Ver el código de «N-elipse»

{{Título en minúscula}}
[[File:N-ellipse.svg|thumb|right|300px|Ejemplos de n-elipses con 3 focos dados. La progresión de las distancias no es lineal.]]

En [[geometría]], la '''''n''-elipse''' es una generalización de la [[elipse]] que permite más de dos focos.<ref name=Sekino/> Las ''n''-elipses se conocen por otros muchos nombres, como '''elipse multifocal''',<ref name=erdos/> '''polielipse''',<ref name=Melzak/> '''ovoelipse''',<ref name=Sahadevan/> '''''k''-elipse''',<ref name=NPS/> y '''óvalo de Tschirnhaus''' (en referencia a [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus]]). Fueron investigadas en primer lugar por [[James Clerk Maxwell]] en 1846.<ref name=Maxwell/>

Dados ''n'' puntos (''u''<sub>''i''</sub>, ''v''<sub>''i''</sub>) (llamados [[Foco (geometría)|focos]]) en un plano, una ''n''-elipse es el [[lugar geométrico]] de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a los ''n'' focos es una constante ''d''. En fórmulas, este conjunto tiene la forma

: <math>\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^2: \sum_{i=1}^n \sqrt{(x-u_i)^2 + (y-v_i)^2} = d\right\}.</math>

La 1-elipse es la [[circunferencia]]. La 2-elipse es la elipse clásica. Ambas son [[curva algebraica|curvas algebraicas]] de [[Grado (polinomio)|grado]]&nbsp;2.

Para cualquier número ''n'' de focos, la ''n''-elipse es una curva [[Curva|cerrada]] y [[convexidad|convexa]].<ref name=erdos>{{cite journal|first1=Paul|last1=Erdős|author-link1=Paul Erdős|first2=István|last2=Vincze|author-link2=István Vincze (mathematician)|title=On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses|journal=Journal of Applied Probability|date=1982|volume=19|pages=89–96|jstor=3213552|url=http://renyi.mta.hu/~p_erdos/1982-18.pdf|accessdate=22 de febrero de 2015|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160928200222/http://renyi.mta.hu/~p_erdos/1982-18.pdf|fechaarchivo=28 de septiembre de 2016}}</ref>{{rp|(p. 90)}} La curva es [[Función continuamente diferenciable|suave]] a menos que atraviese un foco.<ref name=NPS/>{{rp|p.7}}

La ''n''-elipse es en general un subconjunto de puntos que satisfacen una [[ecuación algebraica]]<ref name=NPS/>{{rp|Figs. 2 y 4; p. 7}} particular. Si ''n'' es impar, el grado algebraico de la curva es <math>2^n</math>, mientras que si ''n'' es par  el grado es <math>2^n - \binom{n}{n/2}</math>.<ref name=NPS>J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "[http://math.ucsd.edu/~njw/PUBLICPAPERS/kellipse_imaproc_toappear.pdf J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in ''Algorithms in Algebraic Geometry'', I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132]</ref>{{rp|(Thm. 1.1)}}

==Véase también==
* [[Cónica generalizada]]

==Referencias==
{{listaref|2|refs=
<ref name=Melzak>Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", ''Q. of Appl. Math.'', pages 239–255, 1977.</ref>
<ref name=Sahadevan>P.V. Sahadevan (1987): "The theory of egglipse—a new curve with three focal points", ''International Journal of Mathematical Education in Science and Technology'' 18 (1987), 29–39. {{MR|872599}}; {{Zbl|613.51030}}.</ref>
<ref name=Sekino>J. Sekino (1999): "''n''-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", ''American Mathematical Monthly'' 106 #3 (March 1999), 193–202. {{MR|1682340}}; {{Zbl|986.51040}}.</ref>
<ref name=Maxwell>[[James Clerk Maxwell]] (1846): "[https://books.google.com/books?id=zfM8AAAAIAAJ&pg=PA35&lpg=PA35 Paper on the Description of Oval Curves], Feb 1846, from ''The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862''</ref>
}}

==Lecturas adicionales==
*P.L. Rosin: "[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.159.9549 On the Construction of Ovals]"
*B. Sturmfels: "[http://www.aimath.org/WWN/convexalggeom/AIM.pdf The Geometry of Semidefinite Programming]", pp.&nbsp;9–16.

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[[Categoría:Secciones cónicas]]
[[Categoría:Curvas algebraicas]]