con malabares es de 571.<ref>{{Cita web|url=https://www.pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=e|título=Récord de memorización|fechaacceso=2023-02-18|sitioweb=www.pi-world-ranking-list.com}}</ref>

== Véase también ==
{{columnas}}
* [[Demostración de la irracionalidad de e]]
* [[Función exponencial]]
* [[Lista de constantes matemáticas]]
* [[Logaritmo]]
* [[Logaritmo de una matriz]]
* [[Número irracional]]
* [[Número π]]
* [[Número trascendente]]
{{final columnas}}

== Referencias ==
{{EL}}
{{Listaref|2}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
* {{cita libro |nombre=V. S. |apellido=Shipachev |título=Fundamentos de las matemáticas superiores |url=https://books.google.es/books?id=iOaQmwEACAAJ |editorial=Mir |año=1991 |páginas=424 |ubicación=Moscú |isbn=9785060000481}}
* {{cita libro |nombre=Elon Lages |apellido=Lima |título=Curso de análisis matemático |url=https://books.google.es/books?id=Q0LPOwAACAAJ |editorial=Edunsa |volumen=1 |año=1991 |páginas=369 |ubicación=Barcelona |isbn=9788477470557}}
* {{cita libro |nombre=Stefan |apellido=Banach |título=Cálculo diferencial e integral |editorial=UTEHA |año=1967 |ubicación=México D.F.}}
* {{cita libro |nombre=Maynard |apellido=Kong |título=Cálculo diferencial |url=https://books.google.es/books?id=fJ1trgEACAAJ |editorial=PUCP., Fondo Editorial |año=1991 |páginas=540}}
* {{cita libro |nombre=William Anthony |apellido=Granville |nombre2=Percy F. |apellido2=Smih |nombre3=William Raymond |apellido3=Longley |título=Cálculo diferencial e integral |url=https://books.google.es/books?id=1paUbwAACAAJ |editorial=Limusa |año=1980 |páginas=686 |isbn=9789681811785}}
* {{cita libro |nombre=Nikolai |apellido=Semenovich Piskunov |enlaceautor=Piskunov |título=Cálculo diferencia e integral |url=https://books.google.es/books?id=6ZAPnQEACAAJ |editorial=Lopes da Silva |volumen=I |año=1979}}
* {{cita libro |nombre=Enrique |apellidos=Laguna Rodríguez |apellido2=Vasallo |apellido3=Gómez |apellido4=Domínguez |título=Cálculo diferencial e integral: bases para un cálculo picudo |url=https://books.google.es/books?id=LM6NrgEACAAJ |volumen=I |editorial=ULA |año=2000 |páginas=347}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
* [http://matematicaspdf.es Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión.]
* [https://fpmaterial.es Recursos Educativos Sobre el Número e.]
{{commons|E (mathematical constant)}}
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e_10000.html Las primeras diez mil cifras decimales del número e]
* [http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil Un millón de cifras del número e.]
* [http://hk.youtube.com/watch?v=Iys1eJgTtXU Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Programa para el cálculo de e y de otro gran número de constantes] {{en idioma|en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/eApproximations.html <math>\text{e}</math> Approximations]&nbsp;– Wolfram MathWorld
* http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
* [https://web.archive.org/web/20140613043619/http://oeis.org/A001113 The On-line Encyclopedia of Integer Sequences]

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numero e}}
[[Categoría:Constantes matemáticas]]
[[Categoría:Logaritmos]]
[[Categoría:Exponenciales]]
[[Categoría:Números trascendentes]]
[[Categoría:Leonhard Euler]]