Ver el código de «Politopo de cruce»

{{referencias|t=20110806|matemáticas}}
En [[geometría]], un '''politopo de cruce''' u '''ortoplex''', es un [[politopo regular]] [[convexo]] que existe en cualquier número de dimensiones. Los [[Vértice (Geometría)|vértices]] de un politopo de cruce consisten de todas las [[permutación|permutaciones]] de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un [[segmento]] de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el [[octaedro]] (uno de los cinco [[poliedro]]s conocidos como [[sólido platónico|sólidos platónicos]]. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

{| style="margin-left: auto; margin-right: auto"
|style="text-align: center;"|[[Archivo:square diamond (shape).png|120px|Politopo de cruce de 2 dimensiones]]
|width="50px"|
|style="text-align: center;"|[[Archivo:octahedron.jpg|120px|Politopo de cruce de 3 dimensiones]]
|width="50px"|
|style="text-align: center;"|[[Archivo:Cell16-4dpolytope.png|120px|Politopo de cruce de 4 dimensiones]]
|-
|style="text-align: center;"|2 dimensiones
|
|style="text-align: center;"|3 dimensiones
|
|style="text-align: center;"|4 dimensiones
|}

El politopo de cruce es el [[politopo dual|dual]] del [[politopo de medida]].

== Cuatro dimensiones ==
{{AP|Hexadecacoron}}
El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de '''hexadecacoron''' o '''16-cell''', uno de los seis [[polícoro]]s regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo [[Ludwig Schläfli]] a mediados del {{siglo|XIX||s}}.

== Dimensiones mayores ==

En ''n'' dimensiones con ''n'' > 4 existen sólo tres politopos regulares: el [[simplex]], el [[politopo de medida]], y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce ''n''-dimensional tiene 2''n'' vértices, y 2<sup>''n''</sup> facetas (componentes (''n''−1)-dimensionales) todos los cuales son ''n''−1-[[simplex|simplices]]. Las [[figura de vértice|figuras de vértice]] son todas politopos de cruce (''n''−1)dimensionales. El [[símbolo de Schläfli]] del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes ''k''-dimensionales (vértices, [[Arista (Geometría)|aristas]], [[Cara (Geometría)|caras]], …, facetas) de un politopo de cruce ''n''-dimensional está determinado por (ver [[coeficiente binomial]]):
:<math>2^{k+1}{n \choose {k+1}}</math>
Para los primeros ''n'' y ''k'' tendremos:

{| class="wikitable"
|+ 
Elementos de los Politopos de Cruce 
|- 
! [[politopo|n]]
!β<sub>n</sub><BR>k<sub>11</sub>
! Name(s)<BR>[[Grafo]]
!Grafo<BR>2n-gono
!Grafo<BR>2(n-1)-gono
![[Símbolo de Schläfli|Schläfli]]
! [[Vértice (geometría)|Vértices]]
! [[Arista (geometría)|Aristas]]
! [[Cara (geometría)|Caras]]
! [[3-cara]]s
! ''4''-caras
! ''5''-caras
! ''6''-caras
! ''7''-caras
! ''8''-caras
! ''9''-caras
|- 
| [[1-politopo|1]]
!β<sub>1</sub>
|[[Segmento]]<BR>1-ortoplex
|[[Imagen:Cross graph 1.svg|50px]]
|
|{}
|align=right| 2
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[Polígono (geometría)|2]]
!β<sub>2</sub><BR> &minus;1<sub>11</sub>
|[[Cuadrado]]<BR>2-ortoplex<BR>'''Bicruce'''
|[[Archivo:Cross graph 2.png|50px]]
|[[Archivo:2-orthoplex B1.svg|50px]]
|{4}<BR>{}+{}
|align=right| 4
|align=right| 4
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[Poliedro|3]]
!β<sub>3</sub><BR>0<sub>11</sub>
| [[Octaedro]]<BR>3-orthoplex<BR>'''Tricruce'''
|[[Archivo:3-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:3-orthoplex B2.svg|50px]]
|{3,4}<BR>{3<sup>0,1,1</sup>}<BR>{}+{}+{}
|align=right| 6
|align=right| 12
|align=right| 8
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[Polícoro|4]]
!β<sub>4</sub><BR>1<sub>11</sub>
|[[Hexadecacoron]]<BR>4-orthoplex<BR>'''Tetracruce'''
|[[Archivo:4-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:4-orthoplex B3.svg|50px]]
|{3,3,4}<BR>{3<sup>1,1,1</sup>}<BR>4{}
|align=right| 8
|align=right| 24
|align=right| 32
|align=right| 16
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[5-politopo|5]]
!β<sub>5</sub><BR>2<sub>11</sub>
|[[5-ortoplex]]<BR>'''Pentacruce'''
|[[Archivo:5-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:5-orthoplex B4.svg|50px]]
|{3<sup>3</sup>,4}<BR>{3<sup>2,1,1</sup>}<BR>5{}
|align=right| 10
|align=right| 40
|align=right| 80
|align=right| 80
|align=right| 32
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[6-politopo|6]]
!β<sub>6</sub><BR>3<sub>11</sub>
| [[6-ortoplex]]<BR>'''Hexacruce'''
|[[Archivo:6-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:6-orthoplex B5.svg|50px]]
|{3<sup>4</sup>,4}<BR>{3<sup>3,1,1</sup>}<BR>6{}
|align=right| 12
|align=right| 60
|align=right| 160
|align=right| 240
|align=right| 192
|align=right| 64
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[7-politopo|7]]
!β<sub>7</sub><BR>4<sub>11</sub>
|[[7-ortoplex]]<BR>'''Heptacruce'''
|[[Archivo:7-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:7-orthoplex B6.svg|50px]]
|{3<sup>5</sup>,4}<BR>{3<sup>4,1,1</sup>}<BR>7{}
|align=right| 14
|align=right| 84
|align=right| 280
|align=right| 560
|align=right| 672
|align=right| 448
|align=right| 128
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[8-politopo|8]]
!β<sub>8</sub><BR>5<sub>11</sub>
|[[8-ortoplex]]<BR>'''Octacruce'''
|[[Archivo:8-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:8-orthoplex B7.svg|50px]]
|{3<sup>6</sup>,4}<BR>{3<sup>5,1,1</sup>}<BR>8{}
|align=right| 16
|align=right| 112
|align=right| 448
|align=right| 1120
|align=right| 1792
|align=right| 1792
|align=right| 1024
|align=right| 256
| &nbsp;
| &nbsp;
|- 
| [[9-politopo|9]]
!β<sub>9</sub><BR>6<sub>11</sub>
|[[9-ortoplex]]<BR>'''Eneacruce'''
|[[Archivo:9-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:9-orthoplex B8.svg|50px]]
|{3<sup>7</sup>,4}<BR>{3<sup>6,1,1</sup>}<BR>9{}
|align=right| 18
|align=right| 144
|align=right| 672
|align=right| 2016
|align=right| 4032
|align=right| 5376
|align=right| 4608
|align=right| 2304
|align=right| 512
| &nbsp;
|- 
| [[10-politopo|10]]
! β<sub>10</sub><BR>7<sub>11</sub>
|[[10-ortoplex]]<BR>'''Decacruce'''
|[[Archivo:10-orthoplex.svg|50px]]
|[[Archivo:10-orthoplex B9.svg|50px]]
|{3<sup>8</sup>,4}<BR>{3<sup>7,1,1</sup>}<BR>10{}
|align=right|20
|align=right|180
|align=right|960
|align=right|3360
|align=right|8064
|align=right|13440
|align=right|15360
|align=right|11520
|align=right|5120
|align=right|1024
|- 
| colspan=17 style="text-align:center" |...
|- 
! '''n'''
! β<sub>n</sub><BR>''k''<sub>11</sub>
|''n''-ortoplex<BR>''n''-cruce
|
|
|{3<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2</sup>,4}<BR>{3<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;3,1,1</sup>}<BR>n{}
| colspan=11 style="text-align:center" | 2''n'' '''0-caras''', ... <math>2^{k+1}{n\choose k+1}</math> '''''k''-caras''' ..., 2<sup>''n''</sup> '''(n-1)-caras'''
|}

Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la [[Geometría del taxista|Distancia Manhattan]] ([[Espacios Lp|L<sup>1</sup> norm]]). La [[Conjetura de Kusner's]] afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.<ref>{{citation
 | last = Guy | first = Richard K.
 | issue = 3
 | journal = American Mathematical Monthly
 | pages = 196–200
 | title = An olla-podrida of open problems, often oddly posed
 | jstor = 2975549
 | volume = 90
 | year = 1983}}.</ref>


== Véase también ==
{{Portal|Matemática}}
{{Portal|Geometría}}
{{columns-list|3| 
* [[Geometría]]
* [[Geometría proyectiva (Matemáticas)]]
* [[Lista de politopos regulares]]
* [[politopo]]
* [[Plano proyectivo]]
* [[Proyección ortogonal]]
* [[Grafo]]
* [[Polígono de Petrie]]
}}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
*{{cite book | first = H. S. M. | last = Coxeter | authorlink = H. S. M. Coxeter | year = 1973 | title = [[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]] | edition = 3rd ed. | publisher  = Dover Publications | location   = New York | pages = [https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n139 121]–122 | isbn = 0-486-61480-8}} p.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

== Enlaces externos ==
{{commons category|Cross-polytope graphs}}
* {{mathworld | urlname = CrossPolytope | title = Cross polytope}}
* [http://www.geocities.com/shapirojon34/tesseract/TesseractApplet.html Polytope Viewer] (Click <polytopes...> to select cross polytope.)

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Politopos]]
[[Categoría:Geometría tetradimensional]]