Ver el código de «Número entero»

{{más refs|ciencia|matemáticas|t=20220318}}
Un '''número entero''' es un elemento del [[conjunto numérico]] que contiene los [[Número natural|números naturales]]; que son <math>\mathbb{N}=\{0,1, 2, 3, 4, \cdots\}</math><ref>Véanse textos como {{Cita libro|apellidos=Jech|nombre=|enlaceautor=|título=Set Theory|url=|fechaacceso=28 de septiembre de 2020|año=2006|editorial=Springer|isbn=978-3-540-44085-7|editor=|ubicación=|página=|idioma=inglés|capítulo=2. Ordinal Numbers}}</ref>  o  <math>\mathbb{N}^{\ast}=\{1, 2, 3, 4, \cdots\}</math>; dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición, además el [[cero]].<ref name=ne>{{Cita libro |apellido=Arias Cabezas |apellido2=Maza Sáez |nombre=José María |nombre2=Ildefonso |año=2008 |título=Matemáticas 1 |fechaacceso=1 de mayo de 2017 |página=14|capítulo=Aritmética y Álgebra |ubicación=Madrid |editorial=Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada |apellido-editor=Carmona Rodríguez |apellido-editor2=Díaz Fernández |nombre-editor=Manuel |nombre-editor2=Francisco Javier|isbn=9788421659854 |número-autores=2}}</ref> Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores que cero y también son menores que todos los enteros [[número positivo|positivos]]. Para resaltar la diferencia entre [[Numero positivo|positivos]] y [[Número negativo|negativos]], se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra <math>\mathbb{Z}=\{..., -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,\,\dots\}</math> letra inicial del vocablo [[idioma alemán|alemán]] ''Zahlen'' («números», pronunciado {{IPA|[ˈtsaːlən]}}).<ref>{{Cita web|url=https://concepto.de/numeros-enteros/|título=Números enteros - Qué son, propiedades y ejemplos|fechaacceso=2024-10-15|sitioweb=https://concepto.de/|idioma=es-ES}}</ref>

En la recta numérica los números negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha.

Los números enteros pueden [[suma]]rse, [[resta]]rse, [[multiplicación|multiplicarse]] y [[división (matemáticas)|dividirse]], siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del [[signo (matemáticas)|signo]].

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a [[educación secundaria]], en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertas magnitudes, como la [[temperatura]] o la [[altitud|altura]], usan valores por debajo del cero. La altura del [[Monte Everest|Everest]] es 8848 [[metro]]s por encima del [[nivel del mar]], y por el contrario, la orilla del [[mar Muerto]] está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423&nbsp;m.

== Historia==
La palabra entero procede del [[latín]] [[wikt:integer#Latin|''integer'']] que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de ''in'' ("no") más ''tangere'' ("tocar"). "[[wikt:entire|Entire]]" deriva del mismo origen a través de la palabra [[lengua francesa|French]] ''[[wikt:entier|entier]]'', que significa tanto ''entero'' como ''entero''.<ref>{{cite book |first=Nick |last=Evans |contribution=A-Quantifiers and Scope |editor-first=Emmon W. |editor-last=Bach |title=Cuantificación en lenguajes naturales |isbn=978-0-7923-3352-4 |year=1995 |pages=262 |url=https://books. google.com/books?id=NlQL97qBSZkC |location=Dordrecht, Países Bajos; Boston, MA |publisher=Kluwer Academic Publishers}}</ref> Históricamente el término se utilizaba para un [[número]] que era múltiplo de 1,<ref>{{cite book |last1=Smedley |first1=Edward |last2=Rose |first2=Hugh James |last3=Rose |first3=Henry John |title=Encyclopædia Metropolitana |date=1845 |publisher=B. Fellowes |page=537 |url=https://books.google.com/books?id=ZVI_AQAAMAAJ&pg=PA537 |language=es|quote=Un número entero es múltiplo de la unidad}}</ref><ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA367 367]}}</ref> o a la parte entera de un [[número mixto]].<ref>{{cite book| title = Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij | type=Manuscrito | trans-title= | last1 = Pisano | first1 = Leonardo | author1-link=Fibonacci | publisher = Museo Galileo | date = 1202 | url = https://bibdig.museogalileo.it/tecanew/opera?bid=1072400&seq=30 |lang=|last2=Boncompagni|first2=Baldassarre (transliteración)|translator-last = |translator-first =|page=30|quote=Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant. |trans-quote=Y las fracciones se ponen siempre después del entero, por lo que primero se escribe el entero y luego la fracción}}</ref><ref>{{harvnb|Encyclopaedia Britannica|1771|p=[https://books.google.com/books?id=d50qAQAAMAAJ&pg=PA83 83]}}</ref> Sólo se consideraban enteros positivos, lo que convertía el término en sinónimo de [[número natural]]s. La definición de número entero se amplió con el tiempo para incluir [[número negativo]]s a medida que se reconoció su utilidad.<ref name="negmath"/> Por ejemplo [[Leonhard Euler]] en su 1765 ''[[Elementos de Álgebra]]'' definió los números enteros para incluir tanto los números positivos como los negativos.<ref>{{cite book |last1=Euler |first1=Leonhard |title=Vollstandige Anleitung Zur Algebra|lang=|trans-title=Introducción Completa al Álgebra|volume=1|date=1771 |url=https://archive.org/details/1770LEULERVollstandigeAnleitungZurAlgebraVol1/page/n31/mode/2up|page=10|quote=Alle diese Zahlen, so wohl positive als negative, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden.|trans-quote=Todos estos números, tanto positivos como negativos, se llaman números enteros, que son mayores o menores que nada. Los llamamos números enteros, para distinguirlos de las fracciones, y de varios otros tipos de números de los que hablaremos en adelante.}}</ref> Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del {{siglo|XIX||s}}.<ref name="negmath">{{cite book|last=Martinez|first=Alberto|title=Negative Math|pages=80-109|date=2014|publisher=Princeton University Press}}</ref>

El uso de la letra Z para denotar el conjunto de los números enteros proviene de la palabra [[idioma alemán|alemán]] ''[[wikt:Zahlen|Zahlen]]'' ("números")<ref name="earliest">{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/nth.html |title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory |access-date=2010-09-20 |date=2010-08-29 |first=Jeff |last=Miller |archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html |archive-date=2010-01-31 |url-status= }}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introducción al álgebra |url=https://books.google.com/books?id=syYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=2016-02-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=2016-12-08 |url-status= }}</ref> y se ha atribuido a [[David Hilbert]].<ref>{{cite book |title=The University of Leeds Review |date=1989 |publisher=University of Leeds. |page=46 |url=https://books.google.com/books?id=Z-7kAAAAMAAJ|language=en|volume=31-32|quote=Incidentalmente, Z viene de "Zahl": la notación fue creada por Hilbert.}}</ref> El uso más antiguo conocido de la notación en un libro de texto se produce en [[Éléments de mathématique|Algébre]] escrito por el colectivo [[Nicolas Bourbaki]], que data de 1947.<ref name="earliest"/><ref>{{cite book |last1=Bourbaki |first1=Nicolas |title=Algèbre, Capítulo 1 |date=1951|edition=2nd |publisher=Hermann|location=Paris |page=27|language=fr|url=https://archive.org/details/algebrebour00bour/page/26/mode/2up|quote=Le symétrisé de '''N''' se note '''Z'''; ses éléments sont appelés entiers rationnels.|trans-quote=El grupo de diferencias de '''N'''' se denota por '''Z'''; sus elementos se llaman los enteros racionales. }}</ref> La notación no se adoptó inmediatamente, por ejemplo otro libro de texto utilizaba la letra J<ref>{{cite book |last1=Birkhoff |first1=Garrett |title=Teoría de redes |date=1948 |publisher=American Mathematical Society |page=63 |edition=Revised |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166886/page/n63/mode/2up|quote=el conjunto ''J'' de todos los enteros}}</ref> y en un artículo de 1960 se utilizó Z para designar los enteros no negativos.<ref>{{cite book |last1=Society |first1=Canadian Mathematical |title=Canadian Journal of Mathematics |date=1960 |publisher=Canadian Mathematical Society |page=374 |url=https://books.google.com/books?id=uMAXOmLTCGsC&dq=integer%20set%20Z&pg=PA374 |language=|quote=Consideremos el conjunto ''Z'' de enteros no negativos}}</ref> Pero en 1961, Z se utilizaba generalmente en los textos modernos de álgebra para designar los enteros positivos y negativos.<ref>{{cite book |last1=Bezuszka |first1=Stanley |title=Progreso contemporáneo en matemáticas: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2 |date=1961 |publisher=Boston College |page=69 |url=https://books.google.com/books?id=dhJPAQAAMAAJ&q=integer+set+Z |language=|quote=Los textos modernos de álgebra designan generalmente el conjunto de enteros con la letra mayúscula Z.}}</ref>

El símbolo <math>\mathbb{Z}</math> es a menudo anotado para denotar varios conjuntos, con uso variable entre diferentes autores: <math>\mathbb{Z}^+</math>,<math>\mathbb{Z}_+</math> o <math>\mathbb{Z}^{>}</math> para los enteros positivos, <math>\mathbb{Z}^{0+}</math> o <math>\mathbb{Z}^{\geq}</math> para los enteros no negativos, y <math>\mathbb{Z}^{\neq}</math> para los enteros distintos de cero. Algunos autores usan <math>\mathbb{Z}^{*}</math> para enteros no nulos, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para {{math|-1, 1}} (el [[grupo de unidades]] de <math>\mathbb{Z}</math>). Además, <math>\mathbb{Z}_{p}</math> se utiliza para denotar ya sea el conjunto de [[Aritmética modular|integros de módulo {{math|''p''}}]] (es decir, el conjunto de [[relación de congruencia|clases de congruencia]] de enteros), o el conjunto de [[Número p-ádico|{{math|''p''}}-ádicos]].<ref name=edexcelc1>Keith Pledger y Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008</ref><ref>LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.</ref>

Los números enteros fueron sinónimos de los enteros hasta principios de la década de 1950.<ref>{{cite book |last1=Mathews |first1=George Ballard |title=Theory of Numbers |date=1892 |publisher=Deighton, Bell and Company |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=iQ_vAAAAMAAJ&pg=PA2 |language=}}</ref><ref>{{cite book |last1=Betz |first1=William |title=Matemáticas juveniles para hoy |date=1934 |publisher=Ginn |url=https://books.google.com/books?id=RzNCAAAAIAAJ |language= |quote=Los números enteros, o enteros, cuando se disponen en su orden natural, como 1, 2, 3, se llaman enteros consecutivos.}}</ref><ref>{{cite book |last1=Peck |first1=Lyman C. |title=Elementos de Álgebra |date=1950 |publisher=McGraw-Hill |page=3 |url=https://books.google.com/books?id=tclXAAAAYAAJ&q=integers+whole+numbers |language= |quote=Los números que surgen de este modo se llaman números enteros positivos, o enteros positivos. }}</ref> A finales de la década de 1950, como parte del movimiento [[Matemática moderna]],<ref>{{cite book|type=PhD |url= https://dr.lib.iastate.edu/handle/20.500.12876/80303 |title=Una historia del movimiento de las "nuevas matemáticas" en Estados Unidos|date=1981|last=Hayden|first=Robert|publisher=Universidad Estatal de Iowa |doi=10.31274/rtd-180813-5631|page=145|quote=Una fuerza mucho más influyente a la hora de dar a conocer las "nuevas matemáticas" a los profesores y administradores de secundaria fue el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM).}}</ref> Los profesores de primaria estadounidenses empezaron a enseñar que los "números enteros" se referían a los [[números naturales]]s, excluyendo los números negativos, mientras que los "enteros" incluían los números negativos.<ref>{{cite book |title=El crecimiento de las ideas matemáticas, Grados K-12: 24º Anuario |date=1959 |publisher=Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas |page=14 |isbn=9780608166186 |url=https://books.google.com/books?id=OO9RAQAAIAAJ&pg=PA14 |language=}}</ref><ref>{{cite book |last1=Deans |first1=Edwina |title=Elementary School Mathematics: New Directions |date=1963 |publisher=Departamento de Salud, Educación y Bienestar de EE.UU., Oficina de Educación |page=42 |url=https://books.google.com/books?id=bAUJAQAAMAAJ&pg=PA42 |language=}}</ref>"Número entero" sigue siendo ambiguo en la actualidad.<ref>{{cite web |title=entrada: número entero |url=https://www.ahdictionary.com/word/search.html?q=whole+número |website=The American Heritage Dictionary |publisher=HarperCollins}}</ref>

== Introducción ==
{{refs|ciencia|matemáticas|t=20220318}}
Los [[números negativos]] son necesarios para realizar operaciones como:
:3 − 5 = ?
Cuando el [[minuendo]] es más pequeño que el [[sustraendo]], la [[resta]] no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:

'''Ejemplo:''' Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ''ganó en total'' 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que ''perdió en total'' 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ''ganó en total'' o ''perdió en total'', dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ''ganancia negativa''.

=== Números con signo ===

{{AP|Signo (matemáticas)}}
Los [[números naturales]] 0, 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para [[contar]]. Al añadirles un signo ''menos'' («−») delante se obtienen los números negativos:
{{definición|Un '''número entero negativo''' es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo ''menos'', «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...}}
Además, para diferenciarlos mejor, a los números naturales se les añade un signo ''más'' («+») delante y se les llama números positivos.
{{definición|Un '''número entero positivo''' es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo ''más''. «+».<br />}}
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo ''más'' o ''menos'' o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
{{definición|Los '''números enteros''' son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra {{math|'''Z'''}}, también escrita en «[[blackboard bold|negrita de pizarra]]» como {{math|{{unicode|ℤ}}}} :<br />
{{ecuación|<math>\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,+1,+2,\dots\}</math>}}
}}

=== La recta numérica ===

{{AP|Recta numérica}}
Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la [[recta numérica]]:
[[Archivo:Integers-line.svg|centro]]
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el [[valor absoluto]]:
{{definición|El '''valor absoluto''' de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «{{mabs|1= }}».}}
'''Ejemplos.''' {{mabs|+5}} = 5 , {{mabs|−2}} = 2 , {{mabs|0}} = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:
{{definición|El '''orden de los números enteros''' se define como:
*Dados dos números enteros de signos distintos, {{math|+''a''}} y {{math|−''b''}}, el negativo es menor que el positivo: {{math|−''b'' &lt; +''a''}}.
*Dados dos números enteros con el mismo signo, el ''menor'' de los dos números es:
**El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
**El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
*El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
}}
'''Ejemplos.''' +23 &gt; −56 , +31 &lt; +47 , −15 &lt; −9 , 0 &gt; −36

== Operaciones con números enteros ==
{{más refs|ciencia|matemáticas|t=20220318}}
Los números enteros pueden [[suma]]rse, [[resta]]rse, [[multiplicación|multiplicarse]] y [[división (matemáticas)|dividirse]], igual que puede hacerse con los [[números naturales]].

=== Adición ===

[[Archivo:AdditionRules-2.svg|thumb|330px|En esta figura, el [[valor absoluto]] y el [[signo (matemáticas)|signo]] de un número se representan por el tamaño del [[círculo]] y su color.]]
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el [[signo (matemáticas)|signo]] y el [[valor absoluto]] del resultado.
{{definición|Para '''sumar''' dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
* Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
* Si ambos sumandos tienen distinto signo:
** El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
** El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
}}
'''Ejemplos.''' (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
{{teorema|1=La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
* '''[[Propiedad asociativa]].''' Dados tres números enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, las sumas {{math|(''a'' + ''b'') + ''c''}} y {{math|''a'' + (''b'' + ''c'')}} son iguales.
* '''[[Propiedad conmutativa]].''' Dados dos números enteros {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, las sumas {{math|''a'' + ''b''}} y {{math|''b'' + ''a''}} son iguales.
*'''[[Elemento neutro]].''' Todos los números enteros {{math|''a''}} quedan inalterados al sumarles 0: {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}}.
}}

'''Ejemplo.'''<br />
# Propiedad asociativa:
#: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
#: (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
# Propiedad conmutativa:
#: (+9) + (−17) = −8
#: (−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
{{teorema|1='''[[Elemento opuesto]] o simétrico:''' Para cada número entero {{math|''a''}}, existe otro entero {{math|−''a''}}, que sumado al primero resulta en cero: {{math|1=''a'' + (−''a'') = 0}}<ref>{{cita web |url=https://www.britannica.com/science/integer |título=integer | Definition, Examples, & Facts |fechaacceso=18 de marzo de 2022 |apellido= |nombre= |fecha=17 de marzo de 2009 |sitioweb=[[Britannica]] |idioma=en |cita= }}</ref>.}}

=== Sustracción ===
La [[resta]] de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
{{definición|La '''resta''' de dos números enteros (''minuendo'' menos ''sustraendo'') se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiando de signo.}}
'''Ejemplos'''<br/>
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 <br/>(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 <br/>(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4<br/>(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

=== Multiplicación y División ===

La [[multiplicación]] y '''división''' de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el [[signo (matemáticas)|signo]] y [[valor absoluto]] del resultado.
{{definición|En la '''multiplicación''' y en la '''división''' de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
* El valor absoluto es el producto (o cociente) de los valores absolutos de los factores (o del dividendo y divisor).
* El signo es «+» si los signos de los factores (o del dividendo y divisor) son iguales, y «−» si son distintos.
}}
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la [[regla de los signos]]:
{{definición|título=Regla de los signos - Multiplicación|1=
* (+) × (+)=(+) ''Más por más igual a más.''
* (+) × (−)=(−) ''Más por menos igual a menos.''
* (−) × (+)=(−) ''Menos por más igual a menos.''
* (−) × (−)=(+) ''Menos por menos igual a más.''
}}
{{definición|título=Regla de los signos - División|1=
* (+) : (+)=(+) ''Más entre más igual a más.''
* (+) : (−)=(−) ''Más entre menos igual a menos.''
* (−) : (+)=(−) ''Menos entre más igual a menos.''
* (−) : (−)=(+) ''Menos entre menos igual a más.''
}}

'''Ejemplos multiplicación.''' (+5) × (+3) = +15 , (+4) × (-6) = -24 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

'''Ejemplos división.''' (+15) : (+3) = +5 , (+12) : (-6) = -2 , (−16) : (+4) = −4 , (−18) : (−2) = +9.


La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de [[números naturales]]:
{{teorema|1=La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
* '''[[Propiedad asociativa]].''' Dados tres números enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, los productos {{math|(''a'' × ''b'') × ''c''}} y {{math|''a'' × (''b'' × ''c'')}} son iguales.
* '''[[Propiedad conmutativa]].''' Dados dos números enteros {{math|''a''}} y {{math|''b''}}, los productos {{math|''a'' × ''b''}} y {{math|''b'' × ''a''}} son iguales.
*'''[[Elemento neutro]].''' Todos los números enteros {{math|''a''}} quedan inalterados al multiplicarlos por 1: {{math|1=''a'' × 1 = ''a''}}.
}}
'''Ejemplo.'''
# Propiedad asociativa:

#: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
#: (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
# Propiedad conmutativa:
#: (−6) × (+9) = −54
#: (+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
{{teorema|1='''[[Propiedad distributiva]].''' Dados tres números enteros {{math|''a''}}, {{math|''b''}} y {{math|''c''}}, el producto {{math|''a'' × (''b'' + ''c'')}} y la suma de productos {{math|(''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}} son idénticos.
}}

'''Ejemplo.'''
* (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
* [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21


La '''división''' de números enteros '''no tiene''' las propiedades '''asociativa''', '''conmutativa''' ni la '''distributiva'''.

== Propiedades algebraicas ==
{{AP|Propiedades de los números enteros}}

* El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus [[operación binaria|operaciones]] de [[suma|adición]] y [[multiplicación]], tiene una estructura que en matemáticas se denomina [[anillo (matemáticas)|anillo]]; y posee una [[relación de orden]]. Los números enteros pueden además construirse a partir de los [[números naturales]] mediante [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]].
Podemos ampliar esta estructura a la de [[dominio de integridad]] [[totalmente ordenado]], ya que es un anillo sin [[divisores de cero]] y con un [[orden total]]

== Véase también ==
*[[Parte entera]]
*[[Entero (tipo de dato)]]
*[[Número decimal]]

{{Clasificación números 01}}

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
* {{Cita libro |apellidos=Bayley |nombre=R. |apellidos2=Day |nombre2=R. |apellidos3=Frey |nombre3=P. |apellidos4=Howard |nombre4=A. |apellidos5=Hutchens |nombre5=D. |apellidos6=McClain |nombre6=K. |título=Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 |url=https://books.google.es/books?id=23DBnQAACAAJ |año=2006 |páginas=21119 |editorial=McGraw-Hill |isbn=0-07-865263-4 |idioma=inglés}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
{{wc}}

{{ORDENAR:Numero entero}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números elemental]]
[[Categoría:Teoría de grupos abelianos]]