Ver el código de «Número racional»

[[Archivo:Fracciones.gif|thumb|Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4. Estas cuatro fracciones son ''números racionales''.]]

Los '''números racionales''' son todos los números que pueden representarse como el [[cociente (división)|cociente]] de dos [[números enteros]] o, más exactamente, un entero y un [[Número natural|natural positivo]];<ref>{{Cita libro |título=Álgebra |editorial=Pearson Educación, 2003 |autor=Elena de Oteyza de Oteyza}}</ref> es decir, una [[fracción|fracción común]] <math>a/b</math> con numerador <math>a </math> y denominador <math>b </math> distinto de [[cero]]. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El [[conjunto]] de los números racionales se denota por '''Q''' (o bien  <math>\mathbb{Q}</math>, en [[Blackboard bold|negrita de pizarra]]) que deriva de «cociente» (del [[latín]] '''''quotiens''''' <ref>[https://en.wiktionary.org/wiki/quotiens#Latin Wiktionary ''Quotiens'' (latín)]</ref> adaptado como 'cociente' a varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (<math>\mathbb{Z}</math>) y a los números fraccionarios y es un subconjunto de los [[número real|números reales]] (<math>\mathbb{R}</math>).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un [[número decimal]] finito, o bien [[número periódico|semiperiódico]]. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 ([[sistema de numeración decimal|sistema decimal]]); también lo es en base [[binaria]], [[hexadecimal]] o cualquier otra [[Base (aritmética)|base entera]]. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.

Un número real que no es racional se llama [[número irracional]]; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita ''aperiódica''.<ref>T.S. Tsipkin. ''Manual de Matemática'' Editorial Mir, Moscú</ref>

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las [[Fracción equivalente|fracciones equivalentes]] a una dada; de todas ellas, se toma como ''[[representante canónico]]'' de dicho número racional a la [[fracción irreducible]]. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[relación de equivalencia]] sobre <math>\mathbb{Z}</math>.

== Historia ==

Los [[Matemáticas en el Antiguo Egipto|egipcios]] calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando [[Fracción|fracciones]] cuyos denominadores son enteros positivos; son los primeros números racionales utilizados para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de ''[[recíproco]] de un [[número entero]]''.<ref name="eves">{{Cita libro|apellidos=Eves |nombre=Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. |título=An introduction to the history of mathematics |url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |año=1990 |editorial=Saunders College Pub. |ubicación=Philadelphia |isbn=0030295580 |edición=6th ed.}}</ref>

Los [[matemática griega|matemáticos]] de la [[antigua Grecia]] consideraban que dos magnitudes eran ''conmensurables'' si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una ''unidad'' común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.<ref>{{Cita libro|apellidos=Dantzig |nombre=Tobias |título=The Bequest of the Greeks |url=https://archive.org/details/dli.ernet.103285 |año=1955 |editorial=London: Unwin Brothers LTD |id=3982581}}</ref>

Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la [[Razón (matemáticas)|razón]] de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ''ratio'',<ref>{{Cita DLE|Razón|fechaacceso=27 de febrero de 2016}}</ref><ref>{{Cita DLE|Ratio|fechaacceso=27 de febrero de 2016}}</ref> y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números.<ref>{{Cita web |url=http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol13/djimenez.pdf |título=DIVULGACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué era un irracional para un matemático griego antiguo? |fechaacceso=27 de febrero de 2016 |apellido=Jiménez |nombre=Douglas |}}</ref> La notación <math>\mathbb{Q}</math> empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la palabra italiana ''quoziente'', derivada del trabajo de [[Giuseppe Peano]] en 1895.<ref>{{Cita web |url= http://math.hws.edu/mitchell/Math331S13/Rationals.pdf |título=Think rationally - The Problem with Rational |fechaacceso=16 de febrero de 2016 |sitioweb=Hobart and William Smith Colleges |idioma=inglés}}</ref>

== Aritmética de los números racionales ==
{{VT|Fracción#Aritmética con fracciones|l1=Fracción § Aritmética con fracciones}}

=== Relaciones de equivalencia y orden ===

==== Inmersión de enteros ====

Cualquier entero ''n'' se puede expresar como el número racional ''n''/1 debido a eso se escribe frecuentemente <math>\scriptstyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}</math> (técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorfo al anillo de los números enteros).

===Equivalencia ===
Si se cumple:
: <math>
   \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
   \quad \longleftrightarrow \quad
   ad = bc
</math>

==== Orden ====
Esto es independiente de si los denominadores son iguales.

1. Cuando ambos denominadores son positivos:
:Decimos que <math>\frac{a}{b}</math> es menor que <math>\frac{c}{d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:
::::::::::<math>ad<bc</math>
:Decimos que <math>\frac{a}{b}</math> es mayor que <math>\frac{c}{d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:
::::::::::<math>ad>bc</math>
:Decimos que <math>\frac{a}{b}</math> es igual que <math>\frac{c}{d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:
::::::::::<math>ad=bc</math>

:Ejemplo:
::<math>\frac{12}{4},</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{27}{3}</math> 

::<math>12 \cdot 3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>4 \cdot 27</math>

::<math>36</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math><</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>108</math>

2. Si cualquiera de los denominadores es negativo:

Es necesario trasformar las fracciones con denominador negativo en sus fracciones equivalentes con denominador positivo siguiendo las siguientes ecuaciones:
::::::::::::<math>
\frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}
</math>


::::::::::::<math>
\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}
</math>


::::::::::::<math>
-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}
</math>

Una vez trasformadas las fracciones, usamos las mismas ecuaciones de “cuando ambos denominadores son positivos”. Entonces quedaría así:

:Decimos que <math>\frac{a}{-b}</math> es menor que <math>\frac{c}{-d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:


:::::::::<math>
a(-d)<(-b)c
</math>


:Decimos que <math>\frac{a}{-b}</math> es mayor que <math>\frac{c}{-d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:


:::::::::<math>
a(-d)>(-b)c
</math>


:Decimos que <math>\frac{a}{-b}</math> es igual que <math>\frac{c}{-d}</math> si se cumple la siguiente ecuación:


:::::::::<math>
a(-d)=(-b)c
</math>

:Ejemplo:
::<math>\frac{5}{-7},</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{13}{-2}</math>
::<math>5(-2)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>-7(13)</math>
::<math>-10</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>></math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>-91</math>

=== Operaciones Racionales ===

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se las llama '''operaciones racionales'''.<ref name="Trejo_1"/>

==== Suma ====
Se define la [[suma]] o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma:
: <math>
   \frac{a}{b} + \frac{c}{d}
 = \frac{a}{b} \cdot 1 + \frac{c}{d}
 \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{d} + \frac{c}{d}
 \cdot \frac{b}{b} 
= \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd}
 = \frac{ad + bc}{bd}
</math>

==== Resta ====

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera ''operación inversa'' de la suma.<ref name="Trejo_1">Adaptación de la monografía ''El concepto de número'' de César Trejo. Edición de la OEA.</ref>

:<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + (-\frac{c}{d}) = \frac{a}{b} \cdot 1 + (-\frac{c}{d}) \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{d} + (-\frac{c}{d}) \cdot \frac{b}{b} = \frac{ad}{bd} + \frac{b(-c)}{bd} = \frac{ad + b(-c)}{bd}
</math>.

==== Multiplicación ====

La [[multiplicación]] o producto de dos números racionales:
: <math>
   \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} =
   \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
</math>.

==== División ====

Se define la división o cociente de dos racionales ''r'' entre ''s'' distinto de 0, al producto <math>r\times s^{-1} </math>. En otra notación,

:<math>
\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}= \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d})^{-1}</math>

Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación ''s''·''x''=''r'', ''s''≠0.

=== Inversos ===
El inverso aditivo de <math>\frac{a}{b}</math> es <math>-\frac{a}{b}</math>, tal que al sumarlos la suma total es igual a cero:
:<math>
\frac{a}{b} + (-\frac{a}{b}) = 0
</math>

Otras formas de notación de <math>-\frac{a}{b}</math> son:
:<math>
\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}
</math>

Si a≠0, el inverso multiplicativo de <math>\frac{a}{b}</math> es <math>\frac{b}{a}</math>, tal que al multiplicarlos el producto es igual a uno:
:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1</math>

Otras formas de notación de <math>\frac{b}{a}</math> son:
:<math>
\frac{1}{\frac{a}{b}}=(\frac{a}{b})^{-1}
</math>

== Escritura decimal ==

=== Número racional en base decimal ===
{{VT|Representación decimal|número decimal|número decimal periódico}}

Todo [[número real]] admite una [[representación decimal]] ilimitada, y esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de ''9'' (como por ejemplo el [[0,9 periódico]]). De esta manera, el ''valor decimal'' de un número racional es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un [[número decimal]] finito (exacto) o [[número periódico|periódico]] y viceversa. En el siguiente cuadro vemos la demostración de esto, es decir, de que un número es racional [[si y sólo si]] su representación decimal es finita o periódica.<ref>{{Cita video|título=Proof Using Euler's Theorem: Rational Implies Recurring|url=https://www.youtube.com/watch?v=UIpYfHHbaKY&t=5s|sitio web=https://www.youtube.com/watch?v=UIpYfHHbaKY&t=5s|fecha=1 de septiembre de 2023|fechaacceso=9 de septiembre de 2023}}</ref>

{{Demostración|Para demostrar la equivalencia enunciada tenemos que demostrar dos implicaciones: que si una expresión decimal es finita o periódica entonces representa un número racional (se puede expresar como una fracción), y que si un número es racional entonces su expresión decimal es finita o periódica.

Veamos la primera implicación: toda expresión decimal finita o periódica representa un número racional.

:Dado un número cuya expresión decimal es finita <math> x=a_1\dots a_k {\color{Red} ,}~ d_1\dots d_n </math>, con <math> a_i, i=1,\dots , k </math> las cifras del número y <math> d_j , j=1,\dots , n </math> sus cifras decimales, podemos expresarlo en forma de fracción (y por tanto, es racional) como <math> x=\frac{a_1\dots a_kd_1\dots d_n}{10^n} </math>, con numerador y denominador enteros. Por tanto, todo número decimal finito es racional.

:Consideremos ahora un número cuya expresión decimal sea periódica <math> x=a_1\dots a_k {\color{Red} ,}~ d_1\dots d_n\overline{d_{n+1}\dots d_{n+m} } </math>, con <math> a_i, i=1,\dots , k </math> las cifras del número, <math> d_j , j=1,\dots , n+m </math> sus cifras decimales, con un período <math> \overline{d_{n+1}\dots d_{n+m} } </math>. El proceso que sigue para escribir este número como una fracción está explicado más detalladamente en el artículo [[Número decimal periódico]]. Si restamos los números <math> 10^n x=a_1\dots a_k d_1\dots d_n {\color{Red} ,}~ \overline{d_{n+1}\dots d_{n+m} } </math> y <math> 10^{n+m} x=a_1\dots a_k d_1\dots d_n d_{n+1}\dots d_{n+m} {\color{Red} ,}~ \overline{d_{n+1}\dots d_{n+m} } </math>, sus decimales se cancelan dando lugar a un número entero <math> 10^m(10^n-1)x=10^{n+m}x-10^mx=N \in\mathbb{Z}</math>, por lo que <math> x=\frac{N}{10^m(10^n-1)}\in\mathbb{Q} </math> es racional.

Veamos ahora, recíprocamente, que todo número racional tiene una expresión decimal finita o periódica.

: Sea <math> x </math> un número racional. Podemos pues escribir <math> x=\frac{p}{q} </math> con <math> p, q </math> enteros. El primer objetivo de la demostración es encontrar un número que, multiplicado por <math> x </math>, haga que el denominador del producto sea de la forma <math>10^m(10^n-1)</math>. Después, un argumento sencillo servirá para acabar la demostración.

: Consideremos la descomposición en factores primos del denominador <math> q </math>. Nos van a interesar los exponentes de 2 y 5, a los que llamaremos <math> \alpha </math> y <math> \beta </math>, respectivamente, y luego llamaremos al resto de factores <math> p_i^{k_i} </math> indiferentemente: <math> q=2^{\alpha}5^{\beta}p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} </math>. Queremos formar una potencia de diez multiplicada por otra menos uno. Para formar la primera podemos multiplicar <math> q </math> por <math> A:=2^{\beta-\alpha} </math> si <math> \beta> \alpha </math> o por <math> A:=5^{\alpha-\beta} </math> si <math> \alpha> \beta </math>. Si <math> \alpha=\beta </math> ya tenemos una potencia de 10 multiplicada por cierto número y multiplicamos por <math> A:=1 </math>. Por ejemplo, si tuviéramos <math> 2^45^7 </math> multiplicaríamos por <math> 2^{7-4}=2^3 </math> y obtendríamos la potencia de diez <math> 2^32^45^7=2^75^7=(2\cdot 5)^7=10^7 </math>. En cualquier caso tenemos que <math>Aq=10^{m}p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} </math> para cierto entero <math> m\geq 0 </math>.

: Como un caso concreto consideremos que no hubiera primos distintos de 2 y 5 en la descomposición de <math> q </math>. Entonces, tenemos que <math> Aq=10^m </math> y <math> x=\frac{p}{q}=\frac{Ap}{Aq}=\frac{Ap}{10^m} </math>, que es una expresión decimal finita por ser <math> Ap </math> un número entero.

:Ahora sólo queda transformar el producto <math>p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} </math> en una potencia de diez menos uno en el caso en que haya por lo menos un factor primo de <math> q </math> distinto de 2 y de 5. Para ello vamos a utilizar el [[teorema de Euler]], demostrado en su propio artículo, que afirma que dados enteros <math> a, b </math> primos entre sí (sin factores comunes) y la [[función φ de Euler]] que asigna a cada entero positivo <math> n </math> el número de enteros menores que <math> n </math> coprimos con <math> n </math>,

:<math> a^{\varphi(b) }\equiv 1 \pmod b </math>,

:lo que significa que <math> a^{\varphi(b) } </math> es un múltiplo de <math> b</math> más uno. Aplicando esto a <math> a=10 </math> y <math> b=p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} </math>, coprimos por construcción, tenemos que <math> 10^{\varphi(p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} ) }=B\cdot p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} + 1 </math>, con <math> B </math> cierto entero. Escribiendo <math> n:=\varphi(p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r}  ) </math> y despejando, obtenemos que <math> B\cdot p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r}=10^n-1 </math>.

: Ahora, si multiplicamos <math> Aq=10^m p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r} </math> por <math> B </math>, tenemos que <math> ABq=10^m(10^n-1) </math>, que es de la forma que queríamos.

: Para acabar, observamos que <math> x=\frac{p}{q}=\frac{ABp}{ABq}=\frac{ABp}{10^m(10^n-1) }=\frac{ABp}{10^{m+n}-10^m}\Rightarrow 10^{m+n}x-10^m x=ABp </math>, un número entero. Si escribimos la expresión decimal de <math> x </math>, tenemos que

:<math> \quad\quad\quad x=a_1\dots a_k {\color{Red} ,}~ d_1 d_2 d_3\dots </math>

:<math> \quad 10^m x=a_1\dots a_k d_1\dots d_m {\color{Red} ,}~ d_{m+1}d_{m+2}\dots </math>

:<math> 10^{m+n} x= a_1\dots a_k d_1\dots d_{m+n} {\color{Red} ,}~ d_{m+n+1}d_{m+n+2}\dots </math>

:y, como al restar da un número entero, deducimos que las dos partes decimales tienen que ser iguales: <math>d_{m+1}=d_{m+n+1}, d_{m+2}=d_{m+n+2}, \dots </math> 

:Formalmente, <math> d_{m+i}=d_{m+n+i}\quad i \geq 1 </math>

: Así, concluimos que la expresión decimal de <math> x </math> es periódica: <math> x=a_1\dots a_k {\color{Red} ,}~ d_1\dots d_m \overline{d_{m+1}\dots d_{m+n} } </math>.

Con esto hemos acabado la demostración. <math> \quad\square </math>}}

Por tanto, los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

* '''Exacta:''' la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:
::<math>\frac 8 5 = 1,6</math>
* '''Periódica pura:''' toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}</math>

* '''Periódica mixta:''' no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
::<math>\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}</math>

Así, si una forma decimal no es de ninguno de estos tipos, es decir, es infinita y no periódica, no representará un número racional. Podemos pues concluir que números de la forma <math>0,101001000100001\dots</math> (con un cero más entre dos unos cada vez) no son racionales, por no tener una expresión decimal periódica. Por el recíproco, como sabemos que números como <math>e</math> o <math>\pi</math> son irracionales, deducimos no pueden tener una expresión decimal periódica.

De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un [[sistema de numeración posicional]] en bases distintas de diez.

=== Número racional en otras bases ===

En un sistema de numeración posicional de base racional, las [[fracción irreducible|fracciones irreducibles]] cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma <math>2^n \cdot 5^p</math> (<math>n</math> y <math>p</math> enteros), así como en base [[sistema duodecimal|duodecimal]] es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

== Construcción formal ==
{{vt|Dominio de integridad|Cuerpo de cocientes}}
[[Archivo:Konstrukcja liczb wymiernych.svg|thumb|250px|Construcción formal de los números racionales como pares ordenados.]]

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de [[fracción|fracciones]] cuyo numerador y cuyo denominador son [[número entero|números enteros]]. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

{{ecuación|<math>2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}</math>}}

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.

Formalmente cada número racional puede representarse como la [[clase de equivalencia]] de un [[par ordenado]] de enteros (''a'',''b''), con ''b''≠0, con la siguiente [[relación de equivalencia]]:

:<math>\left(a, b\right) \sim (c, d) \text{ si y solo si } ad = bc</math>,

donde el espacio de equivalencia de clases es el [[espacio cociente]] <math>(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\})/ \sim</math>. Las operaciones de suma y multiplicación se definen como

:<math>\begin{align}
\left(a, b\right) + (c, d) &= (ad + bc, bd) \\
\left(a, b\right) \times (c, d) &= (ac, bd)
\end{align}</math>

Se verifica que las dos operaciones definidas son compatibles con la relación de equivalencia, indicando de manera que <math>\mathbb{Q}</math> se puede definir como el [[conjunto cociente]] <math>(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\})/ \sim</math>, con la relación de equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre [[Fracción#Aritmética de fracciones|fracciones]]:

:<math>\begin{align}
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{ad+bc}{bd} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} &= \frac{ac}{bd}
\end{align}</math>

Se denota como [(''a'',''b'')] a la clase de equivalencias que corresponde con las distintas representaciones de un mismo número racional <math>\tfrac{a}{b}=\tfrac{ka}{kb}</math>, con ''k''≠0, en forma de fracción. Es decir :

:<math>[(a,b)] = \{ \cdots  ,(-2a,-2b), (-a,-b), (a,b), (2a,2b), \cdots \}.</math>

Se toma como [[representante canónico]] el par (''a'',''b'') tal que [[máximo común divisor|mcd]](''a'',''b'')= 1. Cualquier otro par se puede usar en el caso de operaciones.<ref name="Trejo_1"/> Por ejemplo, <math> [(1,2)] =\{ (1, 2), (2,4)(3,6)... \}</math> es la clase de equivalencia del número racional <math>\tfrac{1}{2}</math>.

Con las operaciones anteriores, <math>\mathbb{Q}</math> es un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]], donde la clase (0,1) desempeña el papel de cero, y la clase (1,1) de uno. El [[elemento opuesto]] de la clase (''a'',''b'') es la clase (-''a'',''b''). Además, si ''a''≠0, la clase (''a'',''b'') es distinta de cero, luego (''a'',''b'') es invertible ([[inverso multiplicativo]]) y su inverso corresponde a la clase (''b'',''a'').

También se puede definir una [[orden total]] en  <math>\mathbb{Q}</math> de la siguiente manera:

:<math>(a, b) \le (c, d) \text{ si y solo si } (bd>0\text{ y } ad \le bc)\text{ ó }(bd<0\text{ y } ad \ge bc)</math>.

El conjunto de los números racionales puede también construirse como el cuerpo de cocientes de los números enteros, esto es,

:<math>\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}).</math>

== Propiedades ==

=== Algebraicas ===

El conjunto de los números racionales <math>\mathbb{Q}</math> equipado con las [[operación matemática|operaciones]] de suma y producto cumple las propiedades [[propiedad conmutativa|conmutativa]], [[propiedad asociativa|asociativa]] y [[propiedad distributiva|distributiva]], es decir:

:<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math> (conmutativa)
:<math>\left( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right ) +\frac{e}{f} =\frac{a}{b}+\left ( \frac{c}{d} +\frac{e}{f} \right ) </math> (asociativa)
:<math> \frac{a}{b} \times \left ( \frac{c}{d} +\frac{e}{f} \right )= \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} +  \frac{a}{b} \times \frac{e}{f}</math> (distributiva).<ref name="Trejo_1"/>

Existen los [[elemento neutro|elementos neutros]] para la suma y producto. Para la suma, el ''cero'', denotado por 0, ya que <math>\tfrac{a}{b}+0= \tfrac{a}{b}</math> para cualquier <math>\tfrac{a}{b}</math>. Para el producto es el 1, que puede ser representado por <math>\tfrac{n}{n}= 1 </math>, con ''n'' distinto de 0, ya que <math>\tfrac{a}{b}\times 1 = \tfrac{a}{b}</math>.

Posee [[elemento simétrico|elementos simétricos]] para las operaciones de suma y producto. Así, el elemento simétrico respecto de la suma para cualquier número racional <math>\tfrac{a}{b} </math> es <math>-\tfrac{a}{b} </math>, llamado ''[[elemento opuesto]]'', puesto que <math>\tfrac{a}{b}+ (-\tfrac{a}{b})= 0 </math>. Lo mismo ocurre en el caso del elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional <math>q=\tfrac{a}{b}</math>, distinto de 0, existe <math>q^{-1}=\tfrac{b}{a}</math>, llamado ''[[inverso multiplicativo]]'' tal que <math> q\times q^{-1} = \tfrac{a}{b} \times \tfrac{b}{a} = 1 </math>.

El conjunto <math>\Q</math>, con las operaciones de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo conmutativo]], el [[cuerpo de cocientes]] de los enteros <math>\Z</math>.

Los racionales son el menor cuerpo con [[Característica (matemática)|característica]] nula. Cualquier otro cuerpo de característica nula contiene una copia de <math>\Q</math>.

La [[clausura algebraica]] de <math>\Q</math>, es el conjunto de los [[números algebraicos]].

Los racionales forman un [[dominio de factorización única]] ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: <math>q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n}</math> donde <math>p_i\in \mathbb{N}</math> son números enteros primos, <math>\alpha_i\in \mathbb{Z}</math> (siendo algunos de ellos negativos si ''q'' no es entero) y <math>u\in\{1,-1\}</math>. Por ejemplo <math>260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,</math>.

=== Conjuntistas ===
[[Archivo:Diagonal argument.svg|thumb|Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables ([[Georg Cantor]]).]]

El conjunto de los números racionales es [[conjunto numerable|numerable]], es decir que existe una biyección entre  <math>\N</math>  y  <math>\Q</math> (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los números reales no es numerable (la parte ''no-denombrable'' de los reales, la constituyen los [[números irracionales]]).

=== Topológicas ===

*El conjunto <math>\Q</math> forma un subconjunto [[conjunto denso|denso]] de los números reales <math>\R</math> [[Axiomas de los números reales|por construcción misma de <math>\R</math>]] (''propiedad arquimediana''): todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
*Poseen una expansión [[Conjunto finito|finita]] como [[fracción continua]] ''regular''.
*Con la [[topología del orden]], forman un [[anillo topológico]], o de [[grupo parcialmente ordenado]]; presentan una [[topología traza|topología inducida]]; también forman un [[espacio métrico]] con la métrica <math> d(x,y) = |x -y|</math>.
*Los racionales son un ejemplo de espacio que no es [[localmente compacto]].
*Se caracterizan topológicamente por ser el único [[Espacio métrico|espacio metrizable]] [[conjunto numerable|numerable]] sin [[Punto aislado|puntos aislados]] (también es [[totalmente discontinuo]]). Los números racionales no forman un [[espacio métrico completo]].

== Número ''p''-ádico ==
{{AP|Número p-ádico}}

Sea <math>p</math> un [[número primo]] y para todo entero no nulo <math>a</math>, sea <math>|a|_p=p^{-n}</math>  donde <math>p^n </math> es la mayor potencia de <math>p </math> [[divisor|que divide a]] <math>a</math>.

Si <math>|0|_p=0</math>  y para cada número racional <math>\frac{a}{b}</math> , <math>\left | \frac{a}{b}\right |_p=\frac{|a|_p}{|b|_p}</math> entonces la [[función multiplicativa]] <math>d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p</math> define una [[espacio métrico|métrica]] sobre <math>\Q</math>.

El espacio métrico <math>\left(\Q,d_p\right)</math> no es completo, su [[Espacio completo|completitud]] es el cuerpo de los [[Número p-ádico|números p-ádicos]] <math>\Q_p</math>. El [[teorema de Ostrowski]] asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre <math>\Q</math> es equivalente ya sea al [[valor absoluto]] usual, o al valor absoluto ''p''-ádico.<ref>Consultar Aritmética elemental de Enzo Gentile</ref>

Esto en representaciones algebraicas y no en representaciones aritméticas.

== Véase también ==
{{Clasificación números 01}}

==Notas y referencias==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro
 |apellido= Cárdenas
 |nombre= Raggi
 |título= Álgebra Superior
 |año= 1990
 |ubicación= México,&nbsp;D.&nbsp;F.
 |editorial= Trillas
 |isbn= 968-24-3783-0
| oclc = 7121505
}}
* {{springer|title=Rational Number|id=Rational_number&oldid=14864|apellido=Z.I. Borevich|nombre=I.R. Shafarevich|apellido2=C. Pisot|nombre2=M. Zamansky}}
* {{Mathworld|RationalNumber|RationalNumber}}

== Enlaces externos ==
{{wc}}
* [https://estadisticamente.com/numeros-racionales-y-numeros-irracionales/#Definicion_de_numero_racional Definición de número racional]. 

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numero racional}}
[[Categoría:Teoría de cuerpos]]
[[Categoría:Fracciones]]
[[Categoría:Números reales]]
[[Categoría:Matemática elemental]]
[[Categoría:Números racionales| ]]