Ver el código de «P-grupo»

 
En [[matemáticas]], dado un [[número primo]] ''p'', un '''''p''-grupo''' es un [[grupo (matemática)|grupo]] en el que cada elemento tiene como [[Orden (teoría de grupos)|orden]] una [[Potencia (matemática)|potencia]] de ''p'': cada elemento es de orden [[potencia prima]]. Esto es, para cada elemento ''g'' del grupo, existe un entero no negativo ''n'' tal que ''g'' elevado a la potencia ''p<sup>n</sup>'' es igual al [[elemento identidad]]. Tales grupos son también llamados como '''''p''-primos''' o simplemente '''primos'''.

Un [[grupo finito]] es un  ''p''-grupo si y sólo si su [[Orden (teoría de grupos)|orden]] (su [[cardinal]]idad) es una potencia de ''p''. El resto de este artículo trata sobre ''p''-grupos finitos. Como ejemplo de un ''p''-grupo [[Grupo abeliano|abeliano]] [[infinito]] se tiene el [[grupo de Prüfer]], y como ejemplo de un ''p''-grupo simple infinito podemos ver el [[grupo de Tarski]].

== Propiedades ==

=== Centro no trivial ===
Uno de los primeros resultados que se deducen es que el [[Centro de un grupo|centro]] de un ''p''-grupo finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial.

Este hecho constituye la base para muchos de los métodos inductivos en la teoría de ''p''-grupos.

Por ejemplo, el [[normalizador]] ''N'' de un [[subgrupo propio]] ''H'' de un ''p''-grupo finito ''G'' propiamente contiene a ''H'', ya que para cualquier [[contraejemplo]] con ''H''=''N'', el centro ''Z'' está contenido en ''N'', y a su vez en ''H'', pero entonces ha un ejemplo menor ''H''/''Z'' cuyo normalizador en ''G''/''Z'' es ''N''/''Z''=''H''/''Z'', creando un [[descenso infinito]]. Como [[corolario]], todo ''p''-grupo finito es [[nilpotente]].

De otro lado, todo [[subgrupo normal]] de un ''p''-grupo finito tiene intersección distinta de la trivial con el centro. En particular, todo subgrupo normal minimal de un ''p''-grupo finito es de orden ''p'' y está contenido en el centro. Es más, el [[subgrupo generado]] por los subgrupos normales minimales de un ''p''-grupo finito es el subgrupo cuyo centro es aquel formado por los elementos centrales de orden ''p''.

Si ''G'' es un ''p''-grupo, entonces también lo es ''G/Z'', y por lo tanto también tiene centro no trivial. La preimagen en ''G'' del centro de ''G''/''Z'' se llama [[segundo centro]]. Generalizando lo comentado anteriormente sobre el subgrupo generado por los subgrupos normales minimales de un ''p''-grupo (en notación inglesa ''socle''), un ''p''-grupo finito con orden ''p<sup>n</sup>'' 
contiene subgrupos normales de orden ''p<sup>i</sup>'' con 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'', y cualquier subgrupo normal de orden ''p<sup>i</sup>'' es contenido en el ''i''-ésimo centro ''Z''<sub>''i''</sub>. Si un subgrupo normal no está contenido en ''Z''<sub>''i''</sub>, entonces su intersección con ''Z''<sub>''i''+1</sub> tiene un tamaño como mínimo ''p''<sup>''i''+1</sup>.

=== Automorfismos ===
El [[Automorfismo|grupo de automorfismos]] de los ''p''-grupos son bien conocidos. Dado que todo ''p''-grupo finito tiene un centro no trivial, el grupo de automorfismos interiores es un cociente propio del grupo, todo ''p''-grupo finito tiene un grupo de automorfismos externos no trivial. Todo automorfismo de ''G'' induce un automorfismo sobre ''G''/Φ(''G''), donde Φ(''G'') es el [[subgrupo de Frattini]] de ''G''. El [[grupo cociente]] ([[grupo factor]])  G/Φ(''G'') es un [[grupo abeliano elemental]] y su [[Automorfismo|grupo de automorfismos]] es un [[grupo lineal general]]. La aplicación desde el grupo de automorfismos de ''G'' en este grupo lineal ha sido estudiado por [[William Burnside|Burnside]], quien demostró que el núcleo de dicha aplicación es un ''p''-grupo.

== Clasificación ==
Los grupos de orden ''p''<sup>''n''</sup>, con 0≤ ''n'' ≤ 4 fueron clasificados muy pronto en la historia de la teoría de grupos. Trabajos más recientes han extendido dichas clasificaciones a grupos cuyo orden divide a ''p''<sup>7</sup>, aunque el gran número de familias de estos grupos crece tan rápidamente que otras clasificaciones bajo estas líneas se consideran incomprensibles para la mente humana {{harv|Leedham-Green|McKay|2002|p=214}}. Un ejemplo es {{Harv|Hall|Senior|1964}}, que clasifica grupos de orden <math>2^n, n \leq 6,</math>.

En lugar de clasificar los grupos por el orden, [[Philip Hall]] propuso usar la noción de [[isoclinismo de grupos]], una [[relación de equivalencia]] más amplia que la de [[isomorfismo]] de grupo pero que contiene a esta última, i.e., dos grupos isomorfos son isoclínicos, pero no tiene por qué ocurrir lo contrario {{harv|Hall|1940}}.

== Referencias ==
* {{Obra citada | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=A millennium project: constructing small groups | id={{MathSciNet | id = 1935567}} | date=2002 | journal=International Journal of Algebra and Computation | volume=12 | issue=5 | pages=623–644 | doi=10.1142/S0218196702001115}}
* {{Obra citada | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Cambridge University Press]] | date=1897 | url=http://books.google.com/?id=yBgPAAAAIAAJ&printsec=titlepage}}
* {{Obra citada | last1=Glauberman | first1=George | author1-link=George Glauberman | title=Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969) | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | id={{MathSciNet | id = 0352241}} | date=1971 | chapter=Global and local properties of finite groups | pages=1–64}}
* {{Obra citada | first1=Marshall | last1=Hall, Jr. | authorlink1 = Marshall Hall | first2=James K. | last2=Senior | title=The Groups of Order 2<sup>''n''</sup> (''n'' ≤ 6) | publisher=Macmillan | date=1964 | id={{MathSciNet|id=168631}} | lccn=64016861}}
* {{Obra citada | last1=Hall | first1=Philip | author1-link=Philip Hall | title=The classification of prime-power groups | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X | doi=10.1515/crll.1940.182.130 | id={{MathSciNet | id = 0003389}} | year=1940 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=182 | issue=182 | pages=130–141}}
* {{Obra citada | last1=Leedham-Green | first1=C. R. | author1-link=Charles Leedham-Green | last2=McKay | first2=Susan | title=The structure of groups of prime power order | publisher=[[Oxford University Press]] | series=London Mathematical Society Monographs. New Series | isbn=978-0-19-853548-5 | id={{MathSciNet | id = 1918951}} | date=2002 | volume=27}}
* {{Obra citada | last1=Sims | first1=Charles | title=Enumerating p-groups | id={{MathSciNet | id = 0169921}} | date=1965 | journal=Proc. London Math. Soc. (3) | volume=15 | pages=151–166 | doi=10.1112/plms/s3-15.1.151}}
* Y. Berkovich, Groups of Prime Power Order, Volume 1, W. de Gruyter, Berlín, 2008.
* Y. Berkovich and Z. Janko, Groups of Prime Power Order, Volume 2, W. de Gruyter, Berlín, 2008.

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