Ver el código de «Pirámide (geometría)»

{{Ficha de poliedro
|Nombre       =Pirámides
|Imagen       =pirámide.svg
|pie          = Pirámide recta de base cuadrada y sus principales elementos
|Caras        = n + 1 
|Polígonos en caras =Base poligonal y [[triángulos]] laterales
|Aristas      =2n
|Vértices     =n + 1
|Grupo de simetría =''C''<sub>''nv''</sub>
|Dual         = Autodual
|Propiedades  = Poliedro convexo
|Desarrollo   = Prav4bokjeh.png
|schlafli     = ()∨{n}
}}
[[Archivo:Wheel graphs.svg|thumb|275px|El 1-[[N-esqueleto|esqueleto]] de una pirámide es un ''[[grafo rueda]]'']]

En [[geometría]], una '''pirámide''' (del [[latín]] pyrămis, -ĭdis, y este del [[griego antiguo|griego]] pyramís, -ídos; propiamente 'pastel de harina de trigo de forma piramidal', derivado de πυρός pyrós 'harina de trigo')<ref>{{DRAE|Pirámide}} '''Pirámide''': ''Sólido que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados de aquel, son triángulos que se juntan en un solo punto, llamado vértice.''</ref><ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dpurami%2Fs πυραμίς], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref><ref>The word meant "a kind of cake of roasted wheat-grains preserved in honey"; the Egyptian pyramids were named after its form ([[Robert S. P. Beekes|R. S. P. Beekes]], ''Etymological Dictionary of Greek'', Brill, 2009, p. 1261).</ref> es un [[poliedro]], constituido por un [[polígono simple]] (llamado ''base'') y cuyas caras laterales son triángulos que se juntan en un [[Vértice (geometría)|vértice]] común, también llamado ''[[ápice]]'' o ''[[cúspide]]''. Los triángulos se denominan [[Cara (geometría)|cara]]s [[lateral]]es.<ref>{{Cita web|url=https://www.lexico.com/es/definicion/piramide|título=Definición de PIRÁMIDE|fechaacceso=25 de octubre de 2021|sitioweb=Lexico|editorial=Oxford University|fechaarchivo=25 de octubre de 2021|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20211025193041/https://www.lexico.com/es/definicion/piramide|deadurl=yes}}</ref> El lado común a dos caras laterales se llama ''arista'', del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es el doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tiene <math> n+1</math> vértices poliedrales, donde <math> n </math> es el número de vértices de la base. Todas las pirámides son [[Poliedro conjugado|poliedros autoduales]].

Las pirámides son una clase de [[prismatoide]], y mediante su duplicación simétrica por reflexión en el plano de la base permiten generar [[bipirámide]]s.<ref>{{Cita noticia|apellidos=Castiñeira Merino|nombre=Julio|título=La fórmula del prismatoide y el cálculo de volúmenes|url=https://www.ucm.es/data/cont/media/www/pag-89521/Boletin%2084%20de%20Soc%20PUIG%20ADAM.pdf|fecha=FEBRERO 10|periódico=BOLETÍN N.º 84|página=9|issn=1135-0261}}</ref>

== Definición ==

Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono.<ref>{{Cita web|url=https://economipedia.com/definiciones/piramide.html#:~:text=La%20pir%C3%A1mide%20es%20una%20figura,en%20un%20solo%20punto%20externo.|título=Pirámide-Qué es, definición y concepto|fechaacceso=25 de octubre de 2021|autor=Guillermo Westreicher}}</ref> 

Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional. Cuando no se especifica su configuración, generalmente se asume que se está hablando de una [[pirámide cuadrada]] "regular", como las conocidas [[pirámide (arquitectura)|pirámides de Egipto]].

=== Elementos ===
De acuerdo con las denominaciones de la primera imagen del artículo:
* [<span style="color:red>'''''B'''''</span>] ''Base'': es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior.
* [''C''] ''Centroide de la base'': [[centroide|centro]] del polígono que forma la base.
* [v<sub>i</sub>] ''Vértices de la base'': puntos que definen la base.
* [<span style="color:red>'''A'''</span>] ''Vértice de la pirámide'': también denominado [[ápice]] o cúspide, es el punto exterior al plano de la base, formada a su vez por sus propios vértices.
* [<span style="color:red>'''h'''</span>] ''Altura'': es el segmento perpendicular al plano de la base trazado desde el vértice de la pirámide. También lo es su medida. En las pirámides rectas regulares, la altura pasa por el centroide de la base.
* [P] ''Apotema de la pirámide'': es un segmento tendido perpendicularmente desde el vértice de la pirámide a un lado de la base.
* [p] ''Apotema de la base'': es un segmento tendido perpendicularmente desde el centroide de la base a uno de sus lados.
* ''Arista lateral'': es el segmento que une cada vértice de la base con el ápice de la pirámide.
* ''Cara lateral'': al unir cada lado de la base por sus extremos con el vértice de la pirámide se determina una región triangular, llamada ''cara lateral''.<ref>Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8</ref>

== Tipos de pirámides ==
[[Archivo:Pirámides recta y oblicua.svg|mini|275px|Pirámides recta (1) y oblicuas: (2) aguda, (3) rectángula y (4) obtusa]]
=== Según la posición de la cúspide sobre la base===

Una '''pirámide recta''' es un tipo de pirámide en el que la [[proyección ortogonal]] de la [[ápice (geometría)|cúspide]] sobre la base coincide con el centroide.

Una '''pirámide oblicua''' es una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

Una '''pirámide aguda''' tiene la proyección de la cúspide por dentro de la base.

Una '''pirámide en ángulo recto''' (o '''rectangular''') tiene la proyección de la cúspide sobre un lado o vértice de la base.

Una '''pirámide obtusa''' tiene la proyección de la cúspide por fuera de la base.

Esta clasificación toma como referencia una cara de la pirámide, designada como su base, y el tipo puede cambiar si se cambia la cara de referencia de la misma pirámide.

=== Según la forma de sus caras===

Una '''pirámide de base regular''' es una pirámide cuya base es un [[polígono regular]].

Una '''pirámide regular''' es una pirámide recta y de base regular. Sus caras laterales son todas triángulos isósceles idénticos cuya altura corresponde al [[apotema]] de la pirámide. Solo existen tres pirámides de este tipo: el [[tetraedro]] (pirámide triangular), la [[pirámide cuadrada]] y la [[pirámide pentagonal]].

Una '''pirámide convexa''' tiene como base un [[polígono convexo]].

Una '''pirámide cóncava''' tiene como base un [[polígono cóncavo]].

==Pirámides rectas de base regular==
Una pirámide recta de base regular tiene sus caras laterales formadas por triángulos isósceles, con simetría C<sub>''n''v</sub> o [1,''n''], de orden 2''n''. Se le asigna un [[símbolo de Schläfli]] extendido ( ) ∨ {''n''}, que representa un punto, ( ), unido (desplazado ortogonalmente) a un [[polígono regular]], {n}. La operación de unión crea una nueva arista entre todos los pares de vértices (con uno de cada una de los dos figuras, punto y polígono) unidos entre sí.<ref>[[Norman Johnson|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms</ref>

La '''pirámide triangular''' o '''trigonal''' cuyas todas sus caras son [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]] es un [[tetraedro]] [[Poliedro regular|regular]], uno de las [[sólidos platónicos]]. Un caso de simetría inferior de la '''pirámide triangular''' es C<sub>3v</sub>, que implica que tiene una base en forma de triángulo equilátero y 3 lados que son triángulos isósceles idénticos. Las pirámides cuadradas y pentagonales también pueden estar compuestas por polígonos regulares convexos, en cuyo caso son [[sólido de Johnson|sólidos de Johnson]].

Si todas las aristas de una pirámide cuadrada (o cualquier poliedro convexo) son [[tangente (geometría)|tangentes]] a una [[esfera]] de modo que la media aritmética de las coordenadas de los puntos de tangencia coincide con el centro de la esfera, entonces se dice que la pirámide es [[Poliedro conjugado|canónica]], y forma la mitad de un [[octaedro]] regular.

Las pirámides de base hexagonal o superior deben estar compuestas por triángulos isósceles. Una pirámide hexagonal con triángulos equiláteros sería una figura completamente plana, y en una heptagonal o superior la apotema de los triángulos no tiene la longitud necesaria para poder unirse al vértice.

[[Archivo:Pentagram pyramid.png|mini|190px|Pirámide pentagrámica]]

{| class="wikitable mw-collapsible"
!colspan=9| [[Pirámide (geometría)|Pirámides]]
|-
![[Diedro|Digonal]]
![[Tetraedro|Triangular]]
![[Pirámide cuadrada|Cuadrada]]
![[Pirámide pentagonal|Pentagonal]]
![[Pirámide hexagonal|Hexagonal]]
!Heptagonal
!Octogonal
!Eneagonal
!Decagonal...
|- 
!Impropia
!Regular
!colspan=2|Equilátera
!colspan=5|Isósceles
|- style="text-align:center;"
|[[Archivo:Biangular pyramid1.png|50px]]
|[[Archivo:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[Archivo:Square pyramid.png|70px]]
|[[Archivo:Pentagonal pyramid.png|70px]]
|[[Archivo:Hexagonal_pyramid.png|50px]]
|[[Archivo:Heptagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[Archivo:Octagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[Archivo:Enneagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[Archivo:Decagonal_pyramid1.png|70px]]
|- style="text-align:center;"
|[[Archivo:Spherical digonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical trigonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical square pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical pentagonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical hexagonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical heptagonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical octagonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical enneagonal pyramid.svg|50px]]
|[[Archivo:Spherical decagonal pyramid.svg|50px]]
|}

===Pirámides estrelladas rectas===

Las pirámides rectas con bases en forma de [[Estrella (figura geométrica)|polígono estrellado]] regular se denominan '''pirámides estrelladas'''.<ref>{{citation |title=Polyhedron Models |page=50 |url=https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |first=Magnus J. |last=Wenninger |publisher=Cambridge University Press |year=1974 |isbn=978-0-521-09859-5|archive-url=https://web.archive.org/web/20131211041958/http://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |archive-date=2013-12-11 }}.</ref> Por ejemplo, la pirámide pentagrámica tiene por base una [[estrella pentagonal]] y 5 lados triangulares que se cruzan entre sí.

==Pirámides rectas de base irregular==
{| class="wikitable floatright" width=150px
|+ Pirámides rectas
|- align=center
|[[Archivo:Rectangular_right_pyramid.png|x150px]]
|[[Archivo:Rhombic_right_pyramid.png|x150px]]
|[[Archivo:General_right_pyramid.png|x150px|]]
|-
|colspan=3 style="font-size:85%; line-height:125%;"|Pirámide rectangular; pirámide rómbica y una pirámide recta general con vértice sobre el centroide de un polígono base
|}

Una '''pirámide recta''' se puede describir mediante la notación como (&nbsp;)∨P, donde (&nbsp;) representa el ápice, ∨ es el operador unión y P es el polígono base.

Un '''tetraedro recto sobre un triángulo isósceles''' se puede anotar de otras tres formas: como (&nbsp;)∨[(&nbsp;)∨{&nbsp;}], que describe la unión del punto con los vértices de una base con forma de [[triángulo isósceles]] compuesta por otro punto y un segmento; como [(&nbsp;)∨(&nbsp;)]∨{&nbsp;}, que describe la unión de dos puntos que a su vez se unen con un segmento; o como {&nbsp;}∨{&nbsp;}, que describe la unión de dos segmentos ortogonales entre sí (un [[tetraedro|disfenoide digonal]] con cuatro caras isósceles). Posee simetría C<sub>1v</sub> a partir de dos orientaciones base-ápice diferentes, y C<sub>2v</sub> en su simetría completa.

Una '''pirámide recta [[Rectángulo|rectangular]]''', anotada como (&nbsp;)∨[{&nbsp;}×{&nbsp;}], y una '''pirámide [[Rombo|rómbica]]''', anotada como (&nbsp;)∨[{&nbsp;}+{&nbsp;}], poseen simetría C<sub>2v</sub>.

==Área==

'''Área de un polígono regular'''

[[Archivo:Hexagon Octagon.svg|thumb|Partición de [[polígono regular|polígonos regulares]] en [[triángulo isósceles|triángulos isósceles]]]]
[[Archivo:Apothem2.svg|thumb|La línea roja es una [[apotema]] de este [[octógono]]]]

El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y de su número de lados. Un polígono regular de ''n'' lados puede dividirse en ''n'' [[triángulo]]s isósceles (equiláteros en el caso del [[hexágono]] regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La [[Alto dimensional|altura]] de cada uno de estos triángulos es una [[apotema]] del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos [[Triángulo rectángulo|triángulos rectángulos]], dividiendo así el polígono en ''2n'' triángulos rectángulos.

El área del polígono regular (''A<sub>b</sub>'') es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (''A<sub>t</sub>''):

{{ecuación|<math> A_b = 2 \ n \cdot A_t = 2 \ n \ \frac{\frac{l}{2} \ a}{2} = \frac{n}{2} \ l \cdot a</math>||left}}

Donde ''a'' es la apotema del polígono regular. Para calcular la longitud de la apotema se aplica la [[trigonometría]].

Aparte: Se debe calcular la apotema ''a'', donde ''α'' es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular:

{{ecuación|<math> \tan(\alpha) = \frac{ \frac{l}{2} }{a}</math>||left}}
{{ecuación|<math> \tan(\alpha) = \frac{l}{2 \cdot a} </math>||left}}
{{ecuación|<math> a = \frac{l}{2 \cdot \tan(\alpha)}</math>||left}}

Ahora, reemplazando el valor de la apotema ''a'' en el área del polígono regular (''A<sub>b</sub>'') tenemos:

{{ecuación|<math> A_b = \frac{n}{2} \ l \cdot a = \frac{n}{2} \ l \cdot \frac{l}{2 \cdot \tan( \alpha )} = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot ( \alpha )</math>||left}}

El valor del ángulo ''α'' resulta de dividir el [[ángulo#ángulo completo|ángulo completo]] (''2π'') por el número de triángulos rectángulos (''2n''), luego <math>\alpha = 2 \pi / 2 n = \pi / n</math>.

{{ecuación|<math>A_b = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) </math>|1|left}}

=== Área lateral de una pirámide===

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras  laterales por el número de caras laterales.

{{ecuación|<math>A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} = \frac{p\cdot a_p}{2} </math>|2|left}}

Donde ''a<sub>p</sub>'' es la apotema de la pirámide y ''p'' es el [[perímetro]] de la base.

[[Archivo:Pythsats.jpg|thumb|[[Teorema de Pitágoras]]:<br />
Altura de la pirámide: ''h'' = ''a''.<br />
Apotema de la base: ''a<sub>b</sub>'' = ''b''.<br />
Apotema de la pirámide: ''a<sub>p</sub>'' = ''c'']]

La apotema de la pirámide (''a<sub>p</sub>'') puede calcularse a partir de la apotema de la base (''a<sub>b</sub>'') y de la altura de la pirámide (''h'') aplicando el [[teorema de Pitágoras]].

{{ecuación|<math>a_p^2 = a_b^2 + h^2</math>||left}}

=== Área total de una pirámide ===

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

{{ecuación|<math>A = A_b + A_l \,</math>|3|left}}

En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base {{eqnref|1}} y el área lateral {{eqnref|2}} en la ecuación {{eqnref|3}}, se obtiene:
{{ecuación|<math>A= \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + \frac{p\cdot a_p}{2} </math>||left}}

== Volumen ==
El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante [[cálculo diferencial]]. El [[área]] de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (''A<sub>b</sub>'') y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (''d'') es la diferencia entre la altura de la pirámide (''h'') y altura del plano de corte (''z'').

{{ecuación|<math>d = h - z \,</math>||left}}

Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura ''z'' por encima de la base es

{{ecuación|<math> A \left(z\right) = A_b \ \frac{d^2}{h^2} = A_b \ \frac{(h - z)^2}{h^2}</math>||left}}

El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.

{{ecuación|<math> V = \int_0^h A \left(z\right)\ d z = A_b \int_0^h \frac{(h - z)^2}{h^2}\ d z = -A_b \frac{(h-z)^3}{3h^2} \bigg|_0^h</math>||left}}

{{ecuación|<math> V = \frac{\ A_b \ h}{3} </math>|4|left}}

Esta fórmula también es válida para el [[cono (geometría)|cono]], ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

El [[matemático]] y [[astrónomo]] indio [[Aryabhata]] dedujo la fórmula utilizando un método similar, que aparece en su obra titulada ''[[Aryabhatiya]]'' (sección 2.6), que data del año 499 a.&nbsp;C.

=== Volumen de una pirámide regular ===
El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y de la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base ''A<sub>b</sub>'' {{Eqnref|1}} en la ecuación del volumen de la pirámide {{Eqnref|4}} se obtiene:

{{ecuación|<math> V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{4} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot \ h </math>||left}}

{{ecuación|<math> V = \frac{n}{12} \cdot l^2 \cdot h \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )</math>||left}}

Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:<ref name=WFEG>{{cita libro|título=Espiral 9|autor=William Fernando Estrada García|editorial=Editorial Norma|url=https://books.google.es/books?id=usLmD8-TLgYC&pg=PA236#v=onepage&q&f=false|isbn=9789580481980|páginas= 236 de 356|fechaacceso= 12 de enero de 2022}}</ref> 
<center><math> V = \frac{n}{6}h r^2 \sen2\alpha </math></center>

La fórmula del volumen de una pirámide también se puede deducir a partir de '''razonamientos geométricos''', sin necesidad de realizar cálculo alguno:

[[Archivo:Volumen pirámide.svg|mini|450px|Descomposición de un prisma recto de base triangular en tres piámides del mismo volumen (roja, azul y verde)]]

* '''A partir de un prisma de base triangular:'''<ref>{{cita web|título=VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE (Demostración geométrica de la fórmula del volumen de la pirámide))|url=https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-piramide/|obra=Universo fórmulas|idioma=es|fechaacceso=15 de enero de 2022}}</ref>
: Dado un prisma recto triangular de bases ABC y DEF, obtener su volumen es inmediato:
:: V<sub>prisma</sub> = Base · altura = Área (ABC) · AD
: A continuación, se descompone en tres pirámides. Para facilitar la comprensión del dibujo, se denominan con los puntos de la base entre paréntesis acompañados del vértice (aunque al tener todas sus caras triangulares, la elección del vértice es arbitraria): 
:: Pirámide roja = (ABC)E // Pirámide azul = (DEF)C // Pirámide verde = (ACD)E
: La pirámide roja y la azul cada una tiene como base una de las dos bases del prisma, con la única limitación de que sus vértices respectivos (cada uno en la base contraria) no pueden estar en la misma arista vertical. Las tres pirámides rellenan por completo el prisma, puesto que la pirámide verde queda definida por el hueco que dejan las otras dos, que tal como se han definido, no comparten volumen alguno. 
:Dado que las bases de las pirámides roja y azul son iguales, y sus alturas hasta el vértice también (por definición del prisma, {{nowrap|BE {{=}} CF)}}, entonces su volumen es el mismo; es decir: V<sub>roja</sub> = V<sub>azul</sub>
:Por otro lado, cambiando la ordenación de los vértices, la pirámide verde y la pirámide azul poseen una cara cada una que tienen la misma área (cada una de sus bases ocupa la mitad del [[paralelogramo]] (ACFD), por lo que Área (ACD) = Área (CFD)), y además están en un mismo plano. Si se considera que el otro punto que comparten, el punto E, es el vértice de las dos pirámides, la distancia del punto E al plano que pasa por la cara (ACFD) es única, y es la altura tanto de la pirámide verde como de la azul. En consecuencia, si las áreas de las bases y las alturas de las dos pirámides son iguales, entonces: 
::V<sub>verde</sub> = V (ACD)E = V (CFD)E = V<sub>azul</sub>
: Análogamente (aunque se deduce de forma directa a partir de que V<sub>roja</sub> = V<sub>azul</sub> = V<sub>verde</sub>), se puede comprobar que, reordenando los puntos:
::V<sub>verde</sub> = V (ADE)C = V (ABE)C = V<sub>rojo</sub> = V<sub>pirámide</sub>
: En consecuencia,
:: V<sub>prisma</sub> =  V<sub>rojo</sub> + V<sub>azul</sub> + V<sub>verde</sub> = 3 · V<sub>pirámide</sub>
: y por lo tanto:   
:: V<sub>pirámide</sub> = V<sub>prisma</sub> / 3 

* '''A partir de un cubo:'''
{|class="floatright"
||[[Archivo:Cubo_diviso_3.png|thumb|center|x150px|Cubo dividido en tres pirámides iguales]]
||[[Archivo:Cubo_esploso_3.png|thumb|center|x150px|El mismo cubo una vez descompuesto]]
|}

:En el caso de pirámides rectas con base rectangular, basta considerar un cubo unitario, y dibujar líneas desde el centro del cubo hasta cada uno de los 8 vértices. Esto divide el cubo en 6 pirámides cuadradas iguales, de base con área 1 y altura 1/2. Cada pirámide claramente tiene un volumen de 1/6 del cubo. De aquí se deduce que el volumen de la pirámide = altura × área de la base / 3.

: Otra manera de demostrarlo es generar directamente tres pirámides en lugar de seis, utilizando como ápice uno de los vértices del cubo en lugar de su centro (véase la imagen de la derecha). En este caso, basta elegir las tres caras que rodean a un vértice cualquiera del cubo, y utilizar el vértice que queda libre como ápice de las tres pirámides que se generan. Es inmediato comprobar que las tres pirámides tienen el mismo volumen, puesto que las tres tienen bases iguales (las tres caras del cubo elegidas) y la misma altura (las tres aristas del cubo que parten del vértice elegido como ápice de las tres pirámides).

:A continuación, se expande el cubo uniformemente en tres direcciones en cantidades desiguales, para que las aristas sólidas rectangulares resultantes sean ''a'', ''b'' y ''c'', con un volumen sólido ''abc''. Cada una de las 6 pirámides internas también se expande. Y cada pirámide tiene el mismo volumen ''abc''/6. Dado que los pares de pirámides tienen alturas ''a''/2, ''b''/2 y ''c''/2, se observa que el volumen de la pirámide = altura × área de la base / 3 nuevamente.

Cuando los triángulos de la pirámide son equiláteros, la fórmula para hallar su volumen es (siendo <math>s</math> la longitud del lado del triángulo, y <math>n</math> el número de lados de la base):
 
{{ecuación|<math>V = \frac{1}{12}ns^3\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \sqrt{1-\frac{1}{4\sen^2\tfrac{\pi}{n}}}.</math>}}

Esta fórmula solo se aplica para ''n'' = 2, 3, 4 y 5; y también cubre el caso ''n'' = 6, para el que el volumen es igual a cero (es decir, la altura de la pirámide es cero).

== Centroide, centro de masas y centro de gravedad ==

El [[centroide]] o baricentro de un [[tetraedro]] regular está situado en su ''altura''. El punto donde se cortan las cuatro posibles ''alturas'', se encuentra a una distancia de la base igual a:<ref name=MRYSMS>{{cita libro|título=Manual de física y elementos de química|autor=Manuel Rico y Sinobas, Mariano Santisteban|editorial=Imp. de Eusebio Aguado|año=1856|url=https://books.google.es/books?id=Gt4-pHWnAygC&pg=PA17#v=onepage&q&f=false|páginas= 17 de 552|fechaacceso= 12 de enero de 2022}}</ref>

{{ecuación| <math> h_b = \frac{1}{4} \cdot h </math>}}

es decir, el centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.<ref>Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), ''Mecánica para ingenieros'', Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.</ref>

Coincide con el [[centro de masas]] de un tetraedro regular de [[densidad]] uniforme. También coincide con el [[centro de gravedad]] de un tetraedro regular de densidad uniforme en un campo gravitacional uniforme.

==Formulario general==

La tabla contiene fórmulas para las propiedades geométricas de una ''pirámide recta regular general'' en la columna 2, y en las columnas 3 y 4 específicamente para los casos <math>n=4</math> y <math>n=3</math>.
 
[[Archivo:Pyram-reg-ger-bez.svg|mini|upright=2.5|centro|Pirámides rectas regulares: parámetros utilizados en la tabla de fórmulas]]

{| class="wikitable col1izq" style="text-align:center;"
! colspan="4" style="background:#C0C0FF"| Dimensiones de una pirámide regular con altura <math>h</math> y un <math>n</math>-ágono regular de lado <math>a</math> como base
|-
| class="hintergrundfarbe5" |
| class="hintergrundfarbe5" |'''Caso general'''
| class="hintergrundfarbe5" |'''Pirámide cuadrada'''
| class="hintergrundfarbe5" |'''Pirámide triangular regular'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{n  a^2  h}{12}  \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>V = \frac{a^2 h}{3}</math>
|<math>V = \frac{a^2  h}{12}  \sqrt{3}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Área|Superficie]]'''
|<math>O = \frac{n a}{4}\left(a  \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{4  h^2 + a^2  \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math>O = a^2 + a  \sqrt{4  h^2 + a^2}</math>
|<math>O = \frac{3 a}{4} \left(\frac{a}{3} \sqrt{3} + \sqrt{4  h^2 + \frac{a^2}{3}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Longitud de arista lateral'''
|<math>l = \left(h^2 + \frac{a^2}{4  \sen^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math>
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}</math>
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Radio de la esfera circunscrita'''
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{8  h  \sen^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)} </math>
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{4  h} </math>
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{6  h} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Radio de la esfera inscrita'''
|<math>r_i = \frac{a  h}{a + \sqrt{4  h^2  \tan^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) + a^2}} </math>
|<math>r_i = \frac{a  h}{a + \sqrt{4  h^2 + a^2}} </math>
|<math>r_i = \frac{a h}{a + \sqrt{12  h^2 + a^2}} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Ángulos base de los [[Triángulo isósceles|triángulos isósceles]] <math>\alpha_2=\alpha_1</math>'''
|<math> \alpha_1 =\arctan \left(\frac{1}{a} \sqrt{4  h^2 + a^2  \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math> \alpha_1 = \arctan \left(\frac{1}{a}  \sqrt{4  h^2 + a^2}\right)</math>
|<math> \alpha_1 = \arctan \left(\frac{1}{a}  \sqrt{4  h^2 + \frac{a^2}{3}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Ángulo]] en el vértice de los triángulos isósceles'''
|<math> \alpha_3 = 2  \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4  h^2 + a^2  \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}}\right)</math>
|<math> \alpha_3 = 2  \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4  h^2 + a^2}}\right)</math>
|<math> \alpha_3 = 2  \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4  h^2 + \frac{a^2}{3}}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Ángulo entre la base y los triángulos isósceles'''
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2  h  \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a} \right)</math>
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 h}{a} \right)</math>
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \sqrt{3}  h}{a} \right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Ángulos entre los triángulos isósceles'''
|<math> \beta_2 = 2  \arctan \left(\frac{1}{2  h}  \left(\frac{4 h^2 \sen^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) + a^2}{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) - \sen^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}\right)</math>
|<math> \beta_2 = 2 \arctan \left(\frac{1}{2  h}  \sqrt{4 h^2 + 2  a^2}\right)</math>
|<math> \beta_2 = 2  \arctan \left(\frac{1}{3  h}  \sqrt{3  h^2 + a^2}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Ángulo entre el borde lateral y la base'''
|<math> \gamma = \arctan \left(\frac{2  h \sen \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a} \right)</math>
|<math> \gamma = \arctan \left(\frac{2  h}{\sqrt{2} a}\right)</math>
|<math> \gamma = \arctan \left(\frac{\sqrt{3}  h}{a}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Ángulo sólido]] en la base'''
| colspan="3" |<math>\Omega_1 = 4  \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2  \beta_1 + \beta_2}{4}\right)  \tan\left(\frac{2  \beta_1 - \beta_2}{4}\right)  \tan^2\left( \frac{\beta_2}{4}\right)}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Ángulo sólido en el vértice'''
| colspan="3" |<math>\Omega_2 = 2  \pi - 2  n  \arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)  \sqrt{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) - \tan^2\left(\frac{\alpha_3}{2}\right)}\right)</math>
|}
{|class="wikitable floatright" width=200px style="font-size:85%; line-height:125%;"
|-
||Pirámide pentagonal en un icosaedro 
||[[Archivo:Pyram-ikosaeder.svg|125px]]
|}
'''Casos especiales:'''

Para ciertos valores de <math>n</math> y <math>h</math> existen conexiones con los [[sólidos platónicos]]:

* Para <math>n = 3</math> y <math>h = \frac{a}{3} \sqrt{6}</math> se obtiene un [[Tetraedro|tetraedro regular]].
* Para <math>n = 4</math> y <math>h = \frac{a}{2}  \sqrt{2}</math> se obtiene una pirámide cuadrada que es la mitad de un [[octaedro]] regular.
* Para <math>n = 5</math> y <math>h = \frac{a}{10} \sqrt{50 - 10  \sqrt{5}}</math> se genera una [[pirámide pentagonal]] que forma parte del [[icosaedro]].

===Volumen máximo para una superficie total dada===
[[File:Pyram-reg-n-max-keg.svg|mini|hochkant=1.2|Pirámides de volumen máximo dada su superficie total (incluida la base) <math>O</math>,<br />
Colo rojo: cono con la misma propiedad y la misma superficie<br />
<math>V_{Piram}/V_{Cono}</math>:<br />
<math>n=3:\; 0,78 \quad n=4: \;0,89</math><br />
<math>n=6:\; 0,95 \quad n=10: \;0,98</math>]]

Entre todas las pirámides uniformes de ''n'' lados con ''área de superficie dada'' <math>O</math> (incluida la base), para la de mayor volumen se cumple que: 
:<math>a = \sqrt{\frac{O}{n\cot\frac{\pi}{n}}},</math>
:<math>h = \sqrt{2\;O}\;\sqrt{\frac{\cot\frac{\pi}{n}}{n}}
         =\sqrt{\tfrac{2\;O}{\pi}}\cdot \sqrt{\tfrac{\pi}{n}\cot\tfrac{\pi}{n}}</math>
y por lo tanto se aplica que <math>\ h = a \sqrt{2}\cot\tfrac{\pi}{n} \ </math>.

El [[Polígono regular|circunradio]] del polígono base es
:<math>\ r_u=\frac{a}{2\sen\tfrac \pi n} 
 =\sqrt{ \tfrac{O}{4\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\tfrac{2\pi}{n}}{\sen\frac{2\pi}{n}}}\ </math>.
El volumen máximo es
<math>V=\tfrac{O}{12}\sqrt{\tfrac {2\; O}{\pi}}\cdot \sqrt{\tfrac \pi n \cot\tfrac \pi n} \ </math>.

Cuando <math>n</math> tiende a infinito, <math>a</math> decrece monótonamente hacia <math>0</math> y <math>h</math> aumenta monótonamente hacia <math>h_c=\sqrt{\tfrac{2\;O}{\pi}}</math>. Esta última es la altura de un [[Cono (geometría)|cono]] con volumen máximo para una superficie dada <math>O</math>. Para obtener este resultado, se parte del [[Límite de una función|límite]] conocido <math>\lim_{x \to 0} \tfrac {\sen x}{x}=1</math>.

El radio del círculo base del cono que maximiza el volumen es
<math>\ r_c=\sqrt{ \tfrac{O}{4\pi}}</math>,<br />
su altura es <math>\ h_c=2\sqrt{2}\;r_c=\sqrt{\tfrac{2\;O}{\pi}}\ </math> <br />
y su volumen vale <math>\ V_c =\tfrac{O}{12}\sqrt{\tfrac {2\; O}{\pi}}\ </math>.

La relación entre los volúmenes es: <math>V_{Piram}/V_{Cono}=\sqrt{\tfrac \pi n \cot\tfrac \pi n}</math>,<br />
tendiendo a 1 para <math>n\to \infty</math>.

==Pirámide homotética de volumen la mitad==
[[Archivo:Pirámide mitad.svg|mini|300px|Relación entre una pirámide de volumen V y otra homotética cuyo volumen V/2 es la mitad]]

Dada una pirámide recta de altura '''h''', la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una altura '''h'''':
:::<math> h' = h \cdot \sqrt[3]{1/2} </math>
;Demostración
Un plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen. Para calcularla, se debe hallar la razón de la [[homotecia]], el coeficiente por el que se deben multiplicar las longitudes de los lados de la base y la altura, para obtener las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total.
:Si el volumen total de la pirámide es:
:::<math> V = \frac{a \cdot b \cdot h}{3} </math>
:La pirámide cuyo volumen es la mitad, tendrá:
:::<math> V' = \frac{ka \cdot kb \cdot kh}{3} </math>
:siendo '''k''' la razón de la homotecia, el coeficiente de proporcionalidad.
:Como 
:::<math> V' = \frac{1}{2} \cdot V </math>
:se deduce que 
:::<math> \frac{ka \cdot kb \cdot kh}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot b \cdot h}{3} </math>
:simplificando
:::<math> k^3 \cdot a \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h </math>

:::<math> k^3 = \frac{1}{2} </math>

:::<math> k = \sqrt[3]{1/2} </math>

: La razón de la homotecia es k=0,79370053 aproximadamente.

==Relación con el cono circular==
[[Archivo:Pyram-6-keg-appr.svg|mini|Pirámide para aproximar un cono]]

Se puede usar una sucesión de pirámides regulares que tienen un [[polígono regular]] como [[Base (geometría)|base]] con cada vez más lados para [[aproximación|aproximar]] un [[Cono (geometría)|cono]], que por definición tiene una [[circunferencia]] como base.

Si la base de la pirámide es un polígono regular con <math>n</math> lados, el [[Límite de una sucesión|sucesión]] que tiende al[[infinito]]se aproxima al perímetro de una circunferencia. El cono circular puede entenderse como una pirámide regular, por así decirlo, donde la base tiene un número infinito de vértices y la longitud del lado tiene el límite 0.

Esto permite deducir el [[volumen]] del [[Cono (geometría)|cono]] de la manera que se explica a continuación.

Usando la fórmula del [[área]] de un [[polígono regular]] con <math>n</math> lados, el volumen <math>V</math> de la pirámide regular se obtiene a partir del área de la [[circunferencia circunscrita]] al polígono de la base, de radio <math>r_u</math>:

:<math>V = \frac{G  h}{3} = n  \frac{r_u^2}{2} \sen \left(\frac{2 \pi}{n}\right)  \frac{h}{3} = \frac{n r_u^2  h}{6} \sen \left(\frac{2 \pi}{n}\right)</math>

Para determinar el volumen de un [[Cono (geometría)|cono]], se puede calcular el [[Límite de una sucesión|límite]] cuando <math>n</math> tiende a [[infinito]]. Este límite se obtiene mediante la fórmula <math>\lim_{x \to 0} \tfrac {\sen x}{x}=1</math>:

:<math>V_{\mathrm{Cono}} = \lim_{n \to \infty} \frac{G  h}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \, r_u^2 \, h}{6}  \sen \left(\frac{2 \pi}{n}\right)</math>
:<math>\qquad \qquad = \frac{r_u^2 \, h}{6}  2 \pi \cdot\lim_{n \to \infty}\frac{\sen \left(\frac{2 \pi}{n}\right)}{\frac{2 \pi}{n}} = \frac{r_u^2 \, h}{6}  2 \pi \cdot 1 = \frac 1 3 \pi  r_u^2 \cdot h </math>

==Pirámides ''n''-dimensionales==

Una pirámide bidimensional es un triángulo, formado por un borde base conectado a un punto no colineal llamado [[Ápice (geometría)|ápice]].

Una pirámide de 4 dimensiones se llama pirámide poliedral, y está constituida por un [[poliedro]] contenido en un 3-hiperplano de un espacio de 4 dimensiones y por un punto situado fuera de ese 3-hiperplano, que se conecta con todos los vértices del poliedro.

Las pirámides de dimensiones superiores se construyen de manera similar.

La familia de [[Símplex|símplices]] incluye pirámides en cualquier dimensión, aumentando a espacios de mayor orden para formar sucesivamente [[triángulo]]s, [[tetraedro]]s, [[pentácoron|pentacorones]], [[5-símplex]], etc.

Un símplex n-dimensional tiene como mínimo ''n+1'' [[Vértice (geometría)|vértices]], con todos los pares de vértices conectados por [[Arista (geometría)|aristas]], todas las ternas de vértices que definen [[Cara (geometría)|caras]], todos los grupos de cuatro puntos que definen celdas tetraédricas, y así sucesivamente.

===Pirámide poliédrica===
En [[geometría]] de 4 dimensiones, una '''pirámide poliédrica''' es un [[polícoro]] construido por un [[poliedro]] como celda base y un punto [[Ápice (geometría)|ápice]]. Las [[Faceta (geometría)|caras]] laterales son celdas piramidales, cada una construida por una cara del poliedro base y el vértice. Los vértices y las aristas de las pirámides poliédricas forman ejemplos de [[grafos de ápice]], gráficos formados al agregar un vértice (el ápice) a un [[grafo plano]] (el grafo asociado a la base).

El [[pentácoron]] regular (o 4-[[símplex]]) es un ejemplo de una ''pirámide tetraédrica'' de cuatro dimensiones. Los poliedros uniformes con circunradio menor que 1 se pueden hacer pirámides poliédricas con lados tetraédricos regulares. Un poliedro con ''v'' vértices, ''e'' aristas y ''f'' caras puede ser la base de una pirámide poliédrica con ''v+1'' vértices, ''e+v'' aristas, ''f+e'' caras y ''1+f'' celdas.

Una "pirámide poliédrica" 4D con [[simetría axial]] se puede visualizar en 3D con un [[diagrama de Schlegel]], una proyección 3D que coloca el vértice en el centro del poliedro base.

{| class=wikitable
|+ Pirámides basadas en poliedros uniformes equiláteros ([[diagrama de Schlegel|Diagramas de Schlegel]])
!Simetría
![1,1,4]
![1,2,3]
![1,3,3]
!colspan=2|[1,4,3]
![1,5,3]
|-
!Nombre
![[Pirámide cuadrada-piramidal]]
![[Pirámide de prisma triangular]]
![[Pentácoron]]
![[Pirámide cúbica]]
![[Pirámide octaédrica]]
![[Pirámide icosaédrica]]
|- align=center 
!Índice de la<br />segmentocora<ref name="Segmentochora">[http://www.bendwavy.org/klitzing/pdf/artConvSeg_8.pdf Convex Segmentochora] {{Wayback|url=http://www.bendwavy.org/klitzing/pdf/artConvSeg_8.pdf |date=20140419014108 }} Dr. Richard Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1–4, 139–181, 2000</ref>
!K4.4
!K4.7
!K4.1
!K4.26.1
!K4.3
!K4.84
|- align=center
!Altura
|0.707107
|0.645497
|0.790569
|0.500000
|0.707107
|0.309017
|- align=center
!Imagen<br />de la base
|[[Archivo:square_pyramid_pyramid.png|80px]]
|[[Archivo:Triangular_prism_pyramid.png|80px]]
|[[Archivo:Schlegel wireframe 5-cell.png|80px]]
|[[Archivo:Cubic pyramid.png|80px]]
|[[Archivo:Octahedral pyramid.png|80px]]
|[[Archivo:Icosahedral pyramid.png|80px]]
|- align=center
!Base
|[[Pirámide cuadrada|Pirámide<br />cuadrada]]
|[[Prisma triangular|Prisma<br />triangular]]
|[[Tetraedro]]
|[[Cubo]]
|[[Octaedro]]
|[[Icosaedro]]
|}

Cualquier 4-politopo convexo se puede dividir en '''pirámides poliédricas''' agregando un punto interior y creando una pirámide desde cada faceta hasta el punto central. Esto puede ser útil para calcular volúmenes.

El "hipervolumen" de 4 dimensiones de una pirámide poliédrica es 1/4 del volumen del poliedro base por su altura perpendicular, en comparación con el área de un triángulo que es 1/2 de la longitud de la base por la altura y el volumen de una pirámide es 1/3 del área de la base por la altura.

El ''volumen de superficie'' tridimensional de una pirámide poliédrica es <math>SV=B+\tfrac{1}{3}AL</math>, donde <math>B</math> es el volumen de la base, <math>A</math> es el área de la superficie de la base y <math>L</math> es la altura inclinada (altura de las celdas piramidales laterales). A su vez, <math>L = \sqrt{h^2 + r^2}</math>, donde <math>h</math> es la altura y <math>r</math> es el radio interior.

== Véase también ==
* [[Pirámide]]
* [[Tronco de pirámide]]
* [[Tetraedro]]
* [[Eudoxo de Cnidos]]
* [[Bipirámide]] ([[unión]] de dos pirámides por sus bases)
* [[Cono (geometría)|Cono]]
* [[Geometría molecular piramidal trigonal]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Lecturas adicionales ==
* William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. 46 [https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 |date=20220107220808 }}

* {{cita libro |title=Polyhedron Models |page=50 |url=https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |first=Magnus J. |last=Wenninger |publisher=Cambridge University Press |year=1974 |isbn=978-0-521-09859-5  |archive-url=https://web.archive.org/web/20131211041958/http://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |archive-date=2013-12-11|idioma = inglés}}.

== Enlaces externos ==
{{Commons category|Pyramids (geometry)}}
* {{MathWorld |id=Pyramid |title=Pirámide}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Poliedros]]
[[Categoría:Poliedros autoduales]]
[[Categoría:Prismatoides]]
[[Categoría:Pirámides|Pirámide (geometría)]]
[[Categoría:Figuras geométricas]]
[[Categoría:Pirámides y bipirámides| ]]