Ver el código de «Politopo»

[[Archivo:Dice analogy- 1 to 5 dimensions.svg|thumb|280px|Un [[segmento]] (1 [[dimensión]]) puede generar un [[polígono]] (2 dimensiones). Mediante nuevas transformaciones se pueden obtener un [[poliedro]] (3 dimensiones), un [[polícoro]] (4 dimensiones) o diversos '''politopo'''s (n dimensiones).]]
En [[geometría]], '''politopo''' (del alemán ''polytop'', y este de ''poly''- 'poli-1' y el gr. τόπος ''tópos'' «lugar») significa, en primer lugar, la generalización a cualquier [[dimensión]] del [[polígono]] bidimensional, el [[poliedro]] tridimensional o el [[polícoro]] tetradimensional. Además, este término es utilizado en varios conceptos matemáticos relacionados. Su uso es análogo al de ''cuadrado'', que puede usarse para referirse a una [[área|región del plano]] de forma cuadrada o solo para los cuatro lados (línea poligonal cerrada), o aún para una mera lista de sus vértices y lados junto con alguna información acerca de la forma en que están conectados. 

El vocablo fue creado por [[Alicia Boole|Alicia Boole Stott]], hija del matemático y filósofo irlandés [[George Boole]].{{cr}}

Los [[sólido platónico|sólidos platónicos]], o politopos regulares de tres dimensiones, fueron objeto central de estudio de los matemáticos de la [[Grecia Antigua]] (principalmente, en los ''[[Elementos de Euclides]]''), probablemente debido a sus cualidades estéticas intrínsecas. En tiempos modernos, los politopos y sus conceptos relacionados tienen importante aplicación en [[gráficos por computadora]], [[Optimización (matemática)|optimización]] y muchos otros campos.

== Politopos convexos ==

Una clase especial de politopos son los '''politopos convexos''', el [[casco convexo]] o [[envoltura convexa]] de un [[conjunto finito]] de puntos. Los politopos convexos también pueden representarse como la [[intersección de conjuntos|intersección]] de [[hiperplano|hemiespacios]]. Esta intersección puede escribirse como la desigualdad [[matriz (matemática)|matricial]] <math>Ax \le b</math>, donde ''A'' es una matriz de ''n'' por ''m'', con ''n'' el número de hemiespacios y ''m'' el número de dimensiones del politopo, y ''b'' un vector de ''n'' por 1 columna. Los coeficientes de cada fila de ''A'' y ''b'' se corresponden con los coeficientes de la [[desigualdad lineal]] que define al respectivo hemiespacio (véase [[hiperplano]] para una explicación más detallada). En consecuencia, cada fila de la matriz se corresponde con uno de los hiperplanos que delimitan el politopo.

Un politopo convexo ''n''-dimensional está delimitado por un número de [[faceta]]s (''n''-1)-dimensionales. Cada par de facetas se encuentra en una "cresta" de dimensión ''n''-2. Estas, a su vez, se encuentra en fronteras (''n''-3)-dimensionales, y así sucesivamente. Estos subpolitopos son llamados '''caras''', si bien el término puede también referirse específicamente al caso bidimiensional). Una cara de dimensión 0 es un '''vértice'''; una cara de dimensión 1 es una '''arista'''. Se llama [[celda (matemática)|celda]] a las caras tridimensionales.

Una cuveta consiste de los puntos de un politopo que también satisface la forma de igualdad de una representación matricial donde solo está presente una fila en ''A''. De modo similar, una cresta satisface la forma de igualdad de la representación matricial cuando en ''A'' hay dos filas presentes. En términos generales, una cara (''n-j'')-dimensional satisface la relación de igualdad con ''j'' filas en ''A''. Estas filas forman la '''base''' de la cara. En términos geométricos, esto significa que la cara es el conjunto de puntos del politopo que yacen en la intersección de ''j'' de los hiperplanos que limitan el politopo. Las caras de un politopo convexo forman una [[Reticulado (orden)|retícula]] llamada su '''retícula de cara''', donde la relación de subconjuntos está definida entre los hiperplanos de la base. El politopo en sí es considerado una "cara" en la retícula de caras, y es el máximo de la retícula.

Nótese que esta terminología no es aún totalmente estándar. El término ''cara'' es a veces usado para referirse solo a subpolitopos bidimensionales, y otras veces se lo usa en lugar de ''faceta''. Se suele emplear también ''arista'' para referirse a una cresta.

== Descomposición simplicial ==

Dada una envoltura convexa en espacio ''r''-dimensional (pero no en cualquier plano ''r''-1) podemos tomar subconjuntos [[Dependencia e independencia lineal|linealmente independientes]] de los vértices y definir con ellos [[simplex|r-simplices]]. De hecho, pueden escogerse varios simplices en forma tal que su unión como conjuntos resulte en el casco original, y la intersección de dos cualesquiera sea o bien vacía o bien un ''s''-simplex para algún ''s'' < ''r''.

Por ejemplo, en el plano un cuadrado (envoltura convexa de sus esquinas) es la unión de los dos triángulos (2-simplices), definidos por una diagonal 1-simplex que es su intersección.

En general, la definición (atribuida a [[Pavel Sergueievich Alexandrov]]) es que un '''''r''-politopo''' se define como un conjunto con una ''r''-'''descomposición simplicia''' con algunas propiedades adicionales. Si un conjunto tienen una ''r''-descomposición simplicia, esto significa que es la unión de ''s''-simplices para valores de ''s'', con ''s'' menor o igual que ''r'', cerrado bajo la intersección, y tal que la única ocasión en que un simplex está contenido en otro es una cara.

¿Qué podemos construir así? Comencemos con el 1-simplex, o segmento de una línea. Tendremos, pues, el segmento y cualquier cosa que puede obtenerse agregando segmentos a los extremos:

[[Archivo:Examples of polytopes as set of line segments.png|center]]

Si dos segmentos se encuentran en cada vértice (es decir, en todos los casos excepto el último de la ilustración anterior), se obtiene una ''curva topológica'' llamada '''curva poligonal'''. Estas pueden categorizarse como abiertas o cerradas, dependiendo de que los extremos se correspondan, y como simples o complejas, dependiendo de si se intersecan a sí mismas. Las curvas poligonales cerradas se llaman [[polígono]]s.

Los polígonos simples en el plano son [[Teorema de curvas de Jordan|curvas de Jordan]]: tienen un interior que es un ''disco topológico''. Así sucede con los 2-politopos (como puede verse en el tercer ejemplo de la ilustración), y es habitual tratarlos en forma intercambiable con sus límites, adoptando ambos el nombre de polígono.

El proceso puede repetirse. Uniendo polígonos por los lados (1-caras) se obtienen superficies poliédricas, llamadas [[poliedro]]s cuando son cerradas. Los poliedros simples son intercambiables con sus interiores, que son 3-politopos que pueden usarse para construir formas tetradimensionales (a veces llamadas ''polícoros''), y así sucesivamente.

Es posible hallar otras definiciones (equivalentes o no), habituales en la literatura matemática. Los politopos pueden ser vistos como alguna forma de [[teselación|teselaciones]] de la [[variedad (matemática)|variedad]] (''manifold'') de su superficie.

La teoría de [[politopo abstracto|politopos abstractos]] intenta separar los politopos del espacio que los contiene, considerando puramente sus propiedades combinatorias. Esto permite que la definición del término se extienda para abarcar objetos para los cuales es difícil definir claramente un ''espacio natural subyacente''.

== Usos ==
En [[Optimización (matemática)|optimización]], la [[programación lineal]] estudia los máximos y mínimos de funciones lineales restringidas por el límite de un politopo ''n''-dimensional.

==Véase también==
* [[Politopo abstracto]]
* [[Politopo regular]]
* [[Politopo E8]] o [[Politopo de Gosset]]
* [[Politopo discreto orientado]]
* [[Poliforma]]
* [[Polícoro]]
* [[Poliedro]]
* [[Polígono]]
* [[Grupo de Coxeter]]
* [[Símbolo de Schläfli]]
* [[Simplex]]

== Referencias ==
* [[Branko Grünbaum|Grünbaum, Branko]], ''Convex polytopes'', New York; London: Springer, 2003. ISBN 0-387-00424-6. Segunda edición preparada por Volker Kaibel, [[Victor Klee]], y Günter M. Ziegler.

<small>El texto de la primera versión de este artículo es una traducción de [[Polytope]] en [[:en:Main Page|Wikipedia en inglés]] (28-nov-2005).</small>

== Enlaces externos ==
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