Ver el código de «Número p-ádico»

[[Image:3-adic integers with dual colorings.svg|thumb|300px|Los enteros 3-ádicos, con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo de [[dualidad de Pontriaguin]]]]

En [[matemáticas]], el '''sistema numérico {{mvar|p}}-ádico''' para cualquier [[número primo]]&nbsp;{{mvar|p}} extiende la [[aritmética]] ordinaria de los [[números racionales]] de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos [[Número real|real]] y [[Número complejo|complejo]]. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de ''cercanía'' o [[valor absoluto]]. En particular, se considera que dos números {{mvar|p}}-ádicos están cerca cuando su diferencia es [[divisibilidad|divisible]] por una [[Potenciación|potencia]] elevada de {{mvar|p}}: cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números {{mvar|p}}-ádicos codifiquen la información de [[Aritmética modular|congruencia]] de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en [[teoría de números]], incluida, por ejemplo, la [[Demostración de Wiles del último teorema de Fermat|famosa demostración]] del [[último teorema de Fermat]] por [[Andrew Wiles]].<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>

Estos números fueron descritos por primera vez por [[Kurt Hensel]] en 1897, aunque,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de [[Ernst Kummer]] pueden interpretarse como el uso implícito de números {{mvar|p}}-ádicos.<ref group="nota">Introducción del traductor [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 página 35]: "De hecho, en retrospectiva, se hace evidente que una [[valoración discreta]] está detrás del concepto de números ideales de Kummer".{{Harv|Dedekind|p=35|Weber|2012}}</ref> Los números {{mvar|p}}-ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las [[serie de potencias|series de potencias]] a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del [[análisis p-ádico|análisis {{mvar|p}}-ádico]] proporciona esencialmente una forma alternativa de [[cálculo infinitesimal]].

Más formalmente, para un primo {{mvar|p}} dado, el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>\mathbb{Q}_p</math> de los números {{mvar|p}}-ádicos es una [[espacio métrico completo|compleción métrica]] de los números racionales en la norma o [[valor absoluto]] p-ádico <math>|\cdot|_p</math>. El cuerpo <math>\mathbb{Q}_p</math> también recibe una [[Espacio topológico|topología]] derivada de una [[Espacio métrico|métrica]], que a su vez se deriva del [[Valor p-ádico|orden {{math|''p''}}-ádico]], una [[Valoración (matemáticas)|valoración]] alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es [[Espacio métrico completo|completo]] en el sentido de que cada [[sucesión de Cauchy]] [[Límite de una sucesión|converge]] hasta un punto en <math>\mathbb{Q}_p</math>. Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en <math>\mathbb{Q}_p</math>, y es la interacción de esta estructura analítica y [[Geometría algebraica|algebraica]] lo que le da a los sistemas numéricos {{mvar|p}}-ádicos su gran utilidad.

La letra {{mvar|p}} en {{mvar|p}}-ádico es una [[Variable (matemática)|variable]] y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, ''los números 2-ádicos'') u otra [[Expresión matemática|expresión]] que represente a un número primo. El término "ádico" de "{{mvar|p}}-ádico" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como [[Racional diádico|diádico]] o [[Relación ternaria|triádico]].

==Expansión ''p''-ádica de los números racionales==
La [[representación decimal]] de un [[número racional]] <math>r</math> positivo es su representación como [[Serie (matemática)|series]]
:<math>r= \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math>
donde <math>k</math> es un número entero y cada <math>a_i</math> es también un [[número entero]] tal que <math>0\le a_i <10.</math> Esta expansión puede ser calculada mediante la [[división larga]] del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: si <math>r=\tfrac n d</math> es un número racional tal que <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> hay un entero <math>a</math> tal que <math>0< a <10,</math> y <math>r= a\,10^k +r',</math> con <math>r'<10^k.</math> La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto <math>r'</math> que en la iteración asume el papel del número racional original <math>r</math>.

La ''expansión {{mvar|p}}-ádica'' de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un [[número primo]] <math>p</math> fijo, cada número racional distinto de cero <math>r</math> se puede escribir únicamente como <math>r=p^k\tfrac n d,</math>, donde <math>k</math> es un número entero (posiblemente negativo), <math>n</math> y <math>d</math> son [[números coprimos]], ambos coprimos con <math>p</math>, y <math>d</math> es positivo. El entero <math>k</math> es la '''valoración {{mvar|p}}-ádica''' de <math>r</math>, denotada como <math>v_p(r),</math> y <math>p^{-k}</math> es su '''valor absoluto {{mvar|p}}-ádico''', denotado como <math>|r|_p</math> (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir

:{{anchor|paso de división}}<math>r= a\,p^k + r'</math>

donde <math>a</math> es un número entero tal que <math>0\le a <p,</math> y <math>r'</math> es cero o un número racional tal que <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (es decir, <math>v_p(r')>k</math>). 

La ''expansión <math>p</math>-ádica'' de <math>r</math> es la [[serie formal de potencias]]

:<math>r= \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math>

obtenido repitiendo indefinidamente el paso de división [[#paso_de_división|explicado anteriormente]] en residuos sucesivos. En una expansión {{mvar|p}}-ádica, todos los <math>a_i</math> son enteros tales que <math>0\le a_i <p.</math>

Si <math>r=p^k \tfrac n 1</math> con <math>n > 0</math>, el proceso finalmente se detiene con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con coeficiente cero, y es la representación de <math>r</math> en [[Notación posicional|base-{{mvar|p}}]].

La existencia y el cálculo de la expansión {{mvar|p}}-ádica de un número racional resulta de la [[identidad de Bézout]] de la siguiente manera. Si, como anteriormente, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> y <math>d</math> y <math>p</math> son coprimos, existen los enteros <math>t</math> y <math>u</math> tales que <math>t d+u p=1.</math> Entonces

:<math>r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.</math>

y además, la [[división euclídea]] de <math>n t</math> por <math>p</math> da

:<math>n t=q p+a,</math>

con <math>0\le a <p.</math>

Esto da el paso de división como

:<math>\begin{array}{lcl}
r &= & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\
&= & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\
\end{array}</math>

para que en la iteración

:<math>r'= p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d</math>

genere el nuevo número racional.

Comprobar la unicidad del paso de división y de toda la expansión {{mvar|p}}-ádica es fácil: si <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> se tiene que <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1).</math> Esto significa que <math>p</math> divide a <math>a_1-a_2.</math> Dado que <math>0\le a_1 <p</math> y <math>0\le a_2 <p,</math> debe ser cierto que <math>0\le a_1</math> y <math>a_2<p.</math> Así, uno obtiene <math>-p < a_1-a_2 < p,</math> y como <math>p</math> divide a <math>a_1-a_2</math> eso debe ser <math>a_1=a_2.</math>

La expansión {{mvar|p}}-ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de [[serie convergente]] con el valor absoluto {{mvar|p}}-ádico.

En la notación estándar {{mvar|p}}-ádica, los dígitos se escriben en el mismo orden que en el [[Notación posicional|sistema estándar en base {{mvar|p}}]], es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite se sitúa en el lado izquierdo.

La expansión {{mvar|p}}-ádica de un número racional es finalmente [[Función periódica|periádica]]. [[Conversión lógica|Recíprocamente]], una serie <math display=inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> con <math>0\le a_i <p</math> converge (para el valor absoluto {{mvar|p}}-ádico) a un número racional [[bicondicional|si y solo si]] finalmente es periódico. En este caso, la serie es la expansión {{mvar|p}}-ádica de ese número racional. La [[Demostración en matemática|demostración]] es similar al resultado similar a un [[número decimal periódico]].

===Ejemplo===
Se va a calcular la expansión 5-ádica según la identidad de Bézout para <math>\frac 13.</math> El número p es <math>5</math> y el denominador es <math>3</math>. Por lo tanto, <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5=1</math> (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el [[algoritmo de Euclides extendido]]). De este modo
:<math>\frac 13= 2-\frac 53.</math>
Para el siguiente paso, se tiene que ''dividir'' <math>-1/3</math> (el factor 5 en el numerador de la fracción tiene que ser visto como un ''[[cambio aritmético|cambio]]'' de la valoración {{mvar|p}}-ádica, y por lo tanto, no está involucrado en la ''división''). Multiplicando la identidad de Bézout por <math>-1</math> se obtiene

:<math>-\frac 13=-2+\frac 53.</math>

La "parte entera" <math>-2</math> no está en el intervalo derecho. Entonces, se tiene que usar la [[división euclídea]] por <math>5</math> para obtener <math>-2= 3-1\cdot 5,</math> dando

:<math>-\frac 13=3-5+\frac 53= 3-\frac {10}3,</math>

y

:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.</math>

Del mismo modo, se tiene que

:<math>-\frac 23=1-\frac 53,</math>

y

:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.</math>

Como ya se ha encontrado el ''resto'' <math>-\tfrac 13</math>, el proceso puede continuar fácilmente, dando coeficientes <math>3</math> para potencias [[Números pares e impares|impares]] de cinco y <math>1</math> para potencias [[Números pares e impares|pares]].
O en la notación estándar 5-ádica

:<math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>

con los [[puntos suspensivos]] <math> \ldots </math> en el lado izquierdo.

==Serie ''p''-ádica==
En este artículo, dado un número primo {{mvar|p}}, una ''serie {{mvar|p}}-ádica'' es una [[serie formal de potencias]] de la forma
:<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math>
donde todo <math>a_i</math> distinto de cero es un [[número racional]] <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> tal que ninguno de los <math>n_i</math> y <math>d_i</math> es divisible por {{mvar|p}}. Si se interpretretan los números en la serie anterior como números reales, la serie podría no converger y por eso se habla de una serie formal. Aunque si los números se interpetan como números p-ádicos <math>a_i, p \in \mathbb{Q}_p</math> entonces la serie es convergente bajo el valor absoluto p-ádico <math>|\cdot|_p</math>. Se tienen los siguientes hechos:
* Todo número racional puede verse como una serie {{mvar|p}}-ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la forma <math>p^k\tfrac nd,</math> con {{mvar|n}} y {{mvar|d}}, ambos coprimos con {{mvar|p}}.
* Una serie {{mvar|p}}-ádica está ''normalizada'' si cada <math>a_i</math> es un número entero en un [[Intervalo (matemática)|intervalo]] <math>[0,p-1].</math> Por lo tanto, la expansión {{mvar|p}}-ádica de un número racional es una serie {{mvar|p}}-ádica normalizada.
* El [[Valor p-ádico|valor {{mvar|p}}-ádico, u orden {{mvar|p}}-ádico]] de una serie {{mvar|p}}-ádica distinta de cero es el entero más bajo {{mvar|i}} tal que <math>a_i\ne 0.</math> El orden de la serie cero es infinito <math>\infty.</math>
* Dos series {{mvar|p}}-ádicas son ''equivalentes'' si tienen el mismo orden {{mvar|k}}, y si para cada entero {{math|''n'' ≥ ''k''}} la diferencia entre sus sumas parciales

:<math>\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i</math>

tiene un orden mayor que {{mvar|n}} (es decir, es un número racional de la forma <math>p^k\tfrac ab,</math> con <math>k>n,</math> y {{mvar|a}} y {{mvar|b}} ambos coprimos con {{mvar|p}}). 

Para cada serie {{mvar|p}}-ádica <math>S</math>, hay una única serie normalizada <math>N</math> tal que <math>S</math> y <math>N</math> son equivalentes. <math>N</math> es la ''normalización'' de <math>S.</math> La prueba es similar a la prueba de existencia de la expansión {{mvar|p}}-ádica de un número racional. En particular, cada número racional puede considerarse como una serie {{mvar|p}}-ádica con un solo término distinto de cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.

En otras palabras, la equivalencia de la serie {{mvar|p}}-ádica es una [[relación de equivalencia]], y cada [[clase de equivalencia]] contiene exactamente una serie {{mvar|p}}-ádica normalizada.

Las operaciones usuales de series (suma, resta, multiplicación, división) asignan series {{mvar|p}}-ádicas a series {{mvar|p}}-ádicas, y son compatibles con la equivalencia de series {{mvar|p}}-ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con {{math|~}}, si {{mvar|S}}, {{mvar|T}} y {{mvar|U}} son series {{mvar|p}}-ádicas distintas de cero tales que <math>S\sim T,</math> se tiene que

:<math>\begin{align}
S\pm U&\sim T\pm U,\\
SU&\sim TU,\\
1/S&\sim 1/T.
\end{align}</math>

Además, {{mvar|S}} y {{mvar|T}} tienen el mismo orden y el mismo primer término.

===Notación posicional===
Es posible usar una [[notación posicional]] similar a la que se usa para representar números en [[Base (aritmética)|base]] {{mvar|p}}.

Sea <math display= inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> una serie {{mvar|p}}-ádica normalizada, es decir, cada <math>a_i</math> es un número entero en el intervalo <math>[0,p-1].</math> Se puede suponer que <math>k\le 0</math> al establecer <math>a_i=0</math> para <math>0\le i <k</math> (si <math>k>0</math>), y sumando los términos cero resultantes a la serie.

Si <math>k\ge 0,</math>, la notación posicional consiste en escribir <math>a_i</math> consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de {{mvar|i}}, a menudo con {{mvar|p}} apareciendo a la derecha como un índice:

:<math>\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p</math>

Entonces, el cálculo del [[#Ejemplo|ejemplo anterior]] muestra que

:<math>\frac 13= \ldots 1313132_5,</math>

y

:<math>\frac {25}3= \ldots 131313200_5.</math>

Cuando <math>k<0,</math> se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo y, si el índice {{mvar|p}} está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,

:<math>\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,</math>

y

:<math>\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.</math>

Si una representación {{mvar|p}}-ádica es finita por la izquierda (es decir, <math>a_i=0</math> para valores grandes de {{mvar|i}}), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma <math>n p^v,</math> con <math>n,v</math> enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en [[Base (aritmética)|base]] {{mvar|p}}. Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.

==Definición==
Hay varias definiciones equivalentes de números {{mvar|p}}-ádicos. La que se da aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes usan la [[Compleción (álgebra)|compleción]] de un [[anillo de valoración discreta]] (véase [[#Enteros ''p''-ádicos|enteros ''p''-ádicos]]), [[espacio métrico completo]] (véase [[#Propiedades topológicas|propiedades topológicas]]), o [[límite inverso|límites inversos]] (véase [[#Propiedades modulares|propiedades modulares]]).

Un número {{mvar|p}}-ádico se puede definir como una "serie {{mvar|p}}-ádica normalizada". Dado que hay otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie {{mvar|p}}-ádica normalizada "representa" un número {{mvar|p}}-ádico, en lugar de decir que "es" un número {{mvar|p}}-ádico.

También se puede decir que cualquier serie {{mvar|p}}-ádica representa un número {{mvar|p}}-ádico, ya que cada serie {{mvar|p}}-ádica es equivalente a una única serie {{mvar|p}}-ádica normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números {{mvar|p}}-ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre números {{mvar|p}}-ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de series {{mvar|p}}-ádicas.

{{anchor|Cuerpo de los números p-ádicos}}

Con estas operaciones, los números {{mvar|p}}-ádicos forman un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] llamado '''campo de números {{math|''p''}}-ádicos''' y denotado como <math>\Q_p</math> o <math>\mathbf Q_p.</math>. Hay un [[homomorfismo de cuerpo]] único de los números racionales sobre los números {{mvar|p}}-ádicos, que representa cada número por su expansión {{mvar|p}}-ádica. La [[Imagen (matemática)|imagen]] de este homomorfismo se identifica comúnmente con el cuerpo de los números racionales. Esto permite considerar los números {{math|''p''}}-ádicos como una [[extensión de cuerpos|extensión]] de los números racionales, y los números racionales como un [[Extensión de cuerpos|subcampo]] de los números {{math|''p''}}-ádicos.

La ''valoración'' de un número {{mvar|p}}-ádico {{mvar|x}} distinto de cero, comúnmente denominada <math>v_p(x),</math>, es el exponente de {{mvar|p}} en el primer término distinto de cero de cada serie {{mvar|p}}-ádica que representa a {{mvar|x}}. Por convención, <math>v_p(0)=\infty;</math> es decir, la valoración de cero es <math>\infty.</math> Esta valoración es una [[valoración discreta]]. La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración {{mvar|p}}-ádica de <math>\Q,</math>, es decir, el exponente {{mvar|v}} en la factorización de un número racional como <math dosplay=inline≝>\tfrac nd p^v,</math> tanto con {{mvar|n}} como con {{mvar|d}} [[números coprimos]] con respecto a {{mvar|p}}.

==Enteros ''p''-ádicos ==
Los '''enteros {{mvar|p}}-ádicos''' son los números {{mvar|p}}-ádicos con una valoración no negativa.

Un entero {{mvar|p}}-ádico se puede representar como una secuencia

: <math> x= (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)</math>

de residuos {{mvar|x<sub>e</sub>}} mod {{mvar|p<sup>e</sup>}} para cada entero {{mvar|e}}, satisfaciendo las relaciones de compatibilidad <math>x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)</math> para {{mvar|i < j}}.

Cada [[número entero]] es un entero {{mvar|p}}-ádico (incluyendo cero, cuya valoración por convenio es <math>0<\infty</math>). Los números racionales de la forma <math display=inline> \tfrac nd p^k</math> con {{mvar|d}} coprimo con respecto a {{mvar|p}} y con <math>k\ge 0</math> también son números enteros {{mvar|p}}-ádicos (por la razón de que {{mvar|d}} tiene un módulo inverso {{mvar|p<sup>e</sup>}} para cada {{mvar|e}}).

Los enteros {{mvar|p}}-ádicos forman un [[anillo conmutativo]], denominado <math>\Z_p</math> o <math>\mathbf Z_p</math>, que tiene las siguientes propiedades:

* Es un [[dominio de integridad]], ya que es un [[subanillo]] de un cuerpo, o porque el primer término de la serie representativa del producto de dos series {{mvar|p}}-ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
* Las [[Unidad (álgebra)|unidades]] (elementos invertibles) de <math>\Z_p</math> son los números {{mvar|p}}-ádicos de valoración cero.
* Es un [[dominio de ideales principales]], tal que cada [[Ideal (teoría de anillos)|ideal]] es generado por una potencia de {{mvar|p}}.
* Es un [[anillo local]] de [[dimensión de Krull]], ya que sus únicos [[ideal primo|ideales primos]] son los [[elemento cero|elementos cero]] y el ideal generado por {{mvar|p}} el único [[ideal maximal]].
* Es un [[anillo de valoración discreta]], lo que resulta de las propiedades anteriores.
* Es la [[Compleción (álgebra)|compleción]] del anillo local <math>\Z_{(p)}= \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},</math> que es la [[localización (álgebra conmutativa)|localización]] de <math>\Z</math> en el ideal primo <math>p\Z.</math>
* El [[Número cardinal|cardinal]] del dicho conjunto igual al de los números reales <math>\text{card}(\mathbb{Z}_p) = 2^{\aleph_0}</math>

La última propiedad proporciona una definición de los números {{mvar|p}}-ádicos que es equivalente a la anterior: el cuerpo de los números {{mvar|p}}-ádicos es el [[cuerpo de fracciones]] de la compleción de la localización de los enteros en el ideal primo generado por {{mvar|p}}.

==Propiedades topológicas==
La valoración {{mvar|p}}-ádica permite definir un [[Valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]] sobre los números {{mvar|p}}-ádicos: el valor absoluto {{mvar|p}}-ádico de un número {{mvar|p}}-ádico distinto de cero {{mvar|x}} es
:<math>|x|_p= p^{-v_p(x)},</math>
donde <math>v_p(x)</math> es la valoración {{mvar|p}}-ádica de {{mvar|x}}. El valor absoluto {{mvar|p}}-ádico de <math>0</math> es <math>|0|_p= 0.</math> Este es un valor absoluto que satisface el [[espacio ultramétrico]] ya que, para cada {{mvar|x}} y {{mvar|y}} se tiene que
* <math>|x|_p= 0</math> si y solo si <math>x=0;</math>
* <math>|x|_p\cdot|y|_p=|xy|_p</math>
*<math>|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le|x|_p +|y|_p.</math>

Además, si <math>|x|_p \ne|y|_p,</math> se tiene que <math>|x+y|_p= \max(|x|_p,|y|_p).</math>

Esto hace de los números {{mvar|p}}-ádicos un [[espacio métrico]], e incluso un [[espacio ultramétrico]], con la distancia {{mvar|p}}-ádica definida por
<math>d_p(x,y)=|x-y|_p.</math>

Como espacio métrico, los números {{mvar|p}}-ádicos forman la [[Espacio métrico completo|completación]] de los números racionales equipados con el valor absoluto {{mvar|p}}-ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números {{mvar|p}}-ádicos. Sin embargo, la construcción general de una terminación se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define por una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada [[sucesión de Cauchy]] una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tienen valores absolutos estrictamente decrecientes; tal subsecuencia es la secuencia de los [[serie (matemática)|términos]] de una serie {{mvar|p}}-ádica, y por lo tanto una única serie {{mvar|p}}-ádica normalizada puede asociarse a cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy, por lo que para construir la completación basta considerar la serie {{mvar|p}}-ádica normalizada en lugar de las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada [[bola (matemática)|bola]] es también [[Bola (matemática)|cerrada]]. Más precisamente, la bola abierta <math>B_r(x)=\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> es igual a la bola cerrada <math>B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math> donde {{mvar|v}} es el menor entero tal que <math>p^{-v}< r.</math> De manera similar, <math>B_r[x]= B_{p^{-w}}(x),</math> donde {{mvar|w}} es el mayor entero tal que <math>p^{-w}>r.</math> Esto implica que el espacio topológico de los números p-ádicos <math>\mathbb{Q}_p</math> con la topología definida por la norma p-ádica, es un [[conjunto conexo|espacio completamente disconexo]].

Esto implica que los números {{mvar|p}}-ádicos forman una estructura con [[compacidad local]]; y que los enteros {{mvar|p}}-ádicos, es decir, las bolas <math>B_1[0]=B_p(0)</math>, forman un [[espacio compacto]].

Como [[espacio métrico]] los números p-ádicos forman un [[espacio métrico completo]]. Aunque no son un [[cuerpo algebraicamente cerrado]]. La clausura algebrica denotada como <math>\bar{\mathbb{Q}}_p</math> vuelce a no ser métricamente completa. Sin embargo, se puede construir un cuerpo algebraico cerrado, que además sea un espacio métrico completo y contenga a <math>\mathbb{Q}_p</math>. Ese cuerpo se suele denotar como <math>\Omega</math><ref>Koblitz, Neal, 1980.</ref> o bien como <math>\mathbb{C}_p</math>.<ref>Gouvêa, Fernando Q., 1997.</ref>

==Propiedades modulares==
El [[anillo cociente]] <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> se puede identificar con el [[Anillo (matemática)|anillo]] <math>\Z/p^n\Z</math> de los enteros respecto al [[Aritmética modular|módulo]] <math>p^n.</math> Esto se puede demostrar observando que todo entero {{mvar|p}}-ádico, representado por su serie {{mvar|p}}-ádica normalizada, es congruente módulo <math>p^n</math> con su [[serie (matemática)|serie]] <math display= inline>\sum_{i=0}^{n-1}a_ip^i,</math> cuyo valor es un entero en el intervalo <math>[0,p^n-1].</math> Una verificación directa muestra que esto define un [[homomorfismo de anillos]] de <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> a <math>\Z/p^n\Z.</math>

El [[límite inverso]] de los anillos <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> se define como el anillo formado por las secuencias <math>a_0, a_1, \ldots</math> tal que <math>a_i \in \Z/p^i \Z</math> y <math display= inline>a_i \equiv a_{i+1} \pmod {p^i}</math> para cada {{mvar|i}}.

La aplicación que hace corresponder una serie {{mvar|p}}-ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un [[isomorfismo]] de anillo desde <math>\Z_p</math> hasta el límite inverso de <math>\Z_p/p^n\Z_p.</math>. Esto proporciona otra forma de definir enteros {{mvar|p}}-ádicos ([[salvo (matemáticas)|salvo]] un isomorfismo).

Esta definición de enteros {{mvar|p}}-ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros {{mvar|p}}-ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso {{mvar|p}}-ádico (multiplicativo) de un número entero, se puede utilizar el [[método de Newton]], a partir del módulo inverso {{mvar|p}}; y luego, para cada paso del método de Newton calcula el módulo inverso <math display= inline>p^{n^2}</math> del módulo inverso <math display= inline>p^n.</math>

Se puede usar el mismo método para calcular la [[raíz cuadrada]] {{mvar|p}}-ádica de un número entero que es un [[residuo cuadrático]] módulo {{mvar|p}}. Este parece ser el método conocido más rápido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta con probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en <math>\Z_p/p^n\Z_p</math>. La aplicación del método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que <math display= inline>p^n</math> sea mayor que el doble del entero dado, lo que se satisface rápidamente.

La [[elevación de Hensel]] es un método similar que permite ''elevar'' el módulo de factorización {{mvar|p}} de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización <math display= inline>p^n</math> para valores grandes de {{mvar|n}}. Esto es comúnmente utilizado por los algoritmos de [[factorización de polinomios]].

==Notación==
Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones {{mvar|p}}-ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones {{mvar|p}}-ádicas en las que las [[Potenciación|potencias]] de&nbsp;{{mvar|p}} aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de {{frac|1|5}}, por ejemplo, se escribe como

:<math>\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3.</math>

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos son [[Acarreo|acarreados]] a la izquierda. También es posible escribir expansiones {{mvar|p}}-ádicas de modo que las potencias de {{mvar|p}} aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de {{frac|1|5}} es

:<math>\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.</math>

Las expansiones {{mvar|p}}-ádicas pueden escribirse con otros [[Sistema de dígitos signados|conjuntos de dígitos]] en lugar de {0, 1, ..., {{math|''p'' − 1}}}. Por ejemplo, la expansión 3-ádica de <sup>1</sup>/<sub>5</sub> se puede escribir usando los dígitos en sistema [[ternario equilibrado]] {<u>1</u>,0,1} como

:<math>\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_{\text{3}} .</math>

De hecho, cualquier conjunto de números enteros {{mvar|p}} que estén en distintos [[aritmética modular|clases de residuos]] módulo {{mvar|p}} puede utilizarse como dígitos {{mvar|p}}-ádicos. En teoría de números, las [[vector de Witt|representaciones de Teichmüller]] a veces se usan como dígitos.<ref>{{Harv|Hazewinkel|2009|p=342}}</ref>

La '''notación con comillas''' es una variante de la representación {{mvar|p}}-ádica de los [[números racionales]] que fue propuesta en 1979 por [[Eric Hehner]] y [[Nigel Horspool]] para manejar en las computadoras la aritmética (exacta) generada con estos números.<ref>{{Harv|Hehner|Horspool|1979|pp=124–134}}</ref>

==Cardinalidad==
Tanto <math>\Z_p</math> como <math>\Q_p</math> son [[Conjunto no numerable|no numerables]] y poseen la [[cardinalidad del continuo]].<ref>{{Harv|Robert|2000|loc=Chapter 1 Section 1.1}}</ref> Para <math>\Z_p,</math> esto resulta de la representación {{mvar|p}}-ádica, que define una [[función biyectiva]] de <math>\Z_p</math> sobre el [[conjunto potencia|conjunto de potencias]] <math>\{0,\ldots,p-1\}^\N.</math> Para <math>\Q_p</math> esto resulta de su expresión como [[conjunto numerable]] [[Unión de conjuntos|unión]] de copias de <math>\Z_p</math>:

:<math>\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.</math>

==Cierre algebraico==
{{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} contiene a {{math|'''Q'''}} y es un cuerpo de [[Característica (matemática)|característica]] {{math|0}}.{{anchor|no_orderable}} Debido a que {{math|0}} se puede escribir como suma de cuadrados,<ref>De acuerdo con el [[Lema de Hensel#Ejemplos|lema de Hensel]] {{math|'''Q'''<sub>2</sub>}} contiene una raíz cuadrada de {{math|−7}}, por lo que <math>2^2 +1^2+1^2+1^2+\left(\sqrt{-7}\right)^2= 0 ,</math> y si {{math|''p'' > 2}} entonces también por el lema de Hensel {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} contiene una raíz cuadrada de {{math|1 − ''p''}}, y por lo tanto 
<math>(p-1)\times 1^2 +\left(\sqrt{1-p}\right)^2= 0 .</math></ref> {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} no se puede convertir en un [[cuerpo ordenado]].

El conjunto de los [[números reales]] {{math|[[Número real|'''R''']]}} tiene solo una única [[extensión algebraica]] propia: los [[números complejos]] {{math|[[Número complejo|'''C''']]}}. En otras palabras, esta [[extensión de cuerpos]] ya es [[Cuerpo algebraicamente cerrado|algebraicamente cerrada]]. Por el contrario, la [[clausura algebraica]] de {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, denotado como <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> tiene grado infinito,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> es decir, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque existe una única extensión de la valoración {{mvar|p}}-ádica a <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> esta última no es (métricamente) completa.<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> Su completación (métrica) se denomina {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} o {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> Aquí se llega a una estructura completa, ya que {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} es algebraicamente cerrado.<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> Sin embargo, a diferencia de {{math|'''C'''}}, este cuerpo no posee [[compacidad local]].<ref name=K13/>

Los conjuntos {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} y {{math|'''C'''}} son isomorfos como [[Anillo (matemática)|anillos]] {{CR}}, por lo que se puede considerar a {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} como {{math|'''C'''}} dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de cuerpo se basa en el [[axioma de elección]] y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es una [[Prueba constructiva|demostración constructiva]]).

Si {{math|'''K'''}} es una [[extensión de Galois]] finita de {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, el [[grupo de Galois]] <math>\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> es [[Grupo resoluble|resoluble]]. Así, el grupo de Galois <math>\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> es [[prorresoluble]].

==Grupo multiplicativo==
{{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} contiene el {{mvar|n}}-ésimo [[cuerpo ciclotómico]] ({{math|''n'' > 2}}) si y solo si {{math|''n''&thinsp;{{!}} ''p'' − 1}}.<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 3.4.2}}</ref> Por ejemplo, el cuerpo ciclotómico {{mvar|n}}-ésimo es un subcuerpo de {{math|'''Q'''<sub>13</sub>}} si y solo si {{math|''n'' {{=}} 1, 2, 3, 4, 6}} o {{math|12}}. En particular, no existe una {{mvar|p}}-[[Torsión (álgebra)|torsión]] multiplicativa en {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, si {{math|''p'' > 2}}. Además, {{math|−1}} es el único elemento de torsión no trivial en {{math|'''Q'''<sub>2</sub>}}.

Dado un [[número natural]] {{mvar|k}}, el [[Índice (teoría de grupos)|índice]] del grupo multiplicativo de las {{mvar|k}}-ésimas potencias de los elementos distintos de cero de {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} en <math>\mathbf{Q}_p^{\times}</math> es finito.

El número {{mvar|[[Número e|e]]}}, definido como la suma de [[Inverso multiplicativo|recíprocos]] de [[factorial]]es, no es miembro de ningún cuerpo {{mvar|p}}-ádico; pero {{math|''e''<sup>&thinsp;''p''</sup> ∈ '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' ≠ 2)}}. Para {{math|''p'' {{=}} 2}} se debe tomar al menos la cuarta potencia.<ref>{{Harv|Robert|2000|loc=Section 4.1}}</ref> Por lo tanto, un número con propiedades similares a las de {{mvar|e}}, es decir, una raíz {{mvar|p}}-ésima de {{math|''e<sup>p</sup>''}}, es miembro de <math>\overline{\mathbf{Q}_p}</math> para todos los {{mvar|p}}.

==Principio local-global==
Según el [[principio de Hasse|principio local-global]] de [[Helmut Hasse]], una ecuación se puede resolver sobre los números racionales [[bicondicional|si y solo si]] se puede resolver sobre los números reales y sobre los números {{mvar|p}}-ádicos para cada primo&nbsp;{{mvar|p}}. Este principio se cumple, por ejemplo, para ecuaciones dadas por [[forma cuadrática|formas cuadráticas]], pero falla para polinomios superiores con varias varables.

==Aritmética racional con la elevación de Hensel==
{{AP|Elevación de Hensel}}

==Generalizaciones y conceptos relacionados==
Los números reales y los números {{mvar|p}}-ádicos son los complementos de los números racionales; pero también es posible completar otros cuerpos de manera análoga, como por ejemplo el [[cuerpo de números algebraicos]] generales. Esta propiedad se describe a continuación.

Supóngase que ''D'' es un [[dominio de Dedekind]] y ''E'' es su [[cuerpo de fracciones]]. Elíjase un [[ideal primo]] ''P'' de ''D'' distinto de cero. Si ''x'' es un elemento distinto de cero de ''E'', entonces ''xD'' es un [[ideal fraccional]] y se puede factorizar de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos distintos de cero de '' D''. Entonces, se escribe ord<sub>''P''</sub>(''x'') para el exponente de ''P'' en esta factorización, y para cualquier elección de número ''c'' mayor que 1 se puede establecer que
:<math>|x|_P= c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}.</math>

La completación con respecto a este valor absoluto|.|<sub>''P''</sub> produce un cuerpo ''E''<sub>''P''</sub>, lo que supone la generalización propia del cuerpo de los números ''p''-ádicos respecto a esta configuración. La elección de ''c'' no cambia la completación (diferentes elecciones producen el mismo concepto de sucesión de Cauchy, por lo que se obtiene la misma completación). Es conveniente, cuando el [[cuerpo residuo]] ''D''/''P'' es finito, tomar ''c'' el tamaño de ''D''/''P''.

Por ejemplo, cuando ''E'' es un [[cuerpo de números algebraicos]], el [[teorema de Ostrowski]] afirma que todo [[Valor absoluto (álgebra)|valor absoluto no arquimediano]] no trivial en ''E'' surge como algún|.|<sub>''P''</sub>. Los restantes valores absolutos no triviales de ''E'' surgen de las diferentes incrustaciones de ''E'' en los números reales o complejos. De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de ''E'' en los campos '''C'''<sub>''p''</sub>, poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un cuerpo numérico en una base común.

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones mencionadas anteriormente cuando ''E'' es un cuerpo numérico (o, más generalmente, un [[cuerpo global]]), que se considera que codifica información ''local''. Esto se logra mediante los [[anillo adele|anillos adeles]] y los [[grupo idele|grupos ideles]].

Los enteros ''p''-ádicos se pueden extender a los [[Solenoide (matemáticas)|solenoides ''p''-ádicos]] <math>\mathbb{T}_p</math>. Existe una aplicación de <math>\mathbb{T}_p</math> sobre el [[grupo circular]] cuyas fibras son los enteros ''p''-ádicos <math>\mathbb{Z}_p</math>, en analogía a como existe una aplicación de <math>\mathbb{R}</math> sobre el círculo cuyas fibras son <math>\mathbb{Z}</math>.

==Véase también==
{{lista de columnas|3|
* [[Axioma de Arquímedes|No arquimediano]]
* [[Mecánica cuántica p-ádica]]
* [[Teoría de Hodge p-ádica]]
* [[Teoría de Teichmuller p-ádica]]
* [[Análisis p-ádico]]
* [[1 + 2 + 4 + 8 + ...]]
* [[Numeración biyectiva|Notación ''k''-ádica]]
* [[Teoría C-minimal]]
* [[Lema de Hensel]]
* [[Cuerpo localmente compacto]]
* [[Teorema de Mahler]]
* [[Entero profinito]]
* [[Integral de Volkenborn]]
* [[Cuerpo local no arquimedeano]]
}}

==Referencias==
{{listaref|2}}

===Notas===
{{Reflist|group=nota}}

===Bibliografía===
{{refbegin}}
*{{Citation|last=Cassels|first=J. W. S.|author-link=J. W. S. Cassels|title=Local Fields|series=London Mathematical Society Student Texts|volume=3|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1986|isbn=0-521-31525-5|zbl=0595.12006}}
*{{citation|title=Theory of Algebraic Functions of One Variable|volume=39|series=History of mathematics|first1=Richard|last1=Dedekind|author1-link=Richard Dedekind|first2=Heinrich|last2=Weber|author2-link=Heinrich Martin Weber|publisher=American Mathematical Society|year=2012|isbn=978-0-8218-8330-3}}. — Translation into English by [[ John Stillwell]] of ''Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen'' (1882).
*{{Citation|last=Gouvêa|first=F. Q.|date=March 1994|title=A Marvelous Proof|journal=[[American Mathematical Monthly]]|pages=203–222|volume=101|issue=3|jstor=2975598|doi=10.2307/2975598}}
*{{Citation|last=Gouvêa|first=Fernando Q.|year=1997|title=''p''-adic Numbers: An Introduction|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=3-540-62911-4|zbl=0874.11002}}
*{{citation|title=Handbook of Algebra|volume=6|editor-first=M.|editor-last=Hazewinkel|publisher=North Holland|date=2009|isbn=978-0-444-53257-2|page=342|url={{Google books|yimXZ-7L9ZoC|page=342|plainurl=yes}}}}
*{{Citation|last=Hehner|first=Eric C. R.|author-link=Eric C. R. Hehner|last2=Horspool|first2=R. Nigel|year=1979|title=A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic|journal=[[SIAM Journal on Computing]]|pages=124–134|volume=8|issue=2|doi=10.1137/0208011|url=https://www.researchgate.net/publication/220617770|cita= citeseerx: 10.1.1.64.7714}}
*{{Citation|last= Hensel|first= Kurt|author-link=Kurt Hensel|title= Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen|journal= Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|volume= 6|year= 1897|issue= 3|pages= 83–88|url= http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2}}
*{{Citation|last1=Kelley|first1=John L.|author-link=John Leroy Kelley|title=General Topology|date=2008 (1ª Ed. 1955)|publisher=Ishi Press|location=New York|isbn=978-0-923891-55-8}}
*{{Citation|last=Koblitz|first=Neal|author-link=Neal Koblitz|title=''p''-adic analysis: a short course on recent work|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|volume=46|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1980|isbn=0-521-28060-5|zbl=0439.12011}}
*{{Citation|last=Robert|first=Alain M.|year=2000|title=A Course in ''p''-adic Analysis|publisher=Springer|isbn=0-387-98669-3}}
{{refend}}

===Lecturas relacionadas===
{{refbegin}}
*{{Citation|last=Bachman|first=George|title=Introduction to ''p''-adic Numbers and Valuation Theory|year=1964|publisher=Academic Press|isbn=0-12-070268-1}}
*{{Citation|last=Borevich|first=Z. I.|author-link=Zenon Ivanovich Borevich|last2=Shafarevich|first2=I. R.|author2-link=Igor Rostislavovich Shafarevich|year=1986|title=Number Theory|publisher=Academic Press|location=Boston, MA|series=Pure and Applied Mathematics|volume=20|isbn=978-0-12-117851-2|url={{Google books|njgVUjjO-EAC|Number Theory|plainurl=yes}}|mr=0195803}}
*{{Citation|last=Koblitz|first=Neal|author-link=Neal Koblitz|year=1984|series=[[ Graduate Texts in Mathematics]]|volume=58|title=''p''-adic Numbers, ''p''-adic Analysis, and Zeta-Functions|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=0-387-96017-1}}
*{{Citation|last=Mahler|first=Kurt|author-link=Kurt Mahler|title=''p''-adic numbers and their functions|edition=2nd|zbl=0444.12013|series=Cambridge Tracts in Mathematics|volume=76|location=Cambridge|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1981|isbn=0-521-23102-7|url=https://archive.org/details/padicnumbersthei0000mahl }}
*{{Citation|last=Steen|first=Lynn Arthur|author-link=Lynn Arthur Steen|year=1978|title=Counterexamples in Topology|publisher=Dover|isbn=0-486-68735-X}}
{{refend}}

===Enlaces externos===
{{Commons category|P-adic numbers}}
*{{MathWorld|urlname=p-adicNumber|title=p-adic Number}}
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/P-adic_number ''p''-adic number] at [[Encyclopaedia of Mathematics|Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics]]
*[http://math.stanford.edu/~conrad/248APage/handouts/algclosurecomp.pdf Completion of Algebraic Closure] – on-line lecture notes by Brian Conrad
*[https://web.archive.org/web/20161213093839/http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis] - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
*[http://homes.esat.kuleuven.be/~fvercaut/talks/pAdic.pdf Efficient p-adic arithmetic] (slides)
*[http://www.madore.org/~david/math/padics.pdf Introduction to p-adic numbers]
*{{citation|url=https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/|title=An Infinite Universe of Number Systems|first=Kelsey|last=Houston-Edwards|date=2020-10-19|publisher=Quanta Magazine}}

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numero p-adico}}
[[Categoría:Teoría de cuerpos]]
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Números p-ádicos]]