Ver el código de «Poliedro de Goldberg»

{|class=wikitable align=right
|+ Poliedros icosaédricos de Goldberg con pentágonos en rojo
|- align=center
|[[File:Conway polyhedron Dk5k6st.png|180px]]<br />{{math|1=GP(1,4)= {5+,3}<sub>1,4</sub>}}
|[[File:Conway_polyhedron_dadkt5daD.png|180px]]<br />{{math|1=GP(4,4)= {5+,3}<sub>4,4</sub>}}
|- align=center
|[[File:Goldberg_polyhedron_7_0.png|180px]]<br />{{math|1=GP(7,0)= {5+,3}<sub>7,0</sub>}}
|[[File:Goldberg_polyhedron_5_3.png|180px]]<br />{{math|1=GP(3,5)= {5+,3}<sub>3,5</sub>}}
|- align=center
|colspan=2|[[File:Goldberg_10_0_equilateral-spherical.png|360px]]<br />{{math|1=GP(10,0)= {5+,3}<sub>10,0</sub>}}<br />Equilátero y esférico
|}

En [[matemáticas]], y más específicamente en [[combinatoria poliédrica]], un '''poliedro de Goldberg''' es un [[politopo convexo]] cuyas caras son [[hexágono]]s y [[pentágono]]s. Fueron descritos por primera vez en 1937 por [[Michael Goldberg (matemático)|Michael Goldberg]] (1902-1990).<ref name=GNF>{{cita libro|título=Dissections: Plane and Fancy|autor=Greg N. Frederickson|editorial=Cambridge University Press|año=1997|url=https://books.google.es/books?id=pHPMpj2DedsC&pg=PA141#v=onepage&q&f=false|isbn=9780521525824|páginas= 141 de 310|fechaacceso= 27 de octubre de 2022}}</ref> Están definidos por tres propiedades: cada [[Cara (geometría)|cara]] es un pentágono o un hexágono, exactamente tres caras se encuentran en cada [[Vértice (geometría)|vértice]] y tienen [[simetría icosaédrica]]. No poseen necesariamente [[simetría especular]]; y por ejemplo {{math|GP(5,3)}} y {{math|GP(3,5)}} son [[quiralidad (matemáticas)|quirales]] uno respecto al otro. Un poliedro de Goldberg es un [[poliedro conjugado]] de una [[esfera geodésica]].

Una consecuencia de la [[característica de Euler]] es que un poliedro de Goldberg siempre tiene exactamente doce caras pentagonales. La simetría icosaédrica asegura que los pentágonos sean siempre [[Polígono regular|regulares]] y que siempre haya 12 de ellos. Si los vértices no están restringidos a una esfera, el poliedro se puede construir con caras planas equiláteras (pero no en general equiangulares).

Ejemplos simples de poliedros de Goldberg incluyen el [[dodecaedro]] y el [[icosaedro truncado]]. Se pueden describir otras formas realizando el movimiento del [[Caballo (ajedrez)|caballo]] de [[ajedrez]] de un pentágono al siguiente: primero se deben dar {{mvar|m}} en una dirección; luego se debe girar 60° a la izquierda; y finalmente de deben dar {{mvar|n}} pasos. Tal poliedro se denota {{math|GP(''m'',''n'').}} Un dodecaedro es {{math|GP(1,0)}} y un icosaedro truncado es {{math|GP(1,1).}}

Se puede aplicar una técnica similar para construir poliedros con [[simetría tetraédrica]] y [[simetría octaédrica]]. Estos poliedros tendrán triángulos o cuadrados en lugar de pentágonos. Estas variaciones tienen subíndices de números romanos que indican el número de lados en las caras que no son hexagonales: {{math|GP<sub>III</sub>(''n'',''m''),}} {{math|GP<sub>IV</sub>(''n'',''m''),}} y {{math|GP<sub>V</sub>(''n'',''m'').}}{{contenido|izquierda}}{{clear|right}}

==Elementos==
El número de vértices, aristas y caras de ''GP''(''m'',''n'') se puede calcular a partir de ''m'' y ''n'', con ''T'' &nbsp;=&nbsp;''m''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''mn''&nbsp;+&nbsp;''n''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;(''m''&nbsp;+&nbsp;''n'')<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''mn'', dependiendo de uno de los tres sistemas de simetría.<ref>Clinton’s Equal Central Angle Conjecture, JOSEPH D. CLINTON</ref>
El número de caras no hexagonales se puede determinar utilizando la [[característica de Euler]], como se demuestra en el artículo correspondiente.

{|class="wikitable"
|- align=center
! [[Grupo poliédrico|Simetría]]
! [[Simetría icosaédrica|Icosaédrica]]
! [[Simetría octaédrica|Octaédrica]]
! [[Simetría tetraédrica|Tetraédrica]]
|- align=center
!Base
|[[Dodecaedro regular|Dodecaedro]]<br />GP<sub>V</sub>(1,0)= {5+,3}<sub>1,0</sub>||[[Cubo]]<br />GP<sub>IV</sub>(1,0)= {4+,3}<sub>1,0</sub>||[[Tetraedro]]<br />GP<sub>III</sub>(1,0)= {3+,3}<sub>1,0</sub>
|- align=center
!Imagen
|[[File:Dodecahedron.svg|Dodecaedro|100px]] 
|[[File:Hexahedron.svg|Cubo|100px]] 
|[[File:Tetrahedron.svg|Tetraedro|100px]]
|- align=center
!Símbolo
|GP<sub>V</sub>(''m'',''n'')= {5+,3}<sub>''m'',''n''</sub>
|GP<sub>IV</sub>(''m'',''n'')= {4+,3}<sub>''m'',''n''</sub>
|GP<sub>III</sub>(''m'',''n'')= {3+,3}<sub>''m'',''n''</sub>
|- align=center
! [[Vértice (geometría)|Vértices]]
|<math>20T</math> 
|<math>8T</math> 
|<math>4T</math>
|- align=center
! [[Arista (geometría)|Aristas]]
|<math>30T</math> 
|<math>12T</math> 
|<math>6T</math>
|- align=center
! [[Cara (geometría)|Caras]]
|<math>10T+2</math> 
|<math>4T+2</math> 
|<math>2T+2</math> 
|- align=center
!Caras por tipo
|12 {5} y 10(''T''&nbsp;−&nbsp;1) {6}
|6 {4} y 4(''T''&nbsp;−&nbsp;1) {6}
|4 {3} y 2(''T''&nbsp;−&nbsp;1) {6}
|}

==Construcción==
La mayoría de los poliedros de Goldberg se pueden construir utilizando la [[notación de poliedros de Conway]] a partir de semillas de (T)etraedro, (C)ubo y (D)odecaedro. El operador [[Chaflán (geometría)|achaflanado]], ''c'', reemplaza todas las aristas por hexágonos, transformando ''GP''(''m'',''n'') a ''GP''(2''m'',2 ''n''), con un multiplicador ''T'' de&nbsp;4. El operador ''kis truncado'', ''y''&nbsp;=&nbsp;''tk'', genera ''GP''(3,0), transformando ''GP''(''m'', ''n'') a ''GP''(3''m'',3''n''), con un multiplicador ''T'' de&nbsp;9.

Para formas de clase II, el operador ''dual kis'', ''z''&nbsp;=&nbsp;''dk'', transforma ''GP''(''a'',0) en ''GP''(''a'',''a''), con un multiplicador ''T'' de 3. Para formas de clase III, el operador ''girado'', ''w'', genera ''GP''(2,1), con un multiplicador ''T'' de 7. Un generador de girado en sentido horario y antihorario, ''w''{{overline|''w''}}&nbsp;=&nbsp;''wrw'' genera ''GP''(7,0 ) en la clase I. En general, un girado puede transformar un GP(''a'',''b'') en GP(''a''&nbsp;+&nbsp;3''b'',2''ab'') para ''a''&nbsp;>&nbsp;''b'' y la misma dirección quiral. Si se invierten las direcciones quirales, GP(''a'',''b'') se convierte en GP(2''a''&nbsp;+&nbsp;3''b'',''a''&nbsp;−&nbsp;2''b'') si ''a''&nbsp;≥&nbsp;2''b'', y GP(3''a''&nbsp;+&nbsp;''b'',2''b''&nbsp;−&nbsp;''a'') si ''a''&nbsp;<&nbsp;2''b''.

== Ejemplos==
{|class=wikitable
|+ Poliedros de clase I
|-  valign=top
! Frecuencia||(1,0)||(2,0)||(3,0)||(4,0)||(5,0)||(6,0)||(7,0)||(8,0)||(''m'',0)
|-
!''T''||1||4||9||16||25||36||49||64||''m''<sup>2</sup>
|- align=center
!Icosaédrico (Goldberg)
||[[File:Dodecahedron.svg|100px]]<br />[[Dodecaedro regular]]
||[[File:Truncated rhombic triacontahedron.png|100px]]<br />[[Dodecaedro achaflanado]]
|[[File:Conway_polyhedron_Dk6k5tI.png|100px]]
|[[File:Conway polyhedron dk6k5at5daD.png|100px]]
|[[File:Goldberg_polyhedron_5_0.png|100px]]
|[[File:Conway_polyhedron_tkt5daD.png|100px]]
|[[File:Goldberg polyhedron 7 0.png|100px]]
|[[File:Conway polyhedron dk6k5adk6k5at5daD.png|100px]]
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Icosaédrico|más]]
|- align=center
!Octaédrico
||[[File:Hexahedron.svg|100px]]<br />[[Cubo]]
||[[File:Truncated rhombic dodecahedron2.png|100px]]<br />[[Cubo achaflanado]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 03 00.svg|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 04 00.svg|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 05 00.svg|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 06 00.svg|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 07 00.svg|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 08 00.svg|100px]]
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Octaédrico|más]]
|- align=center
!Tetraédrico
|[[File:Tetrahedron.svg|100px]]<br />[[Tetraedro]]
||[[File:Alternate truncated cube.png|100px]]<br />[[Tetraedro achaflanado]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 03 00.svg|100px]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 04 00.svg|100px]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 05 00.svg|100px]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 06 00.svg|100px]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 07 00.svg|100px]]
|[[File:Tetrahedral Goldberg polyhedron 08 00.svg|100px]]
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Tetraédrico|más]]
|}

{|class=wikitable
|+ Poliedros de clase II
|-  valign=top
! Frecuencia||(1,1)||(2,2)||(3,3)||(4,4)||(5,5)||(6,6)||(7,7)||(8,8)||(''m'',''m'')
|- valign=top
!''T''||3||12||27||48||75||108||147||192||3''m''<sup>2</sup>
|- align=center
!Icosaédrico (Goldberg)
||[[File:Truncated icosahedron.png|100px]]<br />[[Icosaedro truncado]]
|[[File:Conway_polyhedron_dkt5daD.png|100px]]
|[[File:Conway polyhedron dkdktI.png|100px]]
|[[File:Conway polyhedron dadkt5daD.png|100px]]
|[[File:Conway du5zI.png|100px]]
|[[File:Conway cyzD.png|100px]]
|[[File:Conway_wrwdkD.png|100px]]
|[[File:Conway_cccdkD.png|100px]]
||||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Icosaédrico|más]]
|- align=center
!Octaédrico
|[[File:Truncated octahedron.png|100px]]<br />[[Octaedro truncado]]
|[[File:Conway_polyhedron_dkt4daC.png|100px]]
|[[File:Conway_polyhedron_tktO.png|100px]]
|[[File:Conway_polyhedron_dk6k4adk6k4adkC.png|100px]]
|[[File:Octahedral goldberg polyhedron 05 05.svg|100px]]
|
|
|
||||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Octaédrico|más]]
|- align=center
!Tetraédrico
|[[File:Uniform_polyhedron-33-t12.png|100px]]<br />[[Tetraedro truncado]]
|
|[[File:Conway_polyhedron_tktT.png|100px]]
|
|
|
|
|
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Tetraédrico|más]]
|}

{|class=wikitable
|+ Poliedros de clase III
|-  valign=top
! Frecuencia||(1,2)||(1,3)||(2,3)||(1,4)||(2,4)||(3,4)||(5,1)||(''m'',''n'')
|-
!''T''||7||13||19||21||28||37||31||''m''<sup>2</sup>+''mn''+''n''<sup>2</sup>
|- align=center
!Icosaédrico (Goldberg)
|[[File:Conway polyhedron Dk5sI.png|100px]]
|[[File:Goldberg polyhedron 3 1.png|100px]]
|[[File:Goldberg_polyhedron_3_2.png|100px]]
|[[File:Conway_polyhedron_Dk5k6st.png|100px]]
|[[File:Conway_polyhedron_dk6k5adk5sD.png|100px]]
|[[File:Goldberg_polyhedron_4_3.png|100px]]
|[[File:Goldberg_polyhedron_5_1.png|100px]]
||[[ List of geodesic polyhedra and Goldberg polyhedra#Icosaédrico|más]]
|- align=center
!Octaédrico
|[[File:Conway_polyhedron_wC.png|100px]]
|
|
|
|
|
|
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Octaédrico|más]]
|- align=center
!Tetraédrico
|[[File:Conway_polyhedron_wT.png|100px]]
|
|
|
|
|
|
||[[Anexo:Poliedros geodésicos y de Goldberg#Tetraédrico|más]]
|}

==Véase también==
*[[Cápside]]
*[[Esfera geodésica]]
*[[Fullereno]]
*[[Notación de poliedros de Conway]]
*[[Construcción de Goldberg-Coxeter]]

==Referencias==
{{reflist}}

==Bibliografía==
*{{cite journal|title=A class of multi-symmetric polyhedra|first=Michael|last=Goldberg|journal= [[ Tohoku Mathematical Journal]]|year=1937|volume=43|pages=104–108|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}
* Joseph D. Clinton, [http://www.domerama.com/wp-content/uploads/2012/08/ClintonEqualEdge.pdf ''Clinton’s Equal Central Angle Conjecture'']
*{{cite book|first=George|last=Hart|authorlink= George W. Hart|chapter=Goldberg Polyhedra|title=Shaping Space|edition= 2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|editor-link= Marjorie Senechal|pages=125–138|publisher=Springer|year=2012|doi=10.1007/978-0-387-92714-5_9|isbn=978-0-387-92713-8 }} [https://books.google.com/books?id=kZtCAAAAQBAJ&lpg=PP1&pg=PA127]
*{{cite web|title=Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra|first=George|last=Hart|authorlink= George W. Hart|date=2013-06-18|url=https://www.simonsfoundation.org/multimedia/mathematical-impressions-goldberg-polyhedra/|publisher= Simons Science News }}
* {{Cite journal|last1=Schein|first1=S.|last2=Gayed|first2=J. M.|date=2014-02-25|title=Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|language=en|volume=111|issue=8|pages=2920–2925|doi=10.1073/pnas.1310939111|issn=0027-8424|pmc=3939887|pmid=24516137|bibcode=2014PNAS..111.2920S}}

==Enlaces externos==
* [http://dmccooey.com/polyhedra/DualGeodesicIcosahedra.html Icosaedro geodésico dual]
* [https://www.sciencenews.org/article/goldberg-variations-new-shapes-molecular-cages Variaciones de Goldberg: Nuevas formas para jaulas moleculares] Los hexágonos planos y los pentágonos se unen en un nuevo giro sobre el viejo poliedro, por Dana Mackenzie , 14 de febrero de 2014

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[[Categoría:Poliedros de Goldberg| ]]