Ver el código de «Nabla»

[[File:Nabla-symbol.svg|mini|250px|El símbolo nabla]]

En [[geometría diferencial]], '''nabla''' (también llamado '''del''') es un [[operador diferencial]] vectorial representado por el símbolo: <math>\nabla</math> ([[símbolo nabla|nabla]]). 

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:
:<math>\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.</math>

siendo <math>\hat x</math>, <math>\hat y</math> y <math>\hat z</math> los [[vector unitario|vectores unitarios]] en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por <math>\hat \imath</math>,
<math>\hat \jmath</math>, <math>\hat k</math>.

== Simbología ==
{{AP|Símbolo nabla}}
[[Archivo:Harp.png|right|thumb|150px|El [[arpa]], el instrumento que da nombre al [[símbolo nabla]]]]

El nombre del símbolo ∇ proviene de la palabra [[Idioma griego|griega]] equivalente a la palabra [[idioma hebreo|hebrea]] [[arpa]], [[instrumento musical]] que tiene una forma similar. Hay palabras relacionadas en los lenguajes [[Lenguas arameas|arameo]] y hebreo. El símbolo fue usado por primera vez por [[William Rowan Hamilton]], pero de forma lateral: '''◁'''. Otro nombre menos conocido del símbolo es ''atled'' (''delta'' deletreado al revés), porque nabla es una [[Δ|letra griega delta (Δ)]] invertida: en el griego actual se la llama ανάδελτα (''anádelta''), que significa "delta invertida".

En [[HTML]] se escribe <code>&amp;nabla;</code> y en [[LaTeX]] como <code>\nabla</code>. En [[Unicode]], es el carácter U+2207, o 8711 en notación [[sistema de numeración decimal|decimal]].

== Expresiones del operador nabla ==
=== Expresión en sistemas de coordenadas no-cartesianas ===
Cuando se emplean [[Sistema de coordenadas|sistemas de coordenadas]] diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse. En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las [[coordenadas cilíndricas|cilíndricas]] y las [[coordenadas esféricas|esféricas]], en la expresión aparecen los [[factores de escala]]:

:<math>\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + 
\frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+
\frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}</math>

En particular, para [[coordenadas cilíndricas]] (<math>h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho</math>) resulta

:<math>
\nabla = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}
</math>

y para [[coordenadas esféricas]] (<math>h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta</math>)

:<math>
\nabla = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}
</math>

==Definiciones alternativas==

=== Definición intrínseca ===
Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la [[Divergencia (matemática)|divergencia]]:
{{ecuación|
<math> \nabla\star A = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint A \star d\vec S
</math>}}
En la expresión anterior <math>\star</math> representa un producto arbitrario ([[producto escalar|escalar]], [[producto vectorial|vectorial]], [[producto tensorial|tensorial]] o por un escalar) y <math>A</math> es un [[campo escalar]], [[campo vectorial|vectorial]] o [[campo tensorial|tensorial]]. <math>\Delta V</math> es un [[volumen]] diferencial que en el [[Límite matemático|límite]] se reduce a un [[punto (geometría)|punto]]. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el [[gradiente]], la [[Divergencia (matemática)|divergencia]], el [[rotacional]] y otros [[operador]]es sin nombre propio.

=== Relación con la derivada covariante ===

El operador nabla también se aplica a variedades diferenciables. 

Dada una [[variedad diferenciable]] dotada de una [[Conexión (matemática)|conexión]] que dé lugar a una [[derivada covariante]], se define el operador nabla como la aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o [[forma diferencial|0-formas]] al conjunto de [[forma diferencial|1-formas]] de dicha variedad. Fijado un sistema local de coordenadas, se expresa como:

:<math>
\nabla f = \sum_{\alpha} f_{;\alpha} dx^\alpha
</math>

La derivada covariante sube el orden del [[tensor]] al que se le aplica. Por ejemplo para un campo vectorial <math>\vec{v}</math> en tres dimensiones su derivada covariante sería un tensor de segundo orden de 9 componentes (una matriz 3×3)

La derivada covariante puede representarse en este contexto como <math>\nabla \otimes \vec{v}</math>, donde <math>\otimes</math> representa el [[producto exterior|producto diádico]]. 

Con esto ante pequeños desplazamientos el vector cambiaría según: <math> \delta \vec{v} = (\nabla \otimes \vec{v}) \sdot \delta \vec{r} </math>

=== Relación con la diferencial exterior ===

Todas las expresiones que involucran el operador nabla del cálculo vectorial en <math>\mathbb{R}^3</math> puede ser expresadas en términos de [[diferencial exterior]] de una [[forma diferencial|''n''-forma]] ''n'' < 3 sobre <math>\mathbb{R}^3</math>:
* El gradiente de una función se asocia con la diferencial exterior de una 0-forma.
* El rotacional de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 1-forma.
* La divergencia de un campo vectorial se asocia con la diferencial exterior de una 2-forma.

Una función es una 0-forma sobre el espacio euclidiano, su '''gradiente''' es:
{{ecuación|
<math>\nabla f = (df)^\sharp, \qquad (\nabla f)^i = g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^j}</math>
||left}}
donde <math>g^{ij}</math> son las componentes del inverso del tensor métrico en las coordenadas <math>\{x^j\}</math>, obviamente en coordenadas cartesianas <math>g^{ij} = \delta_i^j</math>.

El '''rotacional''' de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 1-forma.
{{ecuación|
<math>\nabla \times \mathbf{A} = *(d(\mathbf{A}^\flat)), \qquad
(\nabla \times \mathbf{A})^i = \epsilon^{ijk} \frac{\partial}{\partial x^j}(g_{kl}A^l)
</math>
||left}}
donde <math>*</math> es el [[dual de Hodge|operador dual de Hodge]] y <math>g_{ij}</math> son las componentes del tensor métrico en las coordenadas <math>\{x^j\}</math>.

La '''divergencia''' de un campo vectorial puede asociarse con la diferencial exterior de una 2-forma.
{{ecuación|
<math>\nabla \cdot \mathbf{A} = *d(*(\mathbf{A}^\flat)), \qquad
(\nabla \cdot \mathbf{A})^i = \frac{1}{2}\epsilon^{mjk} \frac{\partial}{\partial x^m}
(\epsilon_{ijk} g_{il}A^l)
</math>
||left}}

El '''laplaciano''' de una función se puede asociar con la aplicación de dos diferenciales exteriores alternadas con dos operaciones duales de Hodge:
{{ecuación|
<math>\Delta f = *d(*df), \qquad
\Delta\mathbf{A} = *d(*d\mathbf{A}^\flat)</math>
||left}}

== Aplicaciones del operador nabla ==
Este operador puede aplicarse a [[campo escalar|campos escalares]] (Φ) o a [[campo vectorial|campos vectoriales]] '''F''', dando: 
<blockquote>
{|
|• [[Gradiente]]:   || <math>\nabla \phi</math>
|-
|• [[Divergencia (matemática)|Divergencia]]: || <math>\nabla \cdot \vec{F}</math>
|-
|• [[Rotacional]]:       || <math>\nabla \times \vec{F}</math>
|-
|• [[Laplaciano]]:  
| <math>\nabla^2 \phi = \Delta \phi  </math>
|}
</blockquote>

== Álgebra del operador ∇ ==
Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un [[multiplicación|producto]]. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las [[fórmula (expresión)|fórmulas]] más importantes son:

:<math>\nabla(\phi\psi) = (\nabla\phi)\psi + \phi(\nabla\psi)</math>

:<math>\nabla\cdot(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\cdot \vec A + \phi(\nabla\cdot \vec A)</math>

:<math>\nabla\times(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\times \vec A + \phi(\nabla\times \vec A)</math>

:<math>\nabla(\vec A\cdot \vec B) = \vec B\times(\nabla\times\vec A) + \vec A\times(\nabla\times\vec B) + (\vec B\cdot\nabla)\vec A + (\vec A\cdot\nabla)\vec B</math>

:<math>\nabla\cdot(\vec A\times \vec B) = (\nabla\times\vec A)\cdot\vec B - (\nabla\times \vec B)\cdot\vec A</math>

:<math>\nabla\times(\vec A\times \vec B) = (\nabla\cdot\vec B)\vec A + (\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\nabla\cdot\vec A)\vec B - (\vec A\cdot\nabla)\vec B</math>

== Véase también ==
* [[Ecuaciones de Maxwell]]
* [[Anexo:Tabla en coordenadas cilíndricas y esféricas|Nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas]]
* [[Anexo:Tabla de símbolos matemáticos|Tabla de símbolos matemáticos]]

== Bibliografía ==
* Historia del símbolo Nabla: "[http://resistencianumantina.blogspot.com/2011/04/nabla-no-es-una-letra-griega.html Nabla no es una letra griega]"
* Cleve Moler, ed., "[http://www.netlib.org/na-digest-html/98/v98n03.html#2 History of Nabla]", ''NA Digest'' '''98''' (Jan. 26, 1998).

== Bibliografía avanzada ==
* ''Div, Grad, Curl, and All That'', H. M. Schey, ISBN 0-393-96997-5

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