Ver el código de «Número plástico»

{{otros usos|este=el número irracional|para=los números estampados en los [[plástico]]s para su identificación en el reciclaje|Código identificador de resina}}

{|class="wikitable floatright"
|colspan=2 style="text-align:center; font-size:150%;"|'''Número plástico ''&rho;'''''
|-
|colspan=2 style="text-align:center; font-size:90%;"|[[File:Triangles in ratio of the plastic number in a three armed counter clockwise spiral.svg|300px]]<br />Los triángulos con lados en proporción <math>\rho</math><br />forman una espiral cerrada
|-
||Binario||{{gaps|1.0101|0011|0010|0000|1011|...}}
|-
||Decimal||{{gaps|1.32471|79572|44746|02596|...}}
|-
||Hexadecimal||{{gaps|1.5320|B74E|CA44|ADAC|1788|...}}
|-
||Fracción continua||[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]<ref>Secuencia {{OEIS2C|A072117}} en el[[OEIS]]</ref>
|-
||Fórmula||<math>\sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}}</math>
|}

En [[matemáticas]], el '''número plástico''' {{math|''ρ''}} (también conocido como '''constante plástica''', '''relación plástica''', '''número de Pisot mínimo''', '''número de platino''',<ref>{{citation|last=Choulet|first=Richard|date=January–February 2010|title=Alors argent ou pas ? Euh ... je serais assez platine|url=http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf|journal=Le Bulletin Vert|department=Pour chercher et approfondir|publisher=Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris|issue=486|pages=89–96|issn=0240-5709|oclc=477016293|archive-url=https://web.archive.org/web/20171114033114/http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf|archive-date=2017-11-14|access-date=2017-11-14}}</ref> '''número de [[Carl Ludwig Siegel|Siegel]]''' o, en francés, '''{{lang|fr|le nombre radiant}}''') es una [[constante matemática]] que es la única solución real de la [[ecuación de tercer grado]]:

: <math>x^3= x + 1.</math>

Su valor exacto es:<ref>{{MathWorld|title=Plastic Constant|id=PlasticConstant}}</ref>

: <math>\rho= \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}.</math>

Su expansión decimal comienza con {{gaps|1.32471|79572|44746|02596|09088|54...}}.<ref>Secuencia {{OEIS2C|id=A060006}} en el [[OEIS]].</ref>
{{contenido|izquierda}}{{clear|right}}
==Propiedades==
[[File:Plastic number square spiral.svg|thumb|Los cuadrados con lados en proporción <math>\rho</math> también forman una espiral cerrada]]

===Recurrencia===
Las potencias del número plástico {{math|''A''(''n'') {{=}} ''ρ''<sup>''n''</sup>}} satisfacen la [[relación de recurrencia]] lineal de tercer orden {{math|''A''(''n'') {{=}} ''A''(''n'' − 2) + ''A''(''n'' − 3)}} para {{math|''n'' > 2}}. Por lo tanto, es la relación límite de términos sucesivos de cualquier secuencia entera (distinta de cero) que satisfaga la mencionada recurrencia, como la [[sucesión de Padovan]] (también conocida como números de Cordonnier), los [[número de Perrin|números de Perrin]] y los [[números de Van der Laan]],<ref>{{OEIS|A182097|Van der Laan numbers|mode=cs2}}</ref> y mantiene relaciones con estas secuencias similares a las relaciones del [[número áureo]] con los números de [[Sucesión de Fibonacci|Fibonacci]] y los de [[Número de Lucas|Lucas]] de segundo orden, similares a las relaciones entre el [[número plateado]] y los [[número de Pell|números de Pell]].<ref>{{harvtxt|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}. </ref>

El número plástico satisface la recurrencia dada por el [[radical jerarquizado|radical infinitamente jerarquizado]]:<ref name=mathworld>{{MathWorld|urlname=PlasticConstant|title=Plastic Constant|author=Piezas, Tito III|author2=van Lamoen, Floor|author3= Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp|mode=cs2}}</ref>

: <math>\rho= \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \cdots}}}.</math>{{clear|right}}

===Teoría de números===
Debido a que el número plástico está asociado al [[Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)|polinomio mínimo]] {{math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0,}}, también es una solución de la ecuación polinómica {{math|''p''(''x'') {{=}} 0}} para cada polinomio {{math|''p''}} que sea múltiplo de {{math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1,}}, pero no para ningún otro polinomio con coeficientes enteros. Dado que el [[discriminante]] de su polinomio mínimo es −23, su [[cuerpo de descomposición]] sobre los [[Número racional|números racionales]] es <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}, \rho).</math>. Este campo también es un [[campo de clase de Hilbert]] de <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}).</math>. Como tal, se puede expresar<ref name=mathworld/> en términos de la [[función eta de Dedekind]] <math>\eta(\tau)</math> con el argumento <math>\tau= \tfrac{1+\sqrt{-23}}2</math>,

:<math>\rho= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\tau)}{\sqrt2\,\eta(2\tau)}= 1.3247\dots</math>

y [[raíz de la unidad]] <math>z= e^{2\pi i/48}</math>. De manera similar, para la [[súper razón áurea]] con argumento <math>\beta= \tfrac{1+\sqrt{-31}}2</math>,

:<math>\psi= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\beta)}{\sqrt2\,\eta(2\beta)}= 1.4655\dots</math>

Además, el número plástico es el [[número de Pisot-Vijayaraghavan]] más pequeño. Sus [[elemento conjugado|conjugados]] son
: <math>\left(-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \left(-\frac12 \mp \frac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}} \approx -0.662359 \pm 0.56228i,</math>
de [[valor absoluto]]≈0.868837 {{OEIS|A191909}}. Este valor también es <math>\frac{1}{\sqrt{\rho}}</math> porque el producto de las tres raíces del polinomio mínimo es 1.

===Trigonometría===
El número plástico se puede escribir usando la [[función hiperbólica]] ({{math|cosh}}) y su inversa:

:<math>\rho= \frac{2\sqrt{3}}{3} \cosh\left(\frac{1}{3} \cosh^{-1} \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right).</math>

(véase [[ecuación de tercer grado]]).

===Geometría===
{{VT|División de un cuadrado en rectángulos semejantes}}
[[File:Plastic square partitions.svg|thumb|upright=1.5|Tres particiones de un cuadrado en rectángulos semejantes]]

Hay precisamente tres formas de dividir un cuadrado en tres rectángulos [[semejanza (geometría)|semejantes]]:<ref>Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
</ref><ref>{{citation|last1=de Spinadel|first1=Vera W.|author1-link=Vera W. de Spinadel |last2=Antonia|first2=Redondo Buitrago|title=Towards van der Laan's plastic number in the plane|journal=Journal for Geometry and Graphics|volume=13|issue=2|year=2009|pages=163–175|url=http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg13/j13h2spin.pdf}}</ref>

#La solución trivial dada por tres rectángulos congruentes con una relación de aspecto de 3:1.
#La solución en la que dos de los tres rectángulos son congruentes y el tercero tiene el doble de longitud de lado que los otros dos, donde los rectángulos tienen una relación de aspecto de 3:2.
#La solución en la que los tres rectángulos son todos de diferentes tamaños y donde tienen una relación de aspecto ''ρ''<sup>2</sup>. Las proporciones de los tamaños lineales de los tres rectángulos son: ''ρ'' (grande:mediano); ''ρ''<sup>2</sup> (mediano:pequeño); y ''ρ''<sup>3</sup> (grande:pequeño). El borde largo interno del rectángulo más grande (la línea que divide todo el cuadrado) divide dos de los cuatro bordes del cuadrado en dos segmentos, cada uno de los cuales se encuentra entre sí en la proporción ''ρ''. El borde corto interno y coincidente del rectángulo mediano y el borde largo del rectángulo pequeño divide uno de los otros dos bordes del cuadrado en dos segmentos que están entre sí en la proporción ''ρ''<sup>4</sup>.

El hecho de que un rectángulo de relación de aspecto ''ρ''<sup>2</sup> pueda usarse para disecciones de un cuadrado en rectángulos similares es equivalente a una propiedad algebraica del número ''ρ''<sup>2</sup> relacionada con el [[teorema de Routh-Hurwitz]]: todos sus conjugados tienen una parte real positiva.<ref>{{citation
|last1= Freiling|first1= C.
|last2= Rinne|first2= D.
|doi= 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3
|issue= 5
|journal= Mathematical Research Letters
|mr= 1295549
|pages= 547–558
|title= Tiling a square with similar rectangles
|volume= 1
|year= 1994}}</ref><ref>{{citation
|last1= Laczkovich|first1= M.
|last2= Szekeres|first2= G.|author2-link= George Szekeres
|doi= 10.1007/BF02574063
|issue= 3–4
|journal= [[ Discrete & Computational Geometry]]
|mr= 1318796
|pages= 569–572
|title= Tilings of the square with similar rectangles
|volume= 13
|year= 1995}}</ref>

==Historia y nombres==
[[File:Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg|thumb|La iglesia de San Luis de la Abadía de Benedictusberg (1967), proyectada por [[Hans van der Laan]], está diseñada empleando proporciones relacionadas con el número plástico]]
{{VT|Matemáticas y arte}}

El arquitecto neerlandés y miembro de la [[Orden de San Benito]], [[Hans van der Laan]], dio el nombre de ''número de plástico'' ({{lang-nl|het plastische getal}}) a esta constante en 1928. En 1924, cuatro años antes del nombramiento de van der Laan, el ingeniero francés {{ill|fr|Gérard Cordonnier}} ya había descubierto el número y se refirió a él como ''el número radiante'' ({{lang-fr|le nombre radiant}}). A diferencia de los nombres del [[número áureo]] y del [[número plateado]], van der Laan no pretendía que la palabra ''plástico'' se refiriera a una sustancia específica, sino más bien en su sentido [[adjetivo]], es decir, haciendo referencia a algo a lo que se le puede dar una forma tridimensional.<ref>{{harvtxt|Padovan|2002}};{{harvtxt|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}. </ref> Esto, según [[Richard Padovan]], se debe a que las proporciones características del número, {{sfrac|3|4}} y {{sfrac|1|7}}, se relacionan con los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan diseñó la iglesia de la [[Abadía de St. Benedictusberg]] (1967) con estas proporciones numéricas plásticas.<ref>{{harvtxt|Padovan|2002}}. </ref>

El número plástico también se llama a veces '''número de plata''', un nombre que le dio [[Midhat J. Gazalé]]<ref>{{citation|title=Gnomon: From Pharaohs to Fractals|last=Gazalé|first=Midhat J.|date=1999-04-19|publisher=Princeton University Press|isbn=9780691005140|location=Princeton, N.J.|pages=135–150|chapter=Chapter VII: The Silver Number|oclc=40298400|author-link=Midhat J. Gazalé}}</ref> y posteriormente utilizado por [[Martin Gardner]],<ref>[[Martin Gardner]], ''El entrenamiento de Gardner'' (2001), capítulo 16, págs. 121-128. </ref> pero ese nombre se utiliza más comúnmente para el [[número plateado]] <math>1 + \sqrt{2},</math>, una de las proporciones de la familia de los [[número metálico|números metálicos]], descritos por primera vez por [[Vera de Spinadel]] en 1998.<ref>{{citation|first=Vera W.|last=de Spinadel|title=The Metallic Means and Design|pages=141–157|url=https://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-1998/119-n1998-spinadel.html|journal=Nexus II: Architecture and Mathematics|editor-first=Kim|editor-last=Williams|editor-link=Kim Williams (architect)|location=Fucecchio (Florence)|publisher=Edizioni dell'Erba|date=1998}}</ref>

[[Martin Gardner]] sugirió referirse a <math>\rho^2</math> como "phi alta", y [[Donald Knuth]] creó una marca tipográfica especial para este nombre, una variante de la letra griega [[φ]] ("&phi;") con su círculo central levantado, asemejándose a la letra georgiana [[ფ|pari]] ("Ⴔ ").<ref>{{citation|title=Six challenging dissection tasks|journal=Quantum|date=May–June 1994|volume=4|issue=5|pages=26–27|url=http://static.nsta.org/pdfs/QuantumV4N5.pdf}}</ref>

==Véase también==
*[[Icosidodecadodecaedro romo]]
*[[Súper razón áurea]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
*{{citation
|last1= Aarts|first1= J.
|last2= Fokkink|first2= R.
|last3= Kruijtzer|first3= G.
|title= Morphic numbers
|journal= Nieuw Arch. Wiskd.
|series= 5
|volume= 2|issue= 1|year= 2001|pages= 56–58
|url= http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2001-02-1-056.pdf}}.
*{{citation|first=Midhat J.|last=Gazalé|title=Gnomon|year=1999|publisher=Princeton University Press}}.
*{{citation
|url= http://www.nexusjournal.com/conferences/N2002-Padovan.html
|contribution= Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number
|last= Padovan|first= Richard|author-link= Richard Padovan
|title= Nexus IV: Architecture and Mathematics
|pages= 181–193|publisher= Kim Williams Books|year= 2002}}.
*{{citation
|last1= Shannon|first1= A. G.
|last2= Anderson|first2= P. G.
|last3= Horadam|first3= A. F.
|title= Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers
|journal= International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
|volume= 37|issue= 7|year= 2006|pages= 825–831
|doi= 10.1080/00207390600712554|s2cid= 119808971
}}

==Enlaces externos==
*[https://web.archive.org/web/20120320051231/http://members.fortunecity.com/templarser/padovan.html Cuentos de un número olvidado] por [[Ian Stewart (matemático)|Ian Stewart]]
*[http://www.maecla.it/tartapelago/museo/oro/rettangoli/en%20plasticrectangle.htm Rectángulo plástico y secuencia padovana] en Tartapelago por Giorgio Pietrocola
*{{citation|last1=Harriss|first1=Edmund|author1-link=Edmund Harriss|title=The Plastic Ratio|url=https://www.youtube.com/watch?v=PsGUEj4w9Cc&t=488s|archive-url=https://web.archive.org/web/20230828091119/https://www.youtube.com/watch?v=PsGUEj4w9Cc&t=488s|archive-date=28 de agosto de 2023|website=youtube|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2019-03-15|format=video|deadurl=}}{{cbignore}}

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{{ORDENAR:Numero plastico}}
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[[Categoría:Constantes matemáticas]]
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[[Categoría:Geometría euclidiana plana]]