Ver el código de «Ovoide (geometría proyectiva)»

{{distinguir|[[ovoide]], forma geométrica plana}}

[[File:Ovoid-definition.svg|thumb|300px|Para la definición de un ovoide: '''t''' recta tangente; y '''s''' recta secante]]

En geometría proyectiva, un '''ovoide''' es un conjunto de puntos (superficie) similar a una esfera en un [[espacio proyectivo]] de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}}. Ejemplos simples en un espacio proyectivo real son las hiperesferas ([[cuádrica]]s). Las propiedades geométricas esenciales de un ovoide <math>\mathcal O</math> son:

# Cualquier línea recta cruza a <math>\mathcal O</math> como máximo en 2 puntos,
# Las tangentes en un punto cubren un hiperplano (y nada más), y
# <math>\mathcal O</math> no contiene líneas rectas.

La propiedad 2) excluye los casos degenerados (conos,...). La propiedad 3) excluye superficies regladas (hiperboloides de una [[hoja]], ...).

Un ovoide es el análogo espacial de un [[óvalo (plano proyectivo)|óvalo]] en un [[plano proyectivo]].

Un ovoide es un tipo especial de ''[[conjunto cuadrático]]''.

Los ovoides juegan un papel esencial en la construcción de ejemplos del [[plano de Möbius]] y geometrías de Möbius de dimensiones superiores.

==Definición de un ovoide==
* En un espacio proyectivo de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}} un conjunto <math>\mathcal O</math> de puntos se llama '''ovoide''', si
: (1) Cualquier recta {{mvar|g}} se encuentra con <math>\mathcal O</math> en como máximo 2 puntos.
En el caso de <math>|g\cap\mathcal O|=0</math>, se llama ''recta pasante'' (o ''exterior''), si <math>|g\cap\mathcal O|=1</math> entonces es una ''recta tangente'', y si <math>|g\cap\mathcal O|=2</math> es una ''recta secante''.
: (2) En cualquier punto <math>P \in \mathcal O</math>, las rectas tangentes que pasan por {{mvar|P}} cubren un hiperplano, el ''hiperplano tangente'' (es decir, un subespacio proyectivo de dimensión {{math|''d'' − 1}}).
: (3) <math>\mathcal O</math> no contiene líneas rectas.

Desde el punto de vista de las secciones del hiperplano, un ovoide es un objeto bastante homogéneo, porque
*Para un <math>\mathcal O</math> ovoide y un hiperplano <math>\varepsilon</math>, que contiene al menos dos puntos de <math>\mathcal O</math>, el subconjunto <math>\varepsilon \cap \mathcal O</math> es un ovoide (o un óvalo, si es {{math|1=''d''= 3}}) dentro del hiperplano <math>\varepsilon</math>.

Para espacios proyectivos ''finitos'' de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}} (es decir, el conjunto de puntos es finito, el espacio es pappiano<ref>{{harvnb|Dembowski|1968|page=28}}</ref>), el siguiente resultado es verdadero:
* Si <math>\mathcal O</math> es un ovoide en un espacio proyectivo ''finito'' de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}}, entonces {{math|1=''d''= 3}}.
:(En el caso finito, los ovoides existen solo en espacios tridimensionales.)<ref name="dup-0-55">{{harvnb|Dembowski|1968|page=48}}</ref>
*En un espacio proyectivo finito de orden {{math|''n'' >2}} (es decir, cualquier línea contiene exactamente puntos {{math|''n'' + 1}}) y dimensión {{math|1=''d''= 3}}, cualquier conjunto de puntos <math>\mathcal O</math> es un ovoide si y solo si <math>|\mathcal O|=n^2+1</math> y ningún otro punto son [[colinealidad|colineales]] (en una línea recta común).<ref name="dup-0-55" />

Reemplazar la palabra ''proyectivo'' en la definición de ovoide por ''afín'', da la definición de ''ovoide afín''.

Si para un ovoide (proyectivo) hay un hiperplano adecuado <math>\varepsilon</math> que no lo cruza, se puede llamar a este hiperplano el ''hiperplano <math>\varepsilon_\infty</math> en el infinito'' y el ovoide se convierte en un ovoide afín en el [[espacio afín]] correspondiente a <math>\varepsilon_\infty</math>. Además, cualquier ovoide afín puede considerarse un ovoide proyectivo en el cierre proyectivo (agregando un hiperplano en el infinito) del espacio afín.

==Ejemplos==

===En el espacio proyectivo real (representación no homogénea)===
#<math>\mathcal O=\{(x_1,...,x_d)\in {\mathbb R}^d \;|\; x_1^2+\cdots +x_d^2=1\}\ ,</math> (hiperesfera)
#<math>\mathcal O=\{(x_1,...,x_d)\in {\mathbb R}^d \;|x_d=x_1^2+\cdots +x_{d-1}^2\; \} \; \cup \; \{\text{punto del infinito del eje } x_d \}</math>

Estos dos ejemplos son ''cuádricas'' y son proyectivamente equivalentes.

Se pueden obtener ejemplos simples, que no son cuádricas, mediante las siguientes construcciones:
: (a) Pegar la mitad de una hiperesfera a un hiperelipsoide adecuado en forma [[Función infinitamente diferenciable|suave]].
: (b) En los dos primeros ejemplos, reemplazar la expresión {{math|''x''<sub>1</sub><sup>2</sup>}} por {{math|''x''<sub>1</sub><sup>4</sup>}}.

''Observación:'' Los ejemplos reales no se pueden convertir al caso complejo (espacio proyectivo sobre <math>{\mathbb C}</math>). En un espacio proyectivo complejo de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}} no hay cuádricas ovoides, porque en ese caso cualquier cuádrica no degenerada contiene líneas rectas.

Pero el siguiente método garantiza muchos ovoides no cuádricos:
* Para cualquier espacio proyectivo ''no finito'', la existencia de ovoides se puede probar mediante ''inducción transfinita''.<ref>W. Heise: ''Bericht über <math>\kappa</math>-affine Geometrien'', Journ. of Geometry 1 (1971), S. 197–224, Satz 3.4.</ref><ref>[[Francis Buekenhout|F. Buekenhout]]: ''A Characterization of Semi Quadrics'', Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421, chapter 3.5</ref>

===Ejemplos finitos===
* Cualquier ovoide <math>\mathcal O</math> en un espacio proyectivo ''finito'' de dimensión {{math|1=''d''= 3}} sobre un cuerpo {{mvar|K}} de [[Característica (matemática)|característica]] {{math|≠ 2}} es una ''cuádrica''.<ref>{{harvnb|Dembowski|1968|page=49}}</ref>

El último resultado no se puede extender ni siquiera a una característica par, debido a los siguientes ejemplos que no son cuádricas:
* Para <math>K=GF(2^m),\; m </math> impar y <math>\sigma</math> el automorfismo <math> x \mapsto x^{(2^{\frac{m+1}{2}})}\; ,</math>
el conjunto de puntos
:<math>\mathcal O=\{(x,y,z)\in K^3 \;|\; z=xy+x^2x^\sigma+y^\sigma \} \; \cup \; \{\text{punto del infinito del eje-} z\}</math> es un ovoide en el espacio proyectivo tridimensional sobre {{mvar|K}} (representado en coordenadas no homogéneas).
:Solo cuando {{math|1=''m''= 1}} el ovoide <math>\mathcal O</math> es una cuádrica.<ref>{{harvnb|Dembowski|1968|page=52}}</ref>
:<math>\mathcal O</math> se llama '''ovoide de Tits-Suzuki'''.

==Criterios para que un ovoide sea una cuádrica==
Una cuádrica ovoidal tiene muchas simetrías. En particular:
* Sea <math>\mathcal O</math> un ovoide en un espacio proyectivo <math>\mathfrak P</math> de dimensión {{math|''d'' ≥ 3}} y <math>\varepsilon</math> un hiperplano. Si el ovoide es simétrico con respecto a cualquier punto <math>P \in \varepsilon \setminus \mathcal O</math> (es decir, hay una perspectiva involutiva con centro <math>P</math> que deja a <math>\mathcal O</math> invariante), entonces <math>\mathfrak P</math> es pappiano y <math>\mathcal O</math> una cuádrica.<ref>H. Mäurer: ''Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene'', Abh. Math. Sem. Hamburg 45 (1976), S.237-244</ref>
*Un ovoide <math>\mathcal O</math> en un espacio proyectivo <math>\mathfrak P</math> es una cuádrica, si el grupo de proyectividades que dejan invariante a <math>\mathcal O</math> opera 3-transitivamente en <math>\mathcal O</math>, es decir, para dos tripletes <math>A_1,A_2,A_3,\; B_1,B_2,B_3</math> existe una proyectividad <math>\pi</math> con <math>\pi(A_i)=B_i,\; i=1,2,3</math>.<ref>[[Jacques Tits|J. Tits]]: ''Ovoides à Translations'', Rend. Mat. 21 (1962), S. 37–59.</ref>

En el caso finito se obtiene del [[teorema de Segre]] que:
* Sea <math>\mathcal O</math> un ovoide en un espacio proyectivo desarguesiano tridimensional ''finito'' <math>\mathfrak P</math> de orden ''impar'', entonces <math>\mathfrak P</math> es pappiano y <math>\mathcal O</math> es una cuádrica.

==Generalización: semi ovoide==
Eliminar la condición (1) de la definición de ovoide da como resultado la definición de ''semi-ovoide'':
:Un conjunto de puntos <math> \mathcal O</math> de un espacio proyectivo se llama ''semiovoide'' si se mantienen las siguientes condiciones:
: (SO1) Para cualquier punto <math>P \in \mathcal O</math>, las tangentes que pasan por el punto <math>P</math> cubren exactamente un hiperplano.
: (SO2) <math>\mathcal O</math> no contiene líneas rectas.

Un semiovoide es un ''conjunto semicuadrático'' especial,<ref>[[Francis Buekenhout|F. Buekenhout]]: ''A Characterization of Semi Quadrics'', Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421.</ref> que es una generalización de un ''[[conjunto cuadrático]]''. La diferencia esencial entre un conjunto semicuadrático y un conjunto cuadrático es el hecho de que puede haber rectas que tengan 3 puntos en común con el conjunto y las rectas no estén contenidas en el conjunto.

Ejemplos de semiovoides son los conjuntos de puntos isotrópicos de una [[forma hermítica]]. Se llaman ''cuádricas hermíticas''.

En cuanto a los ovoides, en la literatura existen criterios que convierten un semiovoide en una cuádrica hermítica.
Véase, por ejemplo.<ref>K.J. Dienst: ''Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen'', Beiträge zur geometrischen Algebra (1977), Birkhäuser-Verlag, S. 83-85.</ref>

Los semiovoides se utilizan en la construcción de ejemplos de geometrías de Möbius.

==Véase también==
*[[Ovoide (espacio polar)]]
*[[Plano de Möbius]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
*{{Citation|last1=Dembowski|first1=Peter|title=Finite geometries|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|series=[[ Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]], Band 44|mr=0233275|year=1968|isbn=3-540-61786-8|url=https://archive.org/details/finitegeometries0000demb }}

==Lecturas adicionales==
*{{citation|last=Barlotti|first=A.|title=Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo|journal=Boll. Un. Mat. Ital.|year=1955|volume=10|pages=96–98}}
*{{citation|authorlink=James William Peter Hirschfeld|last=Hirschfeld|first=J.W.P.|title=Finite Projective Spaces of Three Dimensions|year=1985|publisher=Oxford University Press|location=New York|isbn=0-19-853536-8}}
*{{citation|last=Panella|first=G.|title=Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito|journal=Boll. Un. Mat. Ital.|year=1955|volume=10|pages=507–513}}

==Enlaces externos==
* E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski.]'' Skript, TH Darmstadt ([[PDF]]; 891 kB), S. 121-123.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría proyectiva]]
[[Categoría:Geometría de incidencia]]