Ver el código de «Primera estelación del rombododecaedro»

[[File:Three flattened octahedra compound.png|300px|thumb|Sólido de Escher. Esta imagen no representa la estelación, porque diferentes partes visibles de una única cara hexagonal de la estelación tienen diferentes colores. Sin embargo, la coloración es consistente con una representación del [[politopo compuesto]] de tres octaedros aplanados]]

En [[geometría]], la '''primera estelación del rombododecaedro''' es un [[poliedro]] que se interseca a sí mismo y tiene 12 caras, cada una de las cuales es un hexágono no convexo. Es un [[estelación]] del [[rombododecaedro]] y tiene la misma capa exterior y la misma apariencia visual que otras dos formas: el '''sólido de Escher''', con 48 caras triangulares, y un [[politopo compuesto]] de tres [[octaedro]]s aplanados con 24 caras triangulares superpuestas.

El sólido de Escher puede [[Teselado|teselar]] el espacio para formar el [[panal rombododecaédrico estrellado]].

==Estelación, sólido y compuesto==
[[File:first_rhombic_dodecahedron_stellation.stl|thumb|300px|Modelo [[STL]] de la primera estelación del rombododecaedro descompuesta en 12 pirámides y 4 semicubos]]

La primera estelación del rombododecaedro tiene 12 caras, cada una de las cuales es un hexágono no convexo.<ref name=grunbaum>{{cite book
|last= Grünbaum|first= Branko|authorlink= Branko Grünbaum
|editor1-last= Garfunkel|editor1-first= Sol
|editor2-last= Nath|editor2-first= Rishi
|contribution= Can every face of a polyhedron have many sides?
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|title= Geometry, games, graphs and education: the Joe Malkevitch Festschrift
|year= 2008}}</ref> Es una [[estelación]] del [[rombododecaedro]], lo que significa que cada una de sus caras se encuentra en el mismo plano que una de las caras [[rombo|rómbicas]] del rombododecaedro, conteniendo cada cara el rombo en el mismo plano, y que tiene las mismas simetrías que el rombododecaedro. Es la primera estelación, lo que significa que ningún otro poliedro que se interseca a sí mismo con los mismos planos de caras y las mismas simetrías tiene caras más pequeñas. Extender las caras hacia afuera aún más en los mismos planos conduce a dos estelaciones más, si se requiere que las caras sean [[polígono simple|polígonos simples]].<ref name=luke>{{cite journal
|last= Luke|first= Dorman
|doi= 10.2307/3609190
|journal= The Mathematical Gazette
|mr= 97015
|pages= 189–194
|title= Stellations of the rhombic dodecahedron
|volume= 41
|year= 1957}}</ref>

Para poliedros formados solo usando caras en los mismos 12 planos y con las mismas simetrías, pero permitiendo caras que no sean simples o disponer múltiples caras en un solo plano, surgen posibilidades adicionales.<ref name=luke/> En particular, al eliminar el rombo interior de cada cara hexagonal de la estelación quedan cuatro triángulos, y el sistema resultante de 48 triángulos forma un poliedro no convexo diferente sin autointersecciones que forma el límite de una forma sólida, a veces llamada sólido de Escher. Esta forma aparece en las obras de [[M. C. Escher]] ''[[Cascada (M. C. Escher)|Cascada]]'' y en un estudio para ''[[Estrellas (M. C. Escher)|Estrellas]]'' (aunque ''Estrellas'' presenta una forma diferente, el [[compuesto de tres octaedros]]).<ref name="hart">{{cite web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/escher.html|last=Hart|first=George W.|authorlink=George W. Hart|title=The Polyhedra of M.C. Escher|work=Virtual Polyhedra|year=1996}}</ref> Como la estelación y el sólido tienen la misma apariencia visual, no es posible determinar cuál de los dos pretendía representar Escher en ''Cascada''. En el estudio de ''Estrellas'', representa el poliedro en forma alámbrica e incluye aristas que forman parte de la forma del sólido de Escher pero que no forman parte de la estelación (donde estos segmentos están formados por cruces de caras en lugar de ser aristas). Sin embargo, una interpretación alternativa para la misma forma alámbrica es que representa una tercera forma con una apariencia similar, el [[politopo compuesto]] de tres [[Octaedro|octaedros]] aplanados con 24 caras triangulares superpuestas.<ref>{{cite journal
|last= Zefiro|first= Livio
|journal= Visual Mathematics
|title= The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid
|url= https://eudml.org/doc/256951
|volume= 47
|year= 2010}}</ref>

Las 48 caras triangulares del sólido son isósceles. Si el lado más largo de estos triángulos tiene una longitud <math>s</math>, entonces los otros dos miden <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}s</math>. El área de la superficie del sólido es <math>12\sqrt{2}s^2</math> y su volumen es <math>4s^3</math>.

==Vértices, aristas y caras==
Los vértices de la primera estelación del rombododecaedro incluyen los 12 vértices del [[cuboctaedro]], junto con ocho vértices adicionales (los vértices de grado 3 del rombododecaedro). El sólido de Escher tiene seis vértices adicionales, en los puntos centrales de las caras cuadradas del cuboctaedro (los vértices de grado 4 del rombododecaedro). En la primera estelación del rombododecaedro, estos seis puntos no son vértices, sino que son los puntos medios de pares de aristas que se cruzan en ángulos rectos en estos puntos.

La primera estelación del rombododecaedro tiene 12 caras hexagonales, 36 aristas y 20 vértices, lo que produce una [[característica de Euler]] de 20 &minus; 36 + 12 = &minus;4. En cambio, el sólido<ref name=grunbaum/> de Escher tiene 48 caras triangulares, 72 aristas y 26 vértices, lo que produce una [[característica de Euler]] de 26 &minus; 72 + 48 = 2.

==Teselación==
[[File:HC R1-1stellation.png|thumb|left|240px|Teselado del espacio con los sólidos de Escher]]
[[File:Disdyakis_dodecahedron_3color.png|200px|thumb|El sólido de Escher es equivalente topológicamente al [[hexaquisoctaedro]], un [[sólido de Catalan]], que puede verse como un rombododecaedro con pirámides rómbicas más cortas aumentadas en cada cara]]

El sólido de Escher puede [[Teselado|teselar]] el espacio para formar el [[panal rombododecaédrico estrellado]].<ref name=mihăilă>{{cite conference|first=Ioana|last=Mihăilă|contribution-url= http://t.archive.bridgesmathart.org/2005/bridges2005-329.pdf|contribution= Tessellations from group actions and the mystery of Escher’s solid|year=2005|title=Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science}}</ref> Seis sólidos coinciden en cada vértice. Este panal es [[Figura isoedral|celdas-transitiva]], [[figura isotoxal|isotoxal]] e [[figura isogonal|isogonal]].

El [[cubo de Yoshimoto]], un [[rompecabezas de disección]] entre un cubo y dos copias del sólido de Escher, está estrechamente relacionado con esta teselación.{{clear}}

==Referencias==
{{listaref}}

==Enlaces externos==
*{{mathworld|urlname= EschersSolid|title= First stellation of rhombic dodecahedron}}
* George Hart, [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-info.html Estelaciones]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Diagramas de estelación]]
[[Categoría:Poliedros que rellenan el espacio]]