Ver el código de «Notación de poliedros de Conway»

[[File:Conway relational chart es.png|600px|thumb|Este gráfico de ejemplo muestra cómo se pueden generar 11 nuevas formas a partir del cubo usando 3 operaciones. Los nuevos poliedros se muestran como aplicaciones en la superficie del cubo para que los cambios topológicos sean más evidentes. Los vértices están marcados en todas las formas con círculos]]

En [[geometría]], la '''notación de poliedros de Conway''', inventada por [[John Horton Conway]] y promovida por [[George W. Hart]], se usa para describir [[poliedro]]s basándose en un poliedro semilla modificado mediante distintas [[Operación (matemática)|operaciones]] prefijadas.<ref name="SoT">{{cite book
|last1= Conway|first1= John|author1-link= John Horton Conway
|last2= Burgiel|first2= Heidi
|last3= Goodman-Strauss|first3= Chaim|author3-link= Chaim Goodman-Strauss
|contribution= Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings
|isbn= 978-1-56881-220-5
|page= 288
|publisher= AK Peters
|title= [[The Symmetries of Things]]
|year= 2008}}</ref><ref>{{mathworld|id=ConwayPolyhedronNotation|title=Conway Polyhedron Notation}}</ref>

Conway y Hart ampliaron la idea de utilizar operadores, como el [[Truncamiento (geometría)|truncamiento]] definido por [[Johannes Kepler]], para construir poliedros relacionados con la misma simetría. Por ejemplo, {{mvar|tC}} representa un [[cubo truncado]] y {{mvar|taC}}, analizado como {{math|''t''(''aC'')}}, es ([[Topología|topológicamente]]) un [[cuboctaedro truncado]]. El operador más simple, la [[Poliedro conjugado|conjugación]] intercambia elementos [[Vértice (geometría)|vértices]] y [[Cara (geometría)|caras]] para obterner figuras duales; por ejemplo, el dual de un [[cubo]] es un [[octaedro]]: {{math|1=''dC''= ''O''}}. Aplicados en serie, estos operadores permiten generar muchos poliedros de [[Orden (biología)|orden]] superior. Conway definió los operadores {{mvar|a}} (''ambo''), {{mvar|b}} ([[bisel (borde)|bisel]]), {{mvar|d}} ([[Poliedro conjugado|dual]]), {{mvar|e}} (expandir), {{mvar|g}} (giro), {{mvar|j}} (unir), {{mvar|k}} (kis), {{mvar|m}} (meta), {{mvar|o}} (orto), {{mvar|s}} ([[Achatado (geometría)|achatar]]) y {{mvar|t}} ([[Truncamiento (geometría)|truncar]]), mientras que Hart agregó {{mvar|r}} ([[Reflexión (matemática)|reflejar]]) y {{mvar|p}} (hélice).<ref name="Hart">{{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html|author=George W. Hart|title=Conway Notation for Polyhedra|website=Virtual Polyhedra|date=1998}}</ref> En versiones posteriores se nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores ''extendidos''.<ref name="Antiprism">{{cite web|url=http://www.antiprism.com/programs/conway.html|author=Adrian Rossiter|title=conway - Conway Notation transformations|website=Antiprism Polyhedron Modelling Software}}</ref><ref name="Levskaya">{{cite web|url=https://levskaya.github.io/polyhedronisme/|author=Anselm Levskaya|title=polyHédronisme}}</ref> Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los [[sólidos arquimedianos]] y los [[sólidos de Catalan]] a partir de los [[sólidos platónicos]]. Algunas operaciones básicas se pueden realizar como compuestos de otras: por ejemplo, el ''ambo'' aplicado dos veces es la operación de expansión ({{math|1=''aa''= ''e''}}), mientras que un truncamiento después del ''ambo'' produce un bisel ({{math|1=''ta''= ''b''}}).
 
Los poliedros se pueden estudiar topológicamente, en términos de cómo se conectan entre sí sus vértices, aristas y caras, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes formas de estos operadores pueden generar poliedros que son geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes se pueden considerar como uno de los muchos [[grafo poliédrico|grafos poliédricos]] [[grafo embebido|embebidos]] en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre los operadores de Conway en general) la topología fija el criterio principal. Los poliedros con [[Genus (matemáticas)|genus]] 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se colocan en [[poliedro canónico|forma canónica]] para evitar ambigüedades.

==Operadores==
En la notación de Conway, los operadores sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un [[cuboctaedro]] es el ''ambo de un cubo'',<ref name="hart">{{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html|title=Conway Notation for Polyhedra|website=Virtual Polyhedra|date=1998|first=George|last=Hart}} (véase la cuarta fila en la tabla, "a=ambo".)</ref> es decir,  {{#tag:math|1=a(C) = aC}}, y un [[cuboctaedro truncado]] se representa como {{#tag:math|1=t(a(C))= t(aC)= taC}}. La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: ''j<sup>2</sup>'' = ''o''. En general, los operadores de Conway no son [[conmutatividad|conmutativos]].

Los operadores individuales se pueden visualizar en términos de [[dominio fundamental|dominios fundamentales]] (o recintos), como se muestra a continuación. Cada [[triángulo rectángulo]] es un [[dominio fundamental]]. Cada recinto blanco es una versión rotada de los demás, al igual que cada recinto de color. Para los operadores [[quiralidad|quirales]], los recintos de colores son un reflejo de los recintos blancos y todos son transitivos. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a los [[grupo diedral|grupos diédricos]] {{math|D<sub>''n''</sub>}} donde ''n'' es el número de aristas de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a [[grupo cíclico|grupos cíclicos]] {{math|C<sub>''n''</sub>}} que carecen de la simetría reflexiva de los grupos diédricos. Los operadores aquiral y [[quiralidad|quiral]] también se denominan operaciones locales que preservan la simetría (LSP) y operaciones locales que preservan las simetrías y que preservan la orientación (LOPSP), respectivamente.<ref name=Brinkmann>{{Cite journal|year=2017|title=Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations|journal=Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|volume=473|issue=2206|pages=20170267|arxiv=1705.02848|last1=Brinkmann|first1=G.|last2=Goetschalckx|first2=P.|last3=Schein|first3=S.|doi=10.1098/rspa.2017.0267|bibcode=2017RSPSA.47370267B|s2cid=119171258}}</ref><ref name=lsp>{{cite arXiv|last1=Goetschalckx|first1=Pieter|last2=Coolsaet|first2=Kris|last3=Van Cleemput|first3=Nico|date=2020-04-12|title=Generation of Local Symmetry-Preserving Operations|class=math.CO|eprint=1908.11622}}</ref><ref name=lopsp>{{cite arXiv|last1=Goetschalckx|first1=Pieter|last2=Coolsaet|first2=Kris|last3=Van Cleemput|first3=Nico|date=2020-04-11|title=Local Orientation-Preserving Symmetry Preserving Operations on Polyhedra|class=math.CO|eprint=2004.05501}}</ref>

Los LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Nuevamente, estas son simetrías en un sentido topológico, no en un sentido geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Dominios fundamentales de caras con <math>n</math> aristas
!3 (Triángulo)
!4 (Cuadrado)
!5 (Pentágono)
!6 (Hexágono)
|- align= "center"
|[[File:Triangle chambers.svg|183x183px]]
|[[File:Quadrilateral chambers.svg|170x170px]]
|[[File:Pentagon chambers.svg|220x220px]]
|[[File:Hexagon chambers.svg|250x250px]]
|- align= "center"
|colspan="4"|Dominios fundamentales de los grupos poliédricos. Los grupos son <math>D_3,D_4,D_5,D_6</math> para poliedros aquirales y <math>C_3,C_4,C_5,C_6</math> para poliedros quirales
|}

Hart introdujo el operador de reflexión ''r'', que da la imagen especular del poliedro.<ref name="hart" /> Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no conserva la orientación: la invierte, intercambiando recintos blancos y rojos. ''r'' no tiene ningún efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y ''rr = S'' devuelve el poliedro original. Se puede utilizar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: {{overline|''s''}} = ''rsr''.

Una operación es irreducible si no puede expresarse como una composición de operadores aparte de ''d'' y ''r''. La mayoría de los operadores originales de Conway son irreducibles: las excepciones son ''e'', ''b'', ''o'' y ''m''.

===Representación matricial===
{|class="wikitable floatright"
|-
! x 
|<math>\begin{bmatrix}
  a & b & c \\
  0 & d & 0 \\
  a' & b' & c'
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_x</math> 
|-
! xd
|<math>\begin{bmatrix}
  c & b & a \\
  0 & d & 0 \\
  c' & b' & a'
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_x\mathbf{M}_d</math> 
|-
!dx
|<math>\begin{bmatrix}
  a' & b' & c' \\
  0 & d & 0 \\
  a & b & c
  \end{bmatrix}=\mathbf{M}_d\mathbf{M}_x</math> 
|-
!dxd
|<math>\begin{bmatrix}
  c' & b' & a' \\
  0 & d & 0 \\
  c & b & a
  \end{bmatrix}= \mathbf{M}_d\mathbf{M}_x\mathbf{M}_d</math> 
|}

La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz <math>\mathbf{M}_x</math>. Cuando ''x'' es el operador, <math>v,e,f</math> son los vértices, aristas y caras de la semilla (respectivamente), y <math>v',e',f'</math> son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces

:<math>\mathbf{M}_x \begin{bmatrix} v \\ e \\ f \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} v' \\ e' \\ f' \end{bmatrix}</math>.

La matriz de la composición de dos operadores es simplemente el producto de las matrices de los dos operadores. Operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, ''p'' y ''l''. El recuento de aristas del resultado es un múltiplo entero ''d'' del de la semilla: esto se denomina tasa de inflación o factor de arista.<ref name="Brinkmann" />

Los operadores más simples, la [[función identidad]] ''S'' y el [[Poliedro conjugado|operador dual]] ''d'', tienen formas matriciales simples:
: <math>\mathbf{M}_S= \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}= \mathbf{I}_3</math>, <math>\mathbf{M}_d= \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0
  \end{bmatrix}</math>
Dos operadores duales se cancelan; ''dd'' = ''S'', y el cuadrado de <math>\mathbf{M}_d</math> es la [[matriz identidad]]. Cuando se aplica a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores ''x'', ''xd'' (un operador de una dualidad), ''dx'' (la dualidad de un operador) y ''dxd'' (la dualidad de un operador de una dualidad). En este artículo, solo se da la matriz para ''x'', ya que las demás son simples reflexiones.

===Números de los operadores===
El número de LSPs para cada tasa de inflación es <math>2, 2, 4, 6, 6, 20, 28, 58, 82, \cdots</math> a partir de la tasa de inflación 1. Sin embargo, no todos los LSP necesariamente producen un poliedro cuyas aristas y vértices forman un [[grafo conexo de k vértices|grafo 3 conexo]] y, como consecuencia del [[teorema de Steinitz]], no necesariamente producen un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de LSP de elementos 3-conexos para cada tasa de inflación es <math>2, 2, 4, 6, 4, 20, 20, 54, 64, \cdots</math>.<ref name=lsp />

==Operadores originales==
Estrictamente, Conway no incluyó los operadores semilla ("seed" ''S''), aguja ("niddle" ''n'') y cremallera ("zip" ''z''), aunque están relacionados con las operaciones originales de Conway por dualidad, motivo por el que se incluyen en este artículo.

A partir de aquí, las operaciones se visualizan en semillas de cubo, y se dibujan en la superficie de ese cubo. Las caras azules cruzan los bordes de la semilla y las caras rosadas se encuentran sobre los vértices de la semilla. Existe cierta flexibilidad en la ubicación exacta de los vértices, especialmente con operadores quirales.

{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operadores de Conway originales
|-
! Factor de arista !! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math>!!x !! xd !!dx !!  dxd !! Notas
|-
|1 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />'''Seed''': ''S''
|colspan="2"|[[File:Conway dC.png|100px]]<br />'''dual''': ''d''
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />'''Seed''': ''dd'' = ''S''
|El operador '''dual''' reemplaza cada cara por un vértice y cada vértice por una cara. El politopo original se denomina '''Seed''' (''semilla''). El dual del dual es el politopo original.
|-
|2 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 1 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"|[[File:Conway jC.png|100px]]<br />'''join''' ("unir"): ''j''
|colspan="2"|[[File:Conway aC.png|100px]]<br />'''ambo''' ("rectificar"): ''a''
|Unir ("join") crea caras cuadriláteras. La operación "ambo" crea vértices de grado 4, y también se llama [[rectificación (geometría)|rectificación]], o el [[gráfico medial]] en la teoría de grafos.<ref>{{mathworld|id=Rectification|title=Rectification}}</ref> 
|-
|3 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway kC.png|100px]]<br />'''kis'''<br />("n-plicado"): ''k''
|[[File:Conway kdC.png|100px]]<br />'''needle''' ("aguja"): ''n''
|[[File:Conway dkC.png|100px]]<br />'''zip''' ("cremallera"): ''z''
|[[File:Conway tC.png|100px]]<br />'''truncado''': ''t''
|Kis levanta una pirámide en cada cara, y también se le llama ''akización'', [[kleetopo]], acumulación,<ref>{{mathworld|id=Cumulation|title=Cumulation}}</ref> acreción o [[Sólido de Johnson|aumento]] piramidal. El [[Truncamiento (geometría)|truncado]] corta el poliedro en sus vértices pero deja una porción de los bordes originales.<ref>{{mathworld|id=Truncation|title=Truncation}}</ref> El operador Zip también se denomina [[bitruncamiento]].
|-
|4 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan=2|[[File:Conway oC.png|100px]]<br /> '''orto''': ''o'' = ''jj''
|colspan=2|[[File:Conway eC.png|100px]]<br /> '''expansión''': ''e'' = ''aa''
|
|-
|5
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 5 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway gC.png|100px]]<br />'''gyro''' ("giro"): ''g''
|''gd'' = ''rgr''
|''sd'' = ''rsr''
|[[File:Conway sC.png|100px]]<br />{{nowrap|'''snub''' ("romo"): ''s''}}
|Operadores quirales. Véase [[Achatado (geometría)|achatado]]. Al contrario de lo que establece Hart,<ref name="Hart" /> ''gd'' no es lo mismo que ''g'': es su par quiral.<ref>{{cite web|title=Antiprism - Chirality issue in conway|url=https://groups.google.com/forum/#!topic/antiprism/6NcYnKP4mTc}}</ref>
|-
|6
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"|[[File:Conway mC.png|100px]]<br /> '''meta''': ''m'' = ''kj''
|colspan="2"|[[File:Conway bC.png|100px]]<br /> '''bevel''' ("bisel"): ''b'' = ''ta''
|
|}

==Semillas==
Cualquier poliedro puede servir como semilla, siempre que sobre él se puedan ejecutar las operaciones. A las semillas comunes se les ha asignado una letra.
Los [[sólidos platónicos]] están representados por la primera letra de su nombre ([[Tetraedro|'''T'''etraedro]], [[Octaedro|'''O'''ctaedro]], [[Cubo|'''C'''ubo]], [[Icosaedro|'''I'''cosaedro]], [[Dodecaedro|'''D'''odecaedro]]); los [[Prisma (geometría)|'''p'''rismas]] ('''P'''<sub>''n''</sub>) para formas ''n''-gonales; [[Antiprisma|'''a'''ntiprismas]] ('''A'''<sub>''n''</sub>); [[cúpula (geometría)|c'''u'''pulas]] ('''U'''<sub>''n''</sub>); [[anticúpula]]s ('''V'''<sub>''n''</sub>); y [[Pirámide (geometría)|p'''y'''rámide]] ('''Y'''<sub>''n''</sub>). Cualquier [[sólido de Johnson|sólido de '''J'''ohnson]] puede referenciarse como '''J'''<sub>''n''</sub>, para ''n''=1,...,92.

Los cinco sólidos platónicos se pueden generar a partir de generadores prismáticos con entre cero y dos operadores:<ref>{{cite journal|url=http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro2008/__generation_of_icosahedron_by_5tetrahedra.htm|title=Generation of an icosahedron by the intersection of five tetrahedra: geometrical and crystallographic features of the intermediate polyhedra|author=Livio Zefiro|journal=Vismath|year=2008}}</ref>

{{columnas}}
* '''[[Tetraedro|Pirámide triangular]]''': ''Y''<sub>3</sub> (un tetraedro es una pirámide especial)
** ''[[Tetraedro|T]]'' = ''Y''<sub>3</sub>
** ''[[Octaedro|O]]'' = ''aT'' (ambotetraedro)
** ''[[Cubo|C]]'' = ''jT'' (tetraedro unido)
** ''[[Icosaedro|I]]'' = ''sT'' (tetraedro achatado)
** ''[[Dodecaedro|D]]'' = ''gT'' (girotetraedro)
{{Nueva columna}}
* '''[[Antiprisma|Antiprisma triangular]]''': ''A''<sub>3</sub> (un octaedro es un antiprisma especial)
** ''O'' = ''A''<sub>3</sub>
** ''C'' = ''dA''<sub>3</sub>
* '''[[Prisma (geometría)|Prisma cuadrado]]''': ''P''<sub>4</sub> (un cubo es un prisma especial)
** ''C'' = ''P''<sub>4</sub>
{{Nueva columna}}
* '''[[Antiprisma pentagonal]]''': ''A''<sub>5</sub>
** ''I'' = ''k''<sub>5</sub>''A''<sub>5</sub> (una [[bipirámide giroelongada]] especial)
** ''D'' = ''t''<sub>5</sub>''dA''<sub>5</sub> (un [[trapezoedro truncado]] especial)
{{Final columnas}}

Las teselaciones euclídeas regulares también se pueden usar como semillas:
* ''Q'' = Cuadrilla = [[Teselado cuadrado]]
* ''H'' = Hextilla = [[Teselado hexagonal]] = ''dΔ''
* ''Δ'' = Deltilla = [[Teselado triangular]] = ''dH''

==Operadores extendidos==
Estas son operaciones creadas después del conjunto original de Conway. Téngase en cuenta que existen muchos más operadores de los que se han nombrado. El hecho de que un operador no esté aquí no significa que no exista (o que no sea un LSP o LOPSP). Para simplificar, solo se han incluido los operadores irreducibles en esta lista: se pueden crear más componiendo otros operadores.

{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+ Operadores extendidos irreducibles
|-
! Factor de arista!! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math> !!x !! xd !!dx !!  dxd !! Notas
|-
|4
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 1 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway cC.png|100px]]<br />'''chaflán''': ''c''
|[[File:Conway duC.png|100px]]<br />''cd''= ''du''
|[[File:Conway dcC.png|100px]]<br /> ''dc''= ''ud''
|[[File:Conway uC.png|100px]]<br />'''subdivisión''': ''u''
|Chaflán es la forma conjunta de ''l'' ("desván"). Véase [[Chaflán (geometría)|chaflán]].
|-
|5
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 5 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway pC.png|100px]]<br />'''propeller''' ("hélice"): ''p''
|colspan="2"|[[File:Conway dpC.png|100px]]<br />''dp''= ''pd''
|[[File:Conway pC.png|100px]]<br />''dpd''= ''p''
|Operadores quirales. El operador ''propeller'' ("hélice") fue desarrollado por George Hart.<ref name="Hart2000">{{cite conference|url=http://www.georgehart.com/propello/propello.html|author=George W. Hart|title=Sculpture based on Propellorized Polyhedra|conference=Proceedings of MOSAIC 2000|location=Seattle, WA|date=August 2000|pages=61–70 }}</ref>
|-
|5
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 5 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway lC.png|100px]]<br />'''loft''': ("desván") ''l''
|[[File:Conway ldC.png|100px]]<br />''ld''
|[[File:Conway dlC.png|100px]]<br /> ''dl''
|[[File:Conway dldC.png|100px]]<br />''dld''
|
|-
|6
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 3 & 0 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway qC.png|100px]]<br />'''quinto''': ''q''
|[[File:Conway qdC.png|100px]]<br />''qd''
|[[File:Conway dqC.png|100px]]<br /> ''dq''
|[[File:Conway dqdC.png|100px]]<br />''dqd''
|
|-
|6
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 3 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway L0C.png|100px]]<br />'''join-Lace''': ("encaje") ''L''<sub>0</sub>
|[[File:Conway Diagram L0d.png|120x120px]]<br />''L''<sub>0</sub>''d''
|[[File:Conway dL0C.png|100px]]<br />''dL''<sub>0</sub>
|[[File:Conway dL0d.png|100px]]<br />''dL''<sub>0</sub>''d''
|Consúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación.
|-
|7
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 7 & 0 \\
  0 & 4 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway LC.png|100px]]<br />'''Lace''': (cordón) ''L''
|[[File:Conway L0dC.png|100px]]<br />''Ld''
|[[File:Conway dLC.png|100px]]<br /> ''dL''
|[[File:Conway dLdC.png|100px]]<br />''dLd''
|
|-
|7
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 7 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway KC.png|100px]]<br />'''staKe''': ("poste") ''K''
|[[File:Conway KdC.png|100px]]<br />''Kd''
|[[File:Conway dKC.png|100px]]<br /> ''dK''
|[[File:Conway dKdC.png|100px]]<br />''dKd''
|
|-
|7
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 4 & 0 \\
  0 & 7 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway wC.png|100px]]<br />'''whirl''': ("remolino") ''w''
|''wd''= ''dv''
|[[File:Conway dwC.png|100px]]<br />''vd''= ''dw''
|'''volute''': ("voluta") ''v''
|Operadores quirales 
|-
|8
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 8 & 0 \\
  0 & 5 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway (kk)0C.png|100px]]<br />'''Join-kis-kis''': ("unión-nplicado-nplicado") {{#tag:math||1=(kk)_0}}
|[[File:Conway (kk)0dC.png|100px]]<br />  {{#tag:math||1=(kk)_0d}}
|[[File:Conway d(kk)0C.png|100px]]<br />  {{#tag:math||1=d(kk)_0}}
|[[File:Conway d(kk)0dC.png|100px]]<br /> {{#tag:math||1=d(kk)_0d}}
|En ocasiones denotado<ref name="Antiprism" /> como ''J''. Consúltese la explicación de la notación de combinación que figura a continuación. La forma de no unión, ''kk'', no es irreducible.
|-
|10
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 3 & 1 \\
  0 & 10 & 0 \\
  0 & 6 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway XC.png|100px]]<br />'''cross''': ("cruz") ''X''
|[[File:Conway XdC.png|100px]]<br />''Xd''
|[[File:Conway dXC.png|100px]]<br /> ''dX''
|[[File:Conway dXdC.png|100px]]<br />''dXd''
|
|}

==Operadores extendidos indexados==
Se pueden agrupar varios operadores según algún criterio determinado, o bien se puede modificar su comportamiento mediante un índice.<ref name="Antiprism" /> Se escriben como un operador con un subíndice: ''x<sub>n</sub>''.

===Aumentado===
Las operaciones de [[Sólido de Johnson|aumentado]] conservan las aristas originales. Se pueden aplicar a cualquier [[subconjunto]] independiente de caras, o se pueden convertir en una forma de ''unión'' eliminando las aristas originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión, o 3 o más por las aristas que tienen las caras afectadas. Por ejemplo, ''k''<sub>4</sub>''Y''<sub>4</sub>=O: tomando una pirámide de base cuadrada y pegando otra pirámide a la base cuadrada se obtiene un octaedro.
{|class=wikitable style="text-align: center"
!Operador||k||l||L||K||(kk)
|-
!x
|[[File:Conway kC.png|80px]]
|[[File:Conway lC.png|80px]]
|[[File:Conway LC.png|80px]]
|[[File:Conway KC.png|80px]]
|[[File:Conway kkC.png|80px]]
|-
!x<sub>0</sub>
|[[File:Conway jC.png|80px]]<br />{{#tag:math|k_0 = j}}
|[[File:Conway cC.png|80px]]<br />{{#tag:math|l_0 = c}}
|[[File:Conway L0C.png|80px]]<br />{{#tag:math|L_0}}
|[[File:Conway K0C.png|80px]]<br />{{#tag:math|K_0 = jk}}
|[[File:Conway (kk)0C.png|80px]]<br />{{#tag:math|1=(kk)_0}}
|- align=center
!Aumentado
||[[Pirámide (geometría)|Pirámide]]||[[Prisma (geometría)|Prisma]]||[[Antiprisma]]||||
|}

El operador truncado ''t'' también tiene una forma de índice ''t<sub>n</sub>'', lo que indica que solo se truncan los vértices de cierto grado. Es equivalente a ''dk<sub>n</sub>d''.

Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con los operadores ''k<sub>n</sub>'' y ''t<sub>n</sub>''. Por ejemplo, un [[cubo achaflanado]], ''cC'', se puede construir como ''t''<sub>4</sub>''daC'', como un [[rombododecaedro]], ''daC'' o ''jC'', con sus vértices de grado 4 truncado. Un cubo alabeado, ''lC'' es lo mismo que ''t''<sub>4</sub>''kC''. Un quinto-dodecaedro, ''qD'' se puede construir como ''t''<sub>5</sub>''daaD'' o ''t''<sub>5</sub>''deD'' o ''t''<sub>5</sub>''oD'', un [[hexecontaedro deltoidal]], ''deD'' o ''oD'', con sus vértices de grado 5 truncados.

===Meta/bisel===
El operador ''meta'' agrega vértices en el centro y en los bordes, mientras que el operador ''bevel'' ("bisel") agrega caras en el centro, en los vértices de la semilla y en las aristas. Su índice indica cuántos vértices o caras se agregan en las aristas. Meta (en su forma no indexada) también se llama [[omnitruncado]] o [[cantitruncado]]. Téngase en cuenta que 0 aquí no significa lo mismo que para las operaciones de aumento: significa que se agregan cero vértices (o caras) en las aristas.<ref name="Antiprism" />
{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operadores meta/bisel
|-
!  n !! Factor de arista !! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math> !! x !! xd !! dx !! dxd
|-
|0
|3
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway kC.png|100px]]<br />''k''= ''m''<sub>0</sub>
|[[File:Conway kdC.png|100px]]<br />''n''
|[[File:Conway dkC.png|100px]]<br />''z''= ''b''<sub>0</sub>
|[[File:Conway tC.png|100px]]<br />''t''
|-
|1
|6
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 6 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan="2"|[[File:Conway mC.png|100px]]<br /> ''m''= ''m''<sub>1</sub>= ''kj''
|colspan="2"|[[File:Conway bC.png|100px]]<br /> ''b''= ''b''<sub>1</sub>= ''ta''
|-
|2 
|9
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 9 & 0 \\
  0 & 6 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway m3C.png|100px]]<br />''m''<sub>2</sub>
|[[File:Conway m3dC.png|100px]]<br />''m''<sub>2</sub>''d''
|[[File:Conway b3C.png|100px]]<br />''b''<sub>2</sub>
|[[File:Conway dm3dC.png|100px]]<br />''b''<sub>2</sub>''d''
|-
|3
|12
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 3 & 1 \\
  0 & 12 & 0 \\
  0 & 8 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway m4C.png|100px]]<br />''m''<sub>3</sub>
|''m''<sub>3</sub>''d''
|''b''<sub>3</sub>
|''b''<sub>3</sub>''d''
|-
|''n''
|3''n''+3
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & n & 1 \\
  0 & 3n+3 & 0 \\
  0 & 2n+2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|''m<sub>n</sub>''
|''m<sub>n</sub>d''
|''b<sub>n</sub>''
|''b<sub>n</sub>d''
|}

===Medial===
El operador ''medial'' es como ''meta'', excepto en que no agrega aristas desde el centro a cada vértice de la semilla. La forma del índice 1 es idéntica a los operadores orto y de expansión de Conway: expandir también se denomina [[Canteado (geometría)|canteado]] y [[Expansión (geometría)|expansión]]. Téngase en cuenta que ''o'' y ''e'' tienen sus propias formas indexadas, que se describen a continuación. También debe tenerse en cuenta que en algunas aplicaciones se comienza a indexar en 0 en lugar de en 1.<ref name="Antiprism" />
{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operadores con medial
|-
!  n !! Factor de arista !! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math> !! x !! xd !! dx !! dxd
|-
|1
|4 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|colspan=2|[[File:Conway oC.png|100px]]<br /> ''M''<sub>1</sub>= ''o''= ''jj''
|colspan=2|[[File:Conway eC.png|100px]]<br /> ''e''= ''aa''
|-
|2
|7
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 7 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Conway MC.png|100px]]<br />'''Medial''': ''M''= ''M''<sub>2</sub>
|[[File:Conway MdC.png|100px]]<br />''Md''
|[[File:Conway dMC.png|100px]]<br />''dM''
|[[File:Conway dMdC.png|100px]]<br />''dMd''
|-
|''n''
|3''n''+1
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & n & 1 \\
  0 & 3n+1 & 0 \\
  0 & 2n & 0
  \end{bmatrix}</math>
|''M<sub>n</sub>''
|''M<sub>n</sub>d''
|''dM<sub>n</sub>''
|''dM<sub>n</sub>d''
|}

===Goldberg-Coxeter===
Los operadores de Goldberg-Coxeter (GC) son dos familias infinitas de operadores definidos como una extensión de la [[construcción de Goldberg-Coxeter]].<ref name="Deza2004">{{cite journal|author1=Deza, M.|author-link=Michel Deza|author2=Dutour, M|title=Goldberg–Coxeter constructions for 3-and 4-valent plane graphs|journal=The Electronic Journal of Combinatorics|volume=11|year=2004|pages=#R20|doi=10.37236/1773|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v11i1r20}}</ref><ref name=Deza2015>{{cite book|author1=Deza, M.-M.|author2=Sikirić, M. D.|author3=Shtogrin, M. I.|year=2015|title=Geometric Structure of Chemistry-Relevant Graphs: Zigzags and Central Circuits|publisher=Springer|pages=131–148|chapter=Goldberg–Coxeter Construction and Parameterization|chapter-url=https://books.google.com/books?id=HLi4CQAAQBAJ&q=goldberg-coxeter&pg=PA130|isbn=9788132224495}}</ref> Se puede pensar que el operador GC consiste en realizar una trisección angular de una red triangular, o una sección cuadrada de una red cuadrada, colocándola sobre cada cara del poliedro. Esta construcción se puede extender a cualquier cara identificando los recintos del triángulo o cuadrado (el "polígono maestro"). Los operadores<ref name="Brinkmann" /> de la familia triangular se pueden utilizar para producir [[poliedros de Goldberg]] y [[poliedros geodésicos]]: consúltese [[Anexo:Poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg]] para conocer las fórmulas.

Las dos familias son la familia triangular GC, ''c<sub>a,b</sub>'' y ''u<sub>a,b</sub>'', y la familia cuadrilátera GC, ''e<sub>a,b</sub>'' y ''o<sub>a,b</sub>''. Ambas familias de GC están indexadas por dos números enteros <math>a \ge 1</math> y <math>b \ge 0</math>. Poseen muchas cualidades particulares:
* Los índices de las familias tienen relación con determinados [[Dominio euclídeo|dominios euclídeos]] sobre los números complejos: el [[entero de Eisenstein]] para la familia triangular GC, y el [[entero gaussiano]] para la familia cuadrilátera GC.
* Los operadores en las columnas ''x'' y ''dxd'' dentro de la misma familia se conmutan entre sí.

Los operadores se dividen en tres clases (los ejemplos se escriben en términos de ''c'' pero se aplican a los 4 operadores):
* Clase I: {{#tag:math||1=b=0}}. Aquiral, conserva las aristas originales. Se puede escribir con el índice cero suprimido, como por ejemplo ''c''<sub>''a'',0</sub> = ''c<sub>a</sub>''.
* Clase II: {{#tag:math||1=a=b}}. También aquiral. Se puede descomponer como ''c<sub>a,a</sub>'' = ''c<sub>a</sub>c''<sub>1,1</sub>
* Clase III: Todos los demás operadores. Estos son quirales, y ''c<sub>a,b</sub>'' y ''c<sub>b,a</sub>'' son pares quirales entre sí.

De los operadores de Conway originales, los únicos que no pertenecen a la familia GC son ''g'' y ''s'' (giro y achatado). Meta y bisel (''m'' y ''b'') se pueden expresar en términos de un operador de la familia triangular y uno de la familia cuadrilátera.

====Triangulares====
{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operadores de Goldberg-Coxeter triangulares 
|-
!  a !! b !! Clase !! Factor de arista<br />T= a<sup>2</sup> + ab + b<sup>2</sup> !! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math> !! Triángulo maestro !! x !! xd !!dx !!  dxd
|-
|1 
|0 
|I
|1 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 01 00.svg|100px]]
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />''u''<sub>1</sub>= ''S''
|colspan=2|[[File:Conway dC.png|100px]]<br />''d''
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />''c''<sub>1</sub>= ''S''
|-
|2 
|0 
|I
|4 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 0 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 02 00.svg|100px]]
|[[File:Conway uC.png|100px]]<br />''u''<sub>2</sub>= ''u''
|[[File:Conway dcC.png|100px]]<br />''dc''
|[[File:Conway duC.png|100px]]<br />''du''
|[[File:Conway cC.png|100px]]<br />''c''<sub>2</sub>= ''c''
|-
|3 
|0 
|I
|9 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 1 \\
  0 & 9 & 0 \\
  0 & 6 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 03 00.svg|100px]]
|[[File:Conway ktC.png|100px]]<br />''u''<sub>3</sub>= ''nn''
|[[File:Conway dtkC.png|100px]]<br />''nk''
|[[File:Conway dktC.png|100px]]<br />''zt''
|[[File:Conway tkC.png|100px]]<br />''c''<sub>3</sub>= ''zz''
|-
|4 
|0 
|I
|16 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 5 & 0 \\
  0 & 16 & 0 \\
  0 & 10 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 04 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u4C.png|100px]]<br />''u''<sub>4</sub>= ''uu''
|''uud''= ''dcc''
|''duu''= ''ccd''
|''c''<sub>4</sub>= ''cc''
|-
|5 
|0 
|I
|25 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 8 & 0 \\
  0 & 25 & 0 \\
  0 & 16 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 05 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u5C.png|100px]]<br />''u''<sub>5</sub>
|''u''<sub>5</sub>''d''= ''dc''<sub>5</sub>
|''du''<sub>5</sub>= ''c''<sub>5</sub>''d''
|''c''<sub>5</sub>
|-
|6 
|0 
|I
|36 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 11 & 1 \\
  0 & 36 & 0 \\
  0 & 24 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 06 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u6C.png|100px]]<br />''u''<sub>6</sub>= ''unn''
|''unk''
|''czt''
|''u''<sub>6</sub>= ''czz''
|-
|7 
|0 
|I
|49 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 16 & 0 \\
  0 & 49 & 0 \\
  0 & 32 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 07 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u7.png|100px]]<br />''u''<sub>7</sub>= ''u''<sub>2,1</sub>''u''<sub>1,2</sub>= ''vrv''
|''vrvd''= ''dwrw''
|''dvrv''= ''wrwd''
|''c''<sub>7</sub>= ''c''<sub>2,1</sub>''c''<sub>1,2</sub>= ''wrw''
|-
|8 
|0 
|I
|64 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 21 & 0 \\
  0 & 64 & 0 \\
  0 & 42 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 08 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u8C.png|100px]]<br />''u''<sub>8</sub>= ''u''<sup>3</sup>
|''u''<sup>3</sup>''d''= ''dc''<sup>3</sup>
|''du''<sup>3</sup>= ''c''<sup>3</sup>''d'' 
|''c''<sub>8</sub>= ''c''<sup>3</sup>
|-
|9 
|0 
|I
|81 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 26 & 1 \\
  0 & 81 & 0 \\
  0 & 54 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 09 00.svg|100px]]
|[[File:Conway u9C.png|100px]]<br />''u''<sub>9</sub>= ''n''<sup>4</sup>
|''n''<sup>3</sup>''k''= ''kz''<sup>3</sup> 
|''tn''<sup>3</sup>= ''z''<sup>3</sup>''t'' 
|''c''<sub>9</sub>= ''z''<sup>4</sup>
|-
|1 
|1 
|II
|3
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 3 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 01 01.svg|100px]]
|[[File:Conway kdC.png|100px]]<br />''u''<sub>1,1</sub>= ''n''
|[[File:Conway kC.png|100px]]<br />''k''
|[[File:Conway tC.png|100px]]<br />''t''
|[[File:Conway dkC.png|100px]]<br />''c''<sub>1,1</sub>= ''z''
|-
|2 
|1 
|III
|7 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 7 & 0 \\
  0 & 4 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 02 01.svg|100px]]
|''v''= ''u''<sub>2,1</sub>
|[[File:Conway dwC.png|100px]]<br />''vd''= ''dw''
|''dv''= ''wd''
|[[File:Conway wC.png|100px]]<br />''w''= ''c''<sub>2,1</sub>
|-
|3
|1 
|III
|13
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 4 & 0 \\
  0 & 13 & 0 \\
  0 & 8 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 03 01.svg|100px]]
|''u''<sub>3,1</sub>
|''u''<sub>3,1</sub>''d''= ''dc''<sub>3,1</sub>  
|''du''<sub>3,1</sub>= ''c''<sub>3,1</sub>''d''
|[[File:Conway w3C.png|100px]]<br />''c''<sub>3,1</sub>
|-
|3
|2
|III
|19
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 6 & 0 \\
  0 & 19 & 0 \\
  0 & 12 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 03 02.svg|100px]]
|''u''<sub>3,2</sub>  
|''u''<sub>3,2</sub>''d''= ''dc''<sub>3,2</sub>
|''du''<sub>3,2</sub>= ''c''<sub>3,2</sub>''d''  
|[[File:Conway w3-2.png|100px]]<br />''c''<sub>3,2</sub>
|-
|4
|3
|III
|37
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 12 & 0 \\
  0 & 37 & 0 \\
  0 & 24 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 04 03.svg|100px]]
|''u''<sub>4,3</sub>
|''u''<sub>4,3</sub>''d''= ''dc''<sub>4,3</sub>
|''du''<sub>4,3</sub>= ''c''<sub>4,3</sub>''d''  
|[[File:Conway w4-3C.png|100px]]<br />''c''<sub>4,3</sub>
|-
|5
|4
|III
|61
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 20 & 0 \\
  0 & 61 & 0 \\
  0 & 40 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 05 04.svg|100px]]
|''u''<sub>5,4</sub>
|''u''<sub>5,4</sub>''d''= ''dc''<sub>5,4</sub>
|''du''<sub>5,4</sub>= ''c''<sub>5,4</sub>''d''
|[[File:Conway w5-4C.png|100px]]<br />''c''<sub>5,4</sub>
|-
|6
|5
|III
|91
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 30 & 0 \\
  0 & 91 & 0 \\
  0 & 60 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 06 05.svg|100px]]
|''u''<sub>6,5</sub>= ''u''<sub>1,2</sub>''u''<sub>1,3</sub> 
|''u''<sub>6,5</sub>''d''= ''dc''<sub>6,5</sub>  
|''du''<sub>6,5</sub>= ''c''<sub>6,5</sub>''d''  
|[[File:Conway w6-5C.png|100px]]<br />''c''<sub>6,5</sub>=''c''<sub>1,2</sub>''c''<sub>1,3</sub>
|-
|7
|6
|III
|127
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 42 & 0 \\
  0 & 127 & 0 \\
  0 & 84 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 07 06.svg|100px]]
|''u''<sub>7,6</sub>
|''u''<sub>7,6</sub>''d''= ''dc''<sub>7,6</sub>
|''du''<sub>7,6</sub>= ''c''<sub>7,6</sub>''d''  
|[[File:Conway w7C.png|100px]]<br />''c''<sub>7,6</sub>
|-
|8
|7
|III
|169
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 56 & 0 \\
  0 & 169 & 0 \\
  0 & 112 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 08 07.svg|100px]]
|''u''<sub>8,7</sub>= ''u''<sub>3,1</sub><sup>2</sup>
|''u''<sub>8,7</sub>''d''= ''dc''<sub>8,7</sub>
|''du''<sub>8,7</sub>= ''c''<sub>8,7</sub>''d''  
|[[File:Conway w8C.png|100px]]<br />''c''<sub>8,7</sub>= ''c''<sub>3,1</sub><sup>2</sup>
|-
|9
|8
|III
|217
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 72 & 0 \\
  0 & 217 & 0 \\
  0 & 144 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided triangle 09 08.svg|100px]]
|''u''<sub>9,8</sub>= ''u''<sub>2,1</sub>''u''<sub>5,1</sub>
|''u''<sub>9,8</sub>''d''= ''dc''<sub>9,8</sub>
|''du''<sub>9,8</sub>= ''c''<sub>9,8</sub>''d''  
|[[File:Conway w9C.png|100px]]<br />''c''<sub>9,8</sub>= ''c''<sub>2,1</sub>''c''<sub>5,1</sub>
|-
|colspan=2|<math>a \equiv b</math><math>\ (\mathrm{mod}\ 3)</math>
|I, II, o III
|<math>T \equiv 0\ </math><math>(\mathrm{mod}\ 3)</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & \frac{T}{3}-1 & 1 \\
  0 & T & 0 \\
  0 & \frac{2}{3}T & 0
  \end{bmatrix}</math>
|...
|''u<sub>a,b</sub>''
|''u<sub>a,b</sub>d''= ''dc<sub>a,b</sub>''
|''du<sub>a,b</sub>''= ''c<sub>a,b</sub>d''
|''c<sub>a,b</sub>''
|-
|colspan=2|<math>a \not \equiv b</math><math>\ (\mathrm{mod}\ 3)</math>
|I o III
|<math>T \equiv 1</math><math>\ (\mathrm{mod}\ 3)</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & \frac{T-1}{3} & 0 \\
  0 & T & 0 \\
  0 & 2\frac{T-1}{3} & 1
  \end{bmatrix}</math>
|...
|''u<sub>a,b</sub>''
|''u<sub>a,b</sub>d''= ''dc<sub>a,b</sub>''
|''du<sub>a,b</sub>''= ''c<sub>a,b</sub>d''
|''c<sub>a,b</sub>''
|}
Por teoría básica de números, para cualquier valor de ''a'' y ''b'', <math>T \not\equiv 2\ (\mathrm{mod}\ 3)</math>.

====Cuadrilátero====
{|class="wikitable sortable" style="text-align: center"
|+Operadores de Goldberg-Coxeter cuadriláteros
|-
! a !! b !! Clase !! Factor de arista <br />T= a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> !! Matriz <math>\mathbf{M}_x</math> !! Cuadrado maestro !! x !! xd !!dx !!  dxd
|-
|1 
|0 
|I
|1 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 01 00.svg|100px]]
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />''o''<sub>1</sub>= ''S''
|colspan=2|[[File:Conway dC.png|100px]]<br />''e''<sub>1</sub>= ''d''
|[[File:Conway C.png|100px]]<br />''o''<sub>1</sub>= ''dd''= ''S''
|-
|2 
|0 
|I
|4 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 2 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 02 00.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway oC.png|100px]]<br />''o''<sub>2</sub>= ''o''= ''j''<sup>2</sup>
|colspan=2|[[File:Conway eC.png|100px]]<br />''e''<sub>2</sub>= ''e''= ''a''<sup>2</sup>

|-
|3 
|0 
|I
|9 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 4 & 0 \\
  0 & 9 & 0 \\
  0 & 4 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 03 00.svg|100px]]
|[[File:Conway o3C.png|100px]]<br />''o''<sub>3</sub>
|colspan=2|[[File:Conway e3C.png|100px]]<br />''e''<sub>3</sub>
|[[File:Conway o3C.png|100px]]<br />''o''<sub>3</sub>
|-
|4 
|0 
|I
|16 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 7 & 1 \\
  0 & 16 & 0 \\
  0 & 8 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 04 00.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway deeC.png|100px]]<br />''o''<sub>4</sub>= ''oo''= ''j''<sup>4</sup>
|colspan=2|[[File:Conway eeC.png|100px]]<br />''e''<sub>4</sub>= ''ee''= ''a''<sup>4</sup>
|-
|5 
|0 
|I
|25 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 12 & 0 \\
  0 & 25 & 0 \\
  0 & 12 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 05 00.svg|100px]]
|[[File:Conway o5C.png|100px]]<br />''o''<sub>5</sub>= ''o''<sub>2,1</sub>''o''<sub>1,2</sub>= ''prp''
|colspan=2|''e''<sub>5</sub>= ''e''<sub>2,1</sub>''e''<sub>1,2</sub>
|[[File:Conway o5C.png|100px]]<br />''o''<sub>5</sub>= ''dprpd''
|-
|6 
|0 
|I
|36 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 17 & 1 \\
  0 & 36 & 0 \\
  0 & 18 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 06 00.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway o6C.png|100px]]<br />''o''<sub>6</sub>= ''o''<sub>2</sub>''o''<sub>3</sub>
|colspan=2|''e''<sub>6</sub>= ''e''<sub>2</sub>''e''<sub>3</sub>
|-
|7 
|0 
|I
|49 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 24 & 0 \\
  0 & 49 & 0 \\
  0 & 24 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 07 00.svg|100px]]
|[[File:Conway o7C.png|100px]]<br />''o''<sub>7</sub>
|colspan=2|''e''<sub>7</sub>
|[[File:Conway o7C.png|100px]]<br />''o''<sub>7</sub>
|-
|8 
|0 
|I
|64 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 31 & 1 \\
  0 & 64 & 0 \\
  0 & 32 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 08 00.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway o8C.png|100px]]<br />''o''<sub>8</sub>= ''o''<sup>3</sup>= ''j''<sup>6</sup>
|colspan=2|''e''<sub>8</sub>= ''e''<sup>3</sup>= ''a''<sup>6</sup>
|-
|9 
|0 
|I
|81 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 40 & 0 \\
  0 & 81 & 0 \\
  0 & 40 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 09 00.svg|100px]]
|[[File:Conway o9C.png|100px]]<br />''o''<sub>9</sub>= ''o''<sub>3</sub><sup>2</sup>
|colspan=2|<br />''e''<sub>9</sub>= ''e''<sub>3</sub><sup>2</sup>
|[[File:Conway o9C.png|100px]]<br />''o''<sub>9</sub>
|-
|10 
|0 
|I
|100 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 49 & 1 \\
  0 & 100 & 0 \\
  0 & 50 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 10 00.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway o10C.png|100px]]<br />''o''<sub>10</sub>= ''oo''<sub>2,1</sub>''o''<sub>1,2</sub>
|colspan=2|''e''<sub>10</sub>= ''ee''<sub>2,1</sub>e<sub>1,2</sub>
|-
|1 
|1 
|II
|2 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 1 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 01 01.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway jC.png|100px]]<br />''o''<sub>1,1</sub>= ''j''
|colspan=2|[[File:Conway aC.png|100px]]<br />''e''<sub>1,1</sub>= ''a''
|-
|2 
|2 
|II
|8 
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 3 & 1 \\
  0 & 8 & 0 \\
  0 & 4 & 0
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 02 02.svg|100px]]
|colspan=2|[[File:Conway daaaC.png|100px]]<br />''o''<sub>2,2</sub>= ''j''<sup>3</sup>
|colspan=2|[[File:Conway aaaC.png|100px]]<br />''e''<sub>2,2</sub>= ''a''<sup>3</sup>
|-
|1
|2
|III
|5
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 2 & 0 \\
  0 & 5 & 0 \\
  0 & 2 & 1
  \end{bmatrix}</math>
|[[File:Subdivided square 01 02.svg|100px]]
|[[File:Conway pC.png|100px]]<br />''o''<sub>1,2</sub>= ''p''
|colspan=2|[[File:Conway dpC.png|100px]]<br />''e''<sub>1,2</sub>= ''dp''= ''pd''
|[[File:Conway pC.png|100px]]<br />''p''
|-
|colspan=2|<math>a \equiv b</math><math>\ (\mathrm{mod}\ 2)</math>
|I, II, o III
|''T'' par
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & \frac{T}{2}-1 & 1 \\
  0 & T & 0 \\
  0 & \frac{T}{2} & 0
  \end{bmatrix}</math>
|...
|colspan=2|''o<sub>a,b</sub>''
|colspan=2|''e<sub>a,b</sub>''
|-
|colspan=2|<math>a \not\equiv b</math><math>\ (\mathrm{mod}\ 2)</math>
|I o III
|''T'' impar
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & \frac{T-1}{2} & 0 \\
  0 & T & 0 \\
  0 & \frac{T-1}{2} & 1
  \end{bmatrix}</math>
|...
|''o<sub>a,b</sub>''
|colspan=2|''e<sub>a,b</sub>''
|''o<sub>a,b</sub>''
|}

==Ejemplos==
Véase también [[Anexo:Poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg]].

===Sólidos de Arquímedes y sólidos de Catalan===
El conjunto original de operadores de Conway puede crear todos los [[sólidos arquimedianos]] y los [[sólidos de Catalan]], usando [[sólidos platónicos]] como semillas. Debe tenerse en cuenta que el operador ''r'' no es necesario para crear ambas formas quirales.
<gallery caption="Sólidos arquimedianos">
Image:truncated tetrahedron.png|[[Tetraedro truncado]]<br />''tT''
Image:cuboctahedron.png|[[Cuboctaedro]]<br />''aC''= ''aO''= ''eT''
Image:truncated hexahedron.png|[[Cubo truncado]]<br />''tC''
Image:truncated octahedron.png|[[Octaedro truncado]]<br />''tO''= ''bT''
Image:small rhombicuboctahedron.png|[[Rombicuboctaedro]]<br />''eC''= ''eO''
Image:Great rhombicuboctahedron.png|[[Cuboctaedro truncado]]<br />''bC''= ''bO''
Image:snub hexahedron.png|[[Cubo romo|Cubo achatado]]<br />''sC''= ''sO''
Image:icosidodecahedron.png|[[Icosidodecaedro]]<br />''aD''= ''aI''
Image:truncated dodecahedron.png|[[Dodecaedro truncado]]<br />''tD''
Image:truncated icosahedron.png|[[Icosaedro truncado]]<br />''tI''
Image:small rhombicosidodecahedron.png|[[Rombicosidodecaedro|Rombicosidodeca&shy;edro]]<br />''eD''= ''eI''
Image:Great rhombicosidodecahedron.png|[[Icosidodecaedro truncado]]<br />''bD''= ''bI''
Image:snub dodecahedron ccw.png|[[Dodecaedro romo|Dodecaedro achatado]]<br />''sD''= ''sI''
</gallery>
<gallery caption="Sólidos de Catalan">
Image:triakistetrahedron.jpg|[[Triaquistetraedro]]<br />''kT''
Image:rhombicdodecahedron.jpg|[[Rombododecaedro]]<br />''jC''= ''jO''= ''oT''
Image:triakisoctahedron.jpg|[[Triaquisoctaedro]]<br />''kO''
Image:tetrakishexahedron.jpg|[[Tetraquishexaedro]]<br />''kC''= ''mT''
Image:deltoidalicositetrahedron.jpg|[[Icositetraedro deltoidal]]<br />''oC''= ''oO''
Image:disdyakisdodecahedron.jpg|[[Hexaquisoctaedro]]<br />''mC''= ''mO''
Image:pentagonalicositetrahedronccw.jpg|[[Icositetraedro pentagonal]]<br />''gC''= ''gO''
Image:rhombictriacontahedron.jpg|[[Triacontaedro rómbico]]<br />''jD''= ''jI''
Image:triakisicosahedron.jpg|[[Triaquisicosaedro]]<br />''kI''
Image:Pentakisdodecahedron.jpg|[[Pentaquisdodecaedro]]<br />''kD''
Image:Deltoidalhexecontahedron.jpg|[[Hexecontaedro deltoidal]]<br />''oD''= ''oI''
Image:Disdyakistriacontahedron.jpg|[[Hexaquisicosaedro]]<br />''mD''= ''mI''
Image:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|[[Hexecontaedro pentagonal]]<br />''gD''= ''gI''
</gallery>

===Operadores compuestos===
El [[icosaedro truncado]], ''tI'', se puede utilizar como semilla para crear algunos poliedros visualmente más agradables, aunque no son ni [[Figura isogonal|isogonales]] ni [[figura isoedral|isoedrales]].
<gallery>
File:Uniform polyhedron-53-t12.svg|''tI''
File:Rectified truncated icosahedron.png|''atI''
File:truncated truncated icosahedron.png|''ttI''
File:Conway polyhedron Dk6k5tI.png|''ztI''= ''ttD''
File:Expanded truncated icosahedron.png|''etI''
File:Truncated rectified truncated icosahedron.png|''btI''
File:Snub rectified truncated icosahedron.png|''stI''
</gallery>
<gallery caption="Duales">
File:Pentakisdodecahedron.jpg|''dtI''= ''nI''= ''kD''
File:Joined truncated icosahedron.png|''jtI''
File:kissed kissed dodecahedron.png|''ntI''= ''kkD''
File:Conway polyhedron K6k5tI.png|''ktI''
File:ortho truncated icosahedron.png|''otI''
File:Meta_truncated_icosahedron.png|''mtI''
File:Gyro_truncated_icosahedron.png|''gtI''
</gallery>

===En el plano===
Cada uno de los [[Anexo:Teselados uniformes convexos|teselados uniformes convexos]] se puede crear aplicando operadores de Conway a los [[teselados regulares]] ''Q'', ''H'' y ''Δ''.
<gallery>
File:1-uniform_n5.svg|[[Teselado cuadrado]]<br />''Q''= ''dQ''= ''aQ''= ''eQ''<br />= ''jQ''= ''oQ''
File:1-uniform_n2.svg|[[Teselado cuadrado truncado]]<br />''tQ''= ''bQ''
File:1-uniform_2_dual.svg|[[Tetraquis teselado cuadrado]]<br />''kQ''= ''mQ''
File:1-uniform_n9.svg|[[Teselado cuadrado achatado]]<br />''sQ''
File:1-uniform_9_dual.svg|[[Teselación de El Cairo]]<br />''gQ''
</gallery>
<gallery>
File:1-uniform_n1.svg|[[Teselado hexagonal]]<br />''H''= ''dΔ''= ''tΔ''
File:1-uniform_n7.svg|[[Teselado trihexagonal]]<br />''aH''= ''aΔ''
File:1-uniform_n4.svg|[[Teselado hexagonal truncado]]<br />''tH''
File:1-uniform_n6.svg|[[Teselado rombitrihexagonal]]<br />''eH''= ''eΔ''
File:1-uniform_n3.svg|[[Teselado trihexagonal truncado]]<br />''bH''= ''bΔ''
File:1-uniform_n10.svg|[[Teselado trihexagonal achatado]]<br />''sH''= ''sΔ''

</gallery>
<gallery>
File:1-uniform_1_dual.svg|[[Teselado triangular]]<br />''Δ''= ''dH''= ''kH''
File:1-uniform_7_dual.svg|[[Teselado rómbico]]<br />''jΔ''= ''jH''
File:1-uniform_4_dual.svg|[[Triaqis teselado triangular]]<br />''kΔ''
File:1-uniform_6_dual.svg|[[Teselado trihexagonal deltoidal]]<br />''oΔ''= ''oH''
File:1-uniform_3_dual.svg|[[Teselado quisrómbico]]<br />''mΔ''= ''mH''
File:1-uniform_10_dual.svg|[[Teselado pentagonal floral]]<br />''gΔ''= ''gH''
</gallery>

===En un toro===
Los operadores de Conway también se pueden aplicar a [[poliedro toroidal|poliedros toroidales]] y poliedros con múltiples agujeros.
<gallery>
File:Toroidal monohedron.png|Toroide cuadrado regular de orden 1x1, {4,4}<sub>1,0</sub>
File:Torus map 4x4.png|Toroide cuadrado regular de orden 4x4,, {4,4}<sub>4,0</sub>
File:First truncated square tiling on torus24x12.png|tQ24×12 proyectado sobre un toro
File:Truncated square tiling on torus24x12.png|taQ24×12 proyectado sobre un toro
File:Conway_torus_ActQ24x8.png|actQ24×8 proyectado sobre un toro
File:Truncated hexagonal tiling torus24x12.png|tH24×12 proyectado sobre un toro
File:Truncated trihexagonal tiling on torus24x8.png|taH24×8 proyectado sobre un toro
Conway torus kH24-12.png|kH24×12 proyectado sobre un toro
</gallery>

==Véase también==
* [[Simetroedro]]
* [[Zonoedro]]
* [[Símbolo de Schläfli]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Enlaces externos==
{{Commons|Conway polyhedra}}
* [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ polyHédronisme]: genera poliedros en lienzo HTML5, tomando la notación de Conway como entrada

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría elemental]]
[[Categoría:Poliedros]]
[[Categoría:Notación matemática]]
[[Categoría:John Horton Conway]]