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Un '''operador de clase de determinante''' o '''de clase determinante''' es un operador lineal definido sobre un [[espacio de Hilbert]] [[espacio separable|separable]] para el cual es posible definir su determinante.

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión finita sobre <math>\scriptstyle\R</math> o <math>\scriptstyle\mathbb{C}</math> cualquier operador lineal pertenece a la clase de determinante, por lo que la clase de determinante es sólo un subconjunto propio del conjunto de operadores en dimensión infinita.

== Definición ==
Los operadores de clase de determinante pueden definirse a partir de operadores de clase de determinante, en concreto un operador ''A'' es de clase de determinante si existe un operador de clase de traza ''T'' tal que:
{{ecuación|
<math>A = I+T, \qquad A,T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math>
| |left}}
donde:
:<math>T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> es de clase traza,
:<math>I:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> es el [[Función identidad|operador identidad]],
La clase de los opedores de clase de determinante sobre un espacio de Hilbert son un subconjunto de los operadores acotados denotado frecuentemente como ''B<sub>det</sub>''(H).

El '''determinante''' de un operador de clase de determinante <math>A=I+T</math>se define como:
{{ecuación|
<math> \det A = \det (I+T):=\prod_{n\ge 1}[1+\lambda_n(T)]</math>
||left}}
para <math>\{\lambda_n(T)\}_n</math> los elementos del [[Espectro de un operador|espectro]] de <math>T</math>; la condición de clase traza sobre <math>T</math> garantiza que el producto infinito es igual a un número finito, de hecho:
{{ecuación|
<math> \det A = \det (I+T)\le e^{\|T\|_1};</math>
||left}}
Donde <math>\scriptstyle \|\cdot\|_1</math> denota la norma específica de los [[operadores de clase de traza]]. La relación anterior también garantiza que <math>\scriptstyle \det (I+T)\neq 0</math> si y sólo si <math>\scriptstyle A=(I+T)</math> admite [[función inversa|inversa]].

== Referencias ==
{{listaref}}
=== Bibliografía ===
* Alexander Reffgen (2003): [https://web.archive.org/web/20120321203900/http://www.nek.lu.se/NEKARE/cv/reffgen2003.pdf The Determinant in Finite- and Infinite-Dimensional Vector Spaces]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de operadores lineales]]