Ver el código de «Péndulo»

{{otros usos}}
[[Archivo:Simple Pendulum Oscillator.gif|thumb|[[Péndulo simple]] en movimiento armónico con oscilaciones pequeñas.]]
[[Archivo:Catedral Metropolitana, México D.F., México, 2013-10-16, DD 89.JPG|miniaturadeimagen|Péndulo en la Catedral Metropolitana, Ciudad de México.]]
El '''péndulo''' (del [[latín]] ''pendŭlus'', pendiente)<ref>{{Cita DLE|péndulo|fechaacceso=26 de octubre de 2011}}</ref> es un sistema físico que puede [[oscilación|oscilar]] bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijos mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que pueda mantener fijo el sistema.

Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: [[péndulo simple]], [[péndulo compuesto]], [[péndulo cicloidal]], [[péndulo doble]], [[péndulo de Foucault]], [[péndulo balístico]], [[péndulo de torsión]], [[péndulo esférico]], entre otros.

Sus usos son muy variados: medida del tiempo ([[reloj de péndulo]], [[metrónomo]], ...), medida de la intensidad de la gravedad, etc.

== Historia ==
[[Archivo:EastHanSeismograph.JPG|thumb|Réplica del [[sismómetro]] de Zhang Heng. El péndulo está contenido en su interior.]]
Uno de los primeros usos conocidos de un péndulo fue un dispositivo de [[sismómetro]] del {{siglo|I||s}} de la [[dinastía Han]] científico chino [[Zhang Heng]].<ref name="morton 70">Morton, W. Scott y Charlton M. Lewis (2005). China: Su historia y su cultura. Nueva York: McGraw-Hill, Inc, p. 70</ref> Su función era balancearse y activar una de una serie de palancas tras ser perturbada por el temblor de un [[terremoto]] lejano.<ref name="needham volume 3 627 629">Needham, Volume 3, 627-629</ref> Liberada por una palanca, una pequeña bola caía del dispositivo en forma de urna en una de las ocho bocas de sapo de metal que había debajo, en los ocho puntos de la brújula, significando la dirección en la que se encontraba el terremoto.<ref name="needham volume 3 627 629" />

Muchas fuentes<ref>{{cite book
 | last = Good | first = Gregory
 | title = Ciencias de la Tierra: Una Enciclopedia de Eventos, Personas y Fenómenos
 | editorial = Routledge
 | año = 1998
 | página = 394
 | url = https://books.google.com/books?id=vdqXVddh0hUC
 | isbn = 978-0-8153-0062-5}}</ref><ref>{{cite encyclopedia
 | título = Péndulo
 | encyclopedia = Encyclopedia Americana
 | volumen = 21
 | páginas = 502
 | editor = The Americana Corp.
 | url = https://www.google.com/books/edition/Dictionary_of_African_Biography/39JMAgAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq="ibn+yunus "+pendulum&pg=RA2-PA126
 | año = 1967
 | fechaacceso = 2009-02-20
}}</ref><ref>{{cite book
 | last = Baker
 | first = Cyril Clarence Thomas
 | título = Diccionario de Matemáticas
 | Editor = G. Newnes
 | año = 1961
 | página = 176
 | url = https://books.google.com/books?id=RlkYAAAAMAAJ&q=Ibn+Yunis+pendulum
}}</ref><ref>{{cite book
 | last = Newton | first = Roger G.
 | title = El péndulo de Galileo: Del ritmo del tiempo a la creación de la materia
 | editorial = Harvard University Press
 | año = 2004
 | página = [https://archive.org/details/galileospendulum0000newt/page/52 52]
 | url = https://archive.org/details/galileospendulum0000newt
 | isbn = 978-0-674-01331-5
}}</ref> afirman que el astrónomo egipcio del {{siglo|X||s}} [[Ibn Yunus]] utilizaba un péndulo para medir el tiempo, pero se trata de un error originado en 1684 por el historiador británico Edward Bernard.<ref>{{Cita publicación
 | last=King | first=D. A.
 | title=Ibn Yunus y el péndulo: una historia de errores
 | journal=Archives Internationales d'Histoire des Sciences
 | año=1979 | volumen=29 | número=104
 | pages=35-52
}}, reimpreso en el sitio web [https://muslimheritage.com/ibn-yunus-and-the-pendulum-a-history-of-errors/ Muslim Heritage].
</ref><ref>{{Cita publicación
 | last = Hall | first = Bert S.
 | title = El péndulo escolar
 | revista = Anales de la Ciencia
 | volumen = 35 | número = 5
 | páginas = 441-462
 | fecha = septiembre de 1978
 | issn = 0003-3790
 | doi =10.1080/00033797800200371
}}</ref><ref>{{cite web
 | autor1 = O'Connor, J. J.
 | autor2 = Robertson, E. F.
 | fecha = noviembre de 1999
 | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Yunus.html
 | title = Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus
 | editor = University of St Andrews
 | access-date = 2007-05-29
}}</ref><ref name="Akyeampong">{{cite book
 | last1 = Akyeampong | first1 = Emmanuel K.
 | last2 = Gates | first2 = Henry Louis
 | título = Dictionary of African Biography, Vol. 1
 | Editor = Oxford Univ. Press
 | fecha = 2012
 | páginas = 126
 | url = https://www.google.com/books/edition/Dictionary_of_African_Biography/39JMAgAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq="ibn+yunus "+pendulum&pg=RA2-PA126
 | isbn = 9780195382075
}}</ref>

Durante el [[Renacimiento]], se utilizaban grandes péndulos bombeados a mano como fuentes de energía para máquinas manuales de movimiento alternativo, como sierras, fuelles y bombas.<ref>{{cite book
 | last = Matthews | first = Michael R.
 | title = El tiempo en la enseñanza de las ciencias
 | publisher = Springer
 | año = 2000
 | página = 87
 | url = https://books.google.com/books?id=vCtYnEuW7TIC&pg=PR14
 | isbn = 978-0-306-45880-4
}}</ref> [[Leonardo da Vinci]] hizo muchos dibujos del movimiento de los péndulos, aunque sin darse cuenta de su valor para la medición del tiempo.

=== 1602: Investigaciones de Galileo ===
El científico italiano [[Galileo Galilei]] fue el primero en estudiar las propiedades de los péndulos, comenzando alrededor de 1602.<ref name="Drake">{{cite book
 | last = Drake | first = Stillman
 | title = Galileo at Work: His scientific biography
 | publisher = Courier Dover
 | año = 2003
 | lugar = EE.UU.
 | páginas = 20-21
 | url = https://books.google.com/books?id=OwOlRPbrZeQC&pg=PA20
 | isbn = 978-0-486-49542-2
}}</ref> 
El primer informe que se conserva de sus investigaciones está contenido en una carta a Guido Ubaldo dal Monte, desde Padua, fechada el 29 de noviembre de 1602.<ref name="Galileo">{{cite book
 | last = Galilei | first = Galileo
 | title= Le Opere di Galileo Galilei, Edizione Nazionale
 | author-link = Galileo Galilei
 | editor-last= Favaro
 | editor-first= Antonio
 | editor-link= :it:Antonio Favaro
 | date = 1909
 | url = https://archive.org/details/leoperedigalile07vivigoog
 | language=it
 | location = [[Florencia]]
 | publisher= Barbera
 | isbn= 978-88-09-20881-0
}}</ref> Su biógrafo y estudiante, [[Vincenzo Viviani]], indica que su interés se había despertado hacia 1582 por el movimiento oscilatorio de un candelabro suspendido en la [[catedral de Pisa]].<ref>{{cite book
 | last = Murdin | first = Paul
 | title = Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth
 | publisher = Springer
 | year = 2008
 | page = 41
 | url = https://books.google.com/books?id=YUHyhL8MyIQC&pg=PA41
 | isbn = 978-0-387-75533-5
}}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=wq1aAAAAYAAJ La Lampada di Galileo], by Francesco Malaguzzi Valeri, for Archivio storico dell'arte, Volume 6 (1893); Editor, Domenico Gnoli; Publisher Danesi, Rome; Page 215-218.</ref> Galileo descubrió que la propiedad importante que hace al péndulo una herramienta útil para medir el tiempo, denominada isocronismo; el período del péndulo es aproximadamente independiente de la amplitud o el desplazamiento del balanceo.<ref name="GalileoProject">{{cite web
 | last = Van Helden | first = Albert
 | title = Pendulum Clock
 | website = The Galileo Project
 | publisher = Rice Univ.
 | year = 1995
 | url = http://galileo.rice.edu/sci/instruments/pendulum.html
 | access-date = 2009-02-25
}}</ref> También descubrió que el período es independiente de la [[masa]] de la lenteja y proporcional a la [[raíz cuadrada]] de la longitud del péndulo. Primero empleó péndulos de libre oscilación en aplicaciones simples de cronometraje. Su amigo médico, [[Santorio Santorii]], inventó un dispositivo que medía el [[pulso]] de un paciente valiéndose de la longitud de un péndulo; el ''pulsilogium''.<ref name="Drake" /> En 1641 Galileo le dictó a su hijo [[Vincenzo Gamba|Vincenzo]] el diseño de un reloj de péndulo;<ref name="GalileoProject" /> Vincenzo comenzó su construcción, pero no la había terminado al fallecer en 1649<ref>[https://books.google.com/books?id=OwOlRPbrZeQC&pg=PA20 Drake 2003], p.419–420</ref> (véase ''[[escape de Galileo]]'').

=== 1656: El reloj de péndulo ===
{{multiple image
| align    = left
| direction = horizontal
| footer   = El primer reloj de péndulo
| image1   = Huygens first pendulum clock - front view.png
| width1   = 120
| image2   = Huygens first pendulum clock.png
| width2   = 112
}}
En 1656 el científico neerlandés [[Christiaan Huygens]] construyó el primer [[reloj de péndulo]].<ref>Aunque hay referencias no contrastadas a relojes de péndulo anteriores realizados por otros: {{cite book
 | last=Usher | first=Abbott Payson
 | title=Una historia de los inventos mecánicos
 | año=1988
 | editor=Courier Dover
 | páginas= 310-311
 | isbn=978-0-486-25593-4
 | url=https://books.google.com/books?id=xuDDqqa8FlwC&pg=PA312
}}</ref> Esto supuso una gran mejora respecto a los relojes mecánicos existentes; su mayor precisión pasó de unos 15 minutos de desviación al día a unos 15 segundos al día.<ref>{{cite book
 | last = Eidson | first = John C.
 | title = Medición, control y comunicación usando IEEE 1588
 | editor = Burkhausen
 | año = 2006
 | página = 11
 | url = https://books.google.com/books?id=jmfkJYdEANEC&q=%22accuracy+de+relojes%22&pg=PA11
 | isbn = 978-1-84628-250-8
}}</ref> Los péndulos se extendieron por Europa a medida que los relojes existentes eran adaptados con ellos.<ref>Milham 1945, p.145</ref>

El científico inglés [[Robert Hooke]] estudió el [[péndulo cónico]] hacia 1666, consistente en un péndulo que se balancea libremente en dos dimensiones, con la bobina girando en un círculo o elipse.<ref name="OConnor2002">{{cite web
  | last = O'Connor
  | first = J.J.
  | author2 = E.F. Robertson
  | title = Robert Hooke
  | sitio web = Biografías, Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
  | editor = School of Mathematics and Statistics, Univ. of St. Andrews, Scotland
  | fecha = agosto de 2002
  | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hooke.html
  | fechaacceso = 2009-02-21
  | fechaarchivo = 2009-03-03
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20090303081753/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hooke.html
}}</ref> Utilizó los movimientos de este aparato como modelo para analizar los [[movimientos orbitales]] de los [[planeta]]s.<ref>{{cite conference
  | first = Michael
  | last = Nauenberg
  | title = La contribución seminal de Robert Hooke a la dinámica orbital
  | book-title = Robert Hooke: Estudios del Tricentenario
  | páginas = 17-19
  | editor = Ashgate Publishing
  | año = 2006
  | isbn = 0-7546-5365-X
  }}</ref> Hooke sugirió a [[Isaac Newton]] en 1679 que los componentes del movimiento orbital consistían en un movimiento inercial a lo largo de una dirección tangente más un movimiento atractivo en la dirección radial, lo que pudo jugar un papel en la formulación de Newton de la [[ley de la gravitación universal]].<ref>{{Cita publicación
 | last=Nauenberg
 | first=Michael
 | title=Hooke y Newton: Adivinando los movimientos planetarios
 | journal=Physics Today
 | año=2004 | volumen=57 | número=2 | página=13
 | url=http://scitation.aip.org/journals/doc/PHTOAD-ft/vol_57/iss_2/13_1.shtml
 | fechaacceso=2007-05-30
 | doi=10.1063/1.1688052 |bibcode = 2004PhT....57b..13N }}</ref>
<ref>{{cite web
 |autor=El Grupo KGM, Inc. 
 |year=2004 
 |url=http://www.sciencemaster.com/space/item/helio_4.php 
 |title=Modelos Heliocéntricos 
 |publisher=Maestro de la Ciencia 
 |access-date=2007-05-30 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070713175810/http://www.sciencemaster.com/space/item/helio_4.php 
 |archive-date=2007-07-13 
}}</ref> Robert Hooke también fue el responsable de sugerir ya en 1666 que el péndulo podía utilizarse para medir la fuerza de la gravedad.<ref name="OConnor2002" />

Durante su expedición a [[Cayena]], [[Guayana Francesa]] en 1671, [[Jean Richer]] descubrió que un [[reloj de péndulo]] era {{frac|2|1|2}} minutos por día más lento en Cayena que en París. De ello dedujo que la fuerza de la gravedad era menor en Cayena.<ref>{{cite conference
  | author = Victor F. Lenzen, Robert P. Multauf
  | title = Ponencia 44: Desarrollo de los péndulos de gravedad en el siglo XIX - Boletín del Museo Nacional de Estados Unidos 240: Contribuciones del Museo de Historia y Tecnología reimpresas en el Boletín de la Institución Smithsoniana
  | páginas = 307
  | año = 1964
  | url = https://books.google.com/books?id=A1IqAAAAMAAJ&pg=RA2-PA307
  | fechaacceso = 2009-01-28}}</ref><ref>{{cite book
 | last=Richer
 | first=Jean
 | año=1679
 | title=Observaciones astronómicas y físicas realizadas en la isla de Caïenne
 | publisher=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences | bibcode=1679oaep.book.....R
 }} citado en [https://books.google.com/books?id=A1IqAAAAMAAJ&pg=RA2-PA307 Lenzen & Multauf, 1964], p.307</ref>

== Péndulo simple o matemático ==
{{AP|Péndulo simple}}
[[Archivo: pendulum.jpg|thumb|200px|Componentes del peso de la masa pendular.]]

También llamado '''péndulo ideal,''' está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una [[masa]] puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.

Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con [[movimiento periódico]].

=== Ecuación del movimiento ===
Para escribir la ecuación del movimiento observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el [[peso]] de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la [[Segunda ley de Newton]] en la dirección del movimiento, tenemos
{{ecuación|
<math>F_\text{t} = - mg\sen\theta = ma_\text{t} \,</math>
||left}}
donde el signo negativo tiene en cuenta que la <math>F_\text{t}</math> tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular
{{ecuación|
<math> a_\text{t} = \ell \ddot\theta\ \,</math>
||left}}
obtenemos finalmente la [[ecuación diferencial]] del movimiento plano del [[péndulo simple]]
{{ecuación|
<math> \ell \ddot\theta\ +
g \sen\theta = 0\,</math>
||left}}

=== Período de oscilación ===

[[Archivo:Pend-period-ampl.png|thumb|250px|right|Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1, pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180°).]]

El astrónomo y físico [[italia]]no [[Galileo Galilei]] observó que el [[periodo de oscilación]] es independiente de la [[Amplitud (matemáticas)|amplitud]], al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
{{ecuación|
<math>T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}</math>
||left}}
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra [[Integral elíptica de primera especie|integrales elípticas de primera especie]]:

:<math>T = 4\sqrt{\ell\over g}K\left(\sen \frac{\varphi_0}{2}\right)
= 4\sqrt{\ell\over g} \int_0^{\frac{\pi}{2}}
\frac{d\theta}{\sqrt{1-\sen^2 \frac{\varphi_0}{2}\sen^2 \theta}}
</math>

Donde φ<sub>0</sub> es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en [[serie de Taylor]] obteniéndose una expresión más útil:

:<math>T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g}
\left[1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2\sen^2 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sen^4 \frac{\varphi_0}{2}+
\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^2\sen^6 \frac{\varphi_0}{2}+ \dots \right]</math>

=== Solución de la ecuación de movimiento ===
[[Archivo:Pend-ampl.png|thumb|250px|Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud <math>\phi_0 = 0,999\pi</math> (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud <math>\phi_0 = 0,25\pi</math> (gris).]]

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de [[función elíptica|funciones elípticas]] de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una [[integral de movimiento]] y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
{{ecuación|
<math>t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^{\phi(t)} \frac{ld\theta}{\sqrt{E-U(\theta)}} =</math>
<math>= \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta -\cos\phi_0}} =
\sqrt{\frac{l}{4g}} \int_0^{\phi(t)} \frac{d\theta}{\sqrt{\sen^2\frac{\phi_0}{2}-\sen^2\frac{\theta}{2}}}</math>||left}}
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:
:<math>E = -mgl \cos \phi_0\;</math>, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud <math>\phi_0\;</math>.
:<math>U(\phi) = -mgl \cos \phi\;</math>, es la [[energía potencial]].

Realizando en variable <math>\sen\xi = \frac{\sen\frac{\theta}{2}}{\sen\frac{\phi_0}{2}}\;</math>, la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

{{ecuación|<math>t = 
\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\Phi} \frac{d\xi}{\sqrt{1-\sen^2\frac{\phi_0}{2}\sen^2\xi}}
\Rightarrow \theta(t) = 2\arcsin \left(\mbox{sn}\ \sqrt{\frac{g}{l}}t \cdot \sen{\frac{\phi_0}{2}}\right)</math>||left}}

Donde:
:<math>\mbox{sn}(t)\;</math>, es la [[función elíptica de Jacobi]] tipo seno.
:<math>\sen\Phi = \frac{\sen\frac{\phi(t)}{2}}{\sen\frac{\phi_0}{2}}</math>

El lagrangiano del sistema es <math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y <math>l</math> es la longitud de la cuerda (es la ligadura).
Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: <math>l^2\ddot{\theta} + gl\sen{\theta} = 0</math>. Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.

== Péndulo esférico ==
{{AP|Péndulo esférico}}
[[Archivo:Foucault pendulum animated.gif|thumb|Péndulo de Foucault en el hemisferio sur.]]

Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio ''l'') comprendida entre dos paralelos. Existen dos [[integral de movimiento|integrales de movimiento]], la energía ''E'' y la componente del [[momento angular]] paralela al eje vertical ''M<sub>z</sub>''. La [[lagrangiano|función lagrangiana]] viene dada por:
{{ecuación|<math>L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\sen^2\theta)+mgl\cos\theta</math>||left}}
Donde <math>\phi</math> es el ángulo polar y <math>\theta</math> es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] son:

{{ecuación|<math>\begin{matrix}
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial\dot\theta} - \cfrac{\partial L}{\partial\theta}=0 & \Rightarrow &
l\ddot\theta - l\dot{\phi}^2\sen\theta\cos\theta + g \sen\theta = 0\\ \\
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\partial L}{\partial\dot\phi} - \cfrac{\partial L}{\partial\phi}=0 & \Rightarrow
& \cfrac{d}{dt}(ml^2\dot{\phi}\sen^2\theta) = 0 \end{matrix}</math>||left}}

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

{{ecuación|<math>\dot\phi = \frac{M_z}{ml^2\sen^2\theta} \Rightarrow \qquad
L = K(\dot\theta)+ U_{ef}(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 +
\frac{M_z^2}{2ml^2\sen^2\theta}-mgl\cos\theta</math>||left}}

Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.

=== Período ===

El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos [[movimiento periódico|movimientos periódicos]] de períodos generalmente inconmensurables. Sin embargo, el movimiento resulta [[movimiento cuasiperiódico|cuasiperiódico]], lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo ''T'' tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos [[casquete esférico|casquetes esféricos]].

=== Solución de la ecuación de movimiento ===
Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de [[integral elíptica de primera especie|primera especie]] y [[integral elíptica de tercera especie|tercera especie]]:
{{ecuación|<math>t = \sqrt\frac{ml^2}{2} \int \frac{d\theta}{\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}} \qquad
\phi = \frac{M_z}{l\sqrt{2m}} \int \frac{d\theta}{\sen^2\theta\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}}</math>||left}}

== Véase también ==
{{lista de columnas|3|
* [[Péndulo doble]]
* [[Oscilador armónico]]
* [[Péndulo balístico]]
* [[Péndulo cicloidal]]
* [[Péndulo cónico]]
* [[Péndulo de Foucault]]
* [[Péndulo de Newton]]
* [[Péndulo de Pohl]]
* [[Péndulo de torsión]]
* [[Péndulo esférico]]
* [[Péndulo físico]]
* [[Péndulo simple]]
* [[Péndulo simple equivalente]]
* [[Reloj de péndulo]]
* [[Teorema de Huygens]]
}}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro |autor= Matias, Cardozo. |título= Dinámica clásica de las partículas y sistemas |año=2008  |editorial= Buenos Aires: Bella Vista |isbn = 84-291-4094-8}}
* {{Cita libro |autor= Ortega, Manuel R. |título= Lecciones de Física (4 volúmenes) |año= 1989-2006 |editorial= Monytex |id= ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7}}
* {{Cita libro |autor= Resnick, Robert & Halliday, David |título= Física 4ª |año= 2004 |editorial= CECSA, México |isbn = 970-24-0257-3}}

=== Enlaces externos ===
{{wikcionario|péndulo|punto=no}} y '''[[wikt:pendular|pendular]]'''.
* {{Enlace roto|1=[http://pperezwebsvr.disca.upv.es/~pperez/Projects/SegWay Péndulo Invertido] |2=http://pperezwebsvr.disca.upv.es/~pperez/Projects/SegWay |bot=InternetArchiveBot }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Péndulo| ]]
[[Categoría:Mecánica]]