Ver el código de «Policubo»

{{Redirige aquí|Tetracubo|teseracto|el objeto cuatridimensional}}
[[image:tetracube_categories.svg|thumb|upright|Los 8 tetracubos lado a lado: si se ignora la quiralidad, los 2 inferiores en color gris se consideran iguales, dando 7 tetracubos libres en total]]
[[image:Pentacubes task.jpg|thumb|right|Un rompecabezas que implica organizar pentacubos]]

Un '''policubo''' es una figura sólida formada uniendo uno o más [[cubo]]s iguales, de forma que cada uno de ellos tenga al menos una cara en común con algún otro cubo del conjunto (salvo en el caso trivial de un único cubo). Los policubos son los análogos tridimensionales de los [[poliominó]]s planos. El [[cubo Soma]], el [[cubo de Bedlam]], el [[cubo Diabólico]], el [[puzle Slothouber-Graatsma]] y el [[puzle de Conway]] son ejemplos de [[problema de empaquetamiento|problemas de empaquetamiento]] basados en policubos.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Polycube.html Weisstein, Eric W. "Polycube." From MathWorld]</ref>

== Enumeración de policubos ==
[[image:AGK-pentacube.png|thumb|right|Un pentacubo [[Quiralidad (matemáticas)|quiral]]]]

Al igual que los [[poliominó]]s, los policubos se pueden enumerar de dos maneras, dependiendo de si los pares de policubos [[Quiralidad (matemáticas)|quirales]] se cuentan como un policubo o como dos. Por ejemplo, 6 tetracubos tienen [[Eje de simetría|simetría especular]] y uno es [[Quiralidad (matemáticas)|quiral]], dando un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente.<ref name=symmetry>{{cite book |last=Lunnon |first=W. F. |contribution=Symmetry of Cubical and General Polyominoes |editor-last=Read |editor-first=Ronald C. |title=Graph Theory and Computing |place=New York |publisher=Academic Press |year=1972 |pages=101–108 |isbn=978-1-48325-512-5}}</ref> A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan con las parejas de figuras especulares como elementos distintos, puesto que no se puede voltear un policubo en tres dimensiones para reflejarlo, como sí se puede hacer con un poliominó. En particular, el [[Cubo Soma]] usa ambas formas quirales del tetracubo.

Se clasifican de acuerdo con la cantidad de celdas cúbicas que contienen:<ref>[http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/index.htm?Polycubes.html Polycubes, at The Poly Pages]</ref>

{| class=wikitable
|-
!''n''
!Nombre del ''n''-policubo
!Número de ''n''-policubos cara a cara distintos<br>(formas especulares contadas como distintas)<br />{{OEIS|id=A000162}}
!Número de ''n''-policubos libres<br>(formas especulares contadas como iguales)<br />{{OEIS|id=A038119}}
|-
|1
|monocubo
|align=right|1
|align=right|1
|-
|2
|dicubo
|align=right|1
|align=right|1
|-
|3
|tricubo
|align=right|2
|align=right|2
|-
|4
|tetracubo
|align=right|8
|align=right|7
|-
|5
|pentacubo
|align=right|29
|align=right|23
|-
|6
|hexacubo
|align=right|166
|align=right|112
|-
|7
|heptacubo
|align=right|1023
|align=right|607
|-
|8
|octacubo
|align=right|6922
|align=right|3811
|}

Los policubos se han enumerado completamente hasta el valor ''n''=16.<ref>[http://kevingong.com/Polyominoes/Enumeration.html Kevin Gong's enumeration of polycubes]</ref> Más recientemente, se han investigado familias específicas de policubos.<ref>[http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v20i4p26/pdf "Enumeration of Specific Classes of Polycubes", Jean-Marc Champarnaud et al, Université de Rouen, France] PDF</ref><ref>[https://arxiv.org/abs/1311.4836 "Dirichlet convolution and enumeration of pyramid polycubes", C. Carré, N. Debroux, M. Deneufchâtel, J. Dubernard, C. Hillairet, J. Luque, O. Mallet; November 19, 2013] PDF</ref>

== Simetrías de policubos ==
Al igual que con los poliominós, los policubos pueden clasificarse según la simetría que tengan. Las simetrías de los policubos (clases de conjugación de subgrupos del [[grupo octaedral]] aquiral) fueron enumeradas por primera vez por W. F. Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta el grupo de simetría completa del policubo con 48 elementos. Numerosas otras simetrías son posibles; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría de 8 lóbulos.<ref name=symmetry/>

== Propiedades de los pentacubos ==
Un total de 12 pentacubos son planos, y corresponden a los [[pentominó]]s. De los 17 restantes, 5 tienen simetría de espejo, y los otros 12 forman 6 pares quirales.

Los prismas que envuelven a los pentacubos tienen los tamaños siguientes: 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 y 2×2×2.<ref>Aarts, Ronald M. [http://mathworld.wolfram.com/Pentacube.html "Pentacube"]. From MathWorld.</ref>

Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la red cúbica, o 48, si se permite la reflexión. De los pentacubos, los de dos pisos (5-1-1 y la cruz) tienen simetría especular respecto a los tres ejes del espacio; y solo tienen tres orientaciones. Otros 10 poseen una simetría especular, con 12 orientaciones posibles. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.

== Octacubos y desarrollos de hipercubos ==
[[File:8-cell net.png|thumb|La cruz de Dalí]]

El [[teseracto]] ([[hipercubo]] de cuatro dimensiones) tiene ocho cubos como sus [[Faceta (geometría)|facetas]], y al igual que el cubo puede ser [[Desarrollo de un poliedro|desplegado]] en un [[hexominó]], el teseracto puede desplegarse en un octacubo. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de las caras de cubo formando una [[cruz latina]]: consta de cuatro cubos apilados uno encima del otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo cubo desde el cubo superior de la pila, para configurar una forma tridimensional de [[cruz de brazo doble|cruz doble]]. [[Salvador Dalí]] usó esta forma en su pintura de 1954 '' [[Crucifixión (Dalí)|Crucifión]]'',<ref>{{citation|title=Dali's dimensions|first=Martin|last=Kemp|journal=[[Nature]]|volume=391|issue=27|date=1 de enero de 1998|doi=10.1038/34063|bibcode=1998Natur.391...27K}}</ref> y se describe en la historia corta de [[Robert A. Heinlein]] de 1940 ''"[[And He Built a Crooked House]]" (Y construyó una Casa Torcida)''.<ref>{{citation|title=Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction|first=David|last=Fowler|journal=World Literature Today|volume=84|issue=3|year=2010|pages=48–52|jstor=27871086|quote="And He Built a Crooked House", de Robert Heinlein, publicado en 1940, y "The No-Sided Professor", de Martin Gardner, publicado en 1946, se encuentran entre los primeros relatos de ciencia ficción en presentar a los lectores la banda de Moebius, la botella de Klein y El hipercubo (teseracto).}}</ref> En honor a Dalí, este octacubo ha sido llamado la "cruz de Dalí".<ref name="hut">{{citation|first1=Giovanna|last1=Diaz|first2=Joseph|last2=O'Rourke|author2-link=Joseph O'Rourke (professor)|title=Hypercube unfoldings that tile <math>\mathbb{R}^3</math> and <math>\mathbb{R}^2</math>|arxiv=1512.02086|bibcode=2015arXiv151202086D}}.</ref><ref name="pucc">{{citation|contribution=Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion|first1=Stefan|last1=Langerman|author1-link=Stefan Langerman|first2=Andrew|last2=Winslow|title=19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016)|year=2016|contribution-url=http://andrewwinslow.com/papers/polyunfold-jcdcggg16.pdf}}.</ref> Puede [[Panal (geometría)|tile space]] .<ref name="hut"/>

En términos más generales (respondiendo a una pregunta planteada por [[Martin Gardner]] en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son desarrollos del teseracto.<ref name="hut"/><ref>{{citation
 | last = Turney | first = Peter
 | issue = 1
 | journal = Journal of Recreational Mathematics
 | mr = 765344
 | pages = 1–16
 | title = Unfolding the tesseract
 | volume = 17
 | year = 1984}}.</ref>

== Conectividad límite ==
[[File:Pentacubo.png|mini|200px|left|Pentacubo con un contorno que incluye una arista (en rojo) que pertenece a cuatro caras (dos del cubo superior de la izquierda, y otras dos del de la derecha)]]

Aunque se requiere que los cubos de un policubo estén conectados de cuadrado a cuadrado, no se requiere que todos los cuadrados de su límite estén conectados de arista en arista.

Por ejemplo, el policubo de 26 elementos formando una cuadrícula de cubos de 3 × 3 × 3 de la que se elimina el cubo central, es un policubo válido, en el que el límite del vacío interior no está conectado al límite exterior. Tampoco se requiere que el límite de un policubo forme una [[variedad (matemáticas)|variedad]]. Otro caso es el de uno de los pentacubos con dos cubos que comparten una arista, que pertenece a cuatro caras (dos de cada uno de los dos cubos), y que a su vez forma parte del contorno del policubo.

Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran de cuadrado a cuadrado, entonces los cuadrados de límite del policubo también están necesariamente conectados por caminos de cuadrados que se juntan arista a arista.<ref>{{citation
 | last1 = Bagchi | first1 = Amitabha
 | last2 = Bhargava | first2 = Ankur
 | last3 = Chaudhary | first3 = Amitabh
 | last4 = Eppstein | first4 = David | author4-link = David Eppstein
 | last5 = Scheideler | first5 = Christian
 | doi = 10.1007/s00224-006-1349-0
 | issue = 6
 | journal = Theory of Computing Systems
 | mr = 2279081
 | pages = 903–928
 | title = The effect of faults on network expansion
 | volume = 39
 | year = 2006| arxiv = cs/0404029}}. Ver en particular el Lema 3.9, p.&nbsp;924, que establece una generalización de esta propiedad de conectividad límite a policubos de dimensiones superiores.</ref> Es decir, en este caso el límite forma un [[poliominoide]].

{{no resuelto|matemática|¿Puede cada policubo con un límite conectado ser [[Desarrollo de un poliedro|desplegado]] en un poliominó? Si es así, ¿se puede desplegar cada policubo en un poliominó que tesele el plano?}}
Cada {{mvar|k}}-cubo con {{math|''k'' < 7}}, así como la cruz Dalí (con {{math|1=''k'' = 8}}) puede ser [[Desarrollo de un poliedro|desarrollado]] en un poliominó que tesela el plano.
Es un [[problema abierto]] si cada policubo con un límite conectado se puede desplegar en un poliominó, o si esto siempre se puede hacer con la condición adicional de que el poliominó tesele el plano.<ref name="pucc"/>

== Grafo dual ==
La estructura de un policubo se puede visualizar mediante un "grafo dual" que tiene un vértice para cada cubo y una arista para cada dos cubos que comparten un cuadrado.<ref>{{citation
 | last1 = Barequet | first1 = Ronnie
 | last2 = Barequet | first2 = Gill
 | last3 = Rote | first3 = Günter
 | doi = 10.1007/s00493-010-2448-8
 | issue = 3
 | journal = Combinatorica
 | mr = 2728490
 | pages = 257–275
 | title = Formulae and growth rates of high-dimensional polycubes
 | volume = 30
 | year = 2010}}.</ref> Este concepto es diferente de las nociones con nombres similares, como el [[poliedro conjugado]] o el [[grafo dual]] de un grafo de una superficie embebida.

Los grafos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de los policubos, como aquellos cuyo gráfico dual es un árbol.<ref>{{citation
 | last1 = Aloupis | first1 = Greg
 | last2 = Bose | first2 = Prosenjit K. | author2-link = Jit Bose
 | last3 = Collette | first3 = Sébastien
 | last4 = Demaine | first4 = Erik D. | author4-link = Erik Demaine
 | last5 = Demaine | first5 = Martin L. | author5-link = Martin Demaine
 | last6 = Douïeb | first6 = Karim
 | last7 = Dujmović | first7 = Vida
 | last8 = Iacono | first8 = John | author8-link = John Iacono
 | last9 = Langerman | first9 = Stefan | author9-link = Stefan Langerman
 | last10 = Morin | first10 = Pat | author10-link = Pat Morin
 | contribution = Common unfoldings of polyominoes and polycubes
 | doi = 10.1007/978-3-642-24983-9_5
 | mr = 2927309
 | pages = 44–54
 | publisher = Springer, Heidelberg
 | series = Lecture Notes in Comput. Sci.
 | title = Computational geometry, graphs and applications
 | volume = 7033
 | year = 2011| url = http://cg.scs.carleton.ca/%7Evida/pubs/papers/Cubigami.pdf
 }}.</ref>

== Véase también ==
* [[Empacado de trípodes]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.gamepuzzles.com/polycub4.htm#HX Un hexacubo de madera real construido por Kadon]
* [http://userpages.monmouth.com/~colonel/csym/index.html Polycube Symmetries] {{Wayback|url=http://userpages.monmouth.com/~colonel/csym/index.html |date=20210128150936 }}
* [https://github.com/mlepage/polycube-solver Polycube solver] Programa (con código fuente Lua) para llenar cajas con policubos usando [[ Algorithm X]].

{{Poliformas}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Poliformas]]
[[Categoría:Geometría discreta]]