Ver el código de «Plano (geometría)»

[[Archivo:Drini-conjugatehyperbolas.png|thumb|[[gráfica de una función|Gráfica]] de dos [[hipérbola]]s y sus [[asíntotas]] en el [[plano cartesiano]].]] 
[[Archivo:Plano.png|thumb|175px|Representación gráfica informal de un plano.]]
En [[geometría]], un '''plano''' es un objeto ideal que solo posee [[Bidimensional|dos dimensiones]], y contiene infinitos [[punto (geometría)|puntos]] y [[recta]]s; es un concepto  fundamental de la geometría junto con el punto y la recta. 

Una recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos. Se denomina frontera, borde u origen del semiplano. 

Cuando se habla de un plano de polina, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir [[bidimensional]], y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel objeto elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda [[definición (matemática)|definido]] por los siguientes elementos geométricos:
* Tres puntos no alineados. 
* Una recta y un punto exterior a ella. 

* Dos rectas [[Paralelismo (matemática)|paralelas]] o dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego. 

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

En un sistema de [[coordenadas cartesianas]], un [[punto (geometría)|punto]] del plano queda determinado por un [[par ordenado]], llamados ''[[abscisa]]'' y ''[[ordenada]]'' del punto. Mediante ese procedimiento, a todo punto del plano corresponden siempre dos [[número real|números reales]] ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un [[par ordenado]] de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una correspondencia [[biunívoca]] entre un [[concepto]] geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En [[coordenadas polares]], por un [[ángulo]] y una [[distancia]]. Esta correspondencia constituye el fundamento de la [[geometría analítica]].

El [[área]] es una medida de extensión de una [[superficie (matemática)|superficie]], o de una [[figura geométrica]] plana, expresada en [[unidades de medida]] denominadas [[unidades de superficie]]. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un [[polígono]], puede [[Triangulación|triangularse]] y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

== Historia ==
{{Véase también|Geometría euclidiana#Historia}}

Los libros I a IV y VI de [[Elementos de Euclides]] trataban de la geometría bidimensional, desarrollando nociones como la semejanza de formas, el [[teorema de Pitágoras]] (Proposición 47), la igualdad de ángulos y [[área]], el paralelismo, la suma de los ángulos de un triángulo y los tres casos en que los triángulos son "iguales" (tienen la misma área), entre otros muchos temas.

Posteriormente, el plano se describió en el llamado ''[[sistema de coordenadas cartesianas]]'', un [[sistema de coordenadas]] que especifica cada [[punto (geometría)|punto]] de forma única en un [[plano (geometría)|plano]] mediante un par de [[números|numéricos]] ''coordenadas'', que son las [[números positivos y negativos|signos]] distancias desde el punto a dos [[Perpendicularidad| rectas perpendiculares]] fijas, medidas en la misma [[unidad de longitud]]. Cada línea de referencia se llama ''eje de coordenadas'' o simplemente ''eje'' del sistema, y el punto donde se encuentran es su ''[[Origen (matemáticas)|origen]]''', normalmente en el par ordenado (0,&nbsp;0). Las coordenadas también pueden definirse como las posiciones de las [[proyección ortogonal|proyecciones perpendiculares]] del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.

La idea de este sistema fue desarrollada en 1637 en escritos de Descartes e independientemente por [[Pierre de Fermat]], aunque Fermat también trabajaba en tres dimensiones, y no publicó el descubrimiento.<ref>{{cite book|title=Geometría analítica|enciclopedia=Encyclopædia Britannica|year=2008|edition=Encyclopædia Britannica Online}}</ref> Ambos autores utilizaron un único eje en sus tratamientos{{fact|date=February 2022}} y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que ''[[La Géométrie]]'' de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por [[Frans van Schooten]] y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al tiempo que intentaban aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes.<ref>{{harvnb|Burton|2011|loc=p. 374}}</ref>

Más tarde, se pensó en el plano como un [[campo (matemáticas)|campo]], en el que dos puntos cualesquiera podían multiplicarse y, excepto 0, dividirse. Esto se conoció como [[plano complejo]]. El plano complejo se denomina a veces plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos reciben su nombre de [[Jean-Robert Argand]] (1768-1822), aunque fueron descritos por primera vez por el topógrafo y matemático danés-noruego [[Caspar Wessel]] (1745-1818).<ref>La memoria de Wessel fue presentada a la Academia Danesa en 1797; el trabajo de Argand se publicó en 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)</ref> Los diagramas de Argand se utilizan frecuentemente para trazar las posiciones del [[polo (análisis complejo)|polos]] y del [[Cero (análisis complejo)|ceroes]] de una [[función matemática|función]] en el plano complejo.

==En geometría==
{{Véase también|Geometría euclidiana}}

===Sistemas de coordenadas===
<!-- ahora correcto: si se incluye una esfera, entonces no hay un único espacio 2d -->
{{main|Coordenadas cartesianas|Sistema de coordenadas polares}}

En matemáticas, la [[geometría analítica]] (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto del espacio bidimensional mediante dos coordenadas.  Se dan dos [[Sistema de coordenadas| ejes de coordenadas]] perpendiculares que se cruzan en el [[Origen (matemáticas)|origen]].  Suelen denominarse ''x'' e ''y''. En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional viene dada por un par ordenado de números reales, cada número dando la distancia de ese punto desde el [[Origen (matemática)|origen]] medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto desde el otro eje.

Otro sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el [[sistema de coordenadas polares]], que especifica un punto en términos de su distancia desde el origen y su ángulo relativo a un rayo de referencia hacia la derecha.

<gallery>
Image:Coord XY.svg|[[Sistema de coordenadas cartesianas]]
Image:Coord Circular.svg|[[Sistema de coordenadas polares]]
</gallery>
===Incorporación en el espacio tridimensional===
[[File:Plane equation qtl3.svg|thumb|Ecuación del plano en forma normal]]
En [[geometría euclidiana]], un '''plano''' es una superficie plana de dos [[dimensiones]]  que se extiende indefinidamente. 
Los [[Plano euclídeo| planos euclídeos]] surgen a menudo como [[Variedad lineal|subespacios]] del [[espacio tridimensional]]. <math>\mathbb{R}^3</math>.
Un ejemplo prototípico es una de las paredes de una habitación, infinitamente extendida y que se supone infinitesimal delgada.
Mientras que un par de números reales <math>\mathbb{R}^2</math> basta para describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su [[incrustación]] en el [[espacio ambiente]] <math>\mathbb{R}^3</math>.
===Politopos===
{{artículo principal|Polígono}}
En dos dimensiones, existen infinitos politopos: los polígonos. A continuación se muestran los primeros regulares:

====Convexo====
El [[símbolo de Schläfli]] <math>\{n\}</math> representa un [[Polígono regular|{{mvar|n}}-ágono regular]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Nombre
![[Triángulo equilátero|Triángulo]]<br />([[Simplex|2-simplex]])
![[Cuadrado (geometry)|Cuadrado]]<br />([[Cross-polytope|2-orthoplex]])<br />([[Hipercubo|2-cubo]])
![[Pentágono]]
![[Hexágono]]
![[Heptágono]]
![[Octógono]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
![[Símbolo de Schläfli]]
|{3}
|{4}
|{5}
|{6}
|{7}
|{8}
|-
!Imagen
|[[Image:Regular triangle.svg|75px]]
|[[Image:Regular quadrilateral.svg|75px]]
|[[Image:Regular pentagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular hexagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular heptagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular octagon.svg|75px]]
|-
!Nombre
![[Nonágono]]
![[Decágono]]
![[Undecágono]]
![[Dodecágono]]
![[Tridecágono]]
![[Tetradecágono]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
!Schläfli
|{9}
|{10}
|{11}
|{12}
|{13}
|{14}
|-
!Imagen
|[[Image:Regular nonagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular decagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular hendecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular dodecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular tridecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular tetradecagon.svg|75px]]
|-
!Nombre
![[Pentadecágono]]
![[Hexadecágono]]
![[Heptadecágono]]
![[Octadecágono]]
![[Eneadecágono]]
![[Icoságono]]
|...[[Polígono regular|n-gono]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
!Schläfli
|{15}
|{16}
|{17}
|{18}
|{19}
|{20}
|{''n''}
|-
!Imagen
|[[Image:Regular pentadecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular hexadecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular heptadecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular octadecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular enneadecagon.svg|75px]]
|[[Image:Regular icosagon.svg|75px]]
|}

====Degenerado (esférico)====
El [[monógono]] (o henágono) regular {1} y el [[digon]] regular {2} {2} pueden considerarse polígonos regulares degenerados y existen de forma no degenerada en espacios no euclidianos como una [[esfera|2-esfera]], un [[toroide|2-toro]], o un [[cilindro circular recto]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Nombre
|[[Monógono]]
|[[Dígono]]
|- bgcolor="#eeeedd"
![[Símbolo de Schläfli]]
|{1}
|{2}
|-
!Imagen
|[[Image:Monogon.svg|75px]]
|[[Image:Digon.svg|75px]]
|}
====Polígonos no convexos====
Existen infinitos polígonos regulares no convexos en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales {n/m}. Se llaman [[polígono estrella|polígonos estrella]] y comparten la misma [[disposición de vértices]] de los polígonos regulares convexos.

En general, para cualquier número natural n, existen estrellas poligonales regulares no convexas de n puntas con símbolos de Schläfli {''n''/''m''} para todo ''m'' tal que ''m'' < ''n''/2 (estrictamente hablando {''n''/''m''} = {''n''/(''n'' - ''m'')}) y ''m'' y ''n'' son [[coprimos]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0"
!Nombre
|[[Estrella pentagonal]]
| colspan="2" | [[Heptagrama]]
|[[Octagrama]]
| colspan="2" | [[Eneagrama|Eneagramas]]
|[[Decagrama]]
|...[[Estrella (figura geométrica)|n-agramas]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
![[Símbolo de Schläfli]]
|{5/2}
|{7/2}
|{7/3}
|{8/3}
|{9/2}
|{9/4}
|{10/3}
|{''n/m''}
|-
!Imagen
|[[Image:Star polygon 5-2.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 7-2.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 7-3.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 8-3.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 9-2.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 9-4.svg|75px]]
|[[Image:Star polygon 10-3.svg|75px]]
|&nbsp;
|}
===Círculo===
{{main article|Círculo}}
[[File:CIRCLE 1.svg|200px|right]]
La [[hiperesfera]] en 2 dimensiones es un [[círculo]], a veces llamado 1-esfera (''S''<sup>1</sup>) porque es un [[colector]] unidimensional. En un plano euclídeo, tiene la longitud 2&pi;''r'' y el [[área]] de su [[interior (topología)|interior]] es
:<math>A = \pi r^{2}</math>
donde <math>r</math> es el radio.
===Otras formas===

Existen infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las [[secciones cónicas]]: la [[elipse]], la [[Parábola (matemática)| parábola]] y la [[hipérbola]].

== Propiedades del plano ℝ<sup>3</sup> ==
[[Archivo:Intersecting Planes.PNG|thumb|175px|Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.]]
En un [[espacio euclidiano]] [[tridimensional]] ℝ<sup>3</sup>, podemos hallar los siguientes hechos (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores):

* O bien dos planos son paralelos, o bien se intersecan en una línea.
* O bien una recta es paralela a un plano, o bien se interseca con el mismo en un punto, o bien está contenida en él.
* Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
* Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí.
* Entre un plano Π cualquiera y una recta no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la recta y es perpendicular al plano Π.
* Entre un plano Π cualquiera y una recta perpendicular al mismo existen infinitos planos tales que contienen a la recta y son perpendiculares al plano Π.

=== Ecuación vectorial del plano ===

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto '''P''' = (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub>)<br />Vector '''u''' = (u<sub>x</sub>, u<sub>y</sub>, u<sub>z</sub>)<br />Vector '''v''' = (a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub>)<br />
{| border=1 align=center
|<math>(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(u_x, u_y ,u_z) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!</math>
|} donde <math>m</math> y <math>n</math> son escalares.

Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo, la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el [[Determinante (matemática)|determinante]] formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

:<math>\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 =>  \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0</math>

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano y coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:
::<math>a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0 \,</math>
;Estrictamente
P = P<sub>0</sub> + mA + nB es la ecuación del plano determinado por un punto fijo y dos vectores A y B no colineales.<ref> Hasser Análisis matemático tomo II </ref>

===Ecuación mediante vector ortogonal===
a.x = 0, donde a es un vector ortogonal y x un punto del plano.

=== Posición relativa entre dos planos ===
Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:
* Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
* Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
* Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

=== Distancia de un punto a un plano ===
Para un plano cualquiera  <math>\Pi : a x + b y + c z + d = 0\,</math> y un punto cualquiera <math>\mathbf p_1 = (x_1,y_1,z_1) </math> no necesariamente contenido en dicho plano '''Π''', la menor distancia entre '''P<sub>1</sub>''' y el plano '''Π''' es:

:<math> D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. </math>

De lo anterior se deduce que el punto '''P<sub>1</sub>''' pertenecerá al plano '''Π''' [[Bicondicional|si y solo si]] '''''D=0'''''.<br />

Si los coeficientes '''''a''''', '''''b''''' y '''''c''''' de la ecuación canónica de un plano cualquiera están [[Vector unitario|normalizados]], esto es cuando <math>\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>, entonces la fórmula anterior de la distancia '''''D''''' se reduce a:
:<math> D = \ | a x_1 + b y_1 + c z_1+d | .</math> <!-- <ref name=Weisstein2009/> -->

== Semiplano ==
{{AP|Semiplano}}

[[Archivo:graph-paper.svg|thumb|200px|[[Papel milimetrado|Plano cuadriculado]].]]
Se llama '''semiplano''', en [[geometría]], cada una de las dos partes en que un '''plano''' queda dividido por una [[recta]]. 
;Analíticamente
::La inecuación <math>ax + by + c \ge 0 </math> determina un semiplano y su recta frontera <math>ax + by + c = 0 </math>

:: La inecuación <math>ax + by + c > 0 </math> determina un semiplano sin incluir la frontera <math>ax + by + c = 0 </math>. Este semiplano es un conjunto convexo, abierto y no acotado.

;Partición

::La recta de ecuación <math>L = ax + by + c = 0 </math>y los semiplanos  <math> S_1 = ax + by + c < 0 </math>, <math>S_2 = ax + by + c > 0 </math> determinan una partición del plano, de modo que un punto cualquiera de este está exactamente en uno, y solo uno de los tres conjuntos: recta '''L''', semiplanos <math> S_1 </math> o <math> S_2 </math>.<ref>A. S. Solodóvnikov '' Sistemas de desigualdades lineales'' Editorial Mir Moscú (1980)</ref>

=== Postulados de la división de un plano ===

En cada pareja de semiplanos que una [[recta]] '''r''' determina sobre un plano existen infinitos [[punto (geometría)|puntos]] tales que:

# Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta que los determina.
# Dos puntos del mismo semiplano determinan un [[segmento]] que no corta a la recta '''r'''.
# Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta '''r8''.
==En topología==
En [[topología]], el plano se caracteriza por ser el único [[espacio contráctil]] [[Superficie (topología)| bidimensional]].

Su dimensión se caracteriza por el hecho de que la eliminación de un punto del plano deja un espacio que está conectado, pero no [[Conjunto simplemente conexo| simplemente conectado]].
==En teoría de grafos==
En [[teoría de grafos]], un [[grafo plano]] es un [[grafo]] que se puede [[Grafo embebido| incrustar]] en el plano, es decir, que se puede dibujar en el plano de tal manera que sus aristas se crucen sólo en sus puntos extremos.  En otras palabras, se puede dibujar de forma que ninguna arista se cruce con otra.<ref>{{cite book|last=Trudeau|first=Richard J.|title=Introducción a la teoría de grafos|year=1993|publisher=Dover Pub.|location=Nueva York|isbn=978-0-486-67870-2|pages=64|url=http://store.doverpublications.com/0486678709. html|edition=Reedición corregida y ampliada.|access-date=8 de agosto de 2012|quote=Por lo tanto, un grafo plano, cuando se dibuja sobre una superficie plana, o bien no tiene cruces de aristas o se puede volver a dibujar sin ellos.}}</ref> Tal dibujo se llama un ''grafo plano'' o ''incrustación plana del grafo''. Un grafo plano puede definirse como un grafo plano con un mapeado desde cada nodo a un punto en un plano, y desde cada arista a una [[curva plana]] en ese plano, de tal forma que los puntos extremos de cada curva son los puntos mapeados desde sus nodos extremos, y todas las curvas son disjuntas excepto en sus puntos extremos.

== Véase también ==
* [[Geometría plana]]
* [[Geometría analítica]]
* [[Espacio euclídeo]]
* [[Recta]]
* [[Punto (geometría)|Punto]]
* [[Superficie (matemática)]]
* [[Superficie (física)]]
* [[Plano proyectivo]]

== Referencias ==
{{Listaref}}

== Bibliografía ==
* {{citation |first=David M. |last=Burton |title=The History of Mathematics / An Introduction |year=2011 |edition=7th |publisher=McGraw Hill |isbn=978-0-07-338315-6}}

== Enlaces externos ==
* {{MathWorld |urlname=Plane |title=Plano }}
* [http://www.wdl.org/es/item/2850 "Reduciendo la dificultad de la geometría aritmética y planar"] es un manuscrito árabe del siglo XV, que sirve como un tutorial sobre geometría plana y la aritmética

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría elemental]]
[[Categoría:Geometría analítica]]
[[Categoría:Álgebra lineal]]
[[Categoría:Geometría euclidiana]]