Ver el código de «Notación orbifold»

{{multiple image
|título=Ejemplos de notación orbifold
|align= right
|total_width= 420
|image1= Snowflake - Flickr - Alexey Kljatov.jpg
|caption1= Un copo de [[nieve]] ''perfecto'' puede tener simetría de rotación séxtuple, que se anota como *6&bull;
|image2= Pentagon symmetry as mirrors 2005-07-08.png
|caption2= Un [[pentágono]] regular tiene simetría *5&bull;, pero la imagen completa con flechas se define como 5&bull;.
|image3= Flag of Hong Kong.svg
|caption3= La [[bandera de Hong Kong]] tiene una simetría de rotación quíntuple, 5&bull;.
}}

En [[geometría]], la '''notación [[orbifold]]''' (o '''signatura orbifold''') es un sistema, inventado por el matemático [[William Thurston]] y promovido por [[John Horton Conway|John Conway]], ideado para representar tipos de [[grupo de simetría|grupos de simetría]] en espacios bidimensionales de curvatura constante. La ventaja de la notación es que describe estos grupos de una manera que indica muchas de sus propiedades. En particular, sigue el criterio de [[William Thurston]] al describir el [[orbifold]] obtenido al tomar el cociente del [[espacio euclídeo]] por el grupo en consideración.
 
Los grupos representables en esta notación incluyen los [[Grupos de puntos en tres dimensiones|grupos de puntos]] en la [[esfera]] (<math>S^2</math>), los [[friso (matemáticas)|frisos]] y el [[grupo del papel pintado]] en el espacio [[bidimensional]] (<math>E^2</math>) y sus análogos en el [[Geometría hiperbólica|plano hiperbólico]] (<math>H^2</math>).

==Definición de la notación==

Los siguientes tipos de transformación euclídea pueden darse en un grupo descrito por la notación orbifold:

* Reflexión a través de una línea (o plano)
* Traslación por un vector
* Rotación de orden finito alrededor de un punto
* Rotación infinita alrededor de una línea en el espacio tridimensional
* Deslizamiento-reflexión, es decir, reflexión seguida de traslación

Se supone que todas las traslaciones posibles forman un subgrupo discreto de las simetrías de grupo que se describen.

Cada grupo se denota en notación orbifold mediante una cadena finita formada por los siguientes símbolos:

* Los ''[[números enteros]]'' positivos <math> 1,2,3,\dots </math>
* El símbolo ''[[infinito]]'', <math> \infty </math>
* El ''[[asterisco]]'', *
* El símbolo ''o'' (un círculo sólido en documentos más antiguos), que se denomina ''maravilla'' ("wonder") y también ''asa'' porque topológicamente representa una superficie cerrada análoga a un [[toro (geometría)|toro]] (con un asa). Los patrones se repiten según dos traslaciones.
* El símbolo <math>\times</math> (un círculo abierto en documentos más antiguos), que se denomina ''milagro'' ("miracle") y representa una [[banda de Möbius]], donde topológicamente un patrón se repite como una imagen especular sin cruzar una línea especular.

Una cadena escrita en '''[[letra negrita]]''' representa un grupo de simetrías del espacio tridimensional euclídeo. Una cadena que no está escrita en negrita representa un grupo de simetrías del plano euclídeo, que se supone que contiene dos traslaciones independientes.

Cada símbolo corresponde a una transformación distinta:

* Un entero ''n'' a la izquierda de un asterisco indica un [[movimiento de rotación]] de orden ''n'' alrededor de un [[giración|punto de giro]].
* Un número entero ''n'' a la derecha de un asterisco indica una transformación de orden 2''n'' que gira alrededor de un punto caleidoscópico y se refleja a través de una línea (o plano).
* Un <math>\times</math> indica un reflejo respecto a un plano.
* El símbolo <math> \infty </math> indica simetría rotacional infinita alrededor de una línea. Solo puede ocurrir para grupos en negrita. Por abuso de lenguaje, se suele decir que tal grupo es un subgrupo de simetrías del plano euclídeo con una sola traslación independiente. Los [[friso (matemáticas)|frisos]] se generan de esta manera.
* El símbolo excepcional ''o'' indica que existen precisamente dos traslaciones linealmente independientes.

===Orbifolds ''buenos''===

Un símbolo orbifold se denomina ''bueno'' si no es uno de los siguientes: ''p'', ''pq'', *''p'', *''pq'', para ''p'', ''q'' ≥ 2 y ''p'' ≠ ''q''.

==Quiralidad y aquiralidad==
Un objeto es '''quiral''' si su grupo de simetría no contiene reflexiones; de lo contrario se denomina '''aquiral'''. El orbifold correspondiente es [[Orientabilidad|orientable]] en el caso quiral y no orientable en el caso contrario.

==La característica de Euler y el orden==
La [[característica de Euler]] de un [[orbifold]] se puede leer a partir de su símbolo de Conway, de la siguiente manera. Cada característica tiene un valor:

* ''n'' sin o antes de un asterisco cuenta como <math> \frac{n-1}{n} </math>
* ''n'' después de un asterisco cuenta como <math> \frac{n-1}{2 n} </math>
* Un asterisco y <math>\times</math> cuentan como 1
* ''o'' cuenta como 2.

Restar la suma de estos valores de 2 da la característica de Euler.

Si la suma de los valores de las características es 2, el orden es infinito, es decir, la notación representa un grupo de papel pintado o un grupo de frisos. De hecho, el "Teorema Mágico" de Conway indica que los 17 grupos del papel pintado son exactamente aquellos con la suma de los valores de las características igual a 2. De lo contrario, el orden es 2 dividido por la característica de Euler.

==Grupos isomorfos==
Los siguientes grupos son isomorfos:
*1* y *11
*22 y 221
*<nowiki>*</nowiki>22 y *221
*2* y 2*1.
Esto se debe a que la rotación de 1 vez es la rotación "vacía".

==Grupos bidimensionales==

La [[simetría]] de un objeto [[bidimensional]] sin simetría de traslación se puede describir mediante el tipo de simetría 3D, agregando una tercera dimensión al objeto que no altera su simetría plana. Por ejemplo, para una imagen 2D se puede considerar una caja de cartón con esa imagen mostrada en uno de sus lados; la forma del soporte debe ser tal que no altere la simetría, o puede imaginarse que es infinita. Así, se tiene ''n''&bull; y *''n''&bull;. El [[Viñeta (artes gráficas)|círculo negro]] (&bull;) se agrega en grupos de una y dos dimensiones para implicar la existencia de un punto fijo. En tres dimensiones, estos grupos existen en un orbifold [[dígono|digonal]] de multiplicidad n y se representan como ''nn'' y *''nn''.

De manera similar, una imagen [[Dimensión|unidimensional]] se puede dibujar horizontalmente en una pieza de cartón, con la previsión de evitar una simetría adicional con respecto a la línea de la imagen, por ejemplo dibujando una barra horizontal debajo de la imagen. Así, los [[grupos de simetría en una dimensión]] discretos son *&bull;, *1&bull;, &infin;&bull; y *&infin;&bull;.

Otra forma de construir un objeto 3D a partir de un objeto 1D o 2D para describir la simetría es tomar el [[producto cartesiano]] del objeto y por un objeto asimétrico 2D o 1D, respectivamente.

==Tablas de correspondencia==

===Esfera===
{|class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ Dominios fundamentales de los grupos de puntos 3D reflexivos
|-
! (*11), C<sub>1v</sub>= C<sub>s</sub>
! (*22), C<sub>2v</sub>
! (*33), C<sub>3v</sub>
! (*44), C<sub>4v</sub>
! (*55), C<sub>5v</sub>
! (*66), C<sub>6v</sub>
|-
|[[Imagen:Spherical digonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 2
|[[Imagen:Spherical square hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 4
|[[Imagen:Spherical hexagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 6
|[[Imagen:Spherical octagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 8
|[[Imagen:Spherical decagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 10
|[[Imagen:Spherical dodecagonal hosohedron2.png|60px]]<br/>Orden 12
|-
! (*221), D<sub>1h</sub>= C<sub>2v</sub>
! (*222), D<sub>2h</sub>
! (*223), D<sub>3h</sub>
! (*224), D<sub>4h</sub>
! (*225), D<sub>5h</sub>
! (*226), D<sub>6h</sub>
|-
|[[Imagen:Spherical digonal bipyramid2.svg|60px]]<br/>Orden 4
|[[Imagen:Spherical square bipyramid2.svg|60px]]<br/>Orden 8
|[[Imagen:Spherical hexagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Orden 12
|[[Imagen:Spherical octagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Orden 16
|[[Imagen:Spherical decagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Orden 20
|[[Imagen:Spherical dodecagonal bipyramid2.png|60px]]<br/>Orden 24
|- 
! colspan=2|(*332), T<sub>d</sub>
! colspan=2|(*432), O<sub>h</sub>
! colspan=2|(*532), I<sub>h</sub>
|-
|colspan=2|[[Imagen:Tetrahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Orden 24
|colspan=2|[[Imagen:Octahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Orden 48
|colspan=2|[[Imagen:Icosahedral reflection domains.png|120px]]<br/>Orden 120
|}

{{VT|Anexo:Grupos de simetría esférica}}

{|class="wikitable"
|+ Grupos de simetría esférica<ref name="Sin_nombre-1_6Q8-1">Symmetries of Things, Appendix A, page 416</ref>
|-
! Signatura<br/>orbifold
! [[Notación de Coxeter|Coxeter]]
! [[Arthur Moritz Schönflies|Schönflies]]
! [[Notación de Hermann-Mauguin|Hermann-Mauguin]]
! Orden
|-
!colspan=5|Grupos poliédricos
|-
|*532||[3,5]||I<sub>h</sub>||53m||120
|-
|532||[3,5]<sup>+</sup>||I||532||60
|-
|*432||[3,4]||O<sub>h</sub>||m3m||48
|-
|432||[3,4]<sup>+</sup>||O||432||24
|-
|*332||[3,3]||T<sub>d</sub>||{{overline|4}}3m||24
|-
|3*2||[3<sup>+</sup>,4]||T<sub>h</sub>||m3||24
|-
|332||[3,3]<sup>+</sup>||T||23||12
|-
!colspan=5|Grupos diédrico y cíclicos: ''n''= 3, 4, 5 ...
|-
|*22n||[2,n]||D<sub>nh</sub>||n/mmm o 2{{overline|n}}m{{Exp|2}}||4n
|-
|2*n||[2<sup>+</sup>,2n]||D<sub>nd</sub>||2{{overline|n}}2m o {{overline|n}}m||4n
|-
|22n||[2,n]<sup>+</sup>||D<sub>n</sub>||n2||2n
|-
|*nn||[n]||C<sub>nv</sub>||nm||2n
|-
|n*||[n<sup>+</sup>,2]||C<sub>nh</sub>||n/m o 2{{overline|n}}||2n
|-
|n×||[2<sup>+</sup>,2n<sup>+</sup>]||S<sub>2n</sub>||2{{overline|n}} o {{overline|n}}||2n
|-
|nn||[n]<sup>+</sup>||C<sub>n</sub>||n||n
|-
!colspan=5|Casos especiales
|-
|*222||[2,2]||D<sub>2h</sub>||2/mmm o 2{{overline|2}}m{{Exp|2}}||8
|-
|2*2||[2<sup>+</sup>,4]||D<sub>2d</sub>||2{{overline|2}}2m o {{overline|2}}m||8
|-
|222||[2,2]<sup>+</sup>||D<sub>2</sub>||22||4
|-
|*22||[2]||C<sub>2v</sub>||2m||4
|-
|2*||[2<sup>+</sup>,2]||C<sub>2h</sub>||2/m o 2{{overline|2}}||4
|-
|2×||[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||S<sub>4</sub>||2{{overline|2}} o {{overline|2}}||4
|-
|22||[2]<sup>+</sup>||C<sub>2</sub>||2||2
|-
|*22||[1,2]||D<sub>1h</sub>= C<sub>2v</sub>||1/mmm o 2{{overline|1}}m{{Exp|2}}||4
|-
|2*||[2<sup>+</sup>,2]||D<sub>1d</sub>= C<sub>2h</sub>||2{{overline|1}}2m o {{overline|1}}m||4
|-
|22||[1,2]<sup>+</sup>||D<sub>1</sub>= C<sub>2</sub>||12||2
|-
|*1||[ ]||C<sub>1v</sub>= C<sub>s</sub>||1m||2
|-
|1*||[2,1<sup>+</sup>]||C<sub>1h</sub>= C<sub>s</sub>||1/m o 2{{overline|1}}||2
|-
|1×||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||S<sub>2</sub>= C<sub>i</sub>||2{{overline|1}} o {{overline|1}}||2
|-
|1||[ ]<sup>+</sup>||C<sub>1</sub>||1||1
|}

===Plano euclídeo===
{{VT|Anexo:Grupos de simetría del plano}}

====Grupos de frisos====
{| class="wikitable sortable"
|+ [[Friso (matemáticas)|Grupo de los frisos]]
|-
! [[Notación IUC|IUC]] 
! [[Notación de Coxeter|Cox.]]
! [[Notación de Schoenflies|Schön.]]<sup>*</sup>
! Diagrama,<sup>§</sup> <br/>[[notación orbifold|orbifold]]
! Ejemplos y<br/>''apodos'' de [[John Horton Conway|Conway]]<ref>[https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/4/vol1/architecture/Math/seven.html Frieze Patterns] Mathematician John Conway created names that relate to footsteps for each of the frieze groups.</ref>
! Descripción
|-
!p1||[∞]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|infin|node_h2}}||C<sub>∞</sub><br />[[Grupo cíclico infinito|Z<sub>∞</sub>]]
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group 11.png|100px]]<br />∞∞|| style="text-align:center;" |'''F F F F F F F F'''<br />[[Archivo:Frieze example p1.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze hop.png|150px]]<br />hop
||(T) Traslaciones solo:<br />Este grupo se genera individualmente, mediante una traslación por la distancia más pequeña sobre la cual el patrón es periódico.
|-
!p11g||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node_h2|infin|node_h4|2x|node_h2}}||S<sub>∞</sub><br />Z<sub>∞</sub>
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group 1g.png|100px]]<br />∞×|| style="text-align:center;" |'''Γ L Γ L Γ L Γ L'''<br />[[Archivo:Frieze example p11g.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze step.png|150px]]<br />step
|(TG) Reflexiones deslizadas y Traslaciones:<br />Este grupo se genera individualmente, mediante una reflexión deslizada, y las traslaciones se obtienen combinando dos reflexiones deslizadas.
|-
!p1m1||[∞]<br />{{DCD|node|infin|node}}||C<sub>∞v</sub><br />[[infinite dihedral group|Dih<sub>∞</sub>]]
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group m1.png|100px]]<br />*∞∞|| style="text-align:center;" |'''Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ'''<br />[[Archivo:Frieze example p1m1.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze sidle.png|150px]]<br />sidle
||(TV) Líneas Verticales de reflexión y Traslaciones:<br />El grupo es el mismo que el grupo no trivial en el caso unidimensional; se genera por una traslación y una reflexión respecto al eje vertical.
|-
!p2||[∞,2]<sup>+</sup><br />{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2x|node_h2}}||D<sub>∞</sub><br />Dih<sub>∞</sub>
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group 12.png|100px]]<br />22∞|| style="text-align:center;" |'''S S S S S S S S'''<br />[[Archivo:Frieze example p2.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze spinning hop.png|150px]]<br />spinning hop
|(TR) Traslaciones y Rotaciones de 180°:<br />El grupo se genera mediante una traslación y una rotación de 180°.
|-
!p2mg||[∞,2<sup>+</sup>]<br />{{DCD|node|infin|node_h2|2x|node_h2}}||D<sub>∞d</sub><br />Dih<sub>∞</sub>
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group mg.png|100px]]<br />2*∞|| style="text-align:center;" |'''V Λ V Λ V Λ V Λ'''<br />[[Archivo:Frieze example p2mg.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze spinning sidle.png|150px]]<br />spinning sidle
|(TRVG) Líneas de reflexión Verticales, Reflexiones con deslizamiento, Traslaciones y Rotaciones de 180°:<br />Las traslaciones aquí surgen de las reflexiones de deslizamiento, por lo que este grupo es generado por una reflexión de deslizamiento y una rotación o una reflexión vertical.
|-
!p11m||[∞<sup>+</sup>,2]<br />{{DCD|node_h2|infin|node_h2|2|node}}||C<sub>∞h</sub><br />Z<sub>∞</sub>×Dih<sub>1</sub>
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group 1m.png|100px]]<br />∞*|| style="text-align:center;" |'''B B B B B B B B'''<br />[[Archivo:Frieze example p11m.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze jump.png|150px]]<br />jump
|(THG) Traslaciones, reflexiones Horizontales, reflexiones con Deslizamiento:<br />Este grupo es generado por una traslación y la reflexión en el eje horizontal. La reflexión de deslizamiento aquí surge como la composición de la traslación y la reflexión horizontal.
|-
!p2mm||[∞,2]<br />{{DCD|node|infin|node|2|node}}||D<sub>∞h</sub><br />Dih<sub>∞</sub>×Dih<sub>1</sub>
| style="text-align:center;" |[[Archivo:Frieze group mm.png|100px]]<br />*22∞|| style="text-align:center;" |'''H H H H H H H H'''<br />[[Archivo:Frieze example p2mm.png|150px]]<br />[[Archivo:Frieze spinning jump.png|150px]]<br />spinning jump
|(TRHVG) Líneas de reflexión Horizontales y Verticales, Traslaciones y Rotaciones de 180°:<br />Este grupo requiere tres generadores, con un conjunto generador que consiste en una traslación, la reflexión en el eje horizontal y una reflexión en el eje vertical.
|}
:<sup>*</sup>La notación de grupo de puntos de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de las simetrías de puntos diédricos equivalentes.
:<sup>§</sup>El diagrama muestra un [[dominio fundamental]] en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión de deslizamiento en verde punteado, normales de traslación en rojo y puntos de giro dobles como pequeños cuadrados verdes.

====Grupos del papel pintado====
{|class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ Dominios fundamentales de los grupos reflexivos euclídeos
|-
!(*442), p4m
!(4*2), p4g
|-
|[[Archivo:Uniform tiling 44-t1.png|200px]]
|[[Imagen:Tile V488 bicolor.svg|200px]]
|-
!(*333), p3m
!(632), p6
|-
|[[Imagen:Tile 3,6.svg|200px]]
|[[Imagen:Tile V46b.svg|200px]]
|}

{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Los 17 [[grupo del papel pintado|grupos del papel pintado]]<ref name="Sin_nombre-1_6Q8-1"/>
|-
! Signatura<br />Orbifold
! [[Notación de Coxeter|Coxeter]]
! [[Notación de Hermann-Mauguin|Hermann-<br/>Mauguin]]
! [[Andreas Speiser|Speiser]]<br/>[[Paul Niggli|Niggli]]
! Polya<br/>Guggenhein
! Fejes Toth<br/>Cadwell
|-
|*632||[6,3]||p6m||C<sup>(I)</sup><sub>6v</sub>||D<sub>6</sub>||W<sup>1</sup><sub>6</sub>
|-
|632||[6,3]<sup>+</sup>||p6||C<sup>(I)</sup><sub>6</sub>||C<sub>6</sub>||W<sub>6</sub>
|-
|*442||[4,4]||p4m||C<sup>(I)</sup><sub>4</sub>||D<sup>*</sup><sub>4</sub>||W<sup>1</sup><sub>4</sub>
|-
|4*2||[4<sup>+</sup>,4]||p4g||C<sup>II</sup><sub>4v</sub>||D<sup>o</sup><sub>4</sub>||W<sup>2</sup><sub>4</sub>
|-
|442||[4,4]<sup>+</sup>||p4||C<sup>(I)</sup><sub>4</sub>||C<sub>4</sub>||W<sub>4</sub>
|-
|*333||[3<sup>[3]</sup>]
||p3m1||C<sup>II</sup><sub>3v</sub>||D<sup>*</sup><sub>3</sub>||W<sup>1</sup><sub>3</sub>
|-
|3*3||[3<sup>+</sup>,6]||p31m||C<sup>I</sup><sub>3v</sub>||D<sup>o</sup><sub>3</sub>||W<sup>2</sup><sub>3</sub>
|-
|333||[3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>
||p3||C<sup>I</sup><sub>3</sub>||C<sub>3</sub>||W<sub>3</sub>
|-
|*2222||[∞,2,∞]||pmm||C<sup>I</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kkkk||W<sup>2</sup><sub>2</sub>
|-
|2*22||[∞,2<sup>+</sup>,∞]||cmm||C<sup>IV</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kgkg||W<sup>1</sup><sub>2</sub>
|-
|22*||[(∞,2)<sup>+</sup>,∞]||pmg||C<sup>III</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>kkgg||W<sup>3</sup><sub>2</sub>
|-
|22×||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||pgg||C<sup>II</sup><sub>2v</sub>||D<sub>2</sub>gggg||W<sup>4</sup><sub>2</sub>
|-
|2222||[∞,2,∞]<sup>+</sup>||p2||C<sup>(I)</sup><sub>2</sub>||C<sub>2</sub>||W<sub>2</sub>
|-
|**||[∞<sup>+</sup>,2,∞]||pm||C<sup>I</sup><sub>s</sub>||D<sub>1</sub>kk||W<sup>2</sup><sub>1</sub>
|-
|*×||[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||cm||C<sup>III</sup><sub>s</sub>||D<sub>1</sub>kg||W<sup>1</sup><sub>1</sub>
|-
|××||[∞<sup>+</sup>,(2,∞)<sup>+</sup>]||pg||C<sup>II</sup><sub>2</sub>||D<sub>1</sub>gg||W<sup>3</sup><sub>1</sub>
|-
|o||[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||p1||C<sup>(I)</sup><sub>1</sub>||C<sub>1</sub>||W<sub>1</sub>
|}
{{clear}}

===Plano hiperbólico===
{|class="wikitable floatright" style="text-align:center;"
|+ [[Disco de Poincaré|Discos de Poincaré]] de los dominios fundamentales [[Grupo triangular|triangulares]]
|-
! colspan=5|Ejemplo de triángulos rectángulos (*2pq)
|-
|[[Archivo:H2checkers 237.png|60px]]<br />[[simetría 732|*237]]
|[[Archivo:H2checkers 238.png|60px]]<br />[[simetría 832|*238]]
|[[Archivo:Hyperbolic domains 932 black.png|60px]]<br />*239
|[[Archivo:H2checkers 23i.png|60px]]<br />[[simetría i32|*23&infin;]]
|-
|[[Archivo:H2checkers 245.png|60px]]<br />[[simetría 542|*245]]
|[[Archivo:H2checkers 246.png|60px]]<br />[[simetría 642|*246]]
|[[Archivo:H2checkers 247.png|60px]]<br />*247
|[[Archivo:H2checkers 248.png|60px]]<br />[[simetría 842|*248]]
|[[Archivo:H2checkers 24i.png|60px]]<br />[[simetría i42|*&infin;42]]
|-
|[[Archivo:H2checkers 255.png|60px]]<br />[[simetría 552|*255]]
|[[Archivo:H2checkers 256.png|60px]]<br />*256
|[[Archivo:H2checkers 257.png|60px]]<br />*257
|[[Archivo:H2checkers 266.png|60px]]<br />[[simetría 662|*266]]
|[[Archivo:H2checkers 2ii.png|60px]]<br />*2&infin;&infin;
|-
! colspan=5|Ejemplo de triángulos generales (*pqr)
|-
|[[Archivo:H2checkers 334.png|60px]]<br />[[433 symmetry|*334]]
|[[Archivo:H2checkers 335.png|60px]]<br />*335
|[[Archivo:H2checkers 336.png|60px]]<br />*336
|[[Archivo:H2checkers 337.png|60px]]<br />*337
|[[Archivo:H2checkers 33i.png|60px]]<br />[[simetría i33|*33&infin;]]
|-
|[[Archivo:H2checkers 344.png|60px]]<br />[[simetría 443|*344]]
|[[Archivo:H2checkers 366.png|60px]]<br />[[simetría 663|*366]]
|[[Archivo:H2checkers 3ii.png|60px]]<br />*3&infin;&infin;
|[[Archivo:H2checkers 666.png|60px]]<br />*6<sup>3</sup>
|[[Archivo:Infinite-order triangular tiling.svg|60px]]<br />[[simetría iii|*&infin;<sup>3</sup>]]
|-
! colspan=5|Ejemplo de polígonos mayores (*pqrs...)
|-
|[[Archivo:Hyperbolic domains 3222.png|60px]]<br />[[simetría 3222|*2223]]
|[[Archivo:H2chess 246a.png|60px]]<br />[[simetría 3232|*(23)<sup>2</sup>]]
|[[Archivo:H2chess 248a.png|60px]]<br />[[simetría 4242|*(24)<sup>2</sup>]]
|[[Archivo:H2chess 246b.png|60px]]<br />[[simetría 3333|*3<sup>4</sup>]]
|[[Archivo:H2chess 248b.png|60px]]<br />[[simetría 4444|*4<sup>4</sup>]]
|-
|[[Archivo:Uniform tiling 552-t1.png|60px]]<br />[[simetría 22222|*2<sup>5</sup>]]
|[[Archivo:Uniform tiling 66-t1.png|60px]]<br />[[simetría 222222|*2<sup>6</sup>]]
|[[Archivo:Uniform tiling 77-t1.png|60px]]<br />[[simetría 2222222|*2<sup>7</sup>]]
|[[Archivo:Uniform tiling 88-t1.png|60px]]<br />[[simetría 22222222|*2<sup>8</sup>]]
|-
|[[Archivo:Hyperbolic domains i222.png|60px]]<br />[[simetría i222|*222&infin;]]
|[[Archivo:H2chess 24ia.png|60px]]<br />[[simetría i2i2|*(2&infin;)<sup>2</sup>]]
|[[Archivo:H2chess 24ib.png|60px]]<br />[[simetría iiii|*&infin;<sup>4</sup>]]
|[[Archivo:H2chess 24ic.png|60px]]<br />[[simetría 2^i|*2<sup>&infin;</sup>]]
|[[Archivo:H2chess iiic.png|60px]]<br />[[simetría i^i|*&infin;<sup>&infin;</sup>]]

|}

Unos primeros grupos hiperbólicos, ordenados por su característica de Euler son:

{|class=wikitable
|+ Grupos de simetría hiperbólicos<ref>Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239</ref>
|-
! −1/&chi;
! Orbifold
! [[Notación de Coxeter|Coxeter]]
|-
|84||*237||[7,3]
|-
|48||*238||[8,3]
|-
|42||237||[7,3]<sup>+</sup>
|-
|40||*245||[5,4]
|-
|36–26.4||*239, *2 3 10||[9,3], [10,3]
|-
|26.4||*2 3 11||[11,3]
|-
|24||*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238||[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3<sup>+</sup>,8], [8,3]<sup>+</sup>
|-
|22.3–21||*2 3 13, *2 3 14||[13,3], [14,3]
|-
|20||*2 3 15, *255, 5*2, 245||[15,3], [5,5], [5<sup>+</sup>,4], [5,4]<sup>+</sup>
|-
|19.2||*2 3 16||[16,3]
|-
|{{frac|18|2|3}}||*247||[7,4]
|-
|18||*2 3 18, 239||[18,3], [9,3]<sup>+</sup>
|-
|17.5–16.2||*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23||[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
|-
|16||*2 3 24, *248||[24,3], [8,4]
|-
|15||*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10||[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3<sup>+</sup>,10], [10,3]<sup>+</sup>
|-
|{{frac|14|2|5}}–{{frac|13|1|3}}||*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10||[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
|-
|{{frac|13|1|5}}||*2 3 66, 2 3 11||[66,3], [11,3]<sup>+</sup>
|-
|{{frac|12|8|11}}||*2 3 105, *257||[105,3], [7,5]
|-
|{{frac|12|4|7}}||*2 3 132, *2 4 11 ...||[132,3], [11,4], ...
|-
|12||*23&infin;, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334||[&infin;,3] [12,4], [6,6], [6<sup>+</sup>,4], [(6,3,3)], [3<sup>+</sup>,12], [(4,4,3)], [4<sup>+</sup>,6], [&infin;,3,&infin;], [12,3]<sup>+</sup>, [6,4]<sup>+</sup> [(4,3,3)]<sup>+</sup>
|-
|colspan=2|...
|}

{{Clear}}

==Véase también==
* [[Mutación de orbifolds]]
* [[Notación fibrifold]]: una extensión de la notación orbifold para el [[grupo espacial]] 3d

==Referencias==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
* J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
* J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), ''Groups, Combinatorics and Geometry'', Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series '''165'''. [[Cambridge University Press]], Cambridge. pp.&nbsp;438–447
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}}
*{{citation | last = Hughes | first = Sam | title = Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups | year = 2019 | arxiv = 1910.00519| bibcode = 2019arXiv191000519H }}

==Enlaces externos==
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node39.html#SECTION0003900000000000000000 A field guide to the orbifolds] (Notas de la clase en [http://www.geom.uiuc. edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html "Geometry and the Imagination"] en Minneapolis, con John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman y Bill Thurston, del 17 al 28 de junio de 1991. Véase también [http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/gi/gi.pdf PDF, 2006])
* [https://uni-tuebingen.de/fakultaeten/mathematisch-naturwissenschaftliche-fakultaet/fachbereiche/informatik/lehrstuehle/algorithms-in-bioinformatics/software/tegula/ Tegula] Software para visualizar teselados bidimensionales del plano, de la esfera e hiperbólicos, y editando sus grupos de simetría en notación orbifold

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Notación matemática]]
[[Categoría:John Horton Conway]]