Ver el código de «Pirámide cuadrada»

{{Ficha de poliedro
|nombre         = Pirámide cuadrada
|familia        = [[Sólido de Johnson|Sólidos de Johnson]]
|imagen         = Square pyramid.png
|imágenes      = 
|dual           = autodual
|imagen dual     = 
|plano          = Square pyramid net.svg
|planos       = 
|imagen real     = 
|tipos          = [[Sólido de Johnson|Johnson]]<br />[[hebesfenorrotonda triangular|J<sub>92</sub>]] – '''J<sub>1</sub>''' – [[pirámide pentagonal|J<sub>2</sub>]]
|caras          = 4 [[triángulo]]s<br />1 [[cuadrado (geometría)|cuadrado]]
|tipocaras      = 
|confcara       = 
|aristas        = 8
|vértices       = 5
|confvértices   = 4(3<sup>2</sup>.4)<br />(3<sup>4</sup>)
|simetría       = ''C''<sub>4v</sub>
|rotación       = 
|angdiedro      = 
|schlafli       = 
|wythoff        = 
|coxeter-dynkin = 
|propiedades    = [[conjunto convexo|convexo]]
}}

En [[geometría]], una '''pirámide cuadrada''' o '''pirámide cuadrangular''' es una [[pirámide (geometría)|pirámide]] de base [[cuadrado (geometría)|cuadrada]], a diferencia del [[tetraedro]], cuya base es [[triangular]]. Si la cúspide está situada exactamente sobre el centro del cuadrado (pirámide recta),.

== Sólido de Johnson (J<sub>1</sub>) ==
[[File:Pyram-r3e-vext.svg|mini|upright=1.5|left|Izquierda: Pirámide de Johnson<br />
Derecha: Pirámide con volumen máximo para una superficie dada]]
[[File:Johnson J1 3D.stl|thumb|Modelo 3D del sólido de Johnson J₁]]

Si todas las caras son [[Triángulo equilátero|triángulos equiláteros]], entonces la pirámide es uno de los [[sólido de Johnson|sólidos de Johnson]] (J<sub>1</sub>). En este caso, todas las aristas tienen la misma longitud.<ref>{{cita libro|nombre=Franz|apellido=Hocevar|título=Solid Geometry|año=1903| url=https://books.google.com/books?id=0OAXAAAAYAAJ&pg=PA44| páginas=44|editor=A. & C. Black}}</ref>

La pirámide cuadrada de Johnson se puede caracterizar por un solo parámetro, que es la longitud de una de sus aristas ''a''. La altura ''H'' (del punto central del cuadrado a la cúspide), el área total ''A'' y el volumen ''V'' de la pirámide son<ref name="pye">{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Sólido de Johnson J₁ |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/volumen/Johnson/J1/calculadora-area-volumen-formulas.html |issn=2659-9899 |fechaacceso= 26 de junio de 2020 |idioma=es |publicación = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>
:<math>H=\frac{1}{\sqrt{2}}a</math>
:<math>A=(1+\sqrt{3})a^2</math>
:<math>V=\frac{\sqrt{2}}{6}a^3</math>

====Volumen máximo para una superficie dada====
Entre todas las pirámides cuadradas con una superficie dada <math>O</math> (que incluye las cuatro caras laterales y el área de la base), la que contiene el mayor volumen mide: 

:<math>a = \frac{\sqrt{O}}{2},\quad h = \sqrt{\frac{O}{2}}\quad</math> y por lo tanto <math>\quad h = a \cdot \sqrt{2}\quad</math>

Su volumen es entonces <math>V = \frac 13 \cdot a^3 \cdot \sqrt{2} = \frac{O\sqrt{O}}{12\sqrt 2}</math>.

La altura de esta pirámide es el doble de la altura de la pirámide de Jhonson cuadrada.

Para probarlo, basta plantear la ecuación <math>\;O = a^2 + a\sqrt{4h^2 + a^2}\;</math> para <math>h^2</math> teniendo en cuenta que <math>U = 9V^2 = a^4h^2</math> y determinar el [[Extremos de una función|máximo local]] de <math>U(a)</math>.

== Otras pirámides cuadradas ==

Otras pirámides cuadradas tienen caras que son [[triángulo isósceles|triángulos isósceles]]. Un ejemplo es la [[Gran Pirámide de Guiza]], cuyos triángulos tienen una longitud de base de 230 metros y una [[altura inclinada]] de 219 metros. Dicha pirámide tiene la curiosa propiedad de que la proporción entre la altura inclinada (a lo largo de la bisectriz de la cara) y la altura se aproxima muy bien a la [[razón áurea]], por lo que el área de cada una de las caras triangulares es igual al cuadrado de la altura de la pirámide

En las pirámides cuadradas rectas en general, si el lado de base mide <math>l</math> y su altura es <math>h</math>, el área y el volumen se calculan según las expresiones siguientes:<ref name="pye2">{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Calculadora del área y volumen de la pirámide cuadrada |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/volumen/piramide/cuadrada/calculadora-area-volumen-formulas.html |issn=2659-9899 |fechaacceso= 26 de junio de 2020 |idioma=es |publicación = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>

:<math>A=l(l+\sqrt{l^2+4h^2})</math>
:<math>V=\frac{1}{3}l^2h.</math>

La fórmula anterior del volumen es también válida para el caso de las pirámides oblicuas, por el [[principio de Cavalieri]].

== Poliedros relacionados ==
{| width=400 class=wikitable
![[Archivo:Euclid Octahedron 3.svg|200px]]
![[Archivo:Tetrakishexahedron.jpg|200px]]
|-
|align=center|Un [[octaedro]] regular se puede considerar una [[bipirámide]] cuadrada que se compone de dos Johnson pirámides cuadradas conectadas base a base.
|El [[tetraquis hexaedro]] se puede considerar un [[cubo]] a cada una de cuyas caras se añaden pirámides cuadradas chatas.
|}

{| class="wikitable mw-collapsible"
!colspan=9| [[Pirámide (geometría)|Pirámides]]
|-
![[Diedro|Digonal]]
![[Tetraedro|Triangular]]
![[Pirámide cuadrada|Cuadrada]]
![[Pirámide pentagonal|Pentagonal]]
![[Pirámide hexagonal|Hexagonal]]
!Heptagonal
!Octogonal
!Eneagonal
!Decagonal...
|- 
!Impropia
!Regular
!colspan=2|Equilátera
!colspan=5|Isósceles
|- style="text-align:center;"
|[[File:Biangular pyramid1.png|50px]]
|[[File:Tetrahedron.svg|50px]]
|[[File:Square pyramid.png|70px]]
|[[File:Pentagonal pyramid.png|70px]]
|[[File:Hexagonal_pyramid.png|50px]]
|[[File:Heptagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[File:Octagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[File:Enneagonal_pyramid1.png|70px]]
|[[File:Decagonal_pyramid1.png|70px]]
|- style="text-align:center;"
|[[File:Spherical digonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical trigonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical square pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical pentagonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical hexagonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical heptagonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical octagonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical enneagonal pyramid.svg|50px]]
|[[File:Spherical decagonal pyramid.svg|50px]]
|}

== Topología ==
Al igual que cualquier pirámide, la pirámide cuadrada es [[poliedro autodual|autodual]], al contener el mismo número de vértices y caras.

Una pirámide cuadrada puede representarse por el [[grafo de rueda]] W<sub>5</sub>.

== Véase también ==
{{Portal|Matemática}}
{{Portal|Geometría}}
{{columns-list|3|
* [[poliedro]]
* [[Pirámide (geometría)]]
* [[Sólidos platónicos]]
* [[Sólidos arquimedianos]]
* [[Sólidos de Johnson]]
* [[Sólidos de Kepler-Poinsot]]
* [[Sólidos de Catalan]]
}}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld|SquarePyramid|Square pyramid}}
* {{MathWorld|JohnsonSolid|Johnson solid}}
* {{MathWorld|WheelGraph|Wheel graph}}
* [https://web.archive.org/web/20071008222854/http://polyhedra.org/poly/show/45/square_pyramid Square Pyramid] -- Interactive Polyhedron Model
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra ([[VRML]] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/square_pyramid_(J1).wrl model] {{Wayback|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/square_pyramid_(J1).wrl |date=20120218231239 }})

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Poliedros autoduales]]
[[Categoría:Prismatoides]]
[[Categoría:Sólidos de Johnson]]
[[Categoría:Pirámides y bipirámides]]