Ver el código de «Pentadecágono»

{{Ficha de polígono
| nombre      = Pentadecágono
| imagen      = [[Archivo:15-L Pentadecágono.svg|240px]]
| pie         = Un pentadecágono regular
| tipo        = [[Polígono regular]]
| lados       = 15
| simetría    = <math>D_15</math>, orden 2x15
| vértices    = 15
| Schläfli    = {15} (pentadecágono regular)
| Coxeter     = {{DCD|node_1|15|node}}
| dual        = '''Autodual'''
| área        = <math>A = \frac{15}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{15}</math><br />(lado <math>a</math>)
| ángulo      = 156°
| propiedades = [[Polígono convexo|Convexo]], [[Figura isogonal|isogonal]], [[Circunferencia circunscrita|cíclico]]
}}

En [[geometría]], un '''pentadecágono''' es un [[polígono]] de [[quince|15]] [[segmento|lados]] y 15 [[Vértice (geometría)|vértices]].<ref>{{DRAE|Pentadecágono}} ''1. adj. Geom. Dicho de un polígono: Que tiene quince ángulos y quince lados. U. m. c. s. m.''</ref>

== Propiedades ==
Un pentadecágono tiene 90 [[diagonal]]es, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, <math>D=n(n-3)/2</math>; siendo el número de lados <math>n=15</math>, se tiene que:
:<math>D=\frac{15(15-3)}{2}=90</math>

La suma de todos los [[ángulo interior|ángulos internos]] de cualquier pentadecágono es 2340 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>13\pi</math> [[radián|radianes]].

== Pentadecágono regular ==
[[File:Regular polygon 15 annotated.svg|mini|left|Un pentadecágono regular y sus ángulos principales]]

Un '''[[polígono regular|pentadecágono regular]]''' es el [[polígono]] que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus [[ángulo interior|ángulos internos]] [[Ángulos congruentes|iguales]]. Cada ángulo interno del pentadecágono regular mide 156º o <math>13\pi/15</math> rad. Cada [[Ángulo exterior de un polígono|ángulo externo]] del pentadecágono regular mide 24º o <math>2\pi/15</math> rad.

Al multiplicar la longitud '''t''' de un lado de un pentadecágono regular por quince (el número de lados '''n''' del polígono) obtendremos la longitud de su [[perímetro]] '''P'''.

:<math>P = n\cdot t = 15\ t</math>

El [[área]] '''A''' de un pentadecágono regular de lado '''t''' es de la siguiente forma:

:<math>A = \frac{15(t^2)}{4\tan(\frac{\pi}{15})}\simeq 17,6424\ t^2</math>

donde <math>\pi</math> es la constante [[Número π|pi]] y <math>\tan</math> es la función [[Tangente (trigonometría)|tangente]] (con el argumento en radianes). 

Si se conoce la longitud de la [[apotema]] '''a''' del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

:<center><math>A = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{15(t)\ a}{2}</math></center>

== Construcción ==
[[File:Regular_Pentadecagon_Inscribed_in_a_Circle.gif|right]]

;Construcciones de un pentadecágono
Como 15 = 3 × 5, un producto de distintos [[Número de Fermat|números de Fermat]], un pentadecágono regular es [[Polígono construible|construible]] usando [[regla y compás]].

Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con circuncírculo dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los [[Elementos de Euclides]].<ref>{{cite book |last=Dunham |first=William |date=1991 |title=Journey through Genius - The Great Theorems of Mathematics |url=http://www.ms.uky.edu/~sohum/ma330/files/william-dunham-journey-through-genius-the-great-theorems-of-mathematics-penguin-non-classics1991014014739x.pdf#80 |publisher=Penguin |access-date=2015-11-12|page=65|via=the University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics}}</ref>

Compárese la construcción según Euclides en esta imagen: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Pentadecagon.svg Pentadecágono]
{{clear|right}}
;Construcción de un pentadecágono inscrito en una circunferencia dada
En la construcción a partir de un círculo circunscrito dado: <math> \overline{FG} = \overline{CF}\text{,} \; \overline{AH} = \overline{GM}\text{,} \; |E_1E_6|</math> es un lado de un triángulo equilátero y <math>|E_2E_5|</math> es un lado de un pentágono regular.<ref>{{cite book|last=Kepler |first=Johannes, translated and initiated by MAX CASPAR 1939 |title=WELT-HARMONIK |url=https://books.google.com/books?id=Dggv8PGKS8IC&q=%22XLIV.+Satz.%22+%22Verbindet+man+also+C+mit+F+so+wird+die+Linie+CF+die+Seite+sein%22&pg=RA1-PA44|access-date=2015-12-07 |page=44 |via=Google Books|language=de}} Retrieved on June 5, 2017</ref>
El punto <math>H</math> divide el radio <math>\overline{AM}</math> según la relación del [[número áureo]]: <math>\frac{\overline{AH}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{AH}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}</math>

En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las dos imágenes siguientes se muestran los dos arcos circulares (para ángulos de 36° y 24°) rotados 90° en sentido antihorario. No utilizan el segmento <math> \overline{CG}</math>, sino que utilizan el segmento <math>\overline{MG}</math> como radio <math>\overline{AH}</math> para el segundo arco circular (ángulo 36°).

{{Imagen múltiple
| align = left
| image1 = 01-Fünfzehneck.svg
| width1 = 350 
| alt1 = 
| caption1 = Construcción con radio dado
| image2 = 01-FünfzehneckAnimation.gif
| width2 = 357
| alt2 = 
| caption2 = Animación
| footer = 
}}
{{clear|left}}
;Construcción de un pentadecágono de lado conocido
Construcción de compás y regla para una longitud de lado determinada. La construcción es casi igual a la del [[pentágono]] de lado conocido. La presentación se logra mediante la extensión de un lado y se genera un segmento, aquí <math>\overline{FE_2}\text{,}</math> que se divide según la proporción áurea:

<math>\frac{\overline{E_1 E_2}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_2 F}}{\overline{E_1 E_2}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}</math>

Circunradio <math>\overline{E_2 M} = R\;;\;\;</math> Longitud lateral <math>\overline{E_1 E_2} = a\;;\;\;</math> Ángulo <math> D E_1M = ME_2D = 78^\circ</math>

<math>\begin{align}
R &= a \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} + \sqrt{3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8+ 2 \cdot \sqrt{5}+2\sqrt{15 + 6 \cdot \sqrt{5}}}\cdot a\\
 &= \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2.40486\cdot a
\end{align}</math>

{{Imagen múltiple
| align = left
| image1 = 01-Fünfzehneck-Seite.svg
| width1 = 350 
| alt1 = 
| caption1 = Construcción con longitud del lado dada
| image2 = 01-FünfzehneckSeite-Animation.gif
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| caption2 = Animación
| footer = 
}}
{{clear}}

== Simetría ==
[[File:Symmetries_of_pentadecagon.png|thumb|400px|Las simetrías de un pentadecágono regular como se muestran mediante colores en los vértices. Los ejes de simetría son azules.  Los órdenes de las simetrías de giro se anotan en el centro]]

El "pentadecágono regular" posee [[grupo diedral|simetría diedral]] Dih<sub>15</sub> de orden 30, representado por 15 ejes de simetría. El grupo Dih<sub>15</sub> incluye 3 subgrupos diedrales: Dih<sub>5</sub>, Dih<sub>3</sub> y Dih<sub>1</sub>, y cuatro simetrías [[Grupo cíclico|cíclicas]] más: Z<sub>15</sub>, Z<sub>5</sub>, Z<sub>3</sub> y Z<sub>1</sub>, con Z<sub>n</sub> representando la simetría rotacional de ''&pi;''/''n'' radianes.En el pentadecágono se pueden dar 8 tipos de simetrías distintas. 

[[John Horton Conway|John Conway]] clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letra '''r''' al grupo de simetría de la figura regular; y en el caso de los subgrupos utilizó la letra '''d''' (de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices; '''p''' para figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados; '''i''' para figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; y '''g''' para aquellas figuras solo con simetría rotacional. Con '''a1''' se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría.

Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)</ref> Solo el subgrupo '''g15''' no tiene grados de libertad, pero puede verse como un [[grafo dirigido]]. (Véase un ejemplo en la [[John Horton Conway#Teoría de grupos|Teoría de grupos de John Conway]])
{{Clear}}

=== Pentadecagramas ===
Hay tres [[estrella (figura geométrica)|estrellas]] regulares: {15/2}, {15/4} y {15/7}, construidas a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.

También hay otras tres estrellas regulares no continuas: {15/3}, {15/5} y {15/6}, la primera compuesta por tres [[pentágono]]s, la segunda por cinco [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]] y la tercera formada por tres [[estrella pentagonal|estrellas pentagonales]] .

La figura compuesta {15/3} puede verse vagamente como el equivalente bidimensional de una figura tridimensional, el [[compuesto de cinco tetraedros]].

{| class=wikitable width=360
|- align=center valign=top
! Imagen
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[File:Regular star polygon 15-2.svg|120px]]<br />{15/2}<br />{{DCD|node_1|15|rat|2x|node}}
|[[File:Regular star figure 3(5,1).svg|120px]]<br />{15/3} or 3{5}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[File:Regular star polygon 15-4.svg|120px]]<br />{15/4}<br />{{DCD|node_1|15|rat|4|node}}
|[[File:Regular star figure 5(3,1).svg|120px]]<br />{15/5} or 5{3}
|[[File:Regular star figure 3(5,2).svg|120px]]<br />{15/6} or 3{5/2}
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[File:Regular star polygon 15-7.svg|120px]]<br />{15/7}<br />{{DCD|node_1|15|rat|7|node}}
|- align=center
! [[Interior angle]]
| 132° || 108° || 84° || 60° || 36° || 12°
|}

Los truncamientos más profundos del pentadecágono regular y los pentadecagramas pueden producir formas poligonales de estrellas intermedias isogonales ([[figura isogonal]]) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de lado.<ref>The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), ''Metamorphoses of polygons'', [[Branko Grünbaum]]</ref>
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=9| Truncamientos transitivos de vértice del pentadecágono
|-
!Cuasirregular
!colspan=7|Isogonal
!Cuasirregular
|- align=center valign=top
|[[File:Regular polygon truncation 15 1.svg|120px]]<br />t{15/2}={30/2}
|[[File:regular_star_truncation_15-13_8.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_7.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_6.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_5.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_4.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_3.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_2.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-13_1.svg|120px]]<br />t{15/13}={30/13}
|- align=center
|[[File:regular_star_truncation_15-7_1.svg|120px]]<br />t{15/7} = {30/7}
|[[File:regular_star_truncation_15-7_2.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_3.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_4.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_5.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_6.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_7.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-7_8.svg|120px]]
|[[File:Regular star polygon 15-4.svg|120px]]<br />t{15/8}={30/8}
|- align=center valign=top
|[[File:regular_star_truncation_15-11_1.svg|120px]]<br />t{15/11}={30/22}
|[[File:regular_star_truncation_15-11_2.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_3.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_4.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_5.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_6.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_7.svg|120px]]
|[[File:regular_star_truncation_15-11_8.svg|120px]]
|[[File:Regular star polygon 15-2.svg|120px]]<br />t{15/4}={30/4}
|}

=== Polígonos de Petrie ===
El pentadecágono regular es el [[polígono de Petrie]] para algunos politopos de mayor dimensión, mediante un [[operador de proyección]] oblicuo:

{| class=wikitable
|- align=center
|[[File:14-simplex_t0.svg|150px]]<br />[[Símplex]] (14D)
|}

== Véase también ==
* [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Fünfzehneck-Seite-Radius_R.svg Construcción del pentadecágono en una longitud lateral determinada, ejemplificación: circunradius <math>\overline{CG} = R </math>]

== Referencias ==
{{reflist}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Pentadecagons|pentadecágonos}}
* {{MathWorld|title=Pentadecagon|urlname=Pentadecagon}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Polígonos]]
[[Categoría:Polígonos construibles]]
[[Categoría:Polígonos por el número de lados]]