Ver el código de «Números amigos»

{{Distinguir|los [[números amigables]]}}
[[Archivo:Amicable numbers rods 220 and 284.png|miniatura|Demostración con regletas de que (220 y 284) son ''números amigos'']]

Se denominan '''números amigos''' a dos [[números naturales]] diferentes relacionados de tal manera que la [[Adición (matemática)|suma]] de los [[divisibilidad|divisores]] propios de cada uno es igual al otro número. Es decir, σ(''a'')=''b'' y σ(''b'')=''a'', donde σ(''n'') es igual a la suma de los divisores propios de ''n'' (véase también la [[función divisor]]).

El par más pequeño de números amigos es (220, 284), y son amigos porque los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, de los cuales la suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, de los cuales la suma es 220 (un divisor propio de un número es un factor positivo de ese número que no sea el propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, pero no 6).

Los primeros diez pares de números amigos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) y (66928, 66992). {{OEIS|id=A259180}} (véase también {{OEIS|id=A002025}} y {{OEIS|id=A002046}}) Se desconoce si hay infinitos pares de números amigos.

Un par de números amigos constituye una [[sucesión alícuota]] de [[secuencia periódica|período]] 2. Un concepto relacionado es el de [[número perfecto]], que es un número que es igual a la suma de "sus" divisores propios, en otras palabras, un número que forma una secuencia alícuota de período 1. Los números que son miembros de una secuencia alícuota con un período mayor que 2 se conocen como [[números sociables]].

== Historia ==
{{no resuelto|matemática|¿Existen infinitas parejas de números amigos?}}

Los números amigos eran conocidos por los [[pitagóricos]], quienes les atribuían muchas propiedades místicas. El matemático iraquí [[Thábit ibn Qurra]] (826–901) inventó una fórmula general mediante la cual se podían hallar algunos de estos números alrededor del año 850. Otros matemáticos [[Pueblo árabe|árabes]] que estudiaron los números amigos fueron [[Maslama al-Mayriti|al-Majriti]] (fallecido en 1007), [[Abu Mansur al-Baghdadi|al-Baghdadi]] (980–1037) y [[Al-Farisi|al-Fārisī]] (1260–1320). El matemático iraní [[Muhammad Baqir Yazdi]] ({{siglo|XVI||s}}) descubrió el par (9363584, 9437056), aunque este logro a menudo se ha atribuido a [[René Descartes|Descartes]].<ref>{{cite journal|last= Costello|first= Patrick|title= New Amicable Pairs Of Type (2; 2) And Type (3; 2)|journal= Mathematics of Computation|volume= 72|pages= 489–497|date= 1 May 2002|url= https://www.ams.org/mcom/2003-72-241/S0025-5718-02-01414-X/S0025-5718-02-01414-X.pdf|access-date= 2007-04-19|issue=241|doi= 10.1090/S0025-5718-02-01414-X}}
</ref> Gran parte del trabajo de la [[matemática islámica]] en esta área ha sido olvidado.

La fórmula de Thābit ibn Qurra fue redescubierta por [[Pierre de Fermat|Fermat]] (1601–1665) y [[René Descartes|Descartes]] (1596–1650), a quienes a veces se les atribuye, y extendida por [[Leonhard Euler|Euler]] (1707–1783). Fue ampliada aún más por [[Walter Borho|Borho]] en 1972. Fermat y Descartes también redescubrieron pares de números amigos conocidos por los matemáticos árabes. Euler también descubrió docenas de nuevos pares.<ref name=Sandifer/> El segundo par más pequeño, (1184, 1210), fue descubierto en 1867 por B. Nicolò I. Paganini (que no debe confundirse con el compositor y violinista), de 16 años, después de haber sido pasado por alto por matemáticos anteriores.<ref>{{cite web|last=Sprugnoli|first=Renzo|title=Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media|url=http://www.dsi.unifi.it/~resp/media.pdf|publisher=Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica|access-date=2012-08-21|page=59|language=it|date=2005-09-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20120913033238/http://www.dsi.unifi.it/~resp/media.pdf|archive-date=2012-09-13}}</ref><ref>{{cite book|url=https://www.google.ca/books/edition/Mathematical_Magic_Show/kE0FEAAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq=Nicol%C3%B2+I.+Paganini+mathematician&pg=PA168&printsec=frontcover|page=168|author=[[Martin Gardner]]|title=Mathematical Magic Show|date=2020 (originalmente en 1977)|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=9781470463588}}</ref>

{|class="wikitable sortable"
|+ Los diez primeros pares de números amigos
|-
!''#''   !! ''m'' !! ''n''
|-
|1	||	220	||	284
|-				
|2	||	1184	||	1210
|-				
|3	||	2620	||	2924
|-				
|4	||	5020	||	5564
|-				
|5	||	6232	||	6368
|-				
|6	||	10 744	||	10 856
|-				
|7	||	12 285	||	14 595
|-				
|8	||	17 296	||	18 416
|-				
|9	||	63 020	||	76 084
|-				
|10	||	66 928	||	66 992
|}

Hacia 1946 había 390 pares conocidos, pero la llegada de las computadoras ha permitido el descubrimiento de muchos miles desde entonces. Se han realizado búsquedas exhaustivas para encontrar todos los pares por debajo de un límite dado, extendiéndose este límite desde 10<sup>8</sup> en 1970, hasta 10<sup>10</sup> en 1986, 10<sup>11</sup> en 1993, 10<sup>17</sup> en 2015 y hasta 10<sup>18</sup> en 2016.

{{A fecha de|2022|10}}, hay más de 1.227.366.104 parejas de números amigos conocidas.<ref>Sergei Chernykh [http://sech.me/ap/ Amicable pairs list]</ref>

== Reglas para la generación ==
Si bien estas reglas generan algunos pares de números amigos, se conocen muchos otros pares, por lo que estas reglas no son exhaustivas.

En particular, las dos reglas que figuran a continuación producen solo pares amigos pares, por lo que no son de interés para el problema abierto de encontrar pares amigos coprimos a 210 = 2·3·5·7, mientras que se conocen más de 1000 pares coprimos a 30 = 2·3·5 [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

=== Teorema de Thābit ibn Qurra ===
El '''teorema de Thābit ibn Qurra''' es un método para descubrir números amigos inventado en el {{siglo|IX||s}} por el [[matemático]] [[Pueblo árabe|árabe]] [[Thábit ibn Qurra]].<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ThabitibnKurrahRule.html|title= Thâbit ibn Kurrah Rule}}</ref>

Afirma que si
:{{math|''p'' {{=}} 3×2<sup>''n'' − 1</sup> − 1}},
:{{math|''q'' {{=}} 3×2<sup>''n''</sup> − 1}},
:{{math|''r'' {{=}} 9×2<sup>2''n'' − 1</sup> − 1}},
donde {{math|''n'' > 1}} es un [[número entero]] y {{mvar|p}}, {{mvar|q}} y {{mvar|r}} son [[números primos]], entonces {{math|2<sup>''n''</sup>×''p''×''q''}} y {{math|2<sup>''n''</sup>×''r''}} son un par de números amigos. Esta fórmula da los pares {{math|(220, 284)}} para {{math|''n'' {{=}} 2}}, {{math|(17296, 18416)}} para {{math|''n'' {{=}} 4}} y {{math|(9363584, 9437056)}} para {{math|''n'' {{=}} 7}}, pero no se conocen otros pares. Los números de la forma {{math|3×2<sup>''n''</sup> − 1}} se conocen como [[Número de Thabit|números de Thabit]]. Para que la fórmula de Ibn Qurra produzca un par amigo, dos números de Thabit consecutivos deben ser primos; esto restringe severamente los posibles valores de {{mvar|n}}.

Para establecer el teorema, Thâbit ibn Qurra demostró nueve [[Lema (matemáticas)|lemas]] divididos en dos grupos. Los tres primeros lemas tratan de la determinación de las partes alícuotas de un [[número natural]]. El segundo grupo de lemas trata más específicamente de la formación de números perfectos, abundantes y deficientes.<ref name="Rashed">{{cite book|last=Rashed|first=Roshdi|title=The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra.|publisher=Kluwer Academic Publishers|location=Dordrecht, Boston, London|year=1994|volume=156|isbn=978-0-7923-2565-9|page=278,279}}</ref>

=== Regla de Euler ===
La ''regla de Euler'' es una generalización del teorema de Thâbit ibn Qurra. Afirma que si
:{{math|''p'' {{=}} (2<sup>''n'' − ''m''</sup> + 1)×2<sup>''m''</sup> − 1}},
:{{math|''q'' {{=}} (2<sup>''n'' − ''m''</sup> + 1)×2<sup>''n''</sup> − 1}},
:{{math|''r'' {{=}} (2<sup>''n'' − ''m''</sup> + 1)<sup>2</sup>×2<sup>''m'' + ''n''</sup> − 1}},
donde {{math|''n'' > ''m'' > 0}} son [[números enteros]] y {{mvar|p}}, {{mvar|q}} y {{mvar|r}} son [[números primos]], entonces {{math|2<sup>''n''</sup>×''p''×''q''}} y {{math|2<sup>''n''</sup>×''r''}} son un par de números amigos. El teorema de Thābit ibn Qurra corresponde al caso {{math|''m'' {{=}} ''n'' − 1}}. La regla de Euler crea pares amigos adicionales para {{math|(''m'',''n'') {{=}} (1,8), (29,40)}} sin que se conozcan otros. Euler (1747 y 1750) en general encontró 58 pares nuevos, lo que aumentó el número de pares conocidos a 61.<ref name=Sandifer>{{cite book|title=How Euler Did It|last=Sandifer|first=C. Edward|isbn=978-0-88385-563-8|pages=49–55|year=2007|publisher=[[Mathematical Association of America]] }}</ref><ref>See [[William Dunham]] en un video: [https://www.youtube.com/watch?v=h-DV26x6n_Q&t=37m An Evening with Leonhard Euler – YouTube]</ref>

== Pares regulares ==
Sea ({{mvar|m}}, {{mvar|n}}) un par de números amigos con {{math|''m'' < ''n''}}. Denótese ahora {{math|''m'' {{=}} ''gM''}} y {{math|''n'' {{=}} ''gN''}} donde {{mvar|g}} es el [[máximo común divisor]] de {{mvar|m}} y {{mvar|n}}. Si {{mvar|M}} y {{mvar|N}} son ambos [[números coprimos]] a {{mvar|g}} y [[Entero libre de cuadrados|libres de cuadrados]] entonces se dice que el par ({{mvar|m}}, {{mvar|n}}) es '''regular''' {{OEIS|A215491}}; en caso contrario, se denomina '''irregular''' o '''exótico'''. Si ({{mvar|m}}, {{mvar|n}}) es regular y {{mvar|M}} y {{mvar|N}} tienen {{mvar|i}} y {{mvar|j}} factores primos respectivamente, entonces se dice que {{math|(''m'', ''n'')}} es de '''tipo''' {{math|(''i'', ''j'')}}.

Por ejemplo, con {{math|(''m'', ''n'') {{=}} (220, 284)}}, el máximo común divisor es {{math|4}} y, por lo tanto, {{math|''M'' {{=}} 55}} y {{math|''N'' {{=}} 71}}. Por lo tanto, {{math|(220, 284)}} es regular de tipo {{math|(2, 1)}}.

== Parejas de amigos gemelas ==
Una pareja de amigos {{math|(''m'', ''n'')}} es gemela de otra si no hay números enteros entre {{mvar|m}} y {{mvar|n}} pertenecientes a otra pareja amiga {{OEIS|A273259}}.

== Otros resultados ==
En todos los casos conocidos, los números de un par son ambos [[Números pares e impares|pares]] o ambos impares. No se sabe si existen parejas de números amigos formadas por un par y por un impar, pero si existe, el número par debe ser un número cuadrado o dos veces uno, y el número impar debe ser un número cuadrado. Sin embargo, existen números amigos en los que los dos miembros tienen diferentes factores primos más pequeños: se conocen siete pares de este tipo.<ref>{{Cite web|url=http://sech.me/ap/news.html#20160130|title=Amicable pairs news}}</ref> Además, cada par conocido comparte al menos un [[Divisibilidad|factor]] primo común. No se sabe si existe un par de números amigos que sean [[números coprimos]], aunque si los hay, el [[producto (matemáticas)|producto]] de los dos debe ser mayor que 10<sup>67</sup>. Además, un par de números amigos coprimos no puede generarse mediante la fórmula de Thabit (arriba), ni mediante ninguna fórmula similar.

En 1955, [[Paul Erdős]] demostró que la densidad de números amigos, en relación con los números enteros positivos, era 0.<ref>{{cite journal|last1=Erdős|first1=Paul|title=On amicable numbers|journal=Publicationes Mathematicae Debrecen|date=1955|volume=4|pages=108–111|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1955-03.pdf}}</ref>

En 1968, [[Martin Gardner]] observó que la mayoría de las parejas de amigos conocidas en su época tienen sumas divisibles por 9,<ref>{{Cite journal|last=Gardner|first=Martin|title=Mathematical Games|date=1968|url=https://www.jstor.org/stable/24926005|journal=Scientific American|volume=218|issue=3|pages=121–127|doi=10.1038/scientificamerican0368-121|jstor=24926005|bibcode=1968SciAm.218c.121G|issn=0036-8733}}</ref> y se obtuvo una regla para caracterizar las excepciones {{OEIS|A291550}}.<ref>{{Cite journal|last=Lee|first=Elvin|date=1969|title=On Divisibility by Nine of the Sums of Even Amicable Pairs|journal=Mathematics of Computation|volume=23|issue=107|pages=545–548|doi=10.2307/2004382|jstor=2004382|issn=0025-5718}}</ref>

De acuerdo con la conjetura de la suma de pares de amigos, a medida que el número de los números amigos se acerca al infinito, el porcentaje de las sumas de los pares amigos divisible por diez se acerca al 100 % {{OEIS|A291422}}.

Existen pares de amigos gaussianos.<ref>Patrick Costello, Ranthony A. C. Edmonds. "Gaussian Amicable Pairs." Missouri Journal of Mathematical Sciences, 30(2) 107-116 November 2018.</ref>

== Referencias en la cultura popular ==
* Los números amigos aparecen en la novela ''[[The Housekeeper and the Professor]]'' de [[Yōko Ogawa]] y en la película japonesa basada en ella.
* La colección de cuentos cortos de [[Paul Auster]] titulada ''Cuentos verdaderos de la vida estadounidense'' contiene una historia ('Afrodisíaco matemático' de Alex Galt) en la que los números amigos juegan un papel importante.
* Los números amigos aparecen brevemente en la novela ''The Stranger House'' de [[Reginald Hill]].
* Los números amigos se mencionan en la novela francesa ''[[El teorema del loro]]'' de [[Denis Guedj]].
* Los números amigos se mencionan en el JRPG ''[[Shin Megami Tensei: Persona 4]]''.
* Los números amigos aparecen en la novela visual ''[[Rewrite]]''.
* Los números amigos (220, 284) se mencionan en el episodio 13 del drama coreano ''Andante'' de 2017.
* Los números amigos aparecen en la película griega ''The Other Me''.
* Los números amigos se analizan en el libro de [[Brian Clegg (escritor)|Brian Clegg]] ''¿Son reales los números?''
* Los números amigos se mencionan en la novela de 2020 ''Apeirogon'' de [[Colum McCann]].

== Generalizaciones ==
=== Tuplas de amigos ===
Los números amigos <math>(m, n)</math> satisfacen que <math>\sigma(m)-m=n</math> y <math>\sigma(n)-n=m</math>, que se pueden escribir juntos como <math>\sigma(m)=\sigma(n)=m+n</math>. Esto se puede generalizar a tuplas más grandes, como por ejemplo <math>(n_1,n_2,\ldots,n_k)</math>, donde se requiere que

:<math>\sigma(n_1)=\sigma(n_2)= \dots=\sigma(n_k)= n_1+n_2+ \dots +n_k</math>

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es un [[triplete de números amigos]] {{OEIS|id=A125490}} y (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) es un {{OEIS|id=A036471}} cuádruplete de números amigos.

Los [[multiconjunto]]s de amigos se definen de manera análoga y generalizan este concepto un poco más {{OEIS|id=A259307}}.

=== Números sociables ===
{{AP|Números sociables}}

Los números sociables son los números en listas cíclicas de números (con una longitud superior a 2) donde cada número es la suma de los divisores propios del número anterior. Por ejemplo, <math>1264460 \mapsto 1547860 \mapsto 1727636 \mapsto 1305184 \mapsto 1264460 \mapsto\dots</math> son números sociables de orden 4.

==== Búsqueda de números sociables ====
Una [[sucesión alícuota]] se puede representar como un [[grafo dirigido]], <math>G_{n,s}</math>, para un número entero <math>n</math>, donde <math>s(k)</math> denota la suma de los divisores propios de <math>k</math>.<ref>{{citation|title=Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs|first1=Rodrigo Caetano|last1=Rocha|first2=Bhalchandra|last2=Thatte|year=2015|publisher=Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO)|doi=10.13140/RG.2.1.1233.8640}}</ref>
Los [[ciclo (teoría de grafos)|ciclos]] en <math>G_{n,s}</math> representan los [[números sociables]] dentro del intervalo <math>[1,n]</math>. Dos casos especiales son los bucles que representan a los [[número perfecto|números perfectos]] y ciclos de longitud dos que representan a números amigos.

== Véase también ==
* [[Números prometidos]] (números cuasi-amigos)
* [[Triplete de números amigos]] - Variación de tres números de los números amigos.

== Referencias ==
{{reflist}}

== Bibliografía ==
{{Wikisource1911Enc|Amicable Numbers}}
* {{EB1911|wstitle=Amicable Numbers}}
* {{cite book|last1=Sándor|first1=Jozsef|last2=Crstici|first2=Borislav|title=Handbook of number theory II|location=Dordrecht|publisher=Kluwer Academic|year=2004|isbn=978-1-4020-2546-4|pages=32–36|zbl=1079.11001  }}
* {{cite book|last=Wells|first=D.|year=1987|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|pages=145–147|location=London|publisher=[[Penguin Group]]}}
* {{MathWorld|title=Amicable Pair|urlname=AmicablePair}}
* {{MathWorld|title=Thâbit ibn Kurrah Rule|urlname=ThabitibnKurrahRule|author=Weisstein, Eric W.}}
* {{MathWorld|title=Euler's Rule|urlname=EulersRule|author=Weisstein, Eric W.}}

== Enlaces externos ==
* {{wikilibros|nombre = Implementación de algoritmos de teoría de números/Números amigos|etiqueta = números amigos|objeto = un libro o manual sobre|preposición = |idioma =}}
* {{cite journal|author1=M. García|author2=J.M. Pedersen|author3=H.J.J. te Riele|title=Amicable pairs, a survey|journal=Report MAS-R0307|date=2003-07-31|url=http://oai.cwi.nl/oai/asset/4143/04143D.pdf}}
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=220 and 284 (Amicable Numbers)|url=http://www.numberphile.com/videos/220_284.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20170716184637/http://www.numberphile.com/videos/220_284.html|archive-date=2017-07-16}}
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=MegaFavNumbers - The Even Amicable Numbers Conjecture|url=https://www.youtube.com/watch?v=R2eQVqdUQLI|archive-url=https://web.archive.org/web/20220925113302/https://www.youtube.com/watch?v=R2eQVqdUQLI|archive-date=25 de septiembre de 2022|work=YouTube|access-date=2020-06-09|deadurl=}}{{cbignore}}
* {{cite web|last=Koutsoukou-Argyraki|first=Angeliki|title=Amicable Numbers (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)|url=https://www.isa-afp.org/entries/Amicable_Numbers.html}}

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numeros amigos}}
[[Categoría:Teoría de números elemental]]
[[Categoría:Sucesiones de números enteros|Amigos]]
[[Categoría:Función divisor]]