Ver el código de «Polinomios para sumas de potencias de progresiones aritméticas»

Son [[polinomios]] en [[Función (matemática)|función]] de una [[Variable (matemática)|variable]] que, cuando la variable coincide con el número de sumandos, calculan la suma de [[Potenciación|potencias]] con bases en [[progresión aritmética]] y exponente igual al número anterior a su grado. El problema es por tanto encontrar polinomios tales que: 
: <math>S_n^p(h,d)=\sum_{k=0}^{n-1}(h+kd)^p = h^p + (h+d)^p + \cdots + (h+(n-1)d)^p,</math>

con variable <math>n</math> y parámetros <math>p,h,d</math> del plinomio <math>S_n^p(h,d)</math>; <math>\quad n</math> y <math>p</math> enteros no negativos, <math>h</math> primer término de una [[progresión aritmética]] y <math>d\ne 0</math> diferencia de la misma progresión, siendo <math>h</math> y <math>d</math> cualquier [[número real]] o [[Número complejo|complejo]]

<math>S_n^p(1,1)=\sum_{k=0}^{n-1}(1+k)^p= \sum_{k=1}^{n}k^p=1^p+2^p+\dots+n^p ~ </math> son los polinomios identificados por la [[fórmula de Faulhaber]] presentada póstumamente por [[Jacob Bernoulli]] en 1713;<ref>{{Cita web |idioma=la |apellido=Jacob Bernoulli |título=Ars Conjectandi|url=https://archive.org/details/bub_gb_kz9nvk99EWoC/page/n139/mode/2up|sitioweb=Internet Archive|año=1713}}</ref> 

<math>S_n^p(0,1)=\sum_{k=0}^{n-1}k^p=0^p+1^p+\dots+(n-1)^p ~</math> son los polinomios diferenciándose de los anteriores sólo en el signo de un monomio de grado ''p''<ref group="lower-alpha">Esto depende del hecho de que<math>\sum_{k=0}^{n-1}k^p=\sum_{k=1}^{n}k^p-n^p</math>, que, por <math> p \ge 0</math>, transforma <math>\frac{n^p}{2}</math> en <math>-\frac{n^p}{2}</math>.</ref>'';'' 

<math>S_n^p(1,2)=\sum_{k=0}^{n-1}(1+2k)^p=1^p+3^p+\dots+(2n-1)^p ~</math> son los polinomios por sumas de potencias de números impares sucesivos.

== Método con matrices ==
Para cualquier <math>m</math> entero positivo, el caso general se resuelve mediante la siguiente fórmula: 
:<math>\quad\vec{S_n}(h,d)=T(h,d)A^{-1}\vec{N_n}\quad,</math> donde

:<math> [\vec{S_n}(h,d)]_{r}=S_n^{r-1}(h,d),\quad [\vec{N_n}]_r=n^{r},</math>
:<math>[T(h,d)]_{r,c}=\begin{cases}0, &\text{si } c>r,\\
\binom{r-1}{c-1}h^{r-c}d^{c-1}&\text{si } c\leq r.\end{cases}, \quad
[A]_{r,c}=\begin{cases} 0, &\text{si }c>r,\\
\binom{r}{c-1}, &\text{si }c\leq r,\end{cases}, \quad</math>
con <math>\quad 1\le r\le m \quad</math> y <math>\quad 1\le c\le m \quad</math> </B>
donde <math>r</math> (fila), <math>c</math> (columna) y <math>m</math> (orden de la matriz) son enteros.<ref>{{Cita web |idioma=en |apellido=Giorgio Pietrocola |título=Binomial matrices for polynomials calculating sums of powers with bases in arithmetic progression |url=https://www.academia.edu/125139092/Binomial_matrices_for_polynomials_calculating_sums_of_powers_with_bases_in_arithmetic_progression |sitioweb=[[Academia.edu]] |año=2019}}</ref>
==== Ejemplo ====
La fórmula en el caso particular  <math>m=5~ (p=0,1,...,m-1)</math> se convierte en :  

: <math>
\begin{pmatrix} 
S_n^0({h,d})\\
S_n^1({h,d})\\
S_n^2({h,d})\\
S_n^3({h,d})\\
S_n^4({h,d})
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1& 0& 0& 0&0\\
h& d& 0& 0&0\\
h^2& 2hd& d^2& 0&0\\
h^3& 3h^2d& 3hd^2& d^3&0\\
h^4& 4h^3d& 6h^2d^2& 4hd^3& d^4\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
1& 0& 0& 0&0\\
1& 2& 0& 0&0\\
1& 3& 3& 0&0\\
1& 4& 6& 4&0\\
1& 5& 10& 10&5\\
\end{pmatrix}^{-1} 
\begin{pmatrix} 
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
n^5
\end{pmatrix}</math>

Y en el caso especial <math>m=5,~ h=1,~ d=2 </math>, calcula la suma de los <math>n</math> primeros números impares consecutivos

Calculando la [[Matriz (matemática)|matriz]] T(h,d), cuyos elementos siguen el [[teorema del binomio]] con los valores asignados, es decir, T(1,2), y hallando la matriz inversa de la [[Matriz triangular|matriz triangular inferior]] A obtenida a partir del [[triángulo de Pascal]] privado del último elemento de cada fila (matriz formada a partir del [[número de Bernoulli|números de Bernoulli]], mostrada en rojo), tenemos :
:<math>
T(1,2)=\begin{pmatrix} 
1& 0& 0& 0& 0\\
1& 2& 0& 0& 0 \\
1& 4& 4& 0& 0\\
1& 6& 12& 8& 0 \\
1& 8& 24& 32& 16 \\
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1}=\begin{pmatrix}
\color{red}1 \color{black}&0 &0 &0 &0\\
\color{red}-\frac{1}{2}\color{black}&\frac{1}{2}&0 &0 &0\\
\color{red}\frac{1}{6}\color{black}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3} &0 &0\\
\color{red}0\color{black}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{4} &0\\
\color{red}-\frac{1}{30}\color{black}&0&\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{5}
\end{pmatrix}

</math>

multiplicando las filas por las columnas de las dos matrices se obtiene

: <math>\begin{pmatrix}
S_n^0({1,2})\\
S_n^1({1,2})\\
S_n^2({1,2})\\
S_n^3({1,2})\\
S_n^4({1,2})
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0\\
0&1&0 &0 &0 \\
-\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3} &0 &0 \\
0&-1&0&2 &0 \\
\frac{7}{15}&0&-\frac{8}{3}&0&\frac{16}{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
n\\
n^2\\
n^3\\
n^4\\
n^5\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
n\\
n^2\\
-\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}n^3\\
-n^2+2n^4\\
\frac{7}{15}n-\frac{8}{3}n^3+\frac{16}{5}n^5\\
\end{pmatrix}.</math>
y por tanto:

<math>S_n^0(1,2)=n,
\quad S_n^1(1,2)=n^2,
\quad S_n^2(1,2)=-\frac{1}{3}n+\frac{4}{3}n^3,
\quad S_n^3(1,2)=-n^2+2n^4,
\quad S_n^4(1,2)=\frac{7}{15}n-\frac{8}{3}n^3+\frac{16}{5}n^5.
</math>.
Por último, si interesan las sumas de los tres primeros sumandos

<math> S_3^0(1,2)=3, \quad  S_3^1(1,2)=9, \quad S_3^2(1,2)=35, \quad S_3^3(1,2)=153, \quad S_3^4(1,2)=707=1^4+3^4+5^4. </math>

== Método con polinomios de Bernoulli ==
La siguiente fórmula resuelve el problema de forma implícita utilizando [[polinomios de Bernoulli]]:
<math>S_n^p(h,d)=\frac{d^p}{p+1}(B_{p+1}(n+\frac{h}{d})-B_{p+1}(\frac{h}{d}))~~</math> <ref>{{cita web|idioma=en|autor1= András Bazsó|autor2=István Mező|título=On the coefficients of power sums of arithmetic progressions| url= https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.01.019| periódico=Journal of Number Theory| volume= 153| pp= 117-123|date=2015|}}</ref>

En particular:
:<math>S_n^p(1,1)=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)}{p+1}</math>
:<math>S_n^p(0,1)=\frac{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(0)}{p+1}</math>
:<math>S_n^p(1,2)=2^p\frac{B_{p+1}(n+\frac{1}{2})-B_{p+1}(\frac{1}{2})}{p+1}</math>

== Notas ==
<references group="lower-alpha" />

== Referencias ==
{{listaref}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Diferencia finita]]
[[Categoría:Polinomios]]