Ver el código de «Notación de Coxeter»

{|class="wikitable floatright" width=360
|+ Dominios fundamentales<br />de los grupos de puntos de reflexión 3D
|- align=center
!{{DCD|node}}, {{math|1=[ ]= [1]<br />C<sub>1v</sub>}}
!{{DCD|node|2|node}}, {{math|[2]<br />C<sub>2v</sub>}}
!{{DCD|node|3|node}}, {{math|[3]<br />C<sub>3v</sub>}}
!{{DCD|node|4|node}}, {{math|[4]<br />C<sub>4v</sub>}}
!{{DCD|node|5|node}}, {{math|[5]<br />C<sub>5v</sub>}}
!{{DCD|node|6|node}}, {{math|[6]<br />C<sub>6v</sub>}}
|- align=center
|[[Archivo:Spherical digonal hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 2
|[[Archivo:Spherical square hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 4
|[[Archivo:Spherical hexagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 6
|[[Archivo:Spherical octagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 8
|[[Archivo:Spherical decagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 10
|[[Archivo:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|60px]]<br />Orden 12
|- align=center
!{{DCD|node|2|node}}<br />{{math|1=[2]= [2,1]<br />D<sub>1h</sub>}}
!{{DCD|node|2|node|2|node}}<br />{{math|[2,2]<br />D<sub>2h</sub>}}
!{{DCD|node|2|node|3|node}}<br />{{math|[2,3]<br />D<sub>3h</sub>}}
!{{DCD|node|2|node|4|node}}<br />{{math|[2,4]<br />D<sub>4h</sub>}}
!{{DCD|node|2|node|5|node}}<br />{{math|[2,5]<br />D<sub>5h</sub>}}
!{{DCD|node|2|node|6|node}}<br />{{math|[2,6]<br />D<sub>6h</sub>}}
|- align=center
|[[Archivo:Spherical digonal bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 4
|[[Archivo:Spherical square bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 8
|[[Archivo:Spherical hexagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 12
|[[Archivo:Spherical octagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 16
|[[Archivo:Spherical decagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 20
|[[Archivo:Spherical dodecagonal bipyramid.svg|60px]]<br />Orden 24
|- 
!colspan=2|{{DCD|node|3|node|3|node}}, {{math|[3,3], [[Simetría tetraédrica|T<sub>d</sub>]]}}
!colspan=2|{{DCD|node|4|node|3|node}}, {{math|[4,3], [[Simetría octaédrica|O<sub>h</sub>]]}}
!colspan=2|{{DCD|node|5|node|3|node}}, {{math|[5,3], [[Simetría icosaédrica|I<sub>h</sub>]]}}
|- align=center
|colspan=2|[[Archivo:Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png|120px]]<br />Order 24
|colspan=2|[[Archivo:Spherical_disdyakis_dodecahedron-3and1-color.png|120px]]<br />Order 48
|colspan=2|[[Archivo:Spherical compound of five octahedra.png|120px]]<br />Order 120
|-
|colspan=6|La notación de Coxeter expresa el [[grupo de Coxeter]] como una lista de órdenes de ramas de un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]], como [[grupo poliédrico]], {{math|1={{DCD|node|p|node|q|node}}= [p,q]}}. Los [[Simetría diédrica en tres dimensiones|grupos diédricos]], {{DCD|node|2|node|n|node}}, se pueden expresar como un producto {{math|[ ]×[''n'']}} o en un solo símbolo con una rama explícita de orden 2, {{math|[2,''n'']}}.
|}

En [[geometría]], la '''notación de Coxeter''' (de la que forman parte los '''símbolos de Coxeter''') es un sistema de clasificación de [[grupo de simetría|grupos de simetría]], que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un [[grupo de Coxeter]] mediante una notación entre corchetes que expresa la estructura de un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]], con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de [[Harold Scott MacDonald Coxeter]] y fue definida de manera más completa por [[Norman Johnson]].

==Grupos reflexivos==
{{VT|Grupo puntual}}

Para los [[grupo de Coxeter|grupos de Coxeter]], definidos exclusivamente con operaciones de reflexión, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y los [[diagrama de Coxeter-Dynkin|diagramas de Coxeter-Dynkin]]. Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2s entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así que el grupo ''A''<sub>''n''</sub> está representado por [3<sup>''n''−1</sup>], lo que implica ''n'' nodos conectados por ''n-1'' ramas de orden 3. El ejemplo ''A''<sub>2</sub> = [3,3] = [3<sup>2</sup>] o [3<sup>1,1</sup>] representa los diagramas {{DCD|node|3|node|3|node}} o {{DCD|node|split1|nodes}}.

Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con los números situados verticalmente, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3<sup>p,q</sup>] o [3<sup>p,q,r</sup>], comenzando con [3<sup>1,1,1</sup>] o [3,3<sup>1,1</sup>] = {{DCD|node|splitsplit1|branch3|node}} o {{DCD|node|3|node|split1|nodes}} como D<sub>4</sub>. Coxeter permitió el uso de ceros como casos especiales para ajustarse a la familia ''A''<sub>''n''</sub>, como ''A''<sub>3</sub> = [3,3,3,3] = [3<sup>4,0,0</sup>] = [3<sup>4,0</sup>] = [3<sup>3,1</sup>] = [3<sup>2,2</sup>], como {{DCD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}} = {{DCD|node|split1|nodes|3a|nodea|3a|nodea}} = {{DCD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}.

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = {{DCD|pqr}} para el [[grupo triangular]] (p q r). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente según la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3<sup>[4]</sup>], que representa el diagrama de Coxeter {{DCD|node|split1|nodes|split2|node}} o {{DCD|branch|3ab|branch}}. {{DCD|node|3|node|split1|branch}} se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3<sup>[3]</sup>].

Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar utilizando la notación con cuidado. El [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|grupo de Coxeter paracompacto]] {{DCD|node|split1|branch|split2|node}} se puede representar mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles adyacentes [(3,3,3)], y también se representa de forma más compacta como [3<sup>[&nbsp;]×[&nbsp;]</sup>], que representa el diagrama de Coxeter de la [[Rombo|simetría rómbica]]. El diagrama de gráfico completo paracompacto {{DCD|tet}} o {{DCD|branch|splitcross|branch}}, se representa como [3<sup>[3,3]</sup>] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de Coxeter de un [[tetraedro]].

El diagrama de Coxeter normalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación de paréntesis incluye un '''2''' explícito para conectar los subgráficos. Entonces, el diagrama de Coxeter {{DCD|node|3|node|2|node|3|node}} = ''A''<sub>2</sub>×''A''<sub>2</sub> = 2''A''<sub>2</sub> se puede representar mediante [3]×[3] = [3]<sup>2</sup> = [3,2,3 ]. A veces, las 2 ramas explícitas pueden incluirse con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio: {{DCD|node|3|node|2x|node|3|node}} o {{DCD|node|3|node|3|2c|3|node|3|node}}, como una presentación idéntica a [3,2,3].

{|
|- valign=top
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grupos finitos
|-
! Rango||Símbolo<br />del grupo
! Notación<br />de corchetes
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />de Coxeter]]
|-
|2||''A''<sub>2</sub> 
||[3]||{{DCD|node|3|node}}
|-
|2||''B''<sub>2</sub>
||[4]||{{DCD|node|4|node}}
|-
|2||''H''<sub>2</sub> 
||[5]||{{DCD|node|5|node}}
|-
|2||''G''<sub>2</sub>
||[6]||{{DCD|node|6|node}}
|-
|2||''I''<sub>2</sub>(''p'') 
||[p]||{{DCD|node|p|node}}
|-
|3||[[Simetría icosaédrica|I<sub>h</sub>]], ''H''<sub>3</sub> 
||[5,3]||{{DCD|node|5|node|3|node}}
|-
|3||[[Simetría tetraédrica|T<sub>d</sub>]], ''A''<sub>3</sub> 
||[3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node}}
|-
|3||[[Simetría octaédrica|O<sub>h</sub>]], ''B''<sub>3</sub>
||[4,3]||{{DCD|node|4|node|3|node}}
|-
|4||''A''<sub>4</sub> 
||[3,3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
|4||''B''<sub>4</sub>
||[4,3,3]||{{DCD|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
|4||''D''<sub>4</sub> 
||[3<sup>1,1,1</sup>]||{{DCD|nodes|split2|node|3|node}}
|-
|4||[[F4 (matemáticas)|''F''<sub>4</sub>]]
||[3,4,3]||{{DCD|node|3|node|4|node|3|node}}
|-
|4||''H''<sub>4</sub> 
||[5,3,3]||{{DCD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
|''n''||''A''<sub>''n''</sub> 
||[3<sup>''n''−1</sup>]||{{DCD|node|3|node|3}}..{{DCD|3|node|3|node}}
|-
|''n''||''B''<sub>''n''</sub>
||[4,3<sup>''n''−2</sup>]||{{DCD|node|4|node|3}}...{{DCD|3|node|3|node}}
|-
|''n''||''D''<sub>''n''</sub> 
||[3<sup>n−3,1,1</sup>]||{{DCD|nodes|split2|node|3}}...{{DCD|3|node|3|node}}
|-
|6||[[E6 (matemáticas)|''E''<sub>6</sub>]]
||[3<sup>2,2,1</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
|7||[[E7 (matemáticas)|''E''<sub>7</sub>]]
||[3<sup>3,2,1</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
|8||[[E8 (matemáticas)|''E''<sub>8</sub>]]
||[3<sup>4,2,1</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grupos afines
|-
! Símbolo<br />del grupo
! Notación<br />de corchetes
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />de Coxeter]]
|-
|<math>{\tilde{I}}_1, {\tilde{A}}_1</math>
||[∞]||{{DCD|node|infin|node}}
|-
|<math>{\tilde{A}}_2</math> 
||[3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node|split1|branch}}
|-
|<math>{\tilde{C}}_2</math> 
||[4,4]||{{DCD|node|4|node|4|node}}
|-
|<math>{\tilde{G}}_2</math> 
||[6,3]||{{DCD|node|6|node|3|node}}
|-
|<math>{\tilde{A}}_3</math> 
||[3<sup>[4]</sup>]||{{DCD|node|split1|nodes|split2|node}}
|-
|<math>{\tilde{B}}_3</math> 
||[4,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|4|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\tilde{C}}_3</math> 
||[4,3,4]||{{DCD|node|4|node|3|node|4|node}}
|-
|<math>{\tilde{A}}_4</math> 
||[3<sup>[5]</sup>]||{{DCD|node|split1|nodes|3ab|branch}}
|-
|<math>{\tilde{B}}_4</math> 
||[4,3,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|4|node|3|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\tilde{C}}_4</math> 
||[4,3,3,4]||{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|-
|<math>{\tilde{D}}_4</math> 
||[ 3<sup>1,1,1,1</sup>]||{{DCD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\tilde{F}}_4</math> 
||[3,4,3,3]||{{DCD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|-
|<math>{\tilde{A}}_n</math> 
||[3<sup>[n+1]</sup>]||{{DCD|node|split1|nodes|3ab}}...{{DCD|3ab|nodes|3ab|branch}}<br />or<br />{{DCD|branch|3ab|nodes|3ab}}...{{DCD|3ab|nodes|3ab|branch}}
|-
|<math>{\tilde{B}}_n</math> 
||[4,3<sup>n−3</sup>,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|4|node|3|node|3}}...{{DCD|3|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\tilde{C}}_n</math> 
||[4,3<sup>n−2</sup>,4]||{{DCD|node|4|node|3|node|3}}...{{DCD|3|node|4|node}}
|-
|<math>{\tilde{D}}_n</math> 
||[ 3<sup>1,1</sup>,3<sup>n−4</sup>,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|nodes|split2|node|3|node|3}}...{{DCD|3|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\tilde{E}}_6</math> 
||[3<sup>2,2,2</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branchbranch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
|<math>{\tilde{E}}_7</math> 
||[3<sup>3,3,1</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
|<math>{\tilde{E}}_8=E_9</math> 
||[3<sup>5,2,1</sup>]||{{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Grupos hiperbólicos
|-
! Símbolo<br />del grupo
! Notación<br />de corchetes
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama<br />de Coxeter]]
|-
|||[p,q]<br />con {{nowrap|2(p + q) < pq}}||{{DCD|node|p|node|q|node}}
|-
|||[(p,q,r)]<br />con <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} < 1</math>||{{DCD|pqr}}
|-
|<math>{\overline{BH}}_3</math>||[4,3,5]||{{DCD|node|4|node|3|node|5|node}}
|-
|<math>{\overline{K}}_3</math>||[5,3,5]||{{DCD|node|5|node|3|node|5|node}}
|-
|<math>{\overline{J}}_3, \tilde{H}_3</math>||[3,5,3]||{{DCD|node|3|node|5|node|3|node}}
|-
|<math>{\overline{DH}}_3</math>||[5,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|5|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\widehat{AB}}_3</math>||[(3,3,3,4)]||{{DCD|label4|branch|3ab|branch}}&nbsp;
|-
|<math>{\widehat{AH}}_3</math>||[(3,3,3,5)]||{{DCD|label5|branch|3ab|branch}}&nbsp;
|-
|<math>{\widehat{BB}}_3</math>||[(3,4,3,4)]||{{DCD|label4|branch|3ab|branch|label4}}
|-
|<math>{\widehat{BH}}_3</math>||[(3,4,3,5)]||{{DCD|label4|branch|3ab|branch|label5}}
|-
|<math>{\widehat{HH}}_3</math>||[(3,5,3,5)]||{{DCD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
|<math>{\overline{H}}_4, \tilde{H}_4, H_5</math>||[3,3,3,5]||{{DCD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
|<math>{\overline{BH}}_4</math>||[4,3,3,5]||{{DCD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
|<math>{\overline{K}}_4</math>||[5,3,3,5]||{{DCD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
|-
|<math>{\overline{DH}}_4</math>||[5,3,3<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
|-
|<math>{\widehat{AF}}_4</math>||[(3,3,3,3,4)]||{{DCD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}
|}

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.

==Subgrupos==
La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice '''<sup>+</sup>''' fuera de los corchetes, [X]<sup>+</sup> que corta el orden del grupo [X] a la mitad, resultando por lo tanto un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina '''subgrupo directo''' porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.

Los operadores '''<sup>+</sup>''' también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y<sup>+</sup>] o [X,(Y,Z)<sup>+</sup>], con lo que se crean subgrupos '''"semidirectos"''' que pueden incluir generadores de reflexión y no de reflexión. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a los subgrupos de grupos de Coxeter que tienen ramas de orden pares adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice '''<sup>+</sup>''', que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3<sup>+</sup>] y [4,(3,3)<sup>+</sup>] ({{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}).

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1<sup>+</sup>] = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente recubiertos como la [[estrella pentagonal]], 5 /2, y [5,3<sup>+</sup>] se relaciona con el [[triángulo de Schwarz]] [5/2,3], de [[Densidad (politopo)|densidad]] 2.

{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Ejemplos de grupos de rango 2
!colspan=2|Grupo||Orden||Generadores||colspan=2|Subgrupo||Orden||Generadores||Notas
|-
||[''p'']||{{DCD|node_n0|p|node_n1}}||2''p''||{0,1}||[''p'']<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{01}||rowspan=2|Subgrupo directo
|-
||[2''p''<sup>+</sup>]= [2''p'']<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h2}}||2''p''||{01}||[2''p''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [2''p'']<sup>+2</sup>= [''p'']<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{0101}
|-
|rowspan=3|[2''p'']
|rowspan=3|{{DCD|node_n0|2x|p|node_n1}}
|rowspan=3|4''p''
|rowspan=3|{0,1}||[1<sup>+</sup>,2''p'']= [''p'']||{{DCD|node_h0|2x|p|node}}= {{DCD|node_h2|2x|p|node}}= {{DCD|node|p|node}}||rowspan=2|2''p''||{101,1}||rowspan=2|Semi subgrupos
|-
||[2''p'',1<sup>+</sup>]= [''p'']||{{DCD|node|2x|p|node_h0}}= {{DCD|node|2x|p|node_h2}}= {{DCD|node|p|node}}||{0,010}
|-
||[1<sup>+</sup>,2''p'',1<sup>+</sup>]= [2''p'']<sup>+2</sup>= [''p'']<sup>+</sup>||{{DCD|node_h0|2x|p|node_h0}}= {{DCD|node_h2|2c|2x|p|2c|node_h2}}= {{DCD|node_h2|p|node_h2}}||''p''||{0101}||Cuartos de grupo
|}

Los grupos sin elementos vecinos '''<sup>+</sup>''' se pueden ver en los nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para [[politopo uniforme|politopos uniformes]] y panales está relacionado con los nodos ''agujero'' y con los elementos '''<sup>+</sup>''', en forma de círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Por ejemplo, el [[cubo romo]], {{DCD|node_h|4|node_h|3|node_h}} tiene simetría [4,3]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}), el [[icosaedro]], {{DCD|node|4|node_h|3|node_h}} tiene simetría [4,3<sup>+</sup>] ({{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2}}), y un [[tetraedro]], h4,3 = 3,3 ({{DCD|node_h|4|node|3|node}} o {{DCD|nodes_10ru|split2|node}} = {{DCD|node_1|3|node|3|node}}) tiene simetría [1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3] ({{DCD|node_h2|4|node|3|node}} o {{DCD|node_h0|4|node|3|node}} = {{DCD|nodes|split2|node}} = {{DCD|node|3|node|3|node}}).

Nota: La [[simetría tetraédrica]] {{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2}} se puede escribir como {{DCD|node|4|2c|node_h2|3|node_h2}}, separando el gráfico con espacios para una mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}, produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como {{DCD|node_h0|4|node_h2|3|node_h2}} o {{DCD|node_h2|2c|4|node_h2|3|node_h2}}, [1<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>] = [3,3]<sup>+</sup>, con generadores 12,0120.

===Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos===
{{VT|#Simetría extendida}}
{|class="wikitable floatright" style="line-height:110%;"
|+ Ejemplo de operaciones<br />de reducción a la mitad
|-
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 4.png|150px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 half1.png|150px]]
|- align=center
|{{DCD|node_c1|4|node_c3}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>]= [4]
|{{DCD|node_h0|4|node_c3}}= {{DCD|node_c3|2x|node_c3}}= {{DCD|node_c3|2|node_c3}}<br />[1<sup>+</sup>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>]=[2]=[&nbsp;]×[&nbsp;]
|-
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 half2.png|150px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 4 half.png|150px]]
|- align=center
|{{DCD|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|node_c1|2x|node_c1}}= {{DCD|node_c1|2|node_c1}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,1<sup>+</sup>]=[2]=[&nbsp;]×[&nbsp;]
|colspan=2|{{DCD|node_h0|4|node_h0}}= {{DCD|node_h0|4|node_h2}}= {{DCD|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]= [2]<sup>+</sup>
|}
{|class="wikitable floatright" 
![[Simetría tetraédrica]]
![[Simetría octaédrica]]
|- align=center
|[[Archivo:Sphere symmetry group td.png|150px]]<br />T<sub>d</sub>, [3,3]= [1<sup>+</sup>,4,3]<br />{{DCD|node_c1|3|node_c1|3|node_c1}}= {{DCD|nodeab_c1|split2|node_c1}}= {{DCD|node_h0|4|node_c1|3|node_c1}}<br />(Orden 24)
|[[Archivo:Sphere symmetry group oh.png|150px]]<br />O<sub>h</sub>, [4,3]= {{Brackets|3,3}}<br />{{DCD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}<br />(Orden 48)
|}

Johnson extiende el operador '''<sup>+</sup>''' para trabajar con un marcador de posición de nodos 1<sup>+</sup>, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad.<ref name="subgroups2">Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 255, halving subgroups</ref> En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El '''1''' representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p,<span style="color:#00ff00;">1</span>], [<span style="color:red;">1</span>,2p] o [<span style="color:red;">1</span>,2p,<span style="color:#00ff00;">1</span>], como el diagrama {{DCD|node|2x|p|node}} o {{DCD|node_c1|2x|p|node_c3}}, con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: {{DCD|node_h0|2x|p|node_c3}} = {{DCD|labelp|branch_c3}}, o entre paréntesis: [1<sup>+</sup>,2p, <span style="color:#00ff00;">1</span>] = [<span style="color:#00ff00;">1</span>,p,<span style="color:#00ff00;">1</span>] = [p].

Cada uno de estos espejos se puede quitar para que h[2p] = [1<sup>+</sup>,2p,1] = [1,2p,1<sup>+</sup>] = [p], con un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un símbolo <sup>+</sup> sobre el nodo: {{DCD|node_h0|2x|p|node}} = {{DCD|node|2x|p|node_h0}} = {{DCD|labelp|branch}}.

Si se eliminan ambos espejos, se genera un subgrupo de un cuarto, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:
:q[2p] = [1<sup>+</sup>,2p,1<sup>+</sup>] = [p]<sup>+</sup>, un subgrupo rotacional de índice 4. {{DCD|node_h2|2c|2x|p|2c|node_h2}} = {{DCD|node_h0|2x|p|node_h0}} = {{DCD|node_h0|2x|p|node_h2}} = {{DCD|node_h2|2x|p|node_h0}} = {{DCD|labelp|branch_h2h2}}.

Por ejemplo, (con p=2): [4,1<sup>+</sup>] = [1<sup>+</sup>,4] = [2] = [&nbsp;]×[&nbsp;], orden 4. [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] = [2] <sup>+</sup>, orden 2.

Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar,<ref name="subgroups"/> una operación que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.
: {{Brackets|p}} = [2p]

Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de mayor rango, como por ejemplo la [[simetría tetraédrica]] que es un medio grupo de la [[simetría octaédrica]]: h[4,3] = [1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: {{DCD|node_h0|2x|p|node_c1|3|node_c2}} = {{DCD|labelp|branch_c1|split2|node_c2}}, h[2p,3] = [1<sup>+</sup>,2p,3] = [(p,3,3)] .

Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Al igual que {{DCD|node_n0|2x|p|node_n1}}, los generadores {0,1} tienen un subgrupo {{DCD|node_h0|2x|p|node_n1}} = {{DCD|2_n0|node_n1|3_n0|p|node_n1}}, con generadores {1,010}, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También dado {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}, generadores {0,1,2}, tiene medio grupo {{DCD|node_h0|4|node_n1|3|node_n2}} = {{DCD|node_n1|3|node_n2|3|3_n0|node_n1|2_n0}}, con generadores {1,2,010}.

La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: {{Brackets|3,3}} = [4,3], o más generalmente {{Brackets|(q,q,p)}} = [2p,q].

===Subgrupos radicales===
[[Archivo:43-radial subgroups.png|thumb|left|Un subgrupo radical es similar a una alternancia, pero elimina los generadores rotacionales]]

Johnson también agregó un operador [[asterisco]] o estrella '''*''' para subgrupos "radicales",<ref>Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 259, radical subgroup</ref> que actúa de manera similar al operador <sup>+</sup>, pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrupo eliminado [3] es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación [[#simetría extendida|simetría extendida]]. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2] y, al revés, [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: {{DCD|node_c1|4|node|3s|node}} o {{DCD|node_c1|4|node_x|3|node_x}} ≅ {{DCD|nodeab_c1|2|node_c1}}. El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, [4,3<sup>+</sup>], índice 2, tiene generadores {0,12}; [1<sup>+</sup>,4,3] ≅ [3,3], el índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ [2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, (012)<sup>3</sup>}; y finalmente [1<sup>+</sup>,4,3*], el índice 12 tiene generadores {0(12)<sup>2</sup>0, (012)<sup>2</sup>01}.

{{Clear}}

===Subgrupos triónicos===
[[Archivo:Trionic Coxeter groups rank 3.png|thumb|150px|left|Rango 3]]
[[Archivo:Trionic subgroups hexagonal.png|thumb|Ejemplo de subgrupo triónico sobre simetría hexagonal [6,3] aplicada sobre una simetría [6,3] más grande]]

Un '''subgrupo triónico''' es un subgrupo de índice 3. Johnson define un "subgrupo triónico" con el operador ⅄, que indica el índice 3. Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3<sup>⅄</sup>] es [ ], un solo espejo. Y para [3''p''], el subgrupo triónico es [3''p'']<sup>⅄</sup> ? [''p'']. Dado {{DCD|node_n0|3x|p|node_n1}}, con generadores 0,1, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ? junto al generador de espejos a eliminar, o en una rama para ambos: [3''p'',1<sup>⅄</sup>] = {{DCD|node_n0|3x|p|node_trionic}} = {{DCD|node_n0|p|3_n1|3_n0|node_n1|2_n0|2_n1}}, {{DCD|node_trionic|3x|p|node_n1}} = {{DCD|2_n0|2_n1|node_n0|3_n1|3_n0|p|node_n1}}, y [3''p ''<sup>⅄</sup>] = {{DCD|node_n0|3x|3trionic|p|node_n1}} = {{DCD|2_n0|node_n1|3_n0|p|3_n1|node_n0|2_n1}} con generadores 0,10101, 01010,1 o 101,010.

[[#Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica|Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica]]: [3,3]<sup>⅄</sup> ⅄ [2<sup>+</sup>,4], relacionando la simetría del [[tetraedro]] y del [[disfenoide]].

Para los grupos de Coxeter de rango 3, [''p'',3], hay un subgrupo triónico [''p'',3<sup>⅄</sup>] ⅄ [''p''/2,''p''], o {{DCD|node_n0|2x|p|node_n1|3trionic|node_n2}} = {{DCD|2_n2|2_n1|node_n0|3_n1|3_n2|p|node_n0|2x|p|node_n1}}. Por ejemplo, el grupo finito [4,3<sup>⅄</sup>] ≅ [2,4] y el grupo euclidiano [6,3<sup>⅄</sup>] ≅ [3,6] y el grupo hiperbólico [8,3<sup>⅄</sup>] ≅ [4,8].

Una rama adyacente de orden impar, ''p'', no disminuirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que su [[Densidad (politopo)|densidad]] aumenta. Por ejemplo, la [[simetría icosaédrica]] [5,3] del [[icosaedro]] regular, se convierte en [5/2,5], que es la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona las teselaciones hiperbólicas p,3 y [[Anexo:Politopos y compuestos regulares|teselados hiperbólicos estrellados]] p/2,p
{|class=wikitable
|-valign="top"
||[[Archivo:Trionic subgroups hexagonal symmetry.png|thumb|center|x250px|Ejemplo de rango 2, [6] subgrupos triónicos con 3 colores de líneas especulares]]
||[[Archivo:Trionic subgroups rank 4b es.png|thumb|center|x250px|Rango 4]]
||[[Archivo:432 trionic subgroups es.png|thumb|center|x250px|Ejemplo de simetría octaédrica: [4,3<sup>⅄</sup>]= [2,4]]]
||[[Archivo:Hyperbolic 832 trionic subgroup 842.png|thumb|center|x250px|Los subgrupos triónicos de ejemplo en simetría octogonal [8,3] aplicados sobre simetrías más grandes [4,8]]]
|}

Para el rango 4, [''q'',2''p'',3<sup>⅄</sup>] = [2''p'',((p,q,q))], {{DCD|node|q|node|2x|p|node|3trionic|node}} = {{DCD|labelq|branch|split2-pq|node|2x|p|node}}.

Por ejemplo, [3,4,3<sup>⅄</sup>] = [4,3,3], o {{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3trionic|node_n3}} = {{DCD|2_n3|2_n2|node_n1|3_n2|3_n3|3|node_n0|3|node_n1|4|node_n2}}, generadores 0,1,2,3 en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3 ,3] con generadores {0,1,2,32123}. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3<sup>⅄</sup>] = [6,3<sup>[3]</sup>] y [4,4,3<sup>⅄</sup>] = [4,4,4].

{{clear}}

====Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica====
[[Archivo:Trionic_subgroups_of_tetrahedral_symmetry_stereographic_projection.png|thumb|left|[3,3]<sup>⅄</sup> ≅ [2<sup>+</sup>,4] como uno de los 3 juegos de 2 espejos ortogonales en [[proyección estereográfica]]. El rojo, el verde y el azul representan 3 conjuntos de espejos, y las líneas grises son espejos eliminados, dejando giros dobles (rombos morados)]]
[[Archivo:33-trionic subgroups.png|thumb|Relaciones triónicas de [3,3]]]
[[Archivo:334 trionic subgroups2.png|thumb|Relaciones de subgrupos triónicos de [3,3,4]]]

Johnson identificó dos '''subgrupos triónicos'''<ref>Johnson (2018), 11.6 ''Subgroups and extensions'', p 258, trionic subgroups</ref> de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3]<sup>⅄</sup> ≅ [2<sup>+</sup>,4], con [3,3] ({{DCD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}} = {{DCD|node|split1|nodes}} = {{DCD|node|split1|branch|label2}}) y generadores {0,1,2}. También se puede escribir como [(3,3,2<sup>⅄</sup>)] ({{DCD|node|split1|2c|branch_h2h2|label2}}) como recordatorio de sus generadores {02,1}. Esta reducción de simetría es la relación entre el [[tetraedro]] regular y el [[disfenoide]], y representan un estiramiento de un tetraedro en sentido perpendicular a dos aristas opuestas.

En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado con [3,3]<sup>Δ</sup> o [(3,3,2<sup>⅄</sup>)]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|split1|2c|branch_h2h2|label2}}), índice 3 de [3,3]<sup>+</sup> ≅ [2,2]<sup>+</sup>, con generadores {02,1021}, de [3,3] y sus generadores {0,1,2}.

Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con ramas vecinas, todo en orden uniforme.

Por ejemplo, [(3,3)<sup>+</sup>,4], [(3,3)<sup>⅄</sup>,4] y [(3,3)<sup>Δ</sup>,4] son subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3)<sup>⅄</sup>,4] ≅ {{Brackets|4,2,4}} ≅ [8,2<sup>+</sup>,8], orden 128, son {02,1,3} de [3,3,4] y generadores {0,1,2 ,3}. Y [(3,3)<sup>Δ</sup>,4] ≅ {{Brackets|4,2<sup>+</sup>,4}}, orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Además, [3<sup>⅄</sup>,4,3<sup>⅄</sup>] ≅ [(3,3)<sup>⅄</sup>,4].

También relacionado, [3<sup>1,1,1</sup>] = [3,3,4,1<sup>+</sup>] tiene subgrupos triónicos: [3<sup>1,1,1</sup>]<sup>⅄</sup> = [(3,3)<sup>⅄</sup>,4,1<sup>+</sup>], orden 64 y 1=[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>Δ</sup> = [( 3,3)<sup>Δ</sup>,4,1<sup>+</sup>] ≅ [[ 4,2<sup>+</sup>,4]]<sup>+</sup>, orden 32.

{{Clear}}

===Inversión central===
[[Archivo:Point Reflection.png|thumb|Una inversión central 2D es una rotación de 180 grados, [2]<sup>+</sup>]]

Una [[simetría central]] de orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [&nbsp;]<sup>''n''</sup> = [2<sup>''n''−1</sup>] representa ''n'' espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio [[variedad lineal|n-plano]] de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2<sup>''n''−1</sup>] están numerados {{#tag:math|0 \dots n-1}}. El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es {{#tag:math|-I}}, la [[Matriz identidad|matriz Identidad]] con unos negativos en la diagonal.

A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia <sup>+</sup> a cada rama de orden 2. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] se puede marcar con ramas de orden 2 explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos abiertos dobles compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, [2<sup>+</sup>,2] y [2,2<sup>+</sup>] son subgrupos de índice 2 de [2,2], {{DCD|node|2|node|2|node}}, y se representan como {{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node}} (o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2|2|node}}) y {{DCD|node|2|node_h2|2x|node_h2}} (o {{DCD|node|2|node_h2|3|2c|3|node_h2}}) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], y está representado por {{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} (o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h4|3|2c|3|node_h2}}), con el {{DCD|node_h4}} de doble apertura que marca un nodo compartido en las dos alternancias y un solo generador de [[rotación impropia]] {012}.

{|class=wikitable style="text-align:center;"
! Dimensión
! Notación de Coxeter
! Orden
! Diagrama de Coxeter
! Operación
! Generador
|-
|2||[2]<sup>+</sup>||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}||[[Rotación (matemáticas)|Rotación]] de 180°, C<sub>2</sub>||{01}
|-
|3||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[Rotación impropia|Rotorreflexión]], C<sub>i</sub> o S<sub>2</sub>||{012}
|-
|4||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional|Rotación doble]]||{0123}
|-
|5||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión doble||{01234}
|-
|6||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotación triple||{012345}
|-
|7||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||2||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}|| Rotorreflexión triple||{0123456}
|}

===Rotaciones y rotorreflexiones===
Las rotaciones y las [[rotación impropia|rotorreflexiones]] se construyen mediante un único producto de generador único de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2''p'']×[2''q'']×... donde el [[Máximo común divisor|mcd]](''p'' ,''q'',...)=1. Son isomorfas al [[grupo cíclico]] abstracto Z<sub>n</sub>, de orden ''n''=2''pq''.

Las dobles rotaciones de 4 dimensiones, [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>] (con [[Máximo común divisor|mcd]](''p'',''q'')=1), que incluyen un grupo central, y están expresados por Conway como ±[C<sub>''p''</sub>×C<sub>''q''</sub>],<ref>Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II</ref> de orden 2''pq''. Del diagrama de Coxeter {{DCD|node_n0|2x|p|node_n1|2|node_n2|2x|q|node_n3}}, generadores {0,1,2,3}, requiere dos generadores para [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>], {{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}} como {0123,0132}. Los grupos mitad, [2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, o el gráfico cíclico, [(2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)], {{DCD|3|node_h4|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x}} expresados por Conway son [C<sub>''p''</sub>×C<sub>''q''</sub>], orden ''pq'', con un generador, como {0123}.

Si hay un factor común ''f'', la rotación doble se puede escribir como {{frac|1|''f''}}[2''pf''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''qf''<sup>+</sup>] (con [[Máximo común divisor|mcd]](''p'',' 'q'')=1), generadores {0123,0132}, y orden 2''pqf''. Por ejemplo, ''p''=''q''=1, ''f''=2, {{frac|1|2}}[4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] es de orden 4. Y {{frac|1|''f''}}[2''pf''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>, 2''qf''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, generador 0123, es de orden ''pqf''. Por ejemplo, {{frac|1|2}}[4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup> es de orden 2, una [[simetría central]].

En general, un grupo de rotación ''n'', [2''p''<sub>1</sub><sup>+</sup>,2,2''p''<sub>2</sub><sup>+</sup>,2,...,''p''<sub>''n''</sub><sup>+</sup>] puede requerir hasta ''n'' generadores si el mcd(''p''<sub>1</sub>,..,''p''<sub>''n''</sub>)>1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, [2''p''<sub>1</sub><sup>+</sup>,2,2''p''<sub>2</sub><sup>+</sup>,2,...,''p''<sub>''n''</sub><sup>+</sup>]<sup>+</sup> tiene generadores al cuadrado. Los reflejos ''n''-rotativos son similares.

{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Ejemplos
! Dimensión
! Notación de Coxeter
! Orden
! Diagrama de Coxeter
! Operación
! Generadores
!colspan=2|Subgrupo directo
|-
!2
||[2''p'']<sup>+</sup>||rowspan=6|2''p''||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h2}}||[[Rotación (matemáticas)|Rotación]]||{01}||[2''p'']<sup>+2</sup>= [''p'']<sup>+</sup>||rowspan=6|Rotación simple:<br />[2''p'']<sup>+2</sup>= [''p'']<sup>+</sup><br />orden ''p''
|-
!3
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2}}||[[rotación impropia|Rotorreflexión]]||{012}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>
|-
!4
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||[[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional|Rotación doble]]||{0123}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>
|-
!5
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión doble||{01234}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotación triple||{012345}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión triple||{0123456}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>
|-
!4
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]
|rowspan=4|2''pq''
||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}}||Rotación doble||{0123,<br />0132}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|rowspan=4|Rotación doble:<br />[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />orden ''pq''
|-
!5
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión doble||{01234,<br />01243}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]
|{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotación triple||{012345,<br />012354,<br />013245}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión triple||{0123456,<br />0123465,<br />0124356,<br />0124356}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|-
!6
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]
|rowspan=2|2''pqr''||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|r|node_h2}}||Rotación triple||{012345,<br />012354,<br />013245}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|rowspan=2|Rotación triple:<br />[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />orden ''pqr''
|-
!7
||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h4|2x|node_h4|2x|r|node_h4|2x|node_h2}}||Rotorreflexión triple||{0123456,<br />0123465,<br />0124356,<br />0213456}||[2''p''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2''r''<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<sup>+</sup>
|}

===Subgrupos conmutadores===
[[Archivo:Subgroups of 442 es.png|thumb|360px|Subgrupos de [4,4], hasta su subgrupo conmutador, índice 8]]

Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el [[subgrupo conmutador]], ejemplos [3,3]<sup>+</sup>, [3,5]<sup>+</sup>, [3,3,3]<sup>+</sup>, [3,3,5]<sup>+</sup>. Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo conmutador tiene un índice 2<sup>''c''</sup>, donde c es el número de subgráficos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par.<ref>Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126</ref>

Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los valores '''4''', por lo que su subgrupo conmutador es el índice 2<sup>3</sup> y puede tener diferentes representaciones, todas con tres '''<sup>+</sup> Operadores''': [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>], [1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, o [(4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]. Se puede usar una notación general con +''c'' como exponente de grupo, como [4,4]<sup>+3</sup>.

===Subgrupos de ejemplo===

====Subgrupos de ejemplo de rango 2====
Los grupos [[Grupo diedral|diedrales]] con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores del grupo [4] en rojo y verde, y observa todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4], {{DCD|node_n0|4|node_n1}} tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión sobre el otro.
{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Subgrupos de [4]
|-
![[Índice (teoría de grupos)|Índice]]
!1
!colspan=2|2 (mitad)
!colspan=2|4 (reducción de rango)
|-
!Diagram 
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 4.png|120px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 half1.png|120px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 half2.png|120px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 quarter1.png|120px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 quarter2.png|120px]]
|- align=center
!Coxeter<br />{{DCD|node_n0|4|node_n1}}
|{{DCD|node_c1|4|node_c3}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>]= [4]
|{{DCD|node_h0|4|node_c3}}= {{DCD|node_c3|2x|node_c3}}= {{DCD|node_c3|2|node_c3}}<br />[1<sup>+</sup>,4,<span style="color:#00ff00;">1</span>]= [1<sup>+</sup>,4]= [2]
|{{DCD|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|node_c1|2x|node_c1}}= {{DCD|node_c1|2|node_c1}}<br />[<span style="color:red;">1</span>,4,1<sup>+</sup>]= [4,1<sup>+</sup>]= [2]
|{{DCD|node_c1}}<br />[2,1<sup>+</sup>]= [<span style="color:red;">1</span>]= [ ]
|{{DCD|node_c3}}<br />[1<sup>+</sup>,2]= [<span style="color:#00ff00;">1</span>]= [ ]
|- align=center
!Generadores
|{0,1}
|{101,1}
|{0,010}
|{0}
|{1}
|- align=center
!colspan=6|Subgrupos directos
|- align=center
!Índice
!2
!colspan=2|4
!colspan=2|8
|- align=center
!Diagrama 
|[[Archivo:Cyclic symmetry 4.png|120px]]
|colspan=2|[[Archivo:Cyclic symmetry 4 half.png|120px]]
|colspan=2|[[Archivo:Dihedral symmetry 4 eighth.png|120px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}<br />[4]<sup>+</sup>
|colspan=2|{{DCD|node_h0|4|node_h0}}= {{DCD|node_h0|4|node_h2}}= {{DCD|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[4]<sup>+2</sup>= [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]= [2]<sup>+</sup>
|colspan=2|{{DCD|node_h2}}<br />[ ]<sup>+</sup>
|- align=center
!Generadores
|{01}
|colspan=2|{(01)<sup>2</sup>}
|colspan=2|{0<sup>2</sup>}= {1<sup>2</sup>}= {(01)<sup>4</sup>}= {}
|}

==== Subgrupos de ejemplo euclídeos de rango 3====
El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índices pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los mismos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, {0,1,2}, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter, {{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}. Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan forman una rotación, como {012}, {12} o {02}. La eliminación de un espejo genera dos copias de los espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como {010} y {212}. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como {0101} o {(01)<sup>2</sup>}, {1212} o {(02)<sup>2</sup>}. Un producto de los tres espejos crea una [[reflexión deslizada]], como {012} o {120}.

{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Subgrupos de índice pequeño de [4,4]
|-
! [[Índice (teoría de grupos)|Índice]]
! 1
! colspan=3|2
! colspan=2|4
|-
!Diagrama
|[[Archivo:442 symmetry 000.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry a00.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry 00a.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry 0a0.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry a0b.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry xxx.png|100px]]
|-
!Coxeter<br />{{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}
|[<span style="color:#00afaf;">1</span>,4,<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:#00bf00;">1</span>]= [4,4]<br />{{DCD|node_c5|4|node_c1|4|node_c3}}
|[1<sup>+</sup>,4,4]<br />{{DCD|node_h0|4|node_c1|4|node_c3}}= {{DCD|nodeab_c1|split2-44|node_c3}}
|[4,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c5|4|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|node_c5|split1-44|nodeab_c1}}
|[4,1<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_c5|4|node_h0|4|node_c3}}= {{DCD|nodeab_c5|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|[1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h0|4|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|nodeab_c1|2a2b-cross|nodeab_c1}}
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}
|-
!Generadores
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:#00afaf;">101</span>,<span style="color:#00bf00;">121</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>,<span style="color:red;">20102</span>}
|{(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>,<span style="color:#7f3f3f;">012</span>,<span style="color:#3f7f3f;">120</span>}
|- align=center
![[notación orbifold|Orbifold]]
|colspan=3|*442
|colspan=2|*2222
|22×
|-
!colspan=7|Subgrupos semidirectos
|-
! Índice
! 
! colspan=3|2
! colspan=2|4
|-
!Diagrama
|rowspan=4|
|[[Archivo:442 symmetry 0aa.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry aa0.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry a0a.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry 0ab.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry ab0.png|100px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c5|4|node_h2|4|node_h2}}
|[4<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node_c3}}
|[(4,4,2<sup>+</sup>)]<br />{{DCD|node_c1|split1-44|branch_h2h2|label2}}= {{DCD|nodeab_c1|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c5|4|node_h0|4|node_h0}}= {{DCD|node_c5|split1-44|branch_h2h2|label2}}= {{DCD|nodeab_c5|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_h0|4|node_h0|4|node_c3}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|split2-44|node_c3}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|-
!Generadores
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,12}
|{01,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|{02,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00afaf;">0</span>,<span style="color:#00afaf;">101</span>,(12)<sup>2</sup>}
|{(01)<sup>2</sup>,<span style="color:#00bf00;">121</span>,<span style="color:#00bf00;">2</span>}
|-
!Orbifold
|colspan=2|4*2
|colspan=3|2*22
|-
!colspan=7|Subgrupos directos
|-
!Índice
!2
!colspan=3|4
!colspan=2|8
|-
!Diagrama
|[[Archivo:442 symmetry aaa.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry abb.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry aab.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry aba.png|100px]]
|colspan=2|[[Archivo:442 symmetry abc.png|100px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}}= {{DCD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[4,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h0|4|node_h2|4|node_h2}}= {{DCD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[4<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|node_h2|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|[(4,4,2<sup>+</sup>)]<sup>+</sup><br />{{DCD|labelh|node|split1-44|branch_h2h2|label2}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[4,4]<sup>+3</sup>= [(4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]= [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]= [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h4b|split1-44|branch_h4h4|label2}}={{DCD|node_h2|4|node_h0|4|node_h0}}= {{DCD|node_h0|4|node_h0|4|node_h2}}= {{DCD|node_h0|4|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|-
!Generadores
|{01,12}
|{(01)<sup>2</sup>,12}
|{01,(12)<sup>2</sup>}
|{02,(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>}
|colspan=2|{(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>,2(01)<sup>2</sup>2}
|-
!Orbifold
|colspan=3|442
|colspan=3|2222
|-
!colspan=7|Subgrupos radicales
|-
!Índice
!
!colspan=2|8
!colspan=3|16
|-
!Diagrama
|rowspan=3|
|[[Archivo:442 symmetry 0dd.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry dd0.png|100px]]
|[[Archivo:442 symmetry add.png|100px]]
|colspan=2|[[Archivo:442 symmetry dda.png|200px]]
|- valign=top
!Coxeter
|[4,4*]<br />{{DCD|node_c5|4|node_g|4sg|node_g}}= {{DCD|nodeab_c5|2a2b-cross|nodeab_c5}}
|[4*,4]<br />{{DCD|node_g|4sg|node_g|4|node_c3}}= {{DCD|nodeab_c3|2a2b-cross|nodeab_c3}}
|[4,4*]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|4|node_g|4sg|node_g}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[4*,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_g|4sg|node_g|4|node_h2}}= {{DCD|label2|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|-
!Orbifold
|colspan=2|*2222
|colspan=3|2222
|}

====Subgrupos de ejemplo hiperbólicos====
El mismo conjunto de 15 pequeños subgrupos existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:
{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Subgrupos de índice pequeño de [6,4]
|- align=center
![[Índice (teoría de grupos)|Índice]]
!1
!colspan=3|2
!colspan=4|4
|- align=center
!Diagrama
|[[Archivo:642 symmetry 000.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry a00.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry 00a.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry 0a0.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry a0b.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry xxx.png|100px]]
|- align=center
!Coxeter<br />{{DCD|node_n0|6|node_n1|4|node_n2}}
|[<span style="color:#00ff00;">1</span>,6,<span style="color:red;">1</span>,4,<span style="color:blue;">1</span>]= [6,4]<br />{{DCD|node_c3|6|node_c1|4|node_c2}}
|[1<sup>+</sup>,6,4]<br />{{DCD|node_h0|6|node_c1|4|node_c2}}= {{DCD|branch_c1|split2-44|node_c2}}
|[6,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c3|6|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|node_c3|split1-66|nodeab_c1}}
|[6,1<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_c3|6|node_h0|4|node_c2}}= {{DCD|branch_c3|2a2b-cross|nodeab_c2}}
|[1<sup>+</sup>,6,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h0|6|node_c1|4|node_h0}}= {{DCD|branch_c1|2a2b-cross|branch_c1}}
|[6<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h2|6|node_h4|4|node_h2}}
|- align=center
!Generadores
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:#00ff00;">101</span>,<span style="color:blue;">121</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|{<span style="color:red;">010</span>,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>,<span style="color:red;">20102</span>}
|{(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>,<span style="color:#ff00ff;">012</span>}
|- align=center
![[notación Orbifold|Orbifold]]
|*642
|[[ 443 symmetry|*443]]
|[[ 662 symmetry|*662]]
|[[ 3222 symmetry|*3222]]
|[[ 3232 symmetry|*3232]]
|32<span style="color:#ff00ff;">×</span>
|- align=center
!colspan=7|Subgrupos semidirectos
|- align=center
!Diagrama
|
|[[Archivo:642 symmetry 0aa.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry aa0.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry a0a.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry 0ab.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry ab0.png|100px]]
	
|- align=center
!Coxeter
|
|[6,4<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c3|6|node_h2|4|node_h2}}
|[6<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_h2|6|node_h2|4|node_c2}}
|[(6,4,2<sup>+</sup>)]<br />{{DCD|node_c1|split1-46|branch_h2h2|label2}}
|[6,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_c3|6|node_h0|4|node_h0}}= {{DCD|node_c3|6|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|node_c3|split1-66|branch_h2h2|label2}}<br />= {{DCD|node_c3|6|node_h0|4|node_h2}}= {{DCD|branch_c3|2a2b-cross|branch_h2h2|label2}}
|[1<sup>+</sup>,6,1<sup>+</sup>,4]<br />{{DCD|node_h0|6|node_h0|4|node_c2}}= {{DCD|node_h0|6|node_h2|4|node_c2}}= {{DCD|branch_h2h2|split2-44|node_c2}}<br />= {{DCD|node_h2|6|node_h0|4|node_c2}}= {{DCD|branch_h2h2|2a2b-cross|nodeab_c2}}<br />
|- align=center
!Generadores
|
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,12}
|{01,<span style="color:blue;">2</span>}
|{02,<span style="color:red;">1</span>,<span style="color:red;">212</span>}
|{<span style="color:#00ff00;">0</span>,<span style="color:#00ff00;">101</span>,(12)<sup>2</sup>}
|{(01)<sup>2</sup>,<span style="color:blue;">121</span>,<span style="color:blue;">2</span>}
|- align=center
!Orbifold
|
|4*3
|6*2
|2*32
|2*33
|3*22

|-
!colspan=7|Subgrupos directos
|- align=center
!Índice
!2
!colspan=3|4
!colspan=4|8
|- align=center
!Diagrama
|[[Archivo:642 symmetry aaa.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry abb.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry aab.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry aba.png|100px]]
|colspan=2|[[Archivo:642 symmetry abc.png|100px]]
	
|- align=center
!Coxeter
|[6,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|6|node_h2|4|node_h2}}= {{DCD|node_h2|split1-64|branch_h2h2|label2}}
|[6,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h0|6|node_h2|4|node_h2}}= {{DCD|branch_h2h2|split2-44|node_h2}}
|[6<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|6|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|node_h2|split1-66|branch_h2h2|label2}}
|[(6,4,2<sup>+</sup>)]<sup>+</sup><br />{{DCD|labelh|node|split1-46|branch_h2h2|label2}}= {{DCD|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2|label2}}
|colspan=2|[6<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup>= [1<sup>+</sup>,6,1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h4b|split1-46|branch_h4h4|label2}}= {{DCD|node_h0|6|node_h0|4|node_h0}}<br />= {{DCD|node_h0|6|node_h2|4|node_h0}}= {{DCD|branch_h2h2|2xa2xb-cross|branch_h2h2}}
|- align=center
!Generadores
|{01,12}
|{(01)<sup>2</sup>,12}
|{01,(12)<sup>2</sup>}
|{02,(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>}
|colspan=2|{(01)<sup>2</sup>,(12)<sup>2</sup>,201012}
|- align=center
!Orbifold
|642
|443
|662
|3222
|colspan=2|3232

|- align=center
!colspan=7|Subgrupos radicales
|- align=center
!Índice
!
!8
!12
!16
!24
|- align=center
!Diagrama
|
|[[Archivo:642 symmetry 0zz.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry zz0.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry azz.png|100px]]
|[[Archivo:642 symmetry zza.png|100px]]
|- align=center
!Generadores
|||{0,101,21012,1210121}||{2,121,101020101,0102010,<br />010101020101010,<br />10101010201010101}||||
|- align=center
!Coxeter<br />(orbifold)
|
|[6,4*]<br />{{DCD|node_c3|6|node_g|4sg|node_g}}= {{DCD|branch_c3|3a3b-cross|branch_c3}}<br />(*3333)
|[6*,4]<br />{{DCD|node|6|3s|node|4|node_c2}}<br />(*222222)
|[6,4*]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|6|node_g|4sg|node_g}}= {{DCD|branch_h2h2|3a3b-cross|branch_h2h2}}<br />(3333)
|[6*,4]<sup>+</sup><br />{{DCD|node|6|3s|node|4|node_h2}}<br />(222222)
|}

==Simetría extendida==
{|class=wikitable align=right width=100
|{{A2 honeycombs}}
|-
|En el plano euclídeo, el grupo de Coxeter <math>{\tilde{A}}_2</math>, [3<sup>[3]</sup>] se puede extender de dos formas al grupo de Coxeter <math>{\tilde{G}}_2</math>, [6,3] y relaciona teselas uniformes como diagramas de anillos.
|}

{{VT|Tetraedro de Goursat}}

La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, {{Brackets|X}} para expresar la simetría [[Automorfismo|automórfica]] dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó la duplicación alternativa mediante una notación entre ángulos <[X]>. Además, agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].

Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría equivalentes [[rectángulo|rectangular]] y [[Rombo|rómbico]] de <math>{\tilde{A}}_3</math> toman las formas: {{DCD|branch|3ab|3ab|branch}} y {{DCD|node|split1|nodes|split2|node}}, el primero duplicado entre corchetes, {{Brackets|3<sup>[4]</sup>}} o duplicado dos veces como [2[3<sup>[4]</sup>]], con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para doblar, <[3<sup>[4]</sup>]> y doblar dos veces como <2[3<sup>[4]</sup>]>, también con una simetría [2] diferente, de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante [4[3<sup>[4]</sup>]], con la simetría de orden 8, [4] del [[cuadrado]]. Pero al considerar el dominio fundamental del [[disfenoide]], la simetría [4] extendida del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como [(2<sup>+</sup>,4)[3<sup>[4]</sup>]] o [2<sup>+</sup>,4[3<sup>[4]</sup>]].

Existe más simetría en los diagramas <math>{\tilde{A}}_n</math> cíclico y <math>D_3</math>, <math>{\tilde{E}}_6</math> y <math>{\tilde{D}}_4</math> de ramificación. <math>{\tilde{A}}_n</math> tiene una simetría de orden 2''n'' de un ''n''-ágono regular, {''n''}, y está representado por [''n''[3<sup>[''n'']</sup>]]. <math>D_3</math> y <math>{\tilde{E}}_6</math> están representados por [3[3<sup>1,1,1</sup>]]= [3,4,3] y [3[3<sup>2,2,2</sup>]] respectivamente mientras que <math>{\tilde{D}}_4</math> por [(3,3)[3<sup>1,1,1,1</sup>]]= [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del [[tetraedro]] regular, {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto <math>{\bar{L}}_5</math>= [3<sup>1,1,1,1,1</sup>], {{DCD|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}, contiene la simetría de un [[pentácoron]], {3,3,3}, y por lo tanto está representado por [(3,3,3)[3<sup>1,1,1,1,1</sup>]]= [3,4, 3,3,3].

Un superíndice [[asterisco]] * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.<ref>{{Cite journal|doi=10.1016/S0024-3795(99)00107-X|title=Quaternionic modular groups|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=295|issue=1–3|pages=159–189|year=1999|last1=Johnson|first1=Norman W.|last2=Weiss|first2=Asia Ivić}}</ref>

Ejemplos:
{|class="wikitable collapsible"
!colspan=12|Ejemplos de grupos extendidos y subgrupos radicales
|- valign=top
|
{|class=wikitable style="text-align:center;"
! Grupos extendidos
! Subgrupos radicales
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagramas de Coxeter-Dynkin]]
! Índice
|-
|[3[2,2]]= [4,3]||[4,3*]= [2,2]||{{DCD|node_c1|4|node|3s|node}}= {{DCD||node_c1|2|nodeab_c1}}||6
|-
|[(3,3)[2,2,2]]= [4,3,3]||[4,(3,3)*]= [2,2,2]||{{DCD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}}= {{DCD|nodeab_c1|2|nodeab_c1}}||24
|-
|[1[3<sup>1,1</sup>]]= {{Brackets|3,3}}= [3,4]||[3,4,1<sup>+</sup>]= [3,3]||{{DCD|node_c1|3|node_c2|4|node_h0}}= {{DCD|node_c1|split1|nodeab_c2}}||2
|-
|[3[3<sup>1,1,1</sup>]]= [3,4,3]||[3*,4,3]= [3<sup>1,1,1</sup>]||{{DCD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2}}= {{DCD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2}}||6
|-
|[2[3<sup>1,1,1,1</sup>]]= [4,3,3,4]||[1<sup>+</sup>,4,3,3,4,1<sup>+</sup>]= [3<sup>1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node_h0|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|4|node_h0}}= {{DCD|nodeab_c1|split2|node_c2|split1|nodeab_c3}}||4
|-
|[3[3,3<sup>1,1,1</sup>]]= [3,3,4,3]||[3*,4,3,3]= [3<sup>1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}= {{DCD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|3|node_c3}}||6
|-
|[(3,3)[3<sup>1,1,1,1</sup>]]= [3,4,3,3]||[3,4,(3,3)*]= [3<sup>1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}}= {{DCD|nodeab_c1|split2|node_c2|split1|nodeab_c1}}||24
|-
|[2[3,3<sup>1,1,1,1</sup>]]= [3,(3,4)<sup>1,1</sup>]||[3,(3,4,1<sup>+</sup>)<sup>1,1</sup>]= [3,3<sup>1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node_c4|3|node_c3|split1|nodeab_c1-2|4a4b|nodes}}= {{DCD|node_c4|branch3_c1|splitsplit2|node_c3|split1|nodeab_c2}}||4
|-
|[(2,3)[<sup>1,1</sup>3<sup>1,1,1</sup>]]= [4,3,3,4,3]||[3*,4,3,3,4,1<sup>+</sup>]= [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node|3s|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|4|node_h0}}= {{DCD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c3}}||12
|-
|[(3,3)[3,3<sup>1,1,1,1</sup>]]= [3,3,4,3,3]||[3,3,4,(3,3)*]= [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node_c3|3|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}}= {{DCD|node_c3|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c1}}||24
|-
|[(3,3,3)[3<sup>1,1,1,1,1</sup>]]= [3,4,3,3,3]||[3,4,(3,3,3)*]= [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]||{{DCD|node_c2|3|node_c1|4|node_g|3g|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}}= {{DCD|node_c1|branch3_c1|splitsplit2|node_c2|split1|nodeab_c1}}||120
|}
|
{|class=wikitable style="text-align:center;"
! Grupos extendidos
! Subgrupos radicales
! Diagramas de Coxeter-Dynkin
! Índice
|-
|[1[3<sup>[3]</sup>]]= [3,6]||[3,6,1<sup>+</sup>]= [3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node_c1|3|node_c2|6|node_h0}}= {{DCD|node_c1|split1|branch_c2}}||2
|-
|[3[3<sup>[3]</sup>]]= [6,3]||[6,3*]= [3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node_c1|6|node|3s|node}}= {{DCD|node_c1|split1|branch_c1}}||6
|-
|[1[3,3<sup>[3]</sup>]]= [3,3,6]||[3,3,6,1<sup>+</sup>]= [3,3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node_c1|3|node_c2|3|node_c3|6|node_h0}}= {{DCD|node_c1|3|node_c2|split1|branch_c3}}||2
|-
|[(3,3)[3<sup>[3,3]</sup>]]= [6,3,3]||[6,(3,3)*]= [3<sup>[3,3]</sup>]||{{DCD|node_c1|6|node_g|3sg|node_g|3g|node_g}}= {{DCD|node_c1|splitsplit1|branch4_c1|splitsplit2|node_c1}}||24
|-
|[1[&infin;]<sup>2</sup>]= [4,4]||[4,1<sup>+</sup>,4]= [&infin;]<sup>2</sup>= [&infin;,2,&infin;]||{{DCD|node_c1|4|node_h0|4|node_c2}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1-2|2|branch_c1-2|labelinfin}}||2
|-
|[2[&infin;]<sup>2</sup>]= [4,4]||[1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>]= [(4,4,2*)]= [&infin;]<sup>2</sup>||{{DCD|node_h0|4|node_c2|4|node_h0}}= {{DCD|labelinfin|branch_c2|2|branch_c2|labelinfin}}||4
|-
|[4[&infin;]<sup>2</sup>]= [4,4]||[4,4*]= [&infin;]<sup>2</sup>||{{DCD|node_c1|4|node_g|4sg|node_g}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1|2|branch_c1|labelinfin}}||8
|-
|[2[3<sup>[4]</sup>]]= [4,3,4]||[1<sup>+</sup>,4,3,4,1<sup>+</sup>]= [(4,3,4,2*)]= [3<sup>[4]</sup>]||{{DCD|node_h0|4|node_c1|3|node_c2|4|node_h0}}= {{DCD|node_c1|split1|nodeab_c2|split2|node_c1}}= {{DCD|nodeab_c1|splitcross|nodeab_c2}}||4
|-
|[3[&infin;]<sup>3</sup>]= [4,3,4]||[4,3*,4]= [&infin;]<sup>3</sup>= [&infin;,2,&infin;,2,&infin;]||{{DCD|node_c1|4|node|3s|node|4|node_c2}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2}}||6
|-
|[(3,3)[&infin;]<sup>3</sup>]= [4,3<sup>1,1</sup>]||[4,(3<sup>1,1</sup>)*]= [&infin;]<sup>3</sup>||{{DCD|node_c1|4|node|split1|nodes}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}}||24
|-
|[(4,3)[&infin;]<sup>3</sup>]= [4,3,4]||[4,(3,4)*]= [&infin;]<sup>3</sup>||{{DCD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|4g|node_g}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}}||48
|-
|[(3,3)[&infin;]<sup>4</sup>]= [4,3,3,4]||[4,(3,3)*,4]= [&infin;]<sup>4</sup>||{{DCD|node_c1|4|node_g|3sg|node_g|3g|node_g|4|node_c2}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2|2|labelinfin|branch_c1-2}}||24
|-
|[(4,3,3)[&infin;]<sup>4</sup>]= [4,3,3,4]||[4,(3,3,4)*]= [&infin;]<sup>4</sup>||{{DCD|node_c1|4|node_g|3g|node_g|3sg|node_g|4g|node_g}}= {{DCD|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1|2|labelinfin|branch_c1}}||384
|}
|}

En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que aplica posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para el [[grupo espacial]] 3D y los grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de {{Brackets|X}}, {{Brackets|X|<sup>+</sup>}}, que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a {{Brackets|X}}<sup>+</sup>, que es el subgrupo quiral de {{Brackets|X}}. Por ejemplo, los grupos espaciales 3D {{Brackets|4,3,4}}<sup>+</sup> (I432, 211) y {{Brackets|4,3,4|<sup>+</sup>}} (Pm{{overline|3}}n,
223) son subgrupos distintos de {{Brackets|4,3,4}} (Im{{overline|3}}m, 229).

==Grupos de rango 1==
{{VT|Grupo de simetría unidimensional}}

En una dimensión, el ''grupo bilateral'' [&nbsp;] representa una simetría de un solo espejo, abstracta ''Dih''<sub>1</sub> o ''Z''<sub>2</sub>, una simetría de [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 2. Se representa como un [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] con un solo nodo, {{DCD|node}}. El ''[[Grupo trivial|grupo identidad]]'' es el subgrupo directo [&nbsp;]<sup>+</sup>, Z<sub>1</sub>, con orden de simetría 1. El superíndice '''+''' simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un solo nodo abierto para representar una alternancia, {{DCD|node_h2}}.

{|class=wikitable style="text-align:center;"
! Grupo
! Notación de Coxeter
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama de Coxeter]]
! Orden
! Descripción
|-
||C<sub>1</sub>||[&nbsp;]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2}}||1||Identidad
|-
||D<sub>2</sub>||[&nbsp;]||{{DCD|node}}||2||Grupo de reflexión
|}

==Grupos de rango 2==
{{VT|Grupos de puntos en dos dimensiones}}
[[Archivo:Regular hexagon symmetries2.png|400px|thumb|Un [[hexágono]] regular, con marcas en aristas y vértices tiene 8 simetrías: [6], [3], [2], [1], [6]<sup>+</sup>, [3]<sup>+</sup>, [2]<sup>+</sup>, [1]<sup>+</sup>, con [3] y [1] existiendo en dos formas, dependiendo de si los espejos están en las aristas o en los vértices]]

En dos dimensiones, el ''grupo [[Rectángulo|rectangular]]'' [2], abstracto D<sub>2</sub><sup>2</sup> o D<sub>4</sub>, también se puede representar como un [[producto directo]] [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representado por dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter {{DCD|node|2|node}}, con [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 4. El '''2''' en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, como {{DCD|node|2x|node}} con orden de ramificación explícito 2. El ''grupo rómbico'', [2]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|2x|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}), la mitad del grupo rectangular, es la simetría [[simetría central]], Z<sub>2</sub> de orden 2.

La notación de Coxeter permite un marcador de posición '''1''' para grupos de menor rango, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1<sup>+</sup>] o [1]<sup>+</sup> es lo mismo que [ ]<sup>+</sup> con el diagrama de Coxeter {{DCD|node_h2}}.

El ''grupo p-gonal completo'' [p], abstracto ''[[grupo diedral|diédrico]]'' D<sub>2''p''</sub>, ([[grupo no abeliano|no abeliano]] para ''p''>2), de [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 2''p'', es generado por dos espejos en ángulo ''π''/''p'', representados por el diagrama de Coxeter {{DCD|node|p|node}}. El subgrupo ''p-agonal'' [p]<sup>+</sup>, es el ''[[grupo cíclico]]'' ''Z''<sub>''p''</sub> de orden ''p'', generado por un ángulo de rotación de&nbsp;''&pi;''/''p''.

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una "duplicación" de simetría [[Automorfismo|automórfica]] al agregar un espejo bisectriz al [[dominio fundamental]]. Por ejemplo, <nowiki>[[p]]</nowiki> agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el ''grupo completo [[apeirógono|apeirogonal]]'' cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el [[grupo diedro infinito]] D<sub>∞</sub>, representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter {{DCD|node|infin|node}}. El ''grupo apeirogonal'' [∞]<sup>+</sup>, {{DCD|node_h2|infin|node_h2}}, de forma abstracta el [[grupo cíclico]] infinito Z<sub>∞</sub>, [[Isomorfismo|isomórfico]] al ''grupo aditivo'' de los [[números enteros]], se genera mediante una única traslación distinta de cero.

En el plano hiperbólico, hay un ''grupo completo [[apeirógono|apeirogonal]]'' [''iπ/λ''] y un ''subgrupo pseudogonal'' [''iπ/λ'']<sup>+</sup>, {{DCD|node_h2|ultra|node_h2}}. Estos grupos existen en polígonos regulares de infinitos lados, con longitud de arista λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea recta.

{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Ejemplos de simetrías finitas e hiperbólicas de rango 2
|-
!Tipo
!colspan=5|Finito
!Afín
!colspan=5|Hiperbólico
|- align=center
!Geometría
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 1.png|80px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 2.png|80px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 3.png|80px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 4.png|80px]]
|...
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains infinity.png|80px]]
|[[Archivo:Horocycle mirrors.png|80px]]
|[[Archivo:Dihedral symmetry ultra.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{DCD|node_c1}}<br />[ ]
|{{DCD|node_c1|2x|node_c3}}= {{DCD|node_c1|2|node_c3}}<br />[2]=[ ]×[ ]
|{{DCD|node_c1|3|node_c1}}<br />[3]
|{{DCD|node_c1|4|node_c3}}<br />[4]
|{{DCD|node|p|node}}<br />[p]
|{{DCD|node_c1|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|infin|node_c3}}<br />[&infin;]
|{{DCD|node_c2|ultra|node_c3}}<br />[i&pi;/&lambda;]
|-
![[Orden (teoría de grupos)|Orden]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9|Las líneas especulares están coloreadas para corresponder a los nodos del diagrama de Coxeter.<br />Los dominios fundamentales están coloreados alternativamente.
|- align=center
!Imágenes<br />pares<br />(directas)
|[[Archivo:Cyclic symmetry 1.svg|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 2.svg|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 3.png|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 4.png|80px]]
|rowspan=2|...
|[[Archivo:Cyclic symmetry infin.png|80px]]
|
|[[Archivo:Cyclic symmetry ultra.png|80px]]
|- align=center
!Imágenes<br />impares<br />(inversas)
|[[Archivo:Cyclic symmetry 1b.svg|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 2b.svg|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 3b.png|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 4b.png|80px]]
|[[Archivo:Cyclic symmetry infinb.png|80px]]
|
|[[Archivo:Cyclic symmetry ultrab.png|80px]]
|- align=center
!Coxeter
|{{DCD|node_h2}}<br />[ ]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}<br />[2]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}<br />[3]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}<br />[4]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|p|node_h2}}<br />[p]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}<br />[&infin;]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}<br />[&infin;]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|ultra|node_h2}}<br />[i&pi;/&lambda;]<sup>+</sup>
|-
!Orden
!1
!2
!3
!4
!''p''
!colspan=3|&infin;
|- align=center
|colspan=9|Los subgrupos cíclicos representan reflexiones alternas, todas imágenes son pares (directas).
|}

{|class="wikitable"
|-
! Grupo
! [[notación de Hermann-Mauguin|Internac.]]
! [[notación orbifold|Orbifold]]
! Coxeter
! [[Diagrama de Coxeter-Dynkin|Diagrama de Coxeter]]
! Orden
! Descripción
|-
!colspan=7|Finito
|- align=center
|Z<sub>''n''</sub>
|''n''
|n&bull;
|[n]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|n|node_h2}}
|''n''
|Cíclico: rotaciones de multiplicidad ''n''. Grupo abstracto Z<sub>''n''</sub>, el grupo de los números enteros bajo la suma de módulo ''n''.
|- align=center
|D<sub>2''n''</sub>
|''n''m
|*n&bull;
|[n]
|{{DCD|node|n|node}}
|2''n''
|Diédrico: cíclico con reflexiones. Grupo abstracto Dih<sub>''n''</sub>, el [[grupo diedral|grupo diédrico]].
|-
!colspan=7|Afín
|- align=center
|Z<sub>∞</sub>
|∞
|∞&bull;
|[∞]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}
|∞
|Cíclico: ''[[grupo apeirogonal]]''. Grupo abstracto Z<sub>∞</sub>, el grupo de los números enteros bajo la suma.
|- align=center
|Dih<sub>∞</sub>
|∞m
|*∞&bull;
|[∞]
|{{DCD|node|infin|node}}
|∞
|Diédrico: reflexiones paralelas. [[Grupo diédrico infinito]] abstracto Dih<sub>∞</sub>.
|-
!colspan=7|Hiperbólico
|- align=center
|Z<sub>∞</sub>
|
|
|[πi/λ]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|ultra|node_h2}}
|∞
|''Grupo pseudogonal'' 
|- align=center
|Dih<sub>∞</sub>
|
|
|[πi/λ]
|{{DCD|node|ultra|node}}
|∞
|''Grupo pseudogonal completo'' 
|}

==Grupos de rango 3==
{{VT|Grupos de puntos en tres dimensiones|Anexo:Grupos de simetría esférica}}

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre corchetes, relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:
{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Grupos finitos de isometría en 3D<ref name="subgroups">Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 ''Finite groups of isometries in 3-space''</ref>
|-
!colspan=6|Grupos de rotación||colspan=6|Grupos extendidos
|-
!Nombre||Corchetes||[[notación orbifold|Orb]]||[[notación de Schöenflies|Sch]]||Abstracto||Orden||Nombre||Corchetes||[[notación orbifold|Orb]]||[[notación de Schöenflies|Sch]]||Abstracto||Orden
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Identidad||rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|[&nbsp;]<sup>+</sup>||rowspan=2|11||rowspan=2|C<sub>1</sub>||rowspan=2|Z<sub>1</sub>||rowspan=2|1
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Bilateral||BGCOLOR="#f0f0ff"|[1,1]= [&nbsp;]||*||D<sub>2</sub>||Z<sub>2</sub>||2
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Central||BGCOLOR="#fffff0"|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||×||C<sub>i</sub>||2×Z<sub>1</sub>||2
|-
|rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|Acrorrómbico||rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|[1,2]<sup>+</sup>= [2]<sup>+</sup>||rowspan=3|22||rowspan=3|C<sub>2</sub>||rowspan=3|Z<sub>2</sub>||rowspan=3|2
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Acrorrectangular||BGCOLOR="#f0f0ff"|[1,2]= [2]||*22||C<sub>2v</sub>||D<sub>4</sub>||4
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Girorrómbico||BGCOLOR="#fffff0"|[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||2×||S<sub>4</sub>||Z<sub>4</sub>||4
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Ortorrómbico||BGCOLOR="#f0fff0"|[2,2<sup>+</sup>]||2*||D<sub>1d</sub>||Z<sub>2</sub>×Z<sub>2</sub>||4

|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Pararrómbico||rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|[2,2]<sup>+</sup>||rowspan=2|222||rowspan=2|D<sub>2</sub>||rowspan=2|D<sub>4</sub>||rowspan=2|4
|BGCOLOR="#f0fff0"|Girorrectangular||BGCOLOR="#f0fff0"|[2<sup>+</sup>,4]||2*2||D<sub>2d</sub>||D<sub>8</sub>||8
|-
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Ortorrectangular||BGCOLOR="#f0f0ff"|[2,2]||*222||D<sub>2h</sub>||Z<sub>2</sub>×D<sub>4</sub>||8

|-
|rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|Acro-''p''-gonal||rowspan=3 BGCOLOR="#fff0f0"|[1,''p'']<sup>+</sup>= [''p'']<sup>+</sup>||rowspan=3|''pp''||rowspan=3|C<sub>''p''</sub>||rowspan=3|Z<sub>''p''</sub>||rowspan=3|''p''
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Acro-''p''-gonal completo||BGCOLOR="#f0f0ff"|[1,''p'']= [''p'']||*''pp''||C<sub>''p''v</sub>||D<sub>2''p''</sub>||2''p''
|-
|BGCOLOR="#fffff0"|Giro-''p''-gonal||BGCOLOR="#fffff0"|[2<sup>+</sup>,2''p''<sup>+</sup>]||''p''×||S<sub>2''p''</sub>||Z<sub>2''p''</sub>||2''p''
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Orto-''p''-gonal||BGCOLOR="#f0fff0"|[2,''p''<sup>+</sup>]||''p''*||C<sub>''p''h</sub>||Z<sub>2</sub>×Z<sub>''p''</sub>||2''p''

|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Para-''p''-gonal||rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|[2,p]<sup>+</sup>||rowspan=2|''p''22||rowspan=2|D<sub>2''p''</sub>||rowspan=2|D<sub>2''p''</sub>||rowspan=2|2''p''
|BGCOLOR="#f0fff0"|Giro-''p''-gonal completo||BGCOLOR="#f0fff0"|[2<sup>+</sup>,2''p'']||2*''p''||D<sub>''p''d</sub>||D<sub>4''p''</sub>||4''p''
|-
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Orto-''p''-gonal completo||BGCOLOR="#f0f0ff"|[2,''p'']||*''p''22||D<sub>p''h''</sub>||Z<sub>2</sub>×D<sub>2''p''</sub>||4''p''
|-
|rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|Tetraédrico||rowspan=2 BGCOLOR="#fff0f0"|[3,3]+||rowspan=2|332||rowspan=2|T||rowspan=2|A<sub>4</sub>||rowspan=2|12
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Tetraédrico completo||BGCOLOR="#f0f0ff"|[3,3]||*332||T<sub>d</sub>||S<sub>4</sub>||24
|-
|BGCOLOR="#f0fff0"|Piritoédrico||BGCOLOR="#f0fff0"|[3<sup>+</sup>,4]||3*2||T<sub>h</sub>||2×A<sub>4</sub>||24
|-
|BGCOLOR="#fff0f0"|Octaédrico||BGCOLOR="#fff0f0"|[3,4]<sup>+</sup>||432||O||S<sub>4</sub>||24
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Octaédrico completo||BGCOLOR="#f0f0ff"|[3,4]||*432||O<sub>h</sub>||2×S<sub>4</sub>||48
|-
|BGCOLOR="#fff0f0"|Icosaédrico||BGCOLOR="#fff0f0"|[3,5]<sup>+</sup>||532||I||A<sub>5</sub>||60
|BGCOLOR="#f0f0ff"|Icosaédrico completo||BGCOLOR="#f0f0ff"|[3,5]||*532||I<sub>h</sub>||2×A<sub>5</sub>||120
|}

[[Archivo:Pyritohedral in icosahedral symmetry es.png|thumb|450px|La [[simetría tetraédrica]], [3+,4], es un subgrupo de índice 5 de la [[simetría icosaédrica]], [5,3] ]]

En tres dimensiones, el ''grupo ortorrómbico completo'' u ''ortorrectangular'' [2,2], de forma abstracta Z<sub>2</sub><sup>3</sup>, de [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados {{DCD|node|2|node|2|node}}). También se puede representar como el [[producto directo]] [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

Primero hay un subgrupo "semidirecto", el ''grupo ortorrómbico'', [2,2<sup>+</sup>] ({{DCD|node|2|node_h2|2x|node_h2}} o {{DCD|node|2|node_h2|3|2c|3|node_h2}}), abstractamente Z<sub>2</sub>×''Z''<sub>2</sub>, de orden 4. Cuando el superíndice '''+''' se encuentra dentro de los corchetes, lo que significa que los reflejos generados solo por los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter, {{DCD|node|2|node|2|node}}) se alternan. En general, las órdenes de rama vecinas al nodo '''+''' deben ser pares. En este caso [2,2<sup>+</sup>] y [2<sup>+</sup>,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el ''grupo pararrómbico'' [2,2]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2|3|2c|3|node_h2}}), también de orden 4, y finalmente el ''[[Simetría central|grupo central]]'' [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>] ({{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h4|3|2c|3|node_h2}}) de orden 2.

Luego está el grupo orto-''p''-gonal completo, [2,p] ({{DCD|node|2|node|p|node}}), abstractamente Z<sub>2</sub>×D<sub>2''p''</sub>, de orden 4p, que representa dos espejos en un [[ángulo diedro]] π/''p'', y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como {{DCD|node|p|node|2|node}}.

El subgrupo directo se denomina grupo para-''p''-gonal, [2,p]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|2x|node_h2|p|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2|p|node_h2}}), en abstracto D<sub>2''p''</sub>, de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p<sup>+</sup>] ({{DCD|node|2|node_h2|p|node_h2}}) en abstracto Z<sub>2</sub> ×''Z''<sub>''p''</sub>, también de orden 2p.

El grupo giro-''p''-gonal completo, [2<sup>+</sup>,2''p''] ({{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|p|node}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2|2|p|node}}), en abstracto D<sub>4''p''</sub> y de orden 4''p''. El grupo giro-''p''-gonal, [2<sup>+</sup>,2p<sup>+</sup>] ({{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|p|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h4|2x|p|node_h2}}), abstractamente ''Z''<sub>2''p''</sub>, de orden 2''p'', es un subgrupo de [2<sup>+</sup>,2'' p''] y de [2,2''p''<sup>+</sup>].

Los [[grupo poliédrico|grupos poliédricos]] se basan en la simetría de los [[sólidos platónicos]]: [[tetraedro]], [[octaedro]], [[cubo]], [[icosaedro]] y [[dodecaedro]], con [[símbolo de Schläfli|símbolos de Schläfli]] {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] ({{DCD|node|3|node|3|node}}), [3,4] ({{DCD|node|3|node|4|node}}), [3,5] ({{DCD|node|3|node|5|node}}); conocidos como [[simetría tetraédrica]], [[simetría octaédrica]] y [[simetría icosaédrica]] completas, con órdenes 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos [3,3]<sup>+</sup>({{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}), octaédricos [3,4]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2}}) e icosaédricos [3,5]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|3|node_h2|5|node_h2}}) de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo de [[simetría tetraédrica]], [3<sup>+</sup>,4] ({{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node}} o {{DCD|node_h2|3|node_h2|2|4|node}}), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y de reflexión. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica: {{DCD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}} → {{DCD|2_n0|node_n1|3_n0|4|node_h2|3_n1|3_n2|node_h2}}, con un espejo virtual '''1''' a través de '''0''', {010} y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3] ({{DCD|node|3|node|3|node}}), tiene un {{Brackets|3,3}} duplicado (que se puede representar con nodos coloreados {{DCD|node_c1|3|node_c2|3|node_c1}}), aplicando el primer y el último espejo entre sí, se produce el [3,4] ({{DCD|node|3|node|4|node}} o grupo {{DCD|node_c2|3|node_c1|4|node}}). El subgrupo [3,4,1<sup>+</sup>] ({{DCD|node|3|node|2c|4|2c|node_h2}} o {{DCD|node|3|node|4|node_h0}}) es igual a [3,3] y [3<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>] ({{DCD|node_h2|3|node_h2|2c|4|2c|node_h2}} o {{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h0}}) es igual a [3,3]<sup>+</sup>.

{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=2|Ejemplo de árboles de subgrupos de grupos finitos de Coxeter de rango 3
|-
! [[Simetría tetraédrica]]
! [[Simetría octaédrica]]
|- valign=top
|[[Archivo:Tetrahedral subgroup tree es.png|300px]]
|rowspan=3|[[Archivo:Octahedral symmetry tree conway es.png|500px]]
|-
![[Simetría icosaédrica]]
|-
|[[Archivo:Icosahedral subgroup tree es.png|300px]]
|}

{|class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan=2|Finito ([[grupos de puntos en tres dimensiones]])
|- valign=top
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! [[notación de Hermann-Mauguin|Internac.]]*
! Geo<br /><ref>''The Crystallographic Space groups in Geometric algebra'', D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) [[PDF]] [http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/CrystalGA.pdf] {{Wayback|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/CrystalGA.pdf|date=20201020021821}}</ref>
! [[notación orbifold|Orb.]]
! [[notación de Schönflies|Schön.]]
! Estruct.
! colspan=2|Coxeter
! Ord.
|-
|1
|{{overline|1}}
|1
|C<sub>1</sub>
|Z<sub>1</sub>
|[]= [&nbsp;]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h0}}= {{DCD|node_h2}}
|1
|-
|{{overline|2}}= m
|1
|*
|C<sub>s</sub>
|Z<sub>2</sub>
|[&nbsp;]||{{DCD|node}}
|2
|- valign=top
|2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />n
|{{overline|2}}<br />{{overline|3}}<br />{{overline|4}}<br />{{overline|5}}<br />{{overline|6}}<br />{{overline|n}}
|22<br />33<br />44<br />55<br />66<br />nn
|C<sub>2</sub><br />C<sub>3</sub><br />C<sub>4</sub><br />C<sub>5</sub><br />C<sub>6</sub><br />C<sub>n</sub>
|Z<sub>2</sub><br />Z<sub>3</sub><br />Z<sub>4</sub><br />Z<sub>5</sub><br />Z<sub>6</sub><br />Z<sub>n</sub>
|[1,2]<sup>+</sup><br />[1,3]<sup>+</sup><br />[1,4]<sup>+</sup><br />[1,5]<sup>+</sup><br />[1,6]<sup>+</sup><br />[1,n]<sup>+</sup><br />
|{{DCD|node_h0|2|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h0|2|node_h2|3|node_h2}}<br />{{DCD|node_h0|2|node_h2|4|node_h2}}<br />{{DCD|node_h0|2|node_h2|5|node_h2}}<br />{{DCD|node_h0|2|node_h2|6|node_h2}}<br />{{DCD|node_h0|2|node_h2|n|node_h2}}
|2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />'''n'''
|- valign=top
|2mm<br />3m<br />4mm<br />5m<br />6mm<br />''n''mm<br />''n''m
|2<br />3<br />4<br />5<br />6<br />n
|*22<br />*33<br />*44<br />*55<br />*66<br />*''nn''
|C<sub>2v</sub><br />C<sub>3v</sub><br />C<sub>4v</sub><br />C<sub>5v</sub><br />C<sub>6v</sub><br />C<sub>nv</sub>
|D<sub>2</sub><br />D<sub>3</sub><br />D<sub>4</sub><br />D<sub>5</sub><br />D<sub>6</sub><br />D<sub>n</sub>
|[1,2]<br />[1,3]<br />[1,4]<br />[1,5]<br />[1,6]<br />[1,''n'']
|{{DCD|node_h0|2|node|2|node}}<br />{{DCD|node_h0|2|node|3|node}}<br />{{DCD|node_h0|2|node|4|node}}<br />{{DCD|node_h0|2|node|5|node}}<br />{{DCD|node_h0|2|node|6|node}}<br />{{DCD|node_h0|2|node|n|node}}
|4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
|2/m<br />3/m<br />4/m<br />5/m<br />6/m<br />''n''/m
|{{overline|2}} 2<br />{{overline|3}} 2<br />{{overline|4}} 2<br />{{overline|5}} 2<br />{{overline|6}} 2<br />{{overline|n}} 2
|2*<br />3*<br />4*<br />5*<br />6*<br />n*
|C<sub>2h</sub><br />C<sub>3h</sub><br />C<sub>4h</sub><br />C<sub>5h</sub><br />C<sub>6h</sub><br />C<sub>nh</sub>
|Z<sub>2</sub>×Z<sub>2</sub><br />Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub><br />Z<sub>2</sub>×Z<sub>4</sub><br />Z<sub>2</sub>×Z<sub>5</sub><br />Z<sub>2</sub>×Z<sub>6</sub><br />Z<sub>2</sub>×Z<sub>n</sub>
|[2,2<sup>+</sup>]<br />[2,3<sup>+</sup>]<br />[2,4<sup>+</sup>]<br />[2,5<sup>+</sup>]<br />[2,6<sup>+</sup>]<br />[2,n<sup>+</sup>]
|{{DCD|node|2|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|3|node_h2}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|4|node_h2}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|5|node_h2}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|6|node_h2}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
|{{overline|1}}<br />{{overline|4}}<br />{{overline|3}}<br />{{overline|8}}<br />{{overline|5}}<br />{{overline|12}}<br />{{overline|2n}}<br />{{overline|n}}
|{{overline|2 2}}<br />{{overline|4 2}}<br />{{overline|6 2}}<br />{{overline|8 2}}<br />{{overline|10 2}}<br />{{overline|12 2}}<br />{{overline|2n 2}}
|1&times;<br />2&times;<br />3&times;<br />4&times;<br />5&times;<br />6&times;<br />n&times;
|C<sub>i</sub>= S<sub>2</sub><br />S<sub>4</sub><br />S<sub>6</sub><br />S<sub>8</sub><br />S<sub>10</sub><br />S<sub>12</sub><br />S<sub>2n</sub>
|Z<sub>2</sub><br />Z<sub>4</sub><br />Z<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub><br />Z<sub>8</sub><br />Z<sub>10</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>5</sub><br />Z<sub>12</sub><br />Z<sub>2n</sub>
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,8<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,10<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,12<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]
|{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|4|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|8|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|10|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|12|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|2<br />4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|}
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! [[notación de Hermann-Mauguin|Internac.]]
! Geo
! [[notación orbifold notation|Orb.]]
! [[notación de Schönflies|Schön.]]
! Estruct.
! colspan=2|Coxeter
! Ord.
|- valign=top
|222<br />32<br />422<br />52<br />622<br />n22<br />n2
|{{overline|2}} {{overline|2}}<br />{{overline|3}} {{overline|2}}<br />{{overline|4}} {{overline|2}}<br />{{overline|5}} {{overline|2}}<br />{{overline|6}} {{overline|2}}<br />{{overline|n}} {{overline|2}}
|222<br />223<br />224<br />225<br />226<br />22n
|D<sub>2</sub><br />D<sub>3</sub><br />D<sub>4</sub><br />D<sub>5</sub><br />D<sub>6</sub><br />D<sub>''n''</sub>
|D<sub>4</sub><br />D<sub>6</sub><br />D<sub>8</sub><br />D<sub>10</sub><br />D<sub>12</sub><br />D<sub>2''n''</sub>
|[2,2]<sup>+</sup><br />[2,3]<sup>+</sup><br />[2,4]<sup>+</sup><br />[2,5]<sup>+</sup><br />[2,6]<sup>+</sup><br />[2,n]<sup>+</sup>
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|4|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|5|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|6|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|4<br />6<br />8<br />10<br />12<br />'''2n'''
|- valign=top
|mmm<br />{{overline|6}}m{{Exp|2}}<br />4/mmm<br />{{overline|10}}m{{Exp|2}}<br />6/mmm<br />n/mmm<br />{{overline|2n}}m{{Exp|2}}
|2 2<br />3 2<br />4 2<br />5 2<br />6 2<br />n 2
|*222<br />*223<br />*224<br />*225<br />*226<br />*22n
|D<sub>2h</sub><br />D<sub>3h</sub><br />D<sub>4h</sub><br />D<sub>5h</sub><br />D<sub>6h</sub><br />D<sub>''n''h</sub>
|Z<sub>2</sub>×D<sub>4</sub><br />Z<sub>2</sub>×D<sub>6</sub><br />Z<sub>2</sub>×D<sub>8</sub><br />Z<sub>2</sub>×D<sub>10</sub><br />Z<sub>2</sub>×D<sub>12</sub><br />Z<sub>2</sub>×D<sub>2''n''</sub>
|[2,2]<br />[2,3]<br />[2,4]<br />[2,5]<br />[2,6]<br />[2,n]
|{{DCD|node|2|node|2|node}}<br />{{DCD|node|2|node|3|node}}<br />{{DCD|node|2|node|4|node}}<br />{{DCD|node|2|node|5|node}}<br />{{DCD|node|2|node|6|node}}<br />{{DCD|node|2|node|n|node}}
|8<br />12<br />16<br />20<br />24<br />'''4n'''
|- valign=top
|{{Overline|4}}2m<br />{{Overline|3}}m<br />{{Overline|8}}2m<br />{{Overline|5}}m<br />{{Overline|12}}2m<br />{{Overline|2n}}2m<br />{{Overline|n}}m
|4 {{overline|2}}<br />6 {{overline|2}}<br />8 {{overline|2}}<br />10 {{overline|2}}<br />12 {{overline|2}}<br />n {{overline|2}}<br />
|2*2<br />2*3<br />2*4<br />2*5<br />2*6<br />2*n
|D<sub>2d</sub><br />D<sub>3d</sub><br />D<sub>4d</sub><br />D<sub>5d</sub><br />D<sub>6d</sub><br />D<sub>''n''d</sub>
|D<sub>4</sub><br />D<sub>6</sub><br />D<sub>8</sub><br />D<sub>10</sub><br />D<sub>12</sub><br />D<sub>2''n''</sub>
|[2<sup>+</sup>,4]<br />[2<sup>+</sup>,6]<br />[2<sup>+</sup>,8]<br />[2<sup>+</sup>,10]<br />[2<sup>+</sup>,12]<br />[2<sup>+</sup>,2n]
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2|4|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|6|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|8|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|10|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|12|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|8<br />12<br />16<br />20<br />24<br />'''4n'''
|-
|23
|{{overline|3}} {{overline|3}}
|332
|T
|A<sub>4</sub>
|[3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|12
|-
|m{{overline|3}}
|4 {{overline|3}}
|3*2
|T<sub>h</sub>
|A<sub>4</sub>×S<sub>2</sub>
|[3<sup>+</sup>,4]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node}}
|24
|-
|{{overline|4}}3m
|3 3
|*332
|T<sub>d</sub>
|S<sub>4</sub>
|[3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node}}
|24
|-
|432
|{{overline|4}} {{overline|3}}
|432
|O
|S<sub>4</sub>
|[3,4]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2}}
|24
|-
|m{{overline|3}}m
|4 3
|*432
|O<sub>h</sub>
|S<sub>4</sub>×S<sub>2</sub>
|[3,4]||{{DCD|node|3|node|4|node}}
|48
|-
|532
|{{overline|5}} {{overline|3}}
|532
|I
|A<sub>5</sub>
|[3,5]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|5|node_h2}}
|60
|-
|{{overline|5}}{{overline|3}}m
|5 3
|*532
|I<sub>h</sub>
|A<sub>4</sub>×S<sub>2</sub>
|[3,5]||{{DCD|node|3|node|5|node}}
|120
|}
|}

===Grupos afines===
{{VT|Anexo:Grupos de simetría plana}}

En el plano euclídeo hay 3 grupos fundamentales de reflexión generados por 3 espejos, representados por los diagramas de Coxeter {{DCD|node|4|node|4|node}}, {{DCD|node|6|node|3|node}} y {{DCD|node|split1|branch}}, y reciben la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3, 3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tiene una notación abreviada, [3<sup>[3]</sup>].

{{Brackets|4,4}}, como una duplicación del grupo [4,4], produce la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.

Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4]<sup>+</sup>, [6,3]<sup>+</sup> y [(3,3,3)]<sup>+</sup>. [4<sup>+</sup>,4] y [6,3<sup>+</sup>] son subgrupos semidirectos.
{|
|- valign=top
|
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Semiafín ([[friso (matemáticas)|frisos]])
! [[Unión Internacional de Cristalografía|IUC]]
! [[notación orbifold|Orb.]]
! Geo
! [[notación de Schoenflies|Sch.]]
! colspan=2|Coxeter
|- align=center
|p1||∞∞||p{{overline|1}}||C<sub>∞</sub>||[∞]= [∞,1]<sup>+</sup>= [∞<sup>+</sup>,2,1<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}= {{DCD|node_h2|infin|node_h2|2||node_h0}}
|- align=center
|p1m1||*∞∞||p1||C<sub>∞v</sub>||[∞]= [∞,1]= [∞,2,1<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node}}= {{DCD|node|infin|node|2|node_h0}}
|- align=center
|p11g||∞×||p.<sub>g</sub>1||S<sub>2∞</sub>||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
|p11m||∞*||p.&nbsp;1||C<sub>∞h</sub>||[∞<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2|node}}
|- align=center
|p2||22∞||p{{overline|2}}||D<sub>∞</sub>||[∞,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
|p2mg||2*∞||p2<sub>g</sub>||D<sub>∞d</sub>||[∞,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
|p2mm||*22∞||p2||D<sub>∞h</sub>||[∞,2]||{{DCD|node|infin|node|2|node}}
|}
|
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Afín ([[Grupo del papel pintado|grupos del papel pintado]])
! [[Unión Internacional de Cristalografía|IUC]]
! [[notación orbifold|Orb.]]
! Geo.
! colspan=2|Coxeter
|- align=center
|p2||2222||p{{overline|2}}||[4,1<sup>+</sup>,4]<sup>+</sup>||{{DCD|labelh|node|split1-44|branch_h2h2|label2}}
|- align=center
|p2gg||22×||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub>||[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}
|- align=center
|p2mm||*2222||p2||[4,1<sup>+</sup>,4]||{{DCD|node|4|node_h2|4|node}}<br />{{DCD|node|4|node_h0|4|node}}
|- align=center
|c2mm||2*22||c2||{{Brackets|4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>}}||{{DCD|node_h4b|split1-44|nodes_h2h2}}
|- align=center
|p4||442||p{{overline|4}}||[4,4]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}}
|- align=center
|p4gm||4*2||p<sub>g</sub>4||[4<sup>+</sup>,4]||{{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node}}
|- align=center
|p4mm||*442||p4||[4,4]||{{DCD|node|4|node|4|node}}
|- align=center
|p3||333||p{{overline|3}}||[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>]= [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h0|6|node_h2|3|node_h2}}= {{DCD|branch_h2h2|split2|node_h2}}
|- align=center
|p3m1||*333||p3||[1<sup>+</sup>,6,3]= [3<sup>[3]</sup>]||{{DCD|node_h0|6|node|3|node}}= {{DCD|branch|split2|node}}
|- align=center
|p31m||3*3||h3||[6,3<sup>+</sup>]= [3[3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>]||{{DCD|node|6|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
|p6||632||p{{overline|6}}||[6,3]<sup>+</sup>= [3[3<sup>[3]</sup>]]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|6|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
|p6mm||*632||p6||[6,3]= [3[3<sup>[3]</sup>]]||{{DCD|node|6|node|3|node}}
|}
|}
Expresados en notación de Coxeter (y [[notación orbifold]] entre paréntesis), algunos subgrupos afines de índice bajo son:
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|-
! Grupo<br />reflexivo
! Subgrupo<br />reflexivo
! Subgrupo<br />mixto
! Subgrupo<br />rotativo
! [[Rotación impropia|Rotorreflexion]]/<br />[[traslación (geometría)|traslación]]
! [[Subgrupo conmutador|Subgrupo<br />conmutador]]
|-
|[4,4], (*442)
|[1<sup>+</sup>,4,4], (*442)<br />[4,1<sup>+</sup>,4], (*2222)<br />[1<sup>+</sup>,4,4,1<sup>+</sup>], (*2222)
|[4<sup>+</sup>,4], (4*2)<br /> [(4,4,2<sup>+</sup>)], (2*22)<br /> [1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>,4], (2*22)
|[4,4]<sup>+</sup>, (442)<br />[1<sup>+</sup>,4,4<sup>+</sup>], (442)<br />[1<sup>+</sup>,4,1<sup>+</sup>4,1<sup>+</sup>], (2222)
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>], (22×)
|[4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]<sup>+</sup>, (2222)
|-
|[6,3], (*632)
|[1<sup>+</sup>,6,3]= [3<sup>[3]</sup>], (*333)
|[3<sup>+</sup>,6], (3*3)
|[6,3]<sup>+</sup>, (632)<br />[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>], (333)
|
|[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>], (333)
|}

==Grupos de rango 4==
{|class=wikitable width=640 align=right
|- valign=top
|[[Archivo:Polychoral group tree es.png|640px]]<br />Relaciones entre subgrupos
|}

===Grupos de puntos===
{{VT|Grupos de puntos en cuatro dimensiones}}

Los grupos de rango cuatro definen los [[grupo puntual|grupos puntuales]] de 4 dimensiones:
{{3-sphere symmetry groups2}}

====Subgrupos====

{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Grupos y subgrupos reflexivos de puntos 1D-4D
|-
! Orden
! colspan=2|Reflexión
! colspan=4|Subgrupos<br />semidirectos
! colspan=2|[[Grupos de puntos en tres dimensiones|Subgrupos<br />directos]]
! colspan=2|[[Subgrupo conmutador|Subgrupo<br />conmutador]]
|-
!2
![&nbsp;]||{{DCD|node}}
|||
|||
|[ ]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2}}
|[&nbsp;]<sup>+1</sup>
|rowspan=5|[&nbsp;]<sup>+</sup>
|-
!4
![2]||{{DCD|node|2|node}}
|||
|||
|[2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|[2]<sup>+2</sup>
|-
!8
![2,2]||{{DCD|node|2|node|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|[2,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}
|[2,2]<sup>+3</sup>
|-
!rowspan=2|16
![2,2,2]||{{DCD|node|2|node|2|node|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2,2]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node|2|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|2|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|[2,2,2]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=2|[2,2,2]<sup>+4</sup>
|-
![2<sup>1,1,1</sup>]||{{DCD|node|2|node|2|nodes}}
|||
|[(2<sup>+</sup>)<sup>1,1,1</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|split1-22|nodes_h2h2}}
|||
|-
!2n
![n]||{{DCD|node|n|node}}
|||
|||
|[n]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|n|node_h2}}
|[n]<sup>+1</sup>
|rowspan=8|[n]<sup>+</sup>
|-
!4n
![2n]||{{DCD|node|2x|n|node}}
|||
|||
|[2n]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|n|node_h2}}
|[2n]<sup>+2</sup>
|-
!4n
![2,n]||{{DCD|node|2|node|n|node}}
|[2,n<sup>+</sup>]||{{DCD|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|||
|[2,n]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|[2,n]<sup>+2</sup>
|-
!8n
![2,2n]||{{DCD|node|2|node|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2n]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|[2,2n]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node_h2}}
|[2,2n]<sup>+3</sup>
|-
!8n
![2,2,n]||{{DCD|node|2|node|2|node|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2,n]<br />[2,2,n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node|n|node}}<br />{{DCD|node|2|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|[2<sup>+</sup>,(2,n)<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|n|node_h2}}
|[2,2,n]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2,n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|node_h2|n|node_h2}}
|[2,2,n]<sup>+3</sup>
|-
!rowspan=3|16n
![2,2,2n]||{{DCD|node|2|node|2|node|2x|n|node}}
|[2,2<sup>+</sup>,2n]||{{DCD|node|2|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n]<br />[2,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]<br />[(2,2)<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]<br />[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2|2x|n|node}}<br />{{DCD|node|2|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|rowspan=3|[2,2,2n]<sup>+</sup><br />[2<sup>+</sup>,2n,2<sup>+</sup>]||rowspan=3|{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|2x|node_h2|2|2x|n|2|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=3|[2,2,2n]<sup>+4</sup>
|-
![2,2n,2]||{{DCD|node|2|node|2x|n|node|2|node}}
|||
|[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h4|2x|node_h2}}
|-
![2n,2<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node|2x|n|node|2|nodes}}
|||
|[2n<sup>+</sup>,(2<sup>+</sup>)<sup>1,1</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|n|node_h4|split1-22|nodes_h2h2}}
|-
!24
![3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[3,3]<sup>+1</sup>
|rowspan=5|[3,3]<sup>+</sup>
|-
!48
![3,3,2]||{{DCD|node|3|node|3|node|2|node}}
|[(3,3)<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|||
|[3,3,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|[3,3,2]<sup>+2</sup>
|-
!48
![4,3]||{{DCD|node|4|node|3|node}}
|[4,3<sup>+</sup>]||{{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2}}
|||
|[4,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}
|[4,3]<sup>+2</sup>
|-
!rowspan=2|96
![4,3,2]||{{DCD|node|4|node|3|node|2|node}}
|[(4,3)<sup>+</sup>,2]<br />[4,(3,2)<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|2|node}}<br />{{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|||
|[4,3,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|rowspan=2|[4,3,2]<sup>+3</sup>
|-
![3,4,2]||{{DCD|node|3|node|4|node|2|node}}
|[3,4,2<sup>+</sup>]<br />[3<sup>+</sup>,4,2]||{{DCD|node|3|node|4|node_h2|2x|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node|2|node}}
|[(3,4)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h4|2x|node_h2}}
|[3<sup>+</sup>,4,2<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|2|4|2|node_h2|2x|node_h2}}
|-
!120
![5,3]||{{DCD|node|5|node|3|node}}
|||
|||
|[5,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}}
|[5,3]<sup>+1</sup>
|rowspan=2|[5,3]<sup>+</sup>
|-
!240
![5,3,2]||{{DCD|node|5|node|3|node|2|node}}
|[(5,3)<sup>+</sup>,2]||{{DCD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|||
|[5,3,2]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|2x|node_h2}}
|[5,3,2]<sup>+2</sup>
|-
!4pq
![p,2,q]||{{DCD|node|p|node|2|node|q|node}}
|[p<sup>+</sup>,2,q]||{{DCD|node_h2|p|node_h2|2|node|q|node}}
|||
|[p,2,q]<sup>+</sup><br />[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|p|node_h2|2|node_h2|q|node_h2}}
|[p,2,q]<sup>+2</sup>
|rowspan=3|[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]
|-
!8pq
![2p,2,q]||{{DCD|node|2x|p|node|2|node|q|node}}
|[2p,(2,q)<sup>+</sup>]||{{DCD|node|2x|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p<sup>+</sup>,(2,q)<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p,2,q]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h2|2x|node_h2|q|node_h2}}
|[2p,2,q]<sup>+3</sup>
|-
!16pq
![2p,2,2q]||{{DCD|node|2x|p|node|2|node|2x|q|node}}
|[2p,2<sup>+</sup>,2q]||{{DCD|node|2x|p|node_h2|2x|node_h2|2x|q|node}}
|[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q]<br />[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q<sup>+</sup>]<br />[(2p,(2,2q)<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h2|2x|q|node}}<br />{{DCD|node_h2|2x|p|node_h4|2x|node_h4|2x|q|node_h2}}<br /> -
|[2p,2,2q]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|2x|p|node_h2|2x|node_h2|2x|q|node_h2}}
|[2p,2,2q]<sup>+4</sup>
|-
!120
![3,3,3]||{{DCD|node|3|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[3,3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[3,3,3]<sup>+1</sup>
|[3,3,3]<sup>+</sup>
|-
!192
![3<sup>1,1,1</sup>]||{{DCD|node|3|node|split1|nodes}}
|||
|||
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|3|node_h2|split1|nodes_h2h2}}
|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+1</sup>
|rowspan=2|[3<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>
|-
!384
![4,3,3]||{{DCD|node|4|node|3|node|3|node}}
|[4,(3,3)<sup>+</sup>]||{{DCD|node|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|||
|[4,3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[4,3,3]<sup>+2</sup>
|-
!1152
![3,4,3]||{{DCD|node|3|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>+</sup>,4,3]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node|3|node}}
|||
|[3,4,3]<sup>+</sup><br />[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}<br />{{DCD|node_h2|3|node_h2|2|4|2|node_h2|3|node_h2}}
|[3,4,3]<sup>+2</sup>
|[3<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>]
|-
!14400
![5,3,3]||{{DCD|node|5|node|3|node|3|node}}
|||
|||
|[5,3,3]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}
|[5,3,3]<sup>+1</sup>
|[5,3,3]<sup>+</sup>
|}

===Grupos espaciales===
{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=3|Grupos espaciales
|- valign=top
|width=320|[[Archivo:Coxeter diagram affine rank4 correspondence es.png|320px]]<br />Isomorfismo afín y correspondencias
|width=240|[[Archivo:Cubic space subgroup tree coxeter notation.png|240px]]<br />Los 8 grupos espaciales cúbicos como simetría extendida de [3<sup>[4]</sup>], con diagramas cuadrados de Coxeter y dominios fundamentales reflexivos
|width=240|[[Archivo:35 cubic fibrifold groups es.png|240px]]<br />Los 35 grupos espaciales cúbicos en notación internacional, [[notación fibrifold]] y de Coxeter
|}

{{List_space_groups_Coxeter_notation}}

===Grupos lineales===

Los grupos de rango cuatro también definen los [[grupos lineales]] tridimensionales:
{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Grupos (3D) semiafines
|-
! colspan=3|Grupo puntual
! colspan=8|Grupo lineal
|-
! colspan=2|Hermann-Mauguin
! rowspan=2|Schönflies
! colspan=2|Hermann-Mauguin
! rowspan=2|Tipo desplazado
! colspan=3|Papel pintado
! rowspan=2 colspan=2|Coxeter<br />[∞<sub>h</sub>,2,p<sub>v</sub>]
|-
! ''n'' par||''n'' impar
! ''n'' par||''n'' impar
![[Unión Internacional de Cristalografía|IUC]]
![[Orbifold]]
!Diagrama
|-
|colspan=2|''n''
|C<sub>''n''</sub>
|colspan=2|P''n''<sub>''q''</sub>
|Hélice: ''q''
|p1
||o||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2,n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2|node_h2|n|node_h2}}
|-
|{{overline|2''n''}}
|{{overline|''n''}}
|S<sub>2''n''</sub>
|P{{overline|2''n''}}
|P{{overline|''n''}}
|None
|p11g, pg(h)
||××||[[Archivo:Wallpaper group diagram pg.svg|60px]]
||[(∞,2)<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|-
|''n''/m
|{{overline|2''n''}}
|C<sub>''n''h</sub>
|P''n''/m
|P{{overline|2''n''}}
|Ninguno
|p11m, pm(h)
||**||[[Archivo:Wallpaper group diagram pm.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2,n]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2|node|n|node}}
|-
|colspan=2|2''n''/m
|C<sub>2''n''h</sub>
|colspan=2|P2''n''<sub>''n''</sub>/m
|Zigzag
|c11m, cm(h)
||*×||[[Archivo:Wallpaper group diagram cm.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2n]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|2x|n|node}}
|-
|rowspan=2|''n''mm
|rowspan=2|''n''m
|rowspan=2|C<sub>''n''v</sub>
|P''n''mm
|P''n''m
|Ninguno
|p1m1, pm(v)
||**||[[Archivo:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|60px]]
||[∞,2,n<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node|2|node_h2|n|node_h2}}
|-
|P''n''cc
|P''n''c
|Reflexión plana
|p1g1, pg(v)
||××||[[Archivo:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|60px]]
||[∞<sup>+</sup>,(2,n)<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
|colspan=2|2''n''mm
|C<sub>2''n''v</sub>
|colspan=2|P2''n''<sub>''n''</sub>mc
|Zigzag
|c1m1, cm(v)
||*×||[[Archivo:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|60px]]
||[∞,2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h4|2x|n|node_h2}}
|-
|''n''22
|''n''2
|D<sub>''n''</sub>
|P''n''<sub>''q''</sub>22
|P''n''<sub>''q''</sub>2
|Hélice: ''q''
|p2
||2222||[[Archivo:Wallpaper group diagram p2.svg|60px]]
||[∞,2,n]<sup>+</sup>||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
|rowspan=2|{{overline|2''n''}}2m
|rowspan=2|{{overline|''n''}}m
|rowspan=2|D<sub>''n''d</sub>
|P{{overline|2''n''}}2m
|P{{overline|''n''}}m
|Ninguno
|p2mg, pmg(h)
||22*||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmg.svg|60px]]
||[(∞,2)<sup>+</sup>,2n]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|-
|P{{overline|2''n''}}2c
|P{{overline|''n''}}c
|Reflexión plana
|p2gg, pgg
||22×||[[Archivo:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|60px]]
||[<sup>+</sup>(∞,(2),2n)<sup>+</sup>]||<!--{{DCD|node_h2|split1-2i||nodes_h4h4|split2-i2|node_h2}}-->
|-
|rowspan=2|''n''/mmm
|rowspan=2|{{overline|2''n''}}2m
|rowspan=2|D<sub>''n''h</sub>
|P''n''/mmm
|P{{overline|2''n''}}2m
|Ninguno
|p2mm, pmm
||*2222||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmm.svg|60px]]
||[∞,2,n]||{{DCD|node|infin|node|2|node|n|node}}
|-
|P''n''/mcc
|P{{overline|2''n''}}2c
|Reflexión plana
|p2mg, pmg(v)
||22*||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|60px]]
||[∞,(2,n)<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|n|node_h2}}
|-
|colspan=2|2''n''/mmm
|D<sub>2''n''h</sub>
|colspan=2|P2''n''<sub>''n''</sub>/mcm
|Zigzag
|c2mm, cmm
||2*22||[[Archivo:Wallpaper group diagram cmm.svg|60px]]
||[∞,2<sup>+</sup>,2n]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|2x|n|node}}
|}

===Grupo duoprismático===
{|class="wikitable collapsible collapsed" align=right width=400
!Simetría duoprismática extendida
|-
|[[Archivo:Extended duoprismatic groups tree es.png|400px]]
|-
||Grupos duoprismáticos extendidos, [p]×[p] o [p,2,p] o {{DCD|labelp|branch|2|branch|labelp}}, expresados en relación con su simetría de dominio fundamental [[disfenoide]].
|}
Los grupos de rango cuatro definen los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite, cuando p y q tienden a infinito, degeneran en 2 dimensiones y se convierten en los grupos del papel pintado.
{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Grupos duoprismáticos (4D)
|-
! colspan=3|Papel pintado
! rowspan=2|Coxeter<br />[p,2,q]<br />{{DCD|node_c1|p|node_c2|2|node_c3|q|node_c4}}
! rowspan=2|Coxeter<br />{{Brackets|p,2,p}}<br />{{DCD|node_c1|p|node_c2|2|node_c2|p|node_c1}}
! colspan=3|Papel pintado
|-
! [[Unión Internacional de Cristalografía|IUC]]
! [[Orbifold]]
! Diagrama
! IUC
! Orbifold
! Diagrama
|-
|p1||o||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
||[p<sup>+</sup>,2,q<sup>+</sup>]||{{Brackets|p<sup>+</sup>,2,p<sup>+</sup>}}
|p1||o||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|60px]]
|-
|pg||××||[[Archivo:Wallpaper group diagram pg.svg|60px]]
||[(p,2)<sup>+</sup>,2q<sup>+</sup>]||colspan=4|-
|-
|pm||**||[[Archivo:Wallpaper group diagram pm.svg|60px]]
||[p<sup>+</sup>,2,q]||colspan=4|-
|-
|cm||*×||[[Archivo:Wallpaper group diagram cm.svg|60px]]
||[2p<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,2q]||colspan=4|-
|-
|p2||2222||[[Archivo:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|60px]]
||[p,2,q]<sup>+</sup>||{{Brackets|p,2,p}}<sup>+</sup>
|p4||442||[[Archivo:Wallpaper group diagram p4 square.svg|60px]]
|-
|pmg||22*||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmg.svg|60px]]
||[(p,2)<sup>+</sup>,2q]||colspan=4|- 
|-
|pgg||22×||[[Archivo:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|60px]]
||[<sup>+</sup>(2p,(2),2q)<sup>+</sup>]||{{Brackets|<sup>+</sup>(2p,(2),2p)<sup>+</sup>}}
|cmm||2*22||[[Archivo:Wallpaper group diagram cmm square.svg|60px]]
|-
|pmm||*2222||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmm.svg|60px]]
||[p,2,q]||{{Brackets|p,2,p}}
|p4m||*442||[[Archivo:Wallpaper group diagram p4m square.svg|60px]]
|-
|cmm||2*22||[[Archivo:Wallpaper group diagram cmm.svg|60px]]
||[2p,2<sup>+</sup>,2q]||{{Brackets|2p,2<sup>+</sup>,2p}}
|p4g||4*2||[[Archivo:Wallpaper group diagram p4g square.svg|60px]]
|}

===Grupos del papel pintado===
Los grupos de rango cuatro también definen algunos de los [[grupo del papel pintado|grupos del papel pintado]] bidimensionales, como casos límite de los grupos de duoprismas de cuatro dimensiones:
{|class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=12|Grupo afín (plano 2D)
|- valign=top
|
{|class=wikitable style="text-align:center;"
! IUC
! [[notación orbifold|Orb.]]
! Geo
! colspan=2|Coxeter
!Diagrama
|-
|rowspan=3|p1||rowspan=3|o||rowspan=3|p{{overline|1}}||[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||{{DCD|labelinfin|branch_h2h2|2|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
|-
|[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h4|infin|node_h2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|60px]]
|-
|[(∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)]||{{DCD|labelinfin|branch_h4h4|2a2b|branch_h4h4|labelinfin}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|60px]]
|-
|rowspan=2|p2||rowspan=2|2222||rowspan=2|p{{overline|2}}||[∞,2,∞]<sup>+</sup>||{{DCD|label2|branch_h2h2|iaib|branch_h2h2|label2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|60px]]
|-
|[(∞,2<sup>+</sup>,∞,2<sup>+</sup>)]||{{DCD|label2|branch_h2h2|2|iaib|2|branch_h2h2|label2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg|60px]]
|-
|p11g||rowspan=2|××||rowspan=2|p<sub>g</sub>1||h: [∞<sup>+</sup>,(2,∞)<sup>+</sup>]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|split1-22|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pg.svg|65px]]
|-
|p1g1||v: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{DCD|labelinfin|branch_h2h2|split2-22|node_h4|infin|node_h2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|60px]]
|-
|p2gm||rowspan=2|22*||rowspan=2|p<sub>g</sub>2||h: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞]||{{DCD|labelinfin|branch_h2h2|split2-22|node_h2|infin|node}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmg.svg|65px]]
|-
|p2mg||v: [∞,(2,∞)<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node_h2|split1-22|branch_h2h2|labelinfin}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|60px]]
|}
|							
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! IUC
! Orb.
! Geo
! colspan=2|Coxeter
!Diagrama
|-
|p11m||rowspan=2|**||rowspan=2|p1||h: [∞<sup>+</sup>,2,∞]||{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2|node|infin|node}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pm.svg|80px]]
|-
|p1m1||v: [∞,2,∞<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node|2|node_h2|infin|node_h2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|70px]]
|-
|p2mm||*2222||p2||[∞,2,∞]||{{DCD|node|infin|node|2|node|infin|node}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pmm.svg|80px]]
|-
|c11m||rowspan=2|*×||rowspan=2|c1||h: [∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2|infin|node}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram cm.svg|80px]]
|-
|c1m1||v: [∞,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h4|infin|node_h2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|80px]]
|-
|p2gg||22×||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub>||[<sup>+</sup>(∞,(2),∞)<sup>+</sup>]<br />[((∞,2)<sup>+</sup>)<sup>[2]</sup>]||{{DCD|node_h2|split1-i2|nodes_h4h4|split2-2i||node_h2}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|80px]]
|-
|c2mm||2*22||c2||[∞,2<sup>+</sup>,∞]||{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h2|infin|node}}||[[Archivo:Wallpaper group diagram cmm.svg|80px]]
|}
|}

Los subgrupos de [8,2,8], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo conmutador de índice 16 como sigue:
{|class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan=12|Subgrupos de [∞,2,∞]
|-
! Grupo<br />reflexivo
! Subgrupo<br />reflexivo
! Subgrupo<br />mixto
! Subgrupo<br />rotativo
! [[Rotación impropia|Rotorreflexión]]/<br />[[traslación (geometría)|traslación]]
! [[Subgrupo conmutador|Subgrupo<br />conmutador]]
|-
|rowspan=2|[∞,2,∞], (*2222)
|rowspan=2|[1<sup>+</sup>,∞,2,∞], (*2222)
|[∞<sup>+</sup>,2,∞], (**)
|rowspan=2|[∞,2,∞]<sup>+</sup>, (2222)
|rowspan=2|[∞,2<sup>+</sup>,∞]<sup>+</sup>, (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>], (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>], (°)<br />[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞], (*×)<br />[(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>], (××)<br />[((∞,2)<sup>+</sup>,(∞,2)<sup>+</sup>)], (22×)
|rowspan=2|[(∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>)], (°)
|- 
|[∞,2<sup>+</sup>,∞], (2*22)<br />[(∞,2)<sup>+</sup>,∞], (22*)
|}

==Reflexiones complejas==
[[Archivo:Rank2_infinite_shephard_subgroups3.png|thumb|left|Algunas relaciones de subgrupos entre grupos infinitos de Shephard]]
[[Archivo:Rank2_shephard_subgroups3.png|thumb|Todas las relaciones de subgrupos en grupos Shephard de rango 2]]

La notación de Coxeter se ha ampliado al [[Espacio vectorial|espacio complejo]], C<sup>n</sup>, donde los nodos son [[reflexión unitaria|reflexiones unitarias]] de período 2 o superior. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los [[grupo de reflexión complejo|grupos de reflexión complejos]] se denominan [[grupo de Shephard|grupos de Shephard]] en lugar de [[grupo de Coxeter|grupos de Coxeter]] y se pueden utilizar para construir [[politopo complejo|politopos complejos]].

En <math>\mathbb{C}^1</math>, un grupo de Shephard de rango 1 {{DCD|pnode}}, orden ''p'', se representa como <sub>''p''</sub>[ ], [ ]<sub>''p''</sub> o ]<sub>''p''</sub>[. Tiene un solo generador, representando una rotación de 2''&pi;''/''p'' radianes en el [[plano complejo]]: <math>e^{2\pi i/p}</math>.

Coxeter anota el grupo complejo de rango 2, <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub> y lo representa mediante el [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] {{DCD|pnode|3|q|3|rnode}}. La ''p'' y la ''r'' solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [''q'']. El orden de un grupo de rango 2 <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub> es <math>g= 8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}</math>.<ref>Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179</ref>

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> (''p'' es 2,3,4,...), <sub>3</sub>[3]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>4</sub>[3]<sub>4</sub>, <sub>3</sub>[8]<sub>2</sub>, <sub>4</sub> (045)[6]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[5]<sub>3</sub>, <sub>5</sub>[3]<sub>5</sub>, <sub>3</sub> )[10]<sub>2</sub>, <sub>5</sub>[6]<sub>2</sub> y <sub>5</sub>[4]<sub>3</sub> con diagramas de Coxeter {{DCD|pnode|4|node}}, {{DCD|3node|3|3node}}, {{DCD|3node|6|node}} , {{DCD|3node|4|3node}}, {{DCD|4node|3|4node}}, {{DCD|3node|8|node}}, {{DCD|4node|6|node}}, {{DCD|4node|4|3node}}, {{DCD|3node|5|3node}}, {{DCD|5node|3|5node}}, {{DCD|3node|10|node}}, {{DCD|5node|6|node}}, {{DCD|5node|4|3node}} .

Los grupos infinitos son <sub>3</sub>[12]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[8]<sub>2</sub>, <sub>6</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[6]<sub>3</sub>, <sub>6</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>4</sub>[4]<sub>4</sub> y <sub>6</sub>[3]<sub>6</sub> o {{DCD|3node|12|node}}, {{DCD|4node|8|node}}, {{DCD|6node|6|node}}, {{DCD|3node|6|3node}}, {{DCD|6node|4|3node}}, {{DCD|4node|4|4node}}, {{DCD|6node|3|6node}}.

Los subgrupos de índice 2 existen al eliminar un reflejo real: <sub>''p''</sub>[2''q'']<sub>2</sub> &rarr; <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>. También existen subgrupos de índice ''r'' para 4 ramas: <sub>''p''</sub>[4]<sub>''r''</sub> &rarr; <sub>''p''</sub>[''r'']<sub>''p''</sub>.

Para la familia infinita <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub>, para cualquier ''p''= 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> &rarr; [''p''], índice ''p'', while y <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> &rarr; <sub>''p''</sub>[ ]×<sub>''p''</sub>[ ], índice 2.
{{Clear}}

==Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría==

Un grupo de Coxeter, representado por el [[diagrama de Coxeter-Dynkin]] {{DCD|node_n0|p|node_n1|q|node_n2}}, recibe la notación de Coxeter [p,q] según los órdenes de las ramas. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado ρ<sub>i</sub> (y matriz R<sub>i</sub>). Los ''generadores'' de este grupo [p,q] son reflexiones: ρ<sub>0</sub>, ρ<sub>1</sub> y ρ<sub>2</sub>. La subsimetría rotacional se define como producto de reflexiones: por convención, σ<sub>0,1</sub> (y la matriz S<sub>0,1</sub>)= ρ<sub>0</sub>ρ<sub>1</sub> representa una rotación del ángulo &Pi;/p, y σ<sub>1,2</sub>= ρ<sub>1</sub>ρ<sub>2</sub> es una rotación del ángulo &Pi;/q, y σ<sub>0,2</sub>= ρ<sub>0</sub>ρ<sub>2</sub> representa una rotación según un ángulo de &Pi;/2.

[p,q]<sup>+</sup>, {{DCD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|3|q|3_n1|3_n2|node_h2}}, es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: σ<sub>0,1</sub>, σ<sub>1,2</sub>, y representa rotaciones según los ángulos &Pi;/''p'' y &Pi;/''q'' respectivamente.

Con una rama par, [''p''<sup>+</sup>,2''q''], {{DCD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|2x|q|node_n2}} o {{DCD|node_h2|3_n0|3_n1|p|node_h2|2c|2x|q|node_n2}}, es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación σ<sub>0,1</sub>, y el de reflexión ρ<sub>2</sub>.

Con ramas pares, [2''p''<sup>+</sup>,2''q''<sup>+</sup>], {{DCD|node_h2|3_n0|3_n1|3_n2|2x|p|node_h4|2x|q|node_h2}}, es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión. Por convención, como ψ<sub>0,1,2</sub> y ψ<sub>1,2,0</sub>, que son [[rotación impropia|rotorreflexiones]], que representan una reflexión y una rotación o reflexión.

En el caso de grupos afines de Coxeter como {{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}} o {{DCD|node_n0|infin|node_n1}}, un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador [[Traslación (geometría)|traslación]] t<sub>0,1</sub> (y una matriz T<sub>0,1</sub>) se construyen como el producto de dos (o un número par de) reflejos, incluido el reflejo afín. Un [[reflexión deslizada]] (reflexión más traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones f<sub>0,1,2</sub> (y matriz V<sub>0,1,2</sub>), como el subgrupo de índice 4 {{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}: [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]= {{DCD|node_h2|3_n0|3_n1|3_n2|4|node_h4|4|node_h2}}.

Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la [[Simetría central|inversión]], asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3],  ζ = (ρ<sub>0</sub>ρ<sub>1</sub>ρ<sub>2</sub>)<sup>h/2</sup>, donde ''h'' es 6 y 10 respectivamente, el [[número de Coxeter]] para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] ({{DCD|node|p|node|q|node}}), este subgrupo es una rotorreflexión [2<sup>+</sup>,h<sup>+</sup>].

Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su [[diagrama de Coxeter-Dynkin|diagrama de Coxeter]]. La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los [[grupo diedral|grupos diédricos]] abstractos se representan como ''Dih''<sub>n</sub>, y los [[grupo cíclico|grupos cíclicos]] se representan como ''Z''<sub>n</sub>, con ''Dih''<sub>1</sub> =''Z''<sub>2</sub>.

===Rango 2===
{|class="wikitable floatright" width=200
![[Grupo diedral|Grupos diédricos]]
![[Grupo cíclico|Grupos cíclicos]]
|- align=center
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 2.png|100px]]<br />[2]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 2.png|100px]]<br />[2]<sup>+</sup>
|- align=center
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 3.png|100px]]<br />[3]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 3.png|100px]]<br />[3]<sup>+</sup>
|- align=center
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 4.png|100px]]<br />[4]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 4.png|100px]]<br />[4]<sup>+</sup>
|- align=center
|[[Archivo:Dihedral symmetry domains 6.png|100px]]<br />[6]
|[[Archivo:Cyclic symmetry 6.png|100px]]<br />[6]<sup>+</sup>
|}
Por ejemplo, en 2D, el grupo de Coxeter [''p''] ({{DCD|node|p|node}}) está representado por dos matrices de reflexión R<sub>0</sub> y R<sub>1</sub>, la simetría cíclica [''p'']<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|p|node_h2}}) está representada por el generador de rotación de la matriz S<sub>0,1</sub>.

{|
|- valign=top
|
{|class=wikitable
|+ [''p''], {{DCD|node_n0|p|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|p|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||''p''
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p &  \sin 2\pi/p \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|
{|class=wikitable 
|+ [2], {{DCD|node_n0|2|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|-
|
{|class=wikitable width=250px
|+ [3], {{DCD|node_n0|3|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||3
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & \sqrt3/2 \\
\sqrt3/2 & -1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & \sqrt3/2 \\
-\sqrt3/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|
{|class=wikitable width=250px
|+ [4], {{DCD|node_n0|4|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||4
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|-
|
{|class=wikitable width=250px
|+ [6], {{DCD|node_n0|6|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|6|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||6
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\sqrt3/2 & 1/2 \\
1/2 & -\sqrt3/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\sqrt3/2 & 1/2 \\
-1/2 & \sqrt3/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}
|
{|class=wikitable width=250px
|+ [8], {{DCD|node_n0|8|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!Rotación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub><br />{{DCD|node_n0}}
! R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_n1}}
! S<sub>0,1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub><br />{{DCD|node_h2|8|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||8
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\sqrt2/2 & \sqrt2/2 \\
\sqrt2/2 & -\sqrt2/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\sqrt2/2 & \sqrt2/2 \\
-\sqrt2/2 & \sqrt2/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

|}

===Rango 3===
[[Archivo:Spherical decagonal bipyramid.svg|thumb|Ejemplo de dominios fundamentales, [5,2], como triángulos esféricos]]

Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1,''p''], [2,''p''], [3,3], [3,4] y [3,5].

Para reflejar un punto a través de un plano <math>ax + by + cz= 0</math> (que pasa por el origen), se puede usar <math>\mathbf{A}= \mathbf{I} - 2\mathbf{NN}^T </math>, donde <math>\mathbf{I}</math> es la matriz identidad 3×3 y <math>\mathbf{N}</math> es el [[vector unitario]] tridimensional para el vector normal del plano. Si la [[Norma vectorial|norma]] de <math>a, b,</math> y <math>c</math> es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:

:<math>\mathbf{A}= \left [\begin{smallmatrix} 1 - 2 a^2  & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c  \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{smallmatrix}\right ]</math>

====[''p'',2]====

El grupo de reflexión finito tridimensional reducible es el [[grupo diedral|grupo diedro]], [''p'',2], de orden 4''p'', {{DCD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2}}. Los generadores de reflexión son las matrices R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=Identidad. [''p'',2]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|p|node_h2|2x|node_h2}}) se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub> y S<sub>0,2</sub>. Una [[rotación impropia|rotorreflexión]] de orden ''p'' es generada por V<sub>0,1,2</sub>, el producto de las 3 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [p,2], {{DCD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotación
!Rotorreflexión
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_h2|p|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}
|
|- align=center
!Orden
|2||2||2||''p''||colspan=2|2||2''p''
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & \sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & \cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p & -\sin 2\pi/p & 0 \\
-\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 \\
0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

====[3,3]====
[[Archivo:Sphere symmetry group td.png|thumb|Líneas de reflexión para<br />[3,3]= {{DCD|node_c1|3|node_c1|3|node_c1}}]]

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible más simple es el de [[simetría tetraédrica]], [3,3], y de orden 24, {{DCD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}}. Los generadores de reflexión, a partir de una construcción D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>, son las matrices R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=Identidad. [3,3]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub> y S<sub>0,2</sub>. Un [[ #trionic subgroup|trionic subgroup]], isomorfo a [2<sup>+</sup>,4], orden 8, es generado por S<sub>0,2</sub> y R<sub>1</sub>. Una [[rotación impropia|rotorreflexión]] de orden 4 se genera mediante V<sub>0,1,2</sub>, el producto de las 3 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [3,3], {{DCD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!Rotorreflexión
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}
|
|- align=center
!Orden
|2||2||2||colspan=2|3||2||4
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,1,−1)<sub>n</sub>
|(1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,1)<sub>n</sub>
|(1,1,1)<sub>axis</sub>
|(1,1,−1)<sub>axis</sub>
|(1,0,0)<sub>axis</sub>
|
|}

====[4,3]====
[[Archivo:Sphere symmetry group oh.png|thumb|Líneas de reflexión para<br />[4,3]= {{DCD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}]]

Otro grupo de reflexión finito tridimensional irreducible es el de [[simetría octaédrica]], [4,3], de orden 48, {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}. Las matrices de reflexión generadoras son R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>4</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=Identidad. La simetría octaédrica quiral, [4,3]<sup>+</sup>, ({{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub> y S<sub>0,2</sub>. La [[simetría tetraédrica]] [4,3<sup>+</sup>], ({{DCD|node_n0|4|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante la reflexión R<sub>0</sub> y la rotación S<sub>1,2</sub>. Una [[rotación impropia|rotorreflexión]] de orden 6 es generada por V<sub>0,1,2</sub>, el producto de las 3 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [4,3], {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!Rotorreflexión
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}
|
|- align=center
!Orden
|2||2||2||4||3||2||6
|- align=center
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,0,1)<sub>n</sub>
|(0,1,−1)<sub>n</sub>
|(1,−1,0)<sub>n</sub>
|(1,0,0)<sub>axis</sub>
|(1,1,1)<sub>axis</sub>
|(1,−1,0)<sub>axis</sub>
|
|}

====[5,3]====
[[Archivo:Sphere symmetry group ih.png|thumb|Líneas de reflexión de [5,3]= {{DCD|node_c2|5|node_c2|3|node_c2}}]]

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible final es el de la [[simetría icosaédrica]], [5,3], y de orden 120, {{DCD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}. Las matrices generadoras de reflexión son R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>5</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=Identidad. [5,3]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub> y S<sub>0,2</sub>. Una [[rotación impropia|rotorreflexión]] de multiplicidad 10 se genera mediante V<sub>0,1,2</sub>, el producto de las 3 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [5,3], {{DCD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!Rotorreflexión
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_h2|5|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|2c|3|node_h2}}
|
|- align=center
!Orden
|2||2||2||5||3||2||10
|- align=center
!Matriz
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,0,0)<sub>n</sub>
|(&phi;,1,&phi;−1)<sub>n</sub>
|(0,1,0)<sub>n</sub>

|(&phi;,1,0)<sub>axis</sub>
|(1,1,1)<sub>axis</sub>
|(1,0,0)<sub>axis</sub>

|
|}

===Rango 4===
{{VT|Grupos puntuales en cuatro dimensiones}}
Hay 4 [[Grupo de Coxeter]] irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], [3<sup>1,1,1</sup>], [3,4,4], [5,3,3], así como una familia infinita de grupos duoprismáticos [''p'',2,''q''].

====[''p'',2,''q'']====
El grupo duoprismático, [''p'',2,''q''], tiene orden 4''pq''.
{|
|- valign=top
|
{|class=wikitable
|+ [''p'',2,''q''], {{DCD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2|q|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
|-
!Grupo
!{{DCD|node_n0}}
!{{DCD|node_n1}}
!{{DCD|node_n2}}
!{{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p &  \sin 2\pi/p & 0 & 0 \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1& 0 & 0\\
0 & 0 &\cos 2\pi/q &  \sin 2\pi/q\\
0 & 0 &\sin 2\pi/q & -\cos 2\pi/q\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

=====<nowiki>[[ </nowiki>''p'',2,''p''<nowiki>]]</nowiki>=====
El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8''p''<sup>2</sup>, con una rotación de 2 veces entre los dos planos.
{|
|- valign=top
|
{|class=wikitable
|+ <nowiki>[[ </nowiki>''p'',2,''p''<nowiki>]]</nowiki>, {{DCD|node_n0|p|node_n1|2|node_n2|p|node_n3}}
!
!Rotación
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! T
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>=TR<sub>1</sub>T
! R<sub>3</sub>=TR<sub>0</sub>T
|-
!Grupo
! {{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
! {{DCD|node_n0}}
! {{DCD|node_n1}}
! {{DCD|node_n2}}
! {{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2
|-
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
\cos 2\pi/p &  \sin 2\pi/p & 0 & 0 \\
\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 &\cos 2\pi/p &  \sin 2\pi/p\\
0 & 0 &\sin 2\pi/p & -\cos 2\pi/p\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

==== [3,3,3]====
La simetría hipertetraédrica, [3,3,3], con orden 120, es más fácil de representar con 4 espejos en 5 dimensiones, como un subgrupo de [4,3,3,3].
{|class=wikitable
|+ [3,3,3], {{DCD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
!colspan=2|Rotorreflexiones
!Rotación doble
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,1,3</sub>
! W<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|colspan=3|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|colspan=3|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h4|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|{{DCD|label1|label0|branch_h4h4|3ab|branch_h4h4}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||colspan=3|3||colspan=3|2||4|||6||5
|-
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\

\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 23 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\

\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 13 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 03 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 013 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 0123 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,0,0,1,-1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|(1,−1,0,0,0)<sub>n</sub>

|}

===== <nowiki>[[3,3,3]]</nowiki>=====
El grupo extendido <nowiki>[[3,3,3]]</nowiki>, de orden 240, se duplica mediante una matriz de rotación T de multiplicidad 2, aquí invirtiendo el orden de las coordenadas y el signo: Hay 3 generadores {T, R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>}. Dado que T es autorrecíproco R<sub>3</sub>=TR<sub>0</sub>T, y R<sub>2</sub>=TR<sub>1</sub>T. 
{|class=wikitable
|+ <nowiki>[[3,3,3]]</nowiki>, {{DCD|node_n0|3|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
!Rotación
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! T
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! TR<sub>1</sub>T=R<sub>2</sub>
! TR<sub>0</sub>T=R<sub>3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||2
|-
!Matriz
|<!-- T -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- T1T -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- T0T -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|
|(0,0,0,1,-1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|(1,−1,0,0,0)<sub>n</sub>
|}

==== [4,3,3]====
Un grupo de reflexión finito de 4 dimensiones irreducible es un [[grupo hiperoctaédrico]] (o grupo hexadecacórico (para el [[hexadecacoron]]), B<sub>4</sub>=[4,3,3], de orden 384, {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}. Las matrices generadoras de las operaciones de reflexión son R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup> =R<sub>2</sub><sup>2</sup>=R<sub>3</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>4</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>=Identidad.

La simetría hiperoctaédrica quiral, [4,3,3]<sup>+</sup>, ({{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, S<sub>2,3</sub>, S<sub>0,2</sub>, S<sub>1,3</sub> y S<sub>0,3</sub>.La [[simetría hiperpiritoédrica]] [4,(3,3)<sup>+</sup>], ({{DCD|node_n0|4|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante la reflexión R<sub>0</sub> y las rotaciones S<sub>1,2</sub> y S<sub>2,3</sub>. Las [[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional]] genera un W<sub>0,1,2,3</sub> de multiplicidad 8, el producto de las 4 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [4,3,3], {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
!colspan=4|Rotorreflexión
!Rotación doble
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,3</sub>
! V<sub>1,2,3</sub>
! V<sub>0,1,3</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,3</sub>
! W<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|colspan=3|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|4|node_h4|2x|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|{{DCD|node_h2|8|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||4||colspan=2|3||colspan=3|2||colspan=2|4||colspan=2|6||8
|- align=center
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>

|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(0,0,0,1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,−1)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|
|
|
|
|}

===== [3,3<sup>1,1</sup>]=====
Un medio grupo de [4,3,3] es [3,3<sup>1,1</sup>], {{DCD|node_n0|3|node_n1|split1|nodes|2_n2|2b_n3}}, de orden 192. Comparte 3 generadores con el grupo [4,3,3], pero tiene dos copias de un generador adyacente, uno reflejado en el espejo eliminado.

{|class=wikitable
|+ [3,3<sup>1,1</sup>], {{DCD|node|3|node|split1|nodes}}
!
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2
|- align=center
!Matriz
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,0,1,−1)<sub>n</sub>
|(0,0,1,1)<sub>n</sub>
|}

==== [3,4,3]====
Un grupo reflexivo finito de 4 dimensiones irreducible es el [[grupo icositetracórico]] (para el [[icositetracoron]]), F<sub>4</sub>=[3,4,3], de orden 1152, {{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}. Las matrices generadoras de reflexión son R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=R<sub>3</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>4</sup>=(R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>= Identidad.

La simetría icositetracórica quiral, [3,4,3]<sup>+</sup>, ({{DCD|node_h2|3|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, S<sub>2,3</sub>, S<sub>0,2</sub>, S<sub>1,3</sub> y S<sub>0,3</sub>. El grupo icósico disminuido [3,4,3<sup>+</sup>] ({{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_h2|3|node_h2}}) es generado por la reflexión R<sub>0</sub> y las rotaciones S<sub>1,2</sub> y S<sub>2,3</sub>. Las [[rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional]] generan un W<sub>0,1,2,3</sub> de multiplicidad 12, el producto de las 4 reflexiones.

{|class=wikitable
|+ [3,4,3], {{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|colspan=3|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||3||4||3||colspan=3|2
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & -1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 23 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & -1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 13 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 03 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|(1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,0,1,0)<sub>n</sub>
|(−1,−1,−1,−1)<sub>n</sub>
|
|
|
|
|}

{|class=wikitable
|+ [3,4,3], {{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}
!
!colspan=4|Rotoreflection
!Rotación doble
|-
!Nombre
! V<sub>1,2,3</sub>
! V<sub>0,1,3</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,3</sub>
! W<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|colspan=4|{{DCD|node_h2|3|node_h2|2|node}}
|{{DCD|node_h2|12|node_h4|2x|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|colspan=4|6||12
|- align=center
!Matriz
|<!-- 123 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 013 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 023 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & 1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 0123 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

===== <nowiki>[[3,4,3]]</nowiki> =====

El grupo <nowiki>[[3,4,3]]</nowiki> extiende [3,4,3] por una rotación de multiplicidad 2, T, duplicando su orden a 2304.

{|class=wikitable
|+  <nowiki>[[3,4,3]]</nowiki>, {{DCD|node_n0|3|node_n1|4|node_n2|3|node_n3}}
!
!Rotación
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! T
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>= TR<sub>1</sub>T
! R<sub>3</sub>= TR<sub>0</sub>T
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}

|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||2
|- align=center
!Matriz
|
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
-1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
!
|
|(1,−1,0,0)<sub>n</sub>
|(0,1,−1,0)<sub>n</sub>
|(0,0,1,0)<sub>n</sub>
|(−1,−1,−1,−1)<sub>n</sub>
|}

==== [5,3,3]====
{|class="wikitable floatright" width=320
|+ [[Proyección estereográfica|Proyecciones estereográficas]]
|[[Archivo:Coxeter 533 order-5 gyration axes.png|160px]]<br />[5,3,3]<sup>+</sup> los 72 giros de orden-5
|[[Archivo:Coxeter 533 order-3 gyration axes.png|160px]]<br />[5,3,3]<sup>+</sup> los 200 giros de orden-3
|-
|[[Archivo:Coxeter 533 order-2 gyration axes.png|160px]]<br />[5,3,3]<sup>+</sup> los 450 giros de orden-2
|[[Archivo:Coxeter 533 all gyration axes.png|160px]]<br />[5,3,3]<sup>+</sup> todos los giros<br />&nbsp;
|}

La simetría hipericosaédrica, [5,3,3], de orden 14400, se representa como {{DCD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}. Las matrices generadoras de reflexión son R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>. R<sub>0</sub><sup>2</sup>=R<sub>1</sub><sup>2</sup>=R<sub>2</sub><sup>2</sup>=R<sub>3</sub><sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>5</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>3</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>0</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>=(R<sub>1</sub>×R<sub>3</sub>)<sup>2</sup>= Identidad. [5,3,3]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) se genera mediante 3 rotaciones: S<sub>0,1</sub>= R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>, S<sub>1,2</sub>= R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>, S<sub>2,3</sub>= R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>, etc.

{|class=wikitable
|+ [5,3,3], {{DCD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2|3|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2
|- align=center
!Matriz
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&0\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\0& {\frac {\phi}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi}{2}}& {\frac {1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}
\end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,0,0,0)<sub>n</sub>
|(&phi;,1,&phi;−1,0)<sub>n</sub>
|(0,1,0,0)<sub>n</sub>
|(0,−1,&phi;,1−&phi;)<sub>n</sub>
|}
{{clear}}

=== Rango 8===
==== [3<sup>4,2,1</sup>]====
El grupo [[E8 (matemáticas)|E8]] de Coxeter, [3<sup>4,2,1</sup>], {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}, tiene 8 nodos espejo, y su orden es de 696729600 (192x10!). E7 y E6, [3<sup>3,2,1</sup>], {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}} y [3<sup>2,2,1</sup>], {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}} se pueden construir ignorando el primer espejo o los dos primeros espejos, respectivamente.

{|class=wikitable
|+ E8=[3<sup>4,2,1</sup>], {{DCD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
!
!colspan=8|Reflexiones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
! R<sub>4</sub>
! R<sub>5</sub>
! R<sub>6</sub>
! R<sub>7</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_n4}}
|{{DCD|node_n5}}
|{{DCD|node_n6}}
|{{DCD|node_n7}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||2||2||2||2
|- align=center
!Matriz
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0 \\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0 \\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1 \end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 
 3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\ 
-1/4& 3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\
-1/4&-1/4& 3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\
-1/4&-1/4&-1/4& 3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\
-1/4&-1/4&-1/4&-1/4& 3/4&-1/4&-1/4&-1/4\\
-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4& 3/4&-1/4&-1/4\\
-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4& 3/4&-1/4\\
-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4& 3/4 \end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,-1,0,0,0,0,0,0)<sub>n</sub>
|(0,1,-1,0,0,0,0,0)<sub>n</sub>
|(0,0,1,-1,0,0,0,0)<sub>n</sub>
|(0,0,0,1,-1,0,0,0)<sub>n</sub>
|(0,0,0,0,1,-1,0,0)<sub>n</sub>
|(0,0,0,0,0,1,-1,0)<sub>n</sub>
|(0,0,0,0,0,1,1,0)<sub>n</sub>
|(1,1,1,1,1,1,1,1)<sub>n</sub>
|}

=== Grupo afín de rango 2===
Las [[Transformación afín|matrices afines]] se representan agregando una fila y una columna adicionales, siendo la última fila cero excepto la última entrada 1. La última columna representa un vector de traslación.
 
==== [&infin;]====
El grupo afín [&infin;], {{DCD|node_n0|infin|node_n1}}, puede estar dada por dos matrices de reflexión, x=0 y x=1. 
{|class=wikitable
|+ [&infin;], {{DCD|node_n0|infin|node_n1}}
!
!colspan=2|Reflexiones
!colspan=1|Traslación
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! S<sub>0,1</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||&infin;
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 1  \\
0 & 1  \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & -1  \\
0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
! [[Hiperplano]]
||x=0||x=1
|}

=== Grupos afines de rango 3===

==== [4,4]====
{{Véase|Tetraquis teselado cuadrado}}

El grupo afín [4,4], {{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}, (p4m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones sobre el eje x (y=0), una diagonal (x=y) y la reflexión afín sobre la línea recta (x=1). [4,4]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node_h2}}) (p4) es generado por S<sub>0,1</sub> S<sub>1,2</sub> y S<sub>0,2</sub>. [4<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>] ({{DCD|node_h2|4|node_h4|4|node_h2}}) (pgg) se genera mediante la rotación doble S<sub>0,2</sub> y una [[reflexión deslizada]] (transrreflexión) V<sub>0,1,2</sub>. [4<sup>+</sup>,4] ({{DCD|node_h2|4|node_h2|4|node}}) (p4g) es generado por S<sub>0,1</sub> y R<sub>3</sub>. El grupo [(4,4,2<sup>+</sup>)] ({{DCD|node|split1-44|branch_h2h2|label2}}) (cmm), se genera mediante la rotación doble S<sub>1,3</sub> y la reflexión R<sub>2</sub>.

{|class=wikitable
|+ [4,4], {{DCD|node_n0|4|node_n1|4|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!colspan=2|Deslizamientos
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,1</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||colspan=2|4||2||colspan=2|&infin; (2)
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 021 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 2 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
! [[Hiperplano]]
||y=0||x=y||x=1
|}

====[3,6]====
El grupo afín [3,6], {{DCD|node_n0|3|node_n1|6|node_n2}}, (p6m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones en el eje x (y=0), la línea recta y=({{raíz|3}}/2)x, y la línea recta vertical x=1.

{|class=wikitable
|+ [3,6], {{DCD|node_n0|3|node_n1|6|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!colspan=2|Deslizamientos
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,1</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|6|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||3||6||2||colspan=2|&infin; (2)
|- align=center
!Matrix
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 & 0 \\
\sqrt3/2 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 & 0 \\
-\sqrt3/2 & -1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & \sqrt3/2 & -1 \\
-\sqrt3/2 & 1/2 & \sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & \sqrt3/2 & -1 \\
\sqrt3/2 & -1/2 & -\sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 021 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1/2 & -\sqrt3/2 & 2 \\
-\sqrt3/2 & -1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
! [[Hiperplano]]
||y=0||y=(√3/2)x||x=1
|}
==== [3<sup>[3]</sup>]====
El grupo afín [3<sup>[3]</sup>] se puede construir como un medio grupo de {{DCD|node_n0|3|node_n1|6|node_h0}}. R<sub>2</sub> se reemplaza por R'<sub>2</sub>= R<sub>2</sub>×R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>, representado por el hiperplano: y+(√3/2)x=2. El dominio fundamental es un [[triángulo equilátero]] con longitud de arista 2.
{|class=wikitable
|+ [3<sup>[3]</sup>], {{DCD|node_n0|split1|branch|2_n1|2b_n2|}}
!
!colspan=3|Reflexiones
!colspan=3|Rotaciones
!colspan=2|Deslizamientos
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R'<sub>2</sub>= R<sub>2</sub>×R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
! V<sub>0,2,1</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|colspan=3|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||colspan=3|3||colspan=2|&infin; (2)
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 & 0 \\
\sqrt3/2 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2' -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & -\sqrt3/2 & 3 \\
-\sqrt3/2 & 1/2 & \sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 & 0 \\
-\sqrt3/2 & -1/2 & 2\sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & -\sqrt3/2 & 3 \\
\sqrt3/2 & -1/2 & -\sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & \sqrt3/2 & 0 \\
\sqrt3/2 & 1/2 & -2\sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 021 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1/2 & -\sqrt3/2 & 3 \\
-\sqrt3/2 & 1/2 & -\sqrt3 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
! [[Hiperplano]]
||y=0||y=(√3/2)x||y+(√3/2)x=2
|}

[[Archivo:Eighth_pyramidille_cell.png|160px|thumb|Dominio fundamental de [4,3,4]]]

===Grupos afines de rango 4===
====[4,3,4]====
El grupo afín es [4,3,4] ({{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|4|node_n3}}), y puede estar dado por cuatro matrices de reflexión. El espejo R<sub>0</sub> se puede colocar en el plano z=0. El espejo R<sub>1</sub> se puede colocar en el plano y=z. El espejo R<sub>2</sub> se puede colocar en el plano x=y. El espejo R<sub>3</sub> se puede colocar en el plano x=1. [4,3,4]<sup>+</sup> ({{DCD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2|4|node_h2}}) es generado por S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub> y S<sub>2,3</sub>.

{|class=wikitable
|+ [4,3,4], {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|4|node_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
!colspan=2|[[Reflexión deslizada|Deslizamientos]]
![[Eje helicoidal]]
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>2,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>0,3</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! T<sub>0,1,2</sub>
! T<sub>1,2,3</sub>
! U<sub>0,1,2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|4|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|colspan=2|{{DCD|node_h2|6|node_h4|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h4|6|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||4||3||4||colspan=3|2||colspan=2|6||&infin; (3)
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 23 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 03 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 13 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 012-->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 123-->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 0123-->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
|[[Hiperplano]]||z=0||y=z||x=y||x=1
|}
=====<nowiki>[[ 4,3,4]]</nowiki>=====
El grupo extendido <nowiki>[[ 4,3,4]]</nowiki> duplica el orden del grupo, sumando una matriz de rotación doble T, con un eje fijo a través de los puntos (1,1/2,0) y (1/2,1/2,1/2). Los generadores son {R<sub>0</sub>,R<sub>1</sub>,T}. R<sub>2</sub>= T×R<sub>1</sub>×T y R<sub>3</sub>= T×R<sub>0</sub>×T.
{|class=wikitable
|+ <nowiki>[[ 4,3,4]]</nowiki>, {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|4|node_n3}}
!
!Rotación
!colspan=4|Reflexiones
|-
!Nombre
! T
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>= T×R<sub>1</sub>×T
! R<sub>3</sub>= T×R<sub>0</sub>×T
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||2
|- align=center
!Matriz
|<!-- T -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
|[[Hiperplano]]||Punto (1/2,1/2,1/2)<br /> Eje (-1,0,1)||z=0||y=z||x=y||x=1
|}

====[4,3<sup>1,1</sup>]====
[[Archivo:Triangular pyramidille cell1.png|160px|thumb|Dominio fundamental de [4,3<sup>1,1</sup>]]]

El grupo [4,3<sup>1,1</sup>] se puede construir a partir de [4,3,4], calculando [4,3,4,1<sup>+</sup>], {{DCD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2|4|node_h0}}, como R'<sub>3</sub>=R<sub>3</sub>×R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>, con el nuevo R'<sub>3</sub> como una imagen de R<sub>2</sub> a través de R<sub>3</sub>.
{|class=wikitable
|+ [4,3<sup>1,1</sup>], {{DCD|node_n0|4|node_n1|split1|nodes|2_n2|2b_n3}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
|-
!Nombre
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R'<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>0,3</sub>
! S<sub>2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||3||3||3||colspan=3|2
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 13 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 03 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 23 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
|[[Hiperplano]]||z=0||y=z||x=y||x+y=2
|}

====[3<sup>[4]</sup>]====
[[Archivo:Oblate tetrahedrille cell.png|160px|thumb|Dominio fundamental de [3<sup>[4]</sup>] ]]

El grupo [3<sup>[4]</sup>] se puede construir a partir de [4,3,4], eliminando el primer y el último espejo, [1<sup>+</sup>,4,3,4,1<sup>+</sup>], {{DCD|node_h0|4|node_n1|3|node_n2|4|node_h0}}, mediante R'<sub>1</sub>=R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>×R<sub>0</sub> y R '<sub>3</sub>=R<sub>3</sub>×R<sub>2</sub>×R<sub>3</sub>.

{|class=wikitable
|+ [3<sup>[4]</sup>] {{DCD|2b_n1|2_n0|branch|3ab|branch|2_n3|2b_n2}}
!
!colspan=4|Reflexiones
!colspan=6|Rotaciones
|-
!Nombre
! R'<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R'<sub>3</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>1,3</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! S<sub>0,3</sub>
! S<sub>2,3</sub>
|- align=center
!Grupo
|{{DCD|node_n0}}
|{{DCD|node_n1}}
|{{DCD|node_n2}}
|{{DCD|node_n3}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|3|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|{{DCD|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
!Orden
|2||2||2||2||3||3||3||colspan=3|2
|- align=center
!Matriz
|<!-- 0 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 1 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 2 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 3 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 01 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 12 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 13 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 02 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 03 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|<!-- 23 -->
<math>\left [\begin{smallmatrix}
-1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|- align=center
|[[Hiperplano]]||y=-z||y=z||x=y||x+y=2
|}

==Referencias==
{{reflist}}

==Bibliografía==
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]:
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''', editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
*** (Documento 22) {{Citation|first1=H.S.M.|last1=Coxeter|title=Regular and Semi Regular Polytopes I|journal=Math. Z.|volume=46|year=1940|pages=380–407|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN266833020_0046%7Clog55|doi=10.1007/bf01181449|s2cid=186237114}}
*** (Documento 23) {{Citation|first1=H.S.M.|last1= Coxeter|title=Regular and Semi-Regular Polytopes II|journal=Math. Z.|volume= 188|issue= 4|year=1985|pages= 559–591|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0188%7Clog55|doi=10.1007/bf01161657|s2cid= 120429557}}
*** (Documento 24) {{Citation|first1=H.S.M.|last1= Coxeter|title=Regular and Semi-Regular Polytopes III|journal=Math. Z.|volume= 200|year=1988|pages=3–45|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0200%7Clog9|doi=10.1007/bf01161745|s2cid= 186237142 }}
*{{cite book|author1=Coxeter, H. S. M.|author2=Moser, W. O. J.|title=Generators and Relations for Discrete Groups|location=New York|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=0-387-09212-9}}
* [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
** Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss [https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf Quadratic Integers and Coxeter Groups] {{Wayback|url=https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=20230326121528 }} [[PDF]] Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp.&nbsp;1307–1336
** N. W. Johnson: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'' [http://www.cambridge.org/jp/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/geometries-and-transformations]
*{{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=John Horton Conway|last2=Delgado Friedrichs|first2=Olaf|last3=Huson|first3=Daniel H.|last4=Thurston|first4=William P.|author4-link=William Thurston|title=On three-dimensional space groups|url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html|mr=1865535|year=2001|journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie|issn=0138-4821|volume=42|issue=2|pages=475–507}}
* John H. Conway and Derek A. Smith, ''On Quaternions and Octonions'', 2003, {{ISBN|978-1-56881-134-5}}
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} Ch.22 ''35 prime space groups'', ch.25 ''184 composite space groups'', ch.26 ''Higher still'', 4D point groups

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Teoría de grupos]]
|}
|}