Ver el código de «Pfaffiano»

{{distinguir|Función pfaffiana|Sistema pfaffiano}}

En [[matemáticas]], el [[determinante (matemática)|determinante]] de una [[matriz antisimétrica]] siempre se puede escribir como el cuadrado de un [[polinomio]]  que opera sobre los datos de la matriz, un polinomio con coeficientes enteros que solo dependen del tamaño de la matriz. El valor de este polinomio, cuando se aplica a los coeficientes de una matriz antisimétrica, se denomina '''pfaffiano''' de la matriz. El término ''pfaffiano'' fue introducido por {{harvtxt|Arthur Cayley|1852}} quien adoptó este nombre en memoria de [[Johann Friedrich Pfaff]]. El pfaffiano (considerado como un polinomio) no se desvanece solo para matrices antisimétricas de orden 2''n''&times;2''n'', en cuyo caso es un polinomio de grado ''n''.

Explícitamente, para una matriz antisimétrica '''A''',
: <math> \operatorname{pf}(A)^2=\det(A),</math>
lo que posiblemente fue demostrado por primera vez por [[Thomas Muir]] en 1882 {{harv|Muir|1882}}.

El hecho de que el determinante de cualquier matriz antisimétrica sea el cuadrado de una expresión polinomial puede demostrarse escribiendo la matriz como una [[matriz por bloques]], utilizando un proceso de inducción y examinando el [[complemento de Schur]], que también es antisimétrico.<ref>Ledermann, W. "A note on skew-symmetric determinants"</ref>

==Ejemplos==

: <math>A=\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(A)=a.</math>

: <math>B=\begin{bmatrix}   0     & a & b \\ -a & 0        & c  \\   -b      &  -c       & 0 \end{bmatrix}.\qquad\operatorname{pf}(B)=0.</math>

(3 es impar, entonces el pfaffiano de B es 0)

: <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

El pfaffiano de una [[matriz tridiagonal]] antisimétrica de orden 2''n''&times;2''n'' se da como
: <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}
0 & a_1 & 0 & 0\\ -a_1 & 0 & b_1 & 0\\  0 & -b_1 &0 & a_2 \\ 0 & 0 & -a_2 &\ddots&\ddots\\
&&&\ddots&\ddots&b_{n-1}\\
&&&&-b_{n-1}&0&a_n\\
&&&&&-a_n&0
\end{bmatrix} = a_1 a_2\cdots a_n.</math>
(Debe tenerse en cuenta que cualquier matriz antisimétrica se puede reducir a esta forma con todos los <math>b_i</math> iguales a cero; véase [[Matriz antisimétrica|teoría espectral de matrices antisimétricas]])

==Definición formal==

Sea ''A'' = {''a''<sub>''i,j''</sub>} una matriz antisimétrica de orden 2''n''×2''n''. El pfaffiano de ''A'' está definido por la ecuación

: <math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math>

donde ''S''<sub>2''n''</sub> es el [[grupo simétrico]] de dimensión (2''n'')! y sgn (σ) es la [[Paridad de una permutación|signatura]] de σ.

Se hace uso de la antisimetría de ''A'' para evitar tener que sumar todas las posibles [[permutación|permutaciones]]. Sea Π el conjunto de todas las [[Partición de un conjunto|particiones]] de {1, 2, ..., 2''n''} en parejas sin importar el orden. Hay (2''n'')! / (2<sup>''n''</sup>''n ''!) = (2''n''-1)[[Doble factorial|!!]] de tales particiones. Un elemento α ∈ Π se puede escribir como

: <math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>

con ''i''<sub>''k''</sub> < ''j''<sub>''k''</sub> y <math>i_1 < i_2 < \cdots < i_n</math>. Haciendo

: <math>\pi_\alpha=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n -1 & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & i_n & j_{n} \end{bmatrix}</math>

la permutación correspondiente. Dada una partición α como la anterior, se define

: <math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi_\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>

El pfaffiano de ''A'' viene dado por

: <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.</math>

El pfaffiano de una matriz ''n''&times;''n'' antisimétrica para ''n'' impar se define como cero, ya que el determinante de una matriz antisimétrica impar es cero, ya que para una matriz asimétrica, <math>\det\,A = \det\,A^\text{T} = \det\left(-A\right) = (-1)^n \det\,A</math>, y para ''n'' impar, esto implica que <math>\det\,A = 0</math>.

===Definición recursiva===

Por convención, el pfaffiano de la matriz 0 × 0 es igual a uno. El pfaffiano de una matriz antisimétrica ''A'' de orden 2''n''×2''n'' con ''n''> 0 se puede calcular recursivamente como

: <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{{j=1}\atop{j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta(i-j)}a_{ij}\operatorname{pf}(A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}),</math>

donde el índice ''i'' se puede seleccionar arbitrariamente, <math>\theta(i-j)</math> es la [[función escalón de Heaviside]] y <math>A_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}</math> indica la matriz ''A'' con la ''i-ésima'' y ''j-ésima'' filas y columnas eliminadas.<ref>{{Cita web |url=http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |título=Copia archivada |fechaacceso=30 de diciembre de 2017 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20160305005223/http://jesusmtz.public.iastate.edu/soliton/REPORT%202.pdf |fechaarchivo=5 de marzo de 2016 }}</ref> Obsérvese cómo para la opción especial <math>i=1</math> se reduce a la expresión más simple:

: <math>\operatorname{pf}(A)=\sum_{j=2}^{2n}(-1)^{j}a_{1j}\operatorname{pf}(A_{\hat{1}\hat{\jmath}}).</math>

===Definiciones alternativas===
Se puede asociar a cualquier matriz antisimétrica de orden 2''n''×2''n'' ''A'' = {'' a''<sub>''ij''</sub>} un [[álgebra exterior|bivector]]

: <math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.</math>

donde {''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ..., ''e''<sub>2''n''</sub>} es la base estándar de '''R'''<sup>2n</sup>. El pfaffiano entonces se define por la ecuación

: <math>\frac{1}{n!}\omega^n = \operatorname{pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},</math>
donde ω<sup>''n''</sup> denota el [[producto en cuña]] de ''n'' copias de ω.

Una generalización no nula del pfaffiano de matrices de dimensiones impares se da en el trabajo de Bruijn sobre [[Integral múltiple|integrales múltiples]] que involucran determinantes.<ref>http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597510.pdf</ref> En particular, para cualquier matriz ''A'' de orden ''m''x''m'', utiliza la definición formal anterior, pero configurando <math> n = \lfloor m/2\rfloor </math>. Para ''m'' impar, se puede demostrar que esto es igual al pfaffiano usual de una matriz antisimétrica de orden ''m+1''x''m+1'', donde se ha agregado una ''m+1-ésima'' columna que consiste en ''m'' elementos 1, una ''m+1-ésima'' fila que consta de ''m'' elementos -1, y el elemento de la esquina que es cero. Las propiedades usuales de los pfaffianos, por ejemplo, la relación con el determinante, se aplican a esta matriz extendida.

==Propiedades e identidades==

Los pfaffianos tienen las siguientes propiedades, que son similares a las de los determinantes.
* La multiplicación de una fila y una columna por una constante es equivalente a la multiplicación de pfaffiano por la misma constante.
* El intercambio simultáneo de dos filas diferentes y columnas correspondientes cambia el signo de pfaffiano.
* Un múltiplo de una fila y la columna correspondiente agregada a otra fila y columna correspondiente no cambian el valor del pfaffiano.
Usando estas propiedades, los pfaffianos se pueden calcular rápidamente, de forma similar al cálculo de determinantes.

===Varios===

Para una matriz antisimétrica ''A'' de orden 2''n''&times;2''n''
: <math>\operatorname{pf}(A^\text{T}) = (-1)^n\operatorname{pf}(A).</math>
: <math>\operatorname{pf}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{pf}(A).</math>
: <math>\operatorname{pf}(A)^2 = \det(A).</math>
Para una matriz arbitraria ''B'' de orden 2''n''&times;2''n'',
: <math>\operatorname{pf}(BAB^\text{T})= \det(B)\operatorname{pf}(A).</math>
Sustituyendo en esta ecuación ''B=A<sup>m</sup>'', se obtiene para todo entero ''m''
: <math>\operatorname{pf}(A^{2m+1})= (-1)^{nm}\operatorname{pf}(A)^{2m+1}.</math>

===Identidades derivadas===

Si ''A'' depende de alguna variable ''x''<sub>''i''</sub>, entonces el gradiente de un pfaffiano viene dado por
: <math>\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right),</math>
y el [[Matriz hessiana|hessiano]] de un pfaffiano viene dado por
: <math>\frac{1}{\operatorname{pf}(A)}\frac{\partial^2\operatorname{pf}(A)}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x_j}\right)-\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right)+\frac{1}{4}\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_i}\right)\operatorname{tr}\left(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x_j}\right).</math>

===Identidades subsiguientes===

El producto de los pfaffianos de dos matrices antisimétricas ''A'' y ''B'' bajo la condición de que ''A<sup>T</sup>B'' es una [[matriz definida positiva]], se puede representar en forma de un exponencial
: <math>\textrm{pf}(A)\textrm{pf}(B) = \exp(\frac{1}{2}\mathrm{tr}\ln(A^\text{T}B)).</math>
Suponiendo que ''A'' y ''B'' son matrices antisimétricas de orden ''2n×2n'', entonces
: <math> \mathrm{pf}(A) \mathrm{pf}(B) = \frac{1}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), \qquad \mathrm{where} \qquad s_l = - \frac{1}{2}(l - 1)!\mathrm{tr}((AB)^l)</math>
y ''B''<sub>n</sub> (''s''<sub>1</sub>,''s''<sub>2</sub>,...,''s''<sub>n</sub>) son [[polinomios de Bell]].

===Matrices de bloques===

Para una [[matriz por bloques]] diagonal
:: <math>A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},</math>
: <math>\operatorname{pf}(A_1\oplus A_2) =\operatorname{pf}(A_1)\operatorname{pf}(A_2).</math>
Para una matriz arbitraria ''M'' de orden ''n''&times;''n'':
: <math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^\text{T} & 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

A menudo se requiere calcular el pfaffiano de una matriz antisimétrica <math>S</math> con la estructura del bloque
: <math>
S = \begin{pmatrix} M & Q\\-Q^T & N \end{pmatrix}\,
</math>
donde <math> M </math> y <math> N </math> son matrices antisimétricas y <math> Q </math> es una matriz rectangular general.

Cuando <math> M </math> es invertible, se tiene que
: <math>
\operatorname{pf}( S) = \operatorname{pf}( M)\operatorname{pf}( N+  Q^T   M^{-1}  Q).
</math>
Esto se puede ver en la fórmula de diagonalización de bloques de Aitken,<ref> A. C. Aitken. Determinants and matrices. Oliver and Boyd, Edinburgh, fourth edition, 1939.</ref><ref>Zhang, Fuzhen, ed. The Schur complement and its applications. Vol. 4. Springer Science & Business Media, 2006.</ref><ref> Bunch, James R. "A note on the stable decompostion of skew-symmetric matrices." Mathematics of Computation 38.158 (1982): 475-479.</ref>
: <math>\begin{pmatrix}M& 0\\ 0 & N+Q^T M^{-1} Q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& 0\\ Q^T M^{-1} & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^T & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& -M^{-1} Q\\ 0& I \end{pmatrix}.</math>
Esta descomposición implica unas [[transformaciones congruentes]] que permiten usar la propiedad del pfaffiano <math> \operatorname{pf}(BAB^T) = \operatorname{det}(B)\operatorname{pf}(A)</math>.

Del mismo modo, cuando <math> N </math> es invertible, se tiene que
: <math>
\operatorname{pf}( S) =
\operatorname{pf}(N)\operatorname{pf}( M+ Q  N^{-1} Q^T),
</math>
como se puede ver al emplear la descomposición
: <math>\begin{pmatrix}M+Q N^{-1} Q^T& 0\\ 0 & N\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I& -Q N^{-1}\\ 0 & I\end{pmatrix}\begin{pmatrix} M& Q\\ -Q^T & N\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I& 0\\ N^{-1} Q^T& I \end{pmatrix}.</math>

==Aplicaciones==
* Existen programas para el cálculo numérico de pfaffianos en varias plataformas ([[Python]], [[MATLAB|Matlab]], Mathematica) {{harv|Wimmer|2012}}.
* El pfaffiano es un [[invariante polinomial]] de una matriz antisimétrica bajo un cambio de base [[Grupo ortogonal|ortogonal]] apropiado. Como tal, es importante en la teoría de [[clase característica|clases características]]. En particular, se puede usar para definir la [[clase de Euler]] de una [[variedad de Riemann]] que se usa en el [[teorema de Gauss-Bonnet generalizado]].
* El número de [[apareamiento (teoría de grafos)]] en un [[grafo plano]] viene dado por un pfaffiano, por lo tanto, es un tiempo polinomial computable a través del [[algoritmo FKT]]. Esto es sorprendente dado que para los gráficos generales, el problema es muy difícil (se denomina [[numeral-P-completo]]). Este resultado se usa para calcular el número de [[teselado en dominó]] de un rectángulo, la [[Función de partición (mecánica estadística)|función de partición]] del [[modelo de Ising]] en física o del [[campo aleatorio de Markov]] en [[aprendizaje automático]] ({{harvnb|Globerson|Jaakkola|2007}};{{harvnb|Schraudolph|Kamenetsky|2009}}), donde el gráfico subyacente es plano. También se utiliza para derivar algoritmos eficientes para algunos problemas que de otra manera aparentemente no se pueden resolver, incluida la simulación eficiente de ciertos tipos de [[computación cuántica restringida]]. Véase [[algoritmo holográfico]] para obtener más información.

==Véase también==
* [[Determinante (matemática)]]
* [[Modelo Dimer]]
* [[Hafniano]]
* [[Poliominó]]
* [[Física estadística]]

==Notas==
{{listaref}}

==Referencias==
* {{cita publicación | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | título=On the theory of permutants | url=https://archive.org/stream/collectedmathema02cayluoft#page/16/mode/2up | año=1852 | publicación=Cambridge and Dublin Mathematical Journal  | volumen=VII | páginas=40–51 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}} reimpreso en papeles matemáticos recopilados, volumen 2.
* {{cita publicación | ref=harv
 | título = The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice
 | publicación = Physica
 | volumen = 27 | número = 12 | año = 1961 | páginas = 1209–1225
 | nombre = P. W. | apellido = Kasteleyn
 | enlaceautor = Pieter_Kasteleyn
 | doi = 10.1016/0031-8914(61)90063-5}}
* {{cite arXiv | first=James | last=Propp | year=2004 |title=Lambda-determinants and domino-tilings |eprint=math/0406301 |ref=harv}}
* {{cita publicación | nombre=Amir | apellido=Globerson | first2=Tommi | last2=Jaakkola | año = 2007 | contribution= ''Approximate inference using planar graph decomposition'' | contribution-url= http://books.nips.cc/papers/files/nips19/NIPS2006_0703.pdf | título=''Advances in Neural Information Processing Systems 19''  | url=http://books.nips.cc/ | editorial=MIT Press | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}.
* {{cita publicación | nombre=Nicol | apellido=Schraudolph | first2=Dmitry | last2=Kamenetsky | año = 2009 | contribution= ''Efficient exact inference in planar Ising models'' | contribution-url= http://books.nips.cc/papers/files/nips21/NIPS2008_0401.pdf | título=''Advances in Neural Information Processing Systems 21''  | url=http://books.nips.cc/ | editorial=MIT Press | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}.
* {{cita publicación | ref=harv | publicación=The Games and Puzzles Journal | volumen=2 | año=1996 | páginas=204–5 | first1=G.P. |apellido=Jeliss | first2=Robin J. | last2=Chapman | título=Dominizing the Chessboard | número=14}}
* {{cita publicación | ref=harv | título=Domino Tilings and Products of Fibonacci and Pell numbers| publicación=Journal of Integer Sequences | volumen=5 | año=2002 | nombre=James A. | apellido=Sellers | número=1 |página=02.1.2 | url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL5/Sellers/sellers4.html }}
* {{cita libro | ref=harv | título=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]] | edición=revised | año=1997 | isbn=0-14-026149-4 |  nombre=David | apellido=Wells | página=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/182 182] }}
* {{cita libro | ref=harv | título=A Treatise on the Theory of Determinants | url=https://archive.org/details/atreatiseontheo00muirgoog | año=1882 | editorial=Macmillan and Co. | nombre=Thomas | apellido=Muir}} [https://books.google.com/books?id=pk4DAAAAQAAJ&dq=thomas+muir+treatise+on+the+theory+of+determinant&psp=1 '' Online '']
* {{cita publicación | ref=harv | título=Skew-Symmetric Determinants | url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1954-02_61_2/page/116 | publicación=The American Mathematical Monthly | volumen=61 | año=1954 | página=116 | nombre=S. | apellido=Parameswaran | jstor=2307800 | número=2|doi=10.2307/2307800}}
* {{cita publicación| ref=harv |título=Efficient numerical computation of the Pfaffian for dense and banded skew-symmetric matrices|publicación=[[ACM Trans. Math. Softw.]]|volumen=38|página=30|año=2012 | nombre=M. | apellido=Wimmer | arxiv=1102.3440 | doi = 10.1145/2331130.2331138 }}
* {{cita publicación| ref=harv |título=On some multiple integrals involving determinants|publicación=[[J. Indian Math. Soc.]]|volumen=19|páginas=131–151|año=1955 | nombre=N. G. | apellido=de Bruijn}}

==Enlaces externos==
* {{springer|title=Pfaffian|id=p/p072500}}
* {{Enlace roto|1=[http://planetmath.org/encyclopedia/Pfaffian.html Pfaffian en PlanetMath.org] |2=http://planetmath.org/encyclopedia/Pfaffian.html }}
* T. Jones, [http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/pfaff/pfaff.pdf '' The Pfaffian and the Wedge Product '' (una demostración de la prueba de la relación Pfaffian / determinante )]
* R. Kenyon y [[Andréi Okunkov|A. Okounkov]], [http://www.ams.org/notices/200503/what-is.pdf '' ¿Qué es ... un dímero? '']
* {{OEIS|id=A004003}}
* W. Ledermann "Una nota sobre los determinantes sesgados simétricos" https://www.researchgate.net/publication/231827602_A_note_on_skew-symmetric_determinants

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Determinantes]]
[[Categoría:Álgebra multilineal]]