Ver el código de «Producto exterior»

{{Imagen múltiple
   | left
   | footer    = Interpretación geométrica de elementos de grado ''n'' en un álgebra exterior real para {{nowrap|1=''n'' = 0}} (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de los ''n'' vectores se puede visualizar como cualquier forma ''n'' dimensional (por ejemplo, ''n''-[[Paralelepípedo|paralelotopo]] o ''n''-[[elipsoide]]); con magnitud ([[cuarta dimensión]]) y [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]] definido por el de su límite {{nowrap|(''n'' − 1)}} dimensional y en qué lado está el interior.<ref name="Sin-nombre-p2LT-1">{{cite book |author=R. Penrose| title=[[El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo]]| publisher= Vintage books| year=2007 | isbn=978-0-679-77631-4}}</ref><ref>{{cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne |publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/83 83]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
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   | caption1  = Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores
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   | caption2  = La orientación invertida corresponde cambiar el signo del producto exterior
  }}
En [[matemáticas]], el '''producto exterior''' de vectores (o '''''producto de cuña''''', por el símbolo <math>\wedge</math> utilizado para denotarlo) es una construcción algebraica utilizada en [[geometría]] para estudiar [[área]]s, [[volumen|volúmenes]] y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores <math>u</math> y&nbsp;<math>v</math>, denotado por <math>u \wedge v</math>, se llama [[bivector]] y pertenece a un espacio llamado ''cuadrado exterior'', un [[espacio vectorial]] que es distinto del espacio original de los vectores. La [[Magnitud (matemática)|magnitud]]<ref>Estrictamente hablando, la magnitud depende de alguna estructura adicional, es decir, de que los vectores estén en un [[espacio euclídeo]]. En general, no se asume que esta estructura sea necesaria, excepto cuando sea útil para desarrollar la intuición sobre el tema.</ref> de <math>u \wedge v</math> se puede interpretar como el área del paralelogramo con lados <math>u</math> y&nbsp;<math>v</math>, que en tres dimensiones también se puede calcular usando el [[producto vectorial]] de los dos vectores. De manera más general, todas las superficies planas paralelas con la misma [[Orientación (geometría)|orientación]] y área tienen el mismo bivector como medida de su [[Orientación (espacio vectorial)|área orientada]]. Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es [[Anticonmutatividad|anticonmutativo]], lo que significa que <math>u \wedge v = -(v \wedge u)</math> para todos los vectores <math>u</math> y&nbsp;<math>v</math>, pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es [[asociatividad (álgebra)|asociativo]].

Cuando se considera de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina de [[hoja (geometría)|2-hojas]]. De manera más general, el producto exterior de cualquier número ''k'' de vectores se puede definir como una ''k''-hoja. Pertenece a un espacio conocido como la ''k''-ésima potencia exterior. La magnitud de la ''k''-hoja resultante es el volumen de la dimensión ''k'' de un [[Paralelepípedo|paralelotopo]] cuyas aristas son los vectores dados, así como la magnitud del [[producto mixto]] de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.

El '''álgebra exterior''' o '''álgebra de Grassmann''', denominada así en referencia a [[Hermann Grassmann]],<ref>{{harvcoltxt|Grassmann|1844}} las introdujo como álgebras "extendidas" (cf.{{harvnb|Clifford|1878}}) usó la palabra ''äußere'' (traducida literalmente como ''exterior'') solo para indicar el ''produkt'' que definió, que hoy en día se llama convencionalmente ''producto exterior'', probablemente para distinguirlo del ''[[producto externo]]'' como se define en [[álgebra lineal]] moderna.</ref> es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geométricas. Por ejemplo, las hojas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos en el álgebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son solo ''k''-hojas, sino sumas de ''k''-hojas; tal suma se llama [[Multivector|''k''-vector]].<ref>El término ''k-vector'' no es equivalente ni debe confundirse con términos similares como ''[[cuadrivector]]'', que en un contexto diferente podría significar un vector de 4 dimensiones. Una minoría de autores utiliza el término ''k''-multivector en lugar de ''k''-vector, lo que evita esta confusión.</ref> Las ''k''-hojas, debido a que son productos simples de vectores, se denominan elementos simples del álgebra. El ''rango'' de cualquier vector ''k'' se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es una suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un [[álgebra asociativa]], lo que significa que <math>\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma</math> para cualquier elemento <math>\alpha, \beta, \gamma</math>. Los ''k'' vectores tienen grado ''k'', lo que significa que son sumas de productos de ''k'' vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como en una multiplicación de [[polinomio]]s. Esto significa que el álgebra exterior es un [[álgebra graduada]].

La definición del álgebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geométricos, sino de otros objetos similares a vectores como [[campo vectorial|campos vectoriales]] o [[Función matemática|funciones]]. En general, el álgebra exterior se puede definir para [[Módulo (matemática)|módulos]] sobre un [[anillo conmutativo]], y para otras estructuras de interés en [[álgebra abstracta]]. Es una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de [[forma diferencial|formas diferenciales]] que es fundamental en áreas que usan la [[geometría diferencial]]. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de [[funtor]] en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible de cierta manera con la [[aplicación lineal]] de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de [[biálgebra]], lo que significa que su [[espacio dual]] también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es precisamente el álgebra de [[forma multilineal|formas multilineales]], y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el [[producto interno]].

== Ejemplos ==
<!--The purpose of this section is to motivate the skewness of the exterior product on vectors in ''V''-->

=== Áreas en el plano ===
[[Imagen:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|El área de un paralelogramo en términos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vértices]]

El sistema de [[coordenadas cartesianas]] '''R'''<sup>2</sup> es un espacio vectorial [[Número real|real]] equipado con una [[Base (álgebra)|base]] que consta de un par de [[vector unitario|vectores unitarios]]

: <math>{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.</math>

Ahora, se supone que

: <math>{\mathbf v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = a {\mathbf e}_1 + b {\mathbf e}_2, \quad {\mathbf w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c {\mathbf e}_1 + d {\mathbf e}_2</math>

son un par de vectores dados en '''R'''<sup>2</sup>, escritos en componentes. Hay un paralelogramo único que tiene '''v''' y '''w''' como dos de sus lados. El ''área'' de este paralelogramo viene dada por la fórmula estándar del [[determinante (matemática)|determinante]]:

: <math> \text{Area} = \Bigl| \det \begin{bmatrix} {\mathbf v} & {\mathbf w} \end{bmatrix} \Bigr| = \Biggl| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \Biggr| = \left| ad - bc \right| .</math>

Considérese ahora el producto exterior de '''v''' y '''w''':

: <math>
\begin{align}
{\mathbf v}\wedge {\mathbf w} & = (a{\mathbf e}_1 + b{\mathbf e}_2) \wedge (c{\mathbf e}_1 + d{\mathbf e}_2) \\
& = ac{\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_1+ ad{\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2+bc{\mathbf e}_2 \wedge {\mathbf e}_1+bd{\mathbf e}_2 \wedge {\mathbf e}_2 \\
& = \left ( ad - bc \right ){\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2
\end{align}
</math>

donde el primer paso usa la ley distributiva para el [[#Definiciones_formales_y_propiedades_algebraicas|producto exterior]], y el último usa el hecho de que el producto exterior es alterno, y en particular <math> \mathbf{e_2} \wedge \mathbf{e_1} = -(\mathbf{e_1} \wedge \mathbf{e_2}) </math>. El hecho de que el producto exterior sea alterno también fuerza a que <math> \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_1 = \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_2 = 0 </math>. Nótese que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz {{nowrap|1=['''v''' '''w''']}}. El hecho de que el resultado pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que '''v''' y '''w''' pueden estar orientados en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama "área con signo" del paralelogramo: el [[valor absoluto]] del área con signo es el área ordinaria y el signo determina su orientación.

El hecho de que este coeficiente sea el área con signo no es algo accidental. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debería estar relacionado con el área con signo si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si {{nowrap|1=A('''v''', '''w''')}} denota el área con signo del paralelogramo del cual el par de vectores '''v''' y '' 'w' '' forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:
# {{nowrap|1=A(''r'''''v''', ''s'''''w''') = ''rs''A('''v''', '''w''')}} para cualquier número real ''r'' y ''s'', ya que al cambiar la escala de cualquiera de los lados se cambia la escala del área en la misma cantidad (y al invertir la dirección de uno de los lados se invierte la orientación del paralelogramo).
# {{nowrap|1=A('''v''', '''v''') = 0}}, ya que el área del paralelogramo [[Degeneración (matemáticas)|degenerado]] determinada por '''v''' (es decir, un [[segmento]]) es cero.
# {{nowrap|1=A('''w''', '''v''') = −A('''v''', '''w''')}}, ya que intercambiar los papeles de '''v''' y '''w''' invierte la orientación del paralelogramo.
# {{nowrap|1=A('''v''' + ''r'''''w''', '''w''') = A('''v''', '''w''')}} para cualquier número real ''r'', ya que sumar un múltiplo de '''w''' a '''v''' no afecta ni a la base ni a la altura del paralelogramo y por lo tanto preserva su área.
# {{nowrap|1=A('''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>) = 1}}, ya que el área del cuadrado unitario es uno.

[[Imagen:Exterior calc cross product.svg|250px|thumb|El producto cruzado (el vector '''<span style="color:blue;">azul</span>''') en relación con el producto exterior (el paralelogramo '''<span style="color:#779ECB;">azul claro</span>'''). La longitud del producto cruzado es la longitud del vector unitario paralelo ('''<span style="color:#CC0000;">rojo</span>''') como el tamaño del producto exterior es el tamaño del paralelogramo de referencia ('''<span style="color:#CC4E5C;">rojo claro</span>''')]]

Con la excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el que tiene lados '' 'e' '' <sub>1</sub> y '' 'e' '' <sub>2</sub>). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área ''independiente de la base''.<ref>Esta axiomatización de áreas se debe a [[Leopold Kronecker]] y [[Karl Weierstraß]]; véase {{harvtxt|Bourbaki|1989b|loc=Historical Note}}. Para un tratamiento moderno, consúltese {{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=Theorem IX.2.2}}. Para un tratamiento elemental, consúltese {{harvtxt|Strang|1993|loc=Chapter 5}}.</ref>

=== Productos cruzados y triples ===
Para los vectores en un [[espacio vectorial]] 3-[[Dimensión de un espacio vectorial|dimensional]] orientado con un [[producto escalar]] bilineal, el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el [[producto vectorial]] y el [[producto mixto]]. Usando una [[base canónica]] {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>)}}, el producto exterior de un par de vectores

: <math> \mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 </math>

y

: <math> \mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 </math>

es

: <math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) ,</math>

donde {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub>, '''e'''<sub>3</sub> ∧ '''e'''<sub>1</sub>)}} es una base para el espacio tridimensional Λ<sup>2</sup> ('''R'''<sup>3</sup>). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del [[producto vectorial]] de vectores en tres dimensiones con una orientación dada, siendo la única diferencia que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un [[2-vector]], y que el producto exterior no depende de la elección de la orientación.

Añadiendo un tercer vector
: <math> \mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, </math>

el producto exterior de tres vectores es

: <math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) </math>

donde {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub>}} es el vector base para el espacio unidimensional Λ<sup>3</sup> ('''R'''<sup>3</sup>). El coeficiente escalar es el [[producto mixto]] de los tres vectores.

El producto cruzado y el producto triple en un espacio vectorial euclídeo tridimensional admiten cada uno interpretaciones geométricas y algebraicas. El producto cruzado {{nowrap|'''u''' × '''v'''}} se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a '''u''' como a '''v''' y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por el [[Menor (álgebra lineal)|menor]] de la matriz con las columnas '''u''' y '''v'''. El producto triple de '''u''', '''v''' y&nbsp;'''w''' es un escalar con signo que representa un volumen con orientación geométrica. Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas '''u''', '''v''' y&nbsp;'''w'''. El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares: también se puede identificar con longitudes orientadas, áreas, volúmenes, etc., que están atravesados por uno, dos o más vectores. El producto exterior generaliza estas nociones geométricas a todos los espacios vectoriales y a cualquier número de dimensiones, incluso en ausencia de un producto escalar.

== Definiciones formales y propiedades algebraicas ==
El álgebra exterior {{math|Λ(''V'')}} de un espacio vectorial {{math|''V''}} sobre un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] o campo {{math|''K''}} se define como el [[Anillo cociente|álgebra cociente]] del [[álgebra tensorial]] {{math|''T''(''V'')}} por el [[Ideal (teoría de anillos)|ideal]] {{math|''I''}} de dos lados generado por todos los elementos de la forma {{math|1=''x'' ⊗ ''x''}} para {{math|1=''x'' ∈ ''V''}} (es decir, todos los tensores que se pueden expresar como el tensor producto de un vector en {{math|''V''}} por sí mismo).<ref>{{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999}}</ref> El ideal ''I'' contiene el ideal ''J'' generado por elementos de la forma <math>x\otimes y + y \otimes x = (x+y)\otimes (x+y) - x\otimes x - y\otimes y </math> y estos ideales coinciden si (y solo si) <math>\operatorname{char}(K) \ne 2</math>:
: <math>I \supseteq J \text{ with equality iff } \operatorname{char}(K) \ne 2</math>.
Se define
: <math>{\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I </math>
El producto exterior {{math|∧}} de dos elementos de {{math|Λ(''V'')}} es el producto inducido por el producto tensorial {{math|⊗}} de {{math|''T''(''V'')}}. Es decir, si
: <math>\pi:T(V)\to {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I</math>
es la [[Clase de equivalencia|suprayección canónica]], y {{mvar|a}} y {{mvar|b}} están en {{math|Λ(''V'')}}, entonces hay <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> en {{math|''T''(''V'')}} de modo que <math>a=\pi(\alpha)</math> y <math>b=\pi(\beta),</math> y
: <math>a\wedge b = \pi(\alpha\otimes\beta).</math>
De la definición de un álgebra cociente resulta que el valor de <math>a\wedge b</math> no depende de una elección particular de <math>\alpha</math> y <math>\beta</math>.

Como {{math|1=''T''<sup>0</sup> = ''K''}}, {{math|1=''T''<sup>1</sup> = ''V''}} y <math>\left(T^0(V)\oplus T^1(V)\right)\cap I= \{ 0 \} </math>, las inclusiones de {{math|''K''}} y {{math|''V''}} en {{math|''T''(''V'')}} inducen inyecciones de {{math|''K''}} y {{math|''V''}} en {{math|Λ(''V'')}}. Estas inyecciones se consideran comúnmente como inclusiones y se denominan ''incrustaciones naturales'', ''inyecciones naturales'' o ''inclusiones naturales''. La palabra ''canónico'' también se usa comúnmente en lugar de ''natural''.

=== Producto alterno ===
El producto exterior es por construcción [[álgebra alterna|''alterno'']] sobre elementos de <math> V</math>, lo que significa que <math display="inline"> x \wedge x = 0</math> para todo <math> x \in V</math>, por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es [[anticonmutatividad|anticonmutativo]] en elementos de <math> V</math>, por suponer que <math> x, y \in V</math>,

: <math>0 = (x+y)\wedge (x+y) = x\wedge x + x\wedge y + y\wedge x + y\wedge y = x\wedge y + y\wedge x</math>

y por lo tanto

: <math> x \wedge y = - ( y \wedge x ) .</math>

De manera más general, si ''σ'' es una [[Grupo de permutaciones|permutación]] de los enteros {{nowrap|[1, ..., ''k'']}}, y ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''k''</sub> elementos de ''V'', resulta que

: <math>x_{\sigma(1)}\wedge x_{\sigma(2)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1\wedge x_2\wedge\cdots \wedge x_k,</math>

donde sgn(''σ'') es la [[Paridad de una permutación|signatura de la permutación]] ''σ''.<ref>Una prueba de esta afirmación se puede encontrar con más generalidad en {{harvtxt|Bourbaki|1989}}.</ref>

En particular, si ''x''<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''j''</sub> para algunos {{nowrap|''i'' ≠ ''j''}}, entonces la siguiente generalización de la propiedad alterna también es válida:
: <math>x_{1}\wedge x_{2}\wedge\cdots\wedge x_{k} = 0.</math>

=== Potenciación exterior ===

La ''k''-ésima '''potencia exterior''' de ''V'', denotada como Λ<sup>''k''</sup>(''V''), es el [[subespacio vectorial]] de Λ(''V'') [[Sistema generador|abarcado]] por elementos de la forma
: <math>x_1\wedge x_2\wedge\cdots\wedge x_k,\quad x_i\in V, i=1,2,\ldots, k.</math>

Si {{nowrap|''α'' ∈ Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}}, entonces ''α'' se dice que es un '''[[p-vector|''k''-vector]]'''. Si, además, ''α'' se puede expresar como un producto exterior de ''k'' elementos de ''V'', entonces se dice que ''α'' es '''descomponible'''. Aunque los ''k'' vectores descomponibles abarcan Λ<sup>''k''</sup>(''V''), no todos los elementos de Λ<sup>''k''</sup>(''V'') son descomponibles. Por ejemplo, en '''R'''<sup>4</sup>, el siguiente 2-vector no es descomponible:
: <math>\alpha = e_1\wedge e_2 + e_3\wedge e_4.</math>
(este es un [[espacio vectorial simpléctico]], desde {{nowrap|''α'' ∧ ''α'' ≠ 0}}.<ref>Véase {{harvtxt|Sternberg|1964|loc=§III.6}}.</ref>)

==== Base y dimensión ====
Si la [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] de {{mvar|V}} es {{mvar|n}} y {{nowrap|{{math| { ''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub> } }}}} es una [[Base (álgebra)|base]] para {{mvar|V}}, entonces el conjunto
: <math>\{\,e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} ~ \big| ~~ k = 1,2,\cdots n ~~\text{ and }~~ 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\}</math>
es una base para {{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}}. El motivo es el siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma
: <math>v_1\wedge\cdots\wedge v_k ,</math>
cada vector {{mvar|v<sub>j</sub>}} puede escribirse como una [[combinación lineal]] de los vectores de la base {{mvar|e<sub>i</sub>}}; usando la bilinealidad del producto exterior, esto puede expandirse a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores de la base. Cualquier producto exterior en el que aparezca el mismo vector base más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar, cambiando el signo siempre que dos vectores base cambien de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los {{mvar|k}} vectores de una base se pueden calcular como los [[Menor (álgebra lineal)|menores]] de la [[Matriz (matemáticas)|matriz]] que describe los vectores {{mvar|v<sub>j</sub>}} en términos de la base {{mvar|e<sub>i</sub>}}.

Contando los elementos básicos, la dimensión de {{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} es igual al [[coeficiente binomial]]:
: <math>\dim {\textstyle\bigwedge}^k(V) = \binom{n}{k}\,.</math>
donde {{mvar|n}} es la dimensión de los ''vectores'' y {{mvar|k}} es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso en casos excepcionales; en particular, {{nowrap|{{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'') {{=}} { 0 }<nowiki/>}}}} para {{nowrap|{{math| ''k'' > ''n''}} }}.

Cualquier elemento del álgebra exterior se puede escribir como una suma de [[p-vector|{{mvar|k}}-vectores]]. Por tanto, como espacio vectorial, el álgebra exterior es una [[suma directa]]
: <math>{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V)\oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V)</math>
(donde por convención {{nowrap|{{math| Λ<sup>0</sup>(''V'') {{=}} ''K''}} }}, [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] subyacente a {{mvar|V}} y&nbsp;{{nowrap|{{math| Λ<sup>1</sup>(''V'') {{=}} ''V''}} }}), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es 2<sup>{{mvar|n}}</sup>.

==== Rango de un ''k''-vector ====

Si {{nowrap|''α'' ∈ Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}}, entonces es posible expresar ''α'' como una combinación lineal de [[p-vector|''k''-vectores]] descomponibles:

: <math> \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)}</math>

donde cada ''α''<sup>(''i'')</sup> es descomponible, en

: <math>\alpha^{(i)} = \alpha^{(i)}_1\wedge\cdots\wedge\alpha^{(i)}_k,\quad i=1,2,\ldots, s.</math>

El '''rango''' del ''k''-vector ''α'' es el número mínimo de ''k''-vectores descomponibles en tal expansión de ''α''. Esto es similar a la noción de [[rango de un tensor]].

El rango es particularmente importante en el estudio de 2-vectores {{harv|Sternberg|1964|loc=§III.6}} {{harv|Bryant|Chern|Gardner|Goldschmidt|1991}}. El rango de un 2-vector ''α'' puede identificarse con la mitad del [[Rango (álgebra lineal)|rango de la matriz]] de los coeficientes de ''α'' en una base. Por lo tanto, si ''e''<sub>''i''</sub> es una base para ''V'', entonces ''α'' se puede expresar únicamente como

: <math>\alpha = \sum_{i,j}a_{ij}e_i\wedge e_j</math>

donde {{nowrap|1=''a''<sub>''ij''</sub> = −''a''<sub>''ji''</sub>}} (la matriz de coeficientes es [[Matriz antisimétrica|antisimétrica]]). El rango de la matriz ''a''<sub>''ij''</sub> es por tanto par, y es el doble del rango de la forma ''α''.

En la característica 0, el 2-vector ''α'' tiene rango ''p'' si y solo si

: <math>\underset{p}{\underbrace{\alpha\wedge\cdots\wedge\alpha}} \neq 0 \ </math> y <math>\ \underset{p+1}{\underbrace{\alpha\wedge\cdots\wedge\alpha}} = 0.</math>

=== Estructura graduada ===
El producto exterior de un ''k''-vector con un ''p''- vector es un {{nowrap|(''k'' + ''p'')}}-vector, que nuevamente invoca la bilinealidad. Como consecuencia, la descomposición de una suma directa de la sección anterior

: <math>{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V)\oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus\cdots\oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V)</math>

le da al álgebra exterior la estructura adicional de un [[álgebra graduada]], es decir

: <math>{\textstyle\bigwedge}^k(V)\wedge{\textstyle\bigwedge}^p(V)\sub {\textstyle\bigwedge}^{k+p}(V).</math>

Además, si {{math|''K''}} es la base del cuerpo, entonces
: <math>{\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V.</math>

El producto exterior se clasifica como anticomutativo, lo que significa que si {{nowrap|''α'' ∈ Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} y {{nowrap|''β'' ∈ Λ<sup>''p''</sup>(''V'')}}, entonces

: <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha.</math>

Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior,{{harvtxt|Bourbaki|1989}} estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un [[álgebra graduada]] (un módulo que ya tiene su propia graduación).

=== Propiedad universal ===
Sea {{math|''V''}} un espacio vectorial sobre el campo {{math|''K''}}. De manera informal, la multiplicación en {{math|Λ(''V'')}} se realiza manipulando símbolos e imponiendo una [[distributividad]], una [[asociatividad (álgebra)|asociatividad]] y utilizando la identidad <math>v \wedge v = 0</math> para {{math|''v'' ∈ ''V''}}. Formalmente, {{math|Λ(''V'')}} es el álgebra "más general" en la que estas reglas son válidas para la multiplicación, en el sentido de que cualquier {{math|''K''}}-álgebra asociativa unidad que contenga {{math|''V''}} con multiplicación alterna en {{math|''V''}} debe contener una imagen homomórfica de {{math|Λ(''V'')}}. En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente [[propiedad universal]]:<ref>Consúltese {{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=§III.7.1}} y {{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=Theorem XVI.6.8}}. Se pueden encontrar más detalles sobre las propiedades universales en general en {{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999|loc=Chapter VI}} y en todas las obras de Bourbaki.</ref>

<div style="margin-left: 2em; margin-right: 2em">
Dada cualquier {{math|''K''}}-álgebra asociativa unitaria {{math|''A''}} y cualquier {{math|''K''}}-[[aplicación lineal]] {{math|1=''j'' : ''V'' → ''A''}} tal que {{math|1=''j''(''v'')''j''(''v'') = 0}} para cada {{math|''v''}} en {{math|''V''}}, entonces existe ''precisamente un'' [[homomorfismo algebraico]] {{math|1=''f'' : Λ(''V'') → ''A''}} unitario tal que {{math|1=''j''(''v'') = ''f''(''i''(''v''))}} para todo {{math|''v''}} en {{math|''V''}} (aquí {{math|''i''}} es la inclusión natural de {{math|''V''}} en {{math|Λ(''V'')}}, véase arriba).
</div>

[[Imagen:ExteriorAlgebra-01.png|center|Propiedad universal del álgebra exterior]]

Para construir el álgebra más general que contiene {{math|''V''}} y cuya multiplicación se alterna en {{math|''V''}}, es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contiene {{math|''V''}}, el [[álgebra tensorial]] {{math|''T''(''V'')}}, y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando un [[Anillo cociente|cociente]] adecuado. Por lo tanto, se toma el [[Ideal (teoría de anillos)|ideal]] {{math|''I''}} de dos lados en {{math|''T''(''V'')}} generado por todos los elementos de la forma {{math|''v'' ⊗ ''v''}} para {{math|''v''}} en {{math|''V''}}, y se define {{math|Λ(''V'')}} como el cociente

: <math>{\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I\ </math>

(y se usa {{math|∧}} como el símbolo para la multiplicación en {{math|Λ(''V''))}}. Entonces es sencillo demostrar que {{math|Λ(''V'')}} contiene {{math|''V''}} y satisface la propiedad universal anterior.

Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial {{math|''V''}} su álgebra exterior {{math|Λ(''V'')}} es un [[funtor]] desde la [[Categoría (matemáticas)|categoría]] de los espacios vectoriales a la categoría de las álgebras.

En lugar de definir primero {{math|Λ(''V'')}} y luego identificar las potencias exteriores {{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} como ciertos subespacios, se puede alternativamente definir primero los espacios {{math|Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} y luego combinarlos para formar el álgebra {{math|Λ(''V'')}}. Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección.

=== Generalizaciones ===

Dado un [[anillo conmutativo]] ''R'' y un ''R''-[[Módulo (matemática)|módulo]] ''M'', se puede definir el álgebra exterior Λ(''M'') tal como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial '''T'''(''M''). Satisface la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de Λ(''M'') también requieren que ''M'' sea un [[módulo proyectivo]]. Cuando se usa la dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que ''M'' sea [[módulo generado finitamente|generado finitamente]] y proyectivo. Las generalizaciones a las situaciones más comunes se pueden encontrar en {{harvtxt|Bourbaki|1989}}.

Las álgebras exteriores de [[fibrado vectorial]] se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de paquetes vectoriales de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos generados finitamente, según el [[teorema de Serre–Swan]]. Se pueden definir álgebras exteriores más generales para [[Teoría de haces|haces]] de módulos.

== Álgebra tensorial alterna ==
Si ''K'' es un campo de característica 0,<ref>Véase {{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=§III.7.5}} para generalizaciones.</ref> entonces el álgebra exterior de un espacio vectorial ''V'' sobre ''K'' se puede identificar canónicamente con el subespacio vectorial de T (''V'') que consta de [[tensor antisimétrico|tensores antisimétricos]]. Recuérdese que el álgebra exterior es el cociente de T(''V'') por el ideal ''I'' generado por elementos de la forma {{nowrap|''x'' ⊗ ''x''}}.

Sea T<sup>''r''</sup>(''V'') el espacio de tensores homogéneos de grado ''r'', atravesado por tensores descomponibles.

: <math>v_1\otimes\cdots\otimes v_r,\quad v_i\in V.</math>

La '''antisimetrización''' (o a veces la '''simetrización oblicua''') de un tensor descomponible se define por

: <math>\operatorname{Alt}(v_1\otimes\cdots\otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(r)}</math>

donde la suma se toma sobre el [[grupo simétrico]] de permutaciones en los símbolos {{nowrap|{1, ..., ''r''}.}} Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por Alt, en el álgebra tensorial completa T(''V''). La imagen Alt(T(''V'')) es el '''álgebra de tensor alterno''', denotada A(''V''). Este es un subespacio vectorial de T(''V''), y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado de la de T(''V''). Lleva un producto calificado asociativo <math>\widehat{\otimes}</math> definido por

: <math>t~\widehat{\otimes}~s = \operatorname{Alt}(t\otimes s).</math>

Aunque este producto difiere del producto tensorial, el núcleo de ''Alt'' es precisamente el ideal ''I'' (nuevamente, asumiendo que ''K'' tiene la característica 0), y existe un isomorfismo canónico

: <math>A(V)\cong {\textstyle\bigwedge}(V).</math>

=== Notación de índices ===
Supóngase que ''V'' tiene una dimensión finita ''n'', y que se da una base {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}} de ''V''. Entonces, cualquier tensor alterno {{nowrap|''t'' ∈ A<sup>''r''</sup>(''V'') ⊂ ''T''<sup>''r''</sup>(''V'')}} se puede escribir en [[índice (matemática)|notación indexada]] como

: <math>t = t^{i_1i_2\cdots i_r}\, {\mathbf e}_{i_1}\otimes {\mathbf e}_{i_2}\otimes\cdots\otimes {\mathbf e}_{i_r},</math>

donde ''t''<sup>''i''<sub>1</sub>⋅⋅⋅''i''<sub>''r''</sub></sup> es [[tensor antisimétrico|completamente antisimétrico]] en sus índices.

El producto exterior de dos tensores alternos ''t'' y ''s'' de los rangos ''r'' y ''p'' viene dado por

: <math>t~\widehat{\otimes}~s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma\in {\mathfrak S}_{r+p}}\operatorname{sgn}(\sigma)t^{i_{\sigma(1)}\cdots i_{\sigma(r)}} s^{i_{\sigma(r+1)} \cdots i_{\sigma(r+p)}} {\mathbf e}_{i_1}\otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots\otimes {\mathbf e}_{i_{r+p}}.</math>

Los componentes de este tensor son precisamente la parte oblicua de los componentes del producto tensorial {{nowrap|''s'' ⊗ ''t''}}, indicado por corchetes en los índices:

: <math>(t~\widehat{\otimes}~s)^{i_1\cdots i_{r+p}} = t^{[i_1\cdots i_r}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.</math>

<!--For the interno product-->
El producto interno también se puede describir en notación indexada como sigue. Sea <math>t = t^{i_0i_1\cdots i_{r-1}}</math> un tensor antisimétrico de rango ''r''. Entonces, para {{nowrap|''α'' ∈ ''V''<sup>∗</sup>}}, ''i''<sub>''α''</sub>''t'' es un tensor alterno de rango {{nowrap|''r'' − 1}}, dado por

: <math>(i_\alpha t)^{i_1\cdots i_{r-1}}=r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\cdots i_{r-1}}.</math>

donde ''n'' es la dimensión de ''V''.

== Dualidad ==

=== Operadores alternos ===

Dados dos espacios vectoriales ''V'' y ''X'' y un número natural ''k'', un '''operador alterno''' de ''V''<sup>''k''</sup> a ''X'' es una [[aplicación multilineal]]

: <math>f\colon V^k \to X</math>

tal que siempre que ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v''<sub>''k''</sub> son vectores [[dependencia e independencia lineal|linealmente dependientes]] en ''V'', entonces

: <math>f(v_1,\ldots, v_k) = 0.</math>

La aplicación

: <math>w\colon V^k \to {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)</math>

que asocia a los vectores <math>k</math> de <math>V</math> su producto exterior, es decir, su correspondiente vector <math>k</math>, también es alterna. De hecho, esta aplicación es el operador alterno ''más general'' definido en <math>V^k</math>; dado cualquier otro operador alterno <math>f : V^k \rightarrow X</math>, existe una [[aplicación lineal]] <math>\phi : \wedge^{k}(V) \rightarrow X</math> único con <math>f = \phi \circ w</math>. Esta [[propiedad universal]] caracteriza el espacio <math>\wedge^{k}(V)</math> y puede servir como su definición.

=== Formas multilineales alternas ===
<!-- Alternating form redirects here -->

[[Archivo:N-form.svg|thumb|125px|Interpretación geométrica para el '''producto exterior''' de ''n'' [[1-forma]]s ('''ε''', '''η''', '''ω''') para obtener una ''n''-forma ("malla" de un [[sistema de coordenadas]], aquí planos),<ref name="Sin-nombre-p2LT-1"/> para {{nowrap|1=''n'' = 1, 2, 3}}. Las "circulaciones" muestran [[Orientación (espacio vectorial)|orientación]].<ref>''Nota'': Las orientaciones que se muestran aquí no son correctas; el diagrama simplemente da la sensación de que se define una orientación para cada ''k''-forma.</ref><ref>{{cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|author1=J.A. Wheeler |author2=C. Misner |author3=K.S. Thorne |publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|pages=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/58 58]–60, 83, 100–109, 115–119|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>]]

La discusión anterior se especializa en el caso de {{nowrap|1=''X'' = ''K''}}, la base del campo. En este caso una función multilineal alterna
: <math>f : V^k \to K\ </math>
se llama una '''forma multilineal alterna'''. El conjunto de todas las [[Forma multilineal|formas multilineales]] [[aplicación alternada|alternadas]] es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de esas aplicaciones, o el producto de tal aplicación por un escalar, se alterna de nuevo. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternas de grado ''k'' sobre ''V'' es [[Transformación natural|naturalmente]] isomorfo con el [[espacio dual]] (Λ<sup>''k''</sup>''V '')<sup>∗</sup>. Si ''V'' es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo a Λ<sup>''k''</sup>('' V''<sup>∗</sup>). En particular, si ''V'' es ''n''-dimensional, la dimensión del espacio de los mapas alternos de ''V''<sup>''k''</sup> a ''K'' es el [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom{n}{k}.</math>

Bajo esta identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce una nueva aplicación antisimétrica a partir de otras dos dadas. Supóngase que {{nowrap|''ω'' : ''V''<sup>''k''</sup> → ''K''}} y {{nowrap|''η'':''V''<sup>''m''</sup>→''K''}} son dos aplicaciones antisimétricas. Como en el caso del [[producto tensorial]] de aplicaciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Se define de la siguiente manera:<ref>Algunas convenciones, particularmente en física, definen el producto exterior como

:<math>\omega\wedge\eta=\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta).</math>

Esta convención no se adopta aquí, pero se analiza en relación con los tensores alternados.</ref>

: <math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta),</math>

donde, si la característica de la base del cuerpo ''K'' es 0, la alternancia Alt de una aplicación multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por el signo sobre todas las [[permutación|permutaciones]] de sus variables:

: <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math>

Cuando el [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] ''K'' tiene [[Característica (matemática)|característica finita]], se obtiene una versión equivalente a la expresión anterior pero sin factoriales ni constantes:

: <math>{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math>

donde aquí {{nowrap|Sh<sub>''k'',''m''</sub> ⊂ ''S''<sub>''k''+''m''</sub>}} es el [[subconjunto]] de los [[(p,q) barajados|(''k'',''m'') barajados]]: las [[permutación|permutaciones]] del conjunto ''σ''{{nowrap|{1, 2, ..., ''k'' + ''m''}}}, tales que {{nowrap|''σ''(1) < ''σ''(2) < ... < ''σ''(''k'')}} y {{nowrap|''σ''(''k'' + 1) < ''σ''(''k'' + 2) < ... < ''σ''(''k'' + ''m'')}}.

=== Producto interno ===
{{VT|Producto interno}}
Supóngase que "V" es de dimensión finita. Si ''V''<sup>∗</sup> denota el [[espacio dual]] al espacio vectorial ''V'', entonces para cada {{nowrap|''α'' ∈ ''V''<sup>∗</sup>}}, es posible definir una [[Derivación (álgebra abstracta)|antiderivación]] en el álgebra Λ (''V''),

: <math>i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow{\textstyle\bigwedge}^{k-1}V.</math>

Esta derivación se llama el '''producto interno''' con ''α'', o algunas veces el '''operador de inserción''', o la '''contracción''' por ''α''.

Supóngase que {{nowrap|'''w''' ∈ Λ<sup>''k''</sup>''V''}}. Entonces '''w''' es una aplicación multilineal de ''V''<sup>∗</sup> sobre ''K'', por lo que está definido por sus valores en la ''k''-hoja del [[producto cartesiano]] {{nowrap|''V''<sup>∗</sup> × ''V''<sup>∗</sup> × ... × ''V''<sup>∗</sup>}}. Si ''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''k''−1</sub> son {{nowrap|''k'' − 1}} elementos de ''V''<sup>∗</sup>, se define

: <math>(i_\alpha {\mathbf w})(u_1,u_2,\ldots,u_{k-1})={\mathbf w}(\alpha,u_1,u_2,\ldots, u_{k-1}).</math>

Además, se tiene que {{nowrap|1=''i''<sub>''α''</sub>''f'' = 0}} siempre que ''f'' sea un escalar puro (es decir, pertenezca a Λ<sup>0</sup>''V'').

==== Caracterización axiomática y propiedades ====
El producto interno satisface las siguientes propiedades:

# Para cada ''k'' y cada {{nowrap|''α'' ∈ ''V''<sup>∗</sup>}},
# :: <math>i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V.</math>
# :(Por convención, {{nowrap|1=Λ<sup>−1</sup>''V'' = {0}.}})
# Si ''v'' es un elemento de ''V''(=Λ<sup>1</sup>''V''), entonces {{nowrap|1=''i''<sub>''α''</sub>''v'' = ''α''(''v'')}} es el emparejamiento dual entre elementos de ''V'' y elementos de ''V''<sup>∗</sup>.
# Para cada {{nowrap|''α'' ∈ ''V''<sup>∗</sup>}}, '' i''<sub>''α''</sub> es una [[derivación graduada]] de grado −1:
# :: <math>i_\alpha (a\wedge b) = (i_\alpha a)\wedge b + (-1)^{\deg a}a\wedge (i_\alpha b).</math>

Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interno, así como para definirlo en el caso general de dimensión infinita.

Otras propiedades del producto interno incluyen:
: * <math>i_\alpha\circ i_\alpha = 0.</math>
: * <math>i_\alpha\circ i_\beta = -i_\beta\circ i_\alpha.</math>

=== Dual de Hodge ===
{{AP|Dual de Hodge}}
Supóngase que ''V'' tiene una dimensión finita ''n''. Entonces el producto interno induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales
: <math>{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \otimes {\textstyle\bigwedge}^n(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) </math>
por la definición recursiva
: <math>i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha .</math>

En la configuración geométrica, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior Λ<sup>''n''</sup>(''V'') (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina '''[[forma de volumen]]''' (o '''forma orientada''', aunque este término a veces puede dar lugar a ambigüedad). El término "orientada" proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina una orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida ''σ'', el isomorfismo entre un elemento <math>\alpha \in \wedge^k(V^*)</math> y su [[dual de Hodge]] viene dado explícitamente por

: <math> {\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) : \alpha \mapsto i_\alpha\sigma .</math>

Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial ''V'' está equipado con un [[producto interior]] que identifica ''V'' con ''V''<sup>∗</sup>, entonces el isomorfismo resultante se llama el '''operador de estrella de Hodge''', que asigna un elemento a su '''dual de Hodge''':

: <math>\star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) .</math>

La composición de <math>\star</math> consigo misma aplica {{nowrap|Λ<sup>''k''</sup>(''V'') → Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} y siempre es un múltiplo escalar de la aplicación identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma de volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de una [[base ortonormal]] de ''V''. En este caso,
: <math>\star \circ \star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}\mathrm{id}</math>
donde id es la identidad, y el producto interior tiene [[signatura métrica]] {{nowrap|(''p'', ''q'')}} - ''p'' positiva y ''q'' negativa.

=== Producto interior ===
Cuando ''V'' es un espacio de dimensión finita, un [[producto interior]] (o un producto interior [[Espacio pseudo-euclídeo|pseudo euclídeo]]) en ''V'' define un isomorfismo de ''V'' con ''V''<sup>∗</sup>, y así también un isomorfismo de Λ<sup>''k''</sup>''V'' con (Λ<sup>''k''</sup>''V '')<sup>∗</sup>. La relación entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interior. Sobre ''k'' vectores descomponibles,
: <math>\left\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, w_1\wedge\cdots\wedge w_k\right\rangle = \det(\langle v_i,w_j\rangle),</math>
el determinante de la matriz de productos interiores. En el caso especial {{nowrap|1=''v''<sub>''i''</sub> = ''w''<sub>''i''</sub>}}, el producto interior es la norma cuadrada del vector ''k'', dada por el determinante de la [[matriz de Gram]] {{nowrap|(⟨''v''<sub>''i''</sub>, ''v''<sub>''j''</sub>⟩)}}. Esto luego se extiende bilinealmente (o sesquilinearmente en el caso complejo) a un producto interior no degenerado en Λ<sup>''k''</sup>''V''. Si ''e''<sub>''i''</sub>, {{nowrap|1=''i'' = 1, 2, ..., ''n''}}, forman una [[base ortonormal]] de ''V'', entonces los vectores de la forma
: <math>e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k},\quad i_1 < \cdots < i_k,</math>
constituyen una base ortonormal para Λ<sup>''k''</sup> (''V'').

Con respecto al producto interior, la multiplicación exterior y el producto interior son mutuamente contiguos. Específicamente, para {{nowrap|'''v''' ∈ Λ<sup>''k''&minus;1</sup>(''V'')}}, {{nowrap|'''w''' ∈ Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} y {{nowrap|''x'' ∈ ''V''}},
: <math>\langle x\wedge\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{x^\flat}\mathbf{w}\rangle</math>
donde {{nowrap|''x''<sup>♭</sup> ∈ ''V''<sup>∗</sup>}} es el [[isomorfismo musical|isomorfismo canónico]], la funcional lineal definida por
: <math>x^\flat(y) = \langle x, y\rangle</math>
para todo {{nowrap|''y'' ∈ ''V''}}. Esta propiedad caracteriza completamente el producto interior en el álgebra exterior.

De hecho, de manera más general para {{nowrap|'''v''' ∈ Λ<sup>''k''&minus;''l''</sup>(''V'')}}, {{nowrap|'''w''' ∈ Λ<sup>''k''</sup>(''V'')}} y {{nowrap|'''x''' ∈ Λ<sup>''l''</sup>(''V'')}}, la iteración de las propiedades adjuntas anteriores da
: <math>\langle \mathbf{x} \wedge\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{\mathbf{x}^\flat}\mathbf{w}\rangle</math>
donde ahora {{nowrap|'''x'''<sup>♭</sup> ∈ Λ<sup>''l''</sup>(''V''<sup>∗</sup>) ≃ (Λ<sup>''l''</sup>(''V''))<sup>∗</sup>}} es el vector dual ''l'' definido por
: <math>\mathbf{x}^\flat(\mathbf{y}) = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle</math>
para todo {{nowrap|'''y''' ∈ Λ<sup>''l''</sup>(''V'')}}.

=== Estructura biálgebra ===
Existe una correspondencia entre el dual graduado del álgebra graduada Λ(''V'') y las formas multilineales alternas en ''V''. El álgebra exterior (así como el [[álgebra simétrica]]) hereda una estructura biálgebra y, de hecho, una estructura de [[álgebra de Hopf]], del [[álgebra tensorial]]. Consúltese el artículo sobre [[álgebra tensorial]] para obtener un tratamiento detallado del tema.

El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un [[coproducto (teoría de categorías)|coproducto]] definido en Λ(''V''), dando la estructura de un [[coálgebra]]. El '''coproducto''' es una función lineal {{nowrap|Δ : Λ(''V'') → Λ(''V'') ⊗ Λ(''V'')}} que viene dada por
: <math>\Delta(v) = 1 \otimes v + v \otimes 1</math>

en los elementos ''v''∈''V''. El símbolo 1 representa el elemento de unidad del campo ''K''. Recuérdese que {{nowrap|''K'' ⊂ Λ(''V''),}} de modo que lo anterior realmente se encuentra en {{nowrap|Λ(''V'') ⊗ Λ(''V'').}} Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo Λ(''V'') por homomorfismo (lineal).
La forma correcta de este homomorfismo no es la que se podría escribir ingenuamente, sino que tiene que ser la que se define cuidadosamente en el artículo de [[coálgebra]]. En este caso, se obtiene
: <math>
\Delta(v \wedge w) = 1 \otimes (v \wedge w) + v \otimes w - w \otimes v + (v \wedge w) \otimes 1.
</math>

Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:
: <math>\Delta(x_1\wedge\cdots\wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma\in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(p)})\otimes (x_{\sigma(p+1)}\wedge\cdots\wedge x_{\sigma(k)}).</math>

donde la segunda suma se toma sobre todo [[(p,q) barajados|{{nowrap|(''p''+1, ''k''−''p'')}}-barajados]]. Lo anterior se escribe con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo 1: el truco es escribir <math>x_0=1</math>, y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansión de la suma sobre barajas. El barajado se deduce directamente del primer [[axioma]] de una co-álgebra: el orden relativo de los elementos <math>x_k</math> se ''conserva'' en el ''barajado rápido'', que simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda, y otra a la derecha.

Obsérvese que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo Λ (''V''), se tiene que
: <math>\Delta:{\textstyle\bigwedge}^k(V) \to \bigoplus_{p=0}^k {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(V)</math>

El símbolo tensorial ⊗ utilizado en esta sección debe entenderse con cierta precaución: "no" es el mismo símbolo tensorial que se utiliza en la definición del producto alterno. Intuitivamente, quizás sea más fácil pensarlo como otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi)lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto que es apropiado para la definición de una biálgebra, es decir, para crear el objeto {{nowrap|Λ(''V'') ⊗ Λ(''V'').}}. Cualquier duda persistente se puede aclarar ponderando las igualdades {{nowrap|1=(1 ⊗ ''v'') ∧ (1 ⊗ ''w'') = 1 ⊗ (''v'' ∧ ''w'')}} y {{nowrap|1=(''v'' ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ ''w'') = ''v'' ⊗ ''w''}}, que se derivan de la definición de coalgebra, a diferencia de manipulaciones ingenuas que involucran el tensor y los símbolos de cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre [[álgebra tensorial|álgebras tensoriales]]. Aquí, el problema es mucho menor, ya que el producto alterno Λ corresponde claramente a la multiplicación en la biálgebra, dejando el símbolo ⊗ libre para su uso en la definición de la biálgebra. En la práctica, esto no presenta un problema particular, siempre que se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de ⊗ por el símbolo de la cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alterno a partir de ⊗, entendiendo que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente a continuación, se da un ejemplo: el producto alterno para el ''espacio dual'' se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la biálgebra aquí es paralela a la construcción en el artículo sobre el [[álgebra tensorial]] casi exactamente, excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos del álgebra exterior.

En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es solo el dual graduado del coproducto:

: <math>(\alpha\wedge\beta)(x_1\wedge\cdots\wedge x_k) = (\alpha\otimes\beta)\left(\Delta(x_1\wedge\cdots\wedge x_k)\right)</math>

donde el producto tensorial en el lado derecho es de aplicaciones lineales multilineales (extendido por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, {{nowrap|1=''α'' ∧ ''β'' = ''ε'' ∘ (''α'' ⊗ ''β'') ∘ Δ}}, donde ''ε'' es el contador, como se define actualmente).

El '''contador''' es el homomorfismo {{nowrap|1=''ε'' : Λ(''V'') → ''K''}} que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y el recuento, junto con el producto exterior, definen la estructura de una [[biálgebra]] en el álgebra exterior.

Con una '''antípoda''' definida en elementos homogéneos por <math>S(x)=(-1)^{\binom{\text{deg}\,  x\, +1}{2}}x</math>, el álgebra exterior es además un [[álgebra de Hopf]].<ref>De hecho, el álgebra exterior de ''V'' es el [[Álgebra envolvente universal|álgebra envolvente]] de la estructura abeliana de una [[super álgebra de Lie]] en ''V''.</ref>

== Functorialidad ==
Supóngase que ''V'' y ''W'' son un par de espacios vectoriales y {{nowrap|''f'' : ''V'' → ''W''}} es un [[aplicación lineal]]. Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas

: <math>{\textstyle\bigwedge}(f) : {\textstyle\bigwedge}(V)\rightarrow {\textstyle\bigwedge}(W)</math>

tal que

: <math>{\textstyle\bigwedge}(f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^1(V)}\right. = f : V={\textstyle\bigwedge}^1(V)\rightarrow W={\textstyle\bigwedge}^1(W).</math>

En particular, Λ(''f'') conserva el grado homogéneo. Los componentes graduados ''k'' de Λ(''f'') se dan en elementos descomponibles por
: <math>{\textstyle\bigwedge}(f)(x_1\wedge \cdots \wedge x_k) = f(x_1)\wedge\cdots\wedge f(x_k).</math>

Sea

: <math>{\textstyle\bigwedge}^k(f) = {\textstyle\bigwedge} (f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^k(V)}\right. : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^k(W).</math>

Los componentes de la transformación Λ<sup>''k''</sup>(''f'') relativa a una base de ''V'' y ''W'' es la matriz de {{nowrap|''k'' × ''k''}} menores de ''f''. En particular, si {{nowrap|1=''V'' = ''W''}} y ''V'' son de dimensión finita ''n'', entonces Λ<sup>''n''</sup> (''f'') es una aplicación de un espacio vectorial unidimensional Λ<sup>''n''</sup>''V'' consigo mismo, y por lo tanto, viene dado por un escalar: el [[determinante (matemática)|determinante]] de ''f''.

=== Exactitud ===
Si <math>0 \to U \to V \to W \to 0</math> es una [[sucesión exacta]] de espacios vectoriales, entonces

: <math>0 \to {\textstyle\bigwedge}^1(U) \wedge {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(W) \to 0</math>

es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados,<ref>Esta parte de la declaración también se aplica con mayor generalidad si ''V'' y ''W'' son módulos sobre un anillo conmutativo: esta Λ convierte los epimorfismos en epimorfismos. Véase {{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Proposition 3, §III.7.2}}. </ref>
: <math>0 \to {\textstyle\bigwedge}(U) \to {\textstyle\bigwedge}(V).</math><ref>Esta declaración se generaliza solo para el caso en el que ''V'' y ''W'' son módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. De lo contrario, generalmente no es el caso de que Λ convierta monomorfismos en monomorfismos. Véase {{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=Corollary to Proposition 12, §III.7.9}}.</ref>

=== Sumas directas ===
En particular, el álgebra exterior de una suma directa es isomórfica al producto tensorial de las álgebras exteriores:

: <math>{\textstyle\bigwedge}(V\oplus W)\cong{\textstyle\bigwedge}(V)\otimes{\textstyle\bigwedge}(W).</math>

Este es un isomorfismo graduado; es decir,

: <math>{\textstyle\bigwedge}^k(V\oplus W)\cong\bigoplus_{p+q=k} {\textstyle\bigwedge}^p(V)\otimes{\textstyle\bigwedge}^q(W).</math>

Un poco más en general, si <math>0 \to  U \to  V \to  W \to  0</math> es una secuencia corta exacta de espacios vectoriales, entonces Λ''<sup>k</sup>(V)'' se dice que posee una [[Filtración (álgebra abstracta)|filtración]]

: <math>0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \cdots \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = {\textstyle\bigwedge}^k(V)</math>

con cocientes

: <math>F^{p+1}/F^p = {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(U) \otimes {\textstyle\bigwedge}^p(W).</math>

En particular, si ''U'' es unidimensional, entonces

: <math>0 \to U \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(W) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(W) \to 0</math>

es exacta, y si ''W'' es unidimensional, entonces

: <math>0 \to {\textstyle\bigwedge}^k(U) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(U) \otimes W \to 0</math>

es exacto.<ref>Tal filtración también es válida para [[fibrado vectorial|fibrados vectoriales]] y módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo. Por tanto, esto es más general que el resultado citado anteriormente para sumas directas, ya que no todas las secuencias breves y exactas se dividen en otras [[Categoría abeliana|categorías abelianas]].</ref>

== Aplicaciones ==

=== Álgebra lineal ===
En aplicaciones relativas al [[álgebra lineal]], el producto exterior proporciona una forma algebraica abstracta para describir el [[determinante (matemática)|determinante]] y los [[Menor (álgebra lineal)|menores]] de una [[Matriz (matemáticas)|matriz]]. Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una [[matriz cuadrada]] es igual al volumen del paraleloótopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para seguir la orientación). Esto sugiere que el determinante se puede ''definir'' en términos del producto exterior de los [[Vector columna|vectores columna]]. Asimismo, los menores {{nowrap|''k'' × ''k''}} de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de ''k'' vectores columna elegidos a la vez. Estas ideas pueden extenderse no solo a matrices, sino también a [[aplicación lineal|aplicaciones lineales]]: el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual se escala el volumen orientado de cualquier paralelotopo de referencia dado. Entonces, el determinante de una transformación lineal se puede definir en términos de lo que la transformación le hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre las potencias exteriores menores da una forma independiente de las [[Base (álgebra)|bases]] de hablar sobre los menores de la transformación.

==== Detalles técnicos: Definiciones ====
Sea<ref>S.Winitzki, ''Lineaer Algebra via Exterior Products'', https://sites.google.com/site/winitzki/linalg</ref> <math>V</math> un espacio vectorial ''n'' dimensional sobre el campo <math>K</math> con base <math>\{e_1,\ldots,e_n\}</math>.
* Para <math>A \in \operatorname{End}(V)</math>, se define <math>{\textstyle\bigwedge}^k A \in \operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^k V) </math> en tensores simples mediante

:: <math>{\textstyle\bigwedge}^k A(v_1 \wedge\cdots\wedge v_k)=Av_1 \wedge \cdots \wedge Av_k </math>

: y se expande la definición linealmente a todos los tensores. De manera más general, se puede definir <math>{\textstyle\bigwedge}^p A^k \in \operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^p V), (p \geq k) </math> en tensores simples por

:: <math>\left ({\textstyle\bigwedge}^p A^k \right )(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p)=\sum_{0 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq p} v_1 \wedge \cdots \wedge Av_{i_1} \wedge \cdots \wedge Av_{i_k} \wedge \cdots \wedge v_p</math>

:es decir, se eligen ''k'' componentes sobre los que actúa ''A'', y luego se suman todos los resultados obtenidos de las diferentes elecciones. Si es <math>p<k</math>, defínase <math>{\textstyle\bigwedge}^p A^k=0 </math>. Dado que <math>{\textstyle\bigwedge}^n V </math> es unidimensional con base <math>e_1 \wedge \cdots \wedge e_n</math>, se puede identificar <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k </math> con el número único <math>\kappa \in K </math> satisfaciendo

:: <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \kappa (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) .</math>

* Para <math>\varphi \in \operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^p V)</math>, se define la '''transposición exterior''' <math>\varphi^\mathrm{T} \in \operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^{n-p} V)</math> como el operador único que satisface

:: <math>\forall \omega_p \in {\textstyle\bigwedge}^p V, \omega_{n-p} \in {\textstyle\bigwedge}^{n-p}V, (\varphi^\mathrm{T}\omega_{n-p})\wedge\omega_p=\omega_{n-p}\wedge(\varphi \omega_p)</math>

* Para <math>A \in \operatorname{End}(V)</math>, defina <math>\det A={\textstyle\bigwedge}^n A^n, \operatorname{Tr}(A)={\textstyle\bigwedge}^n A^1, \operatorname{adj} A=({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1})^\mathrm{T} </math>. Estas definiciones son equivalentes a las otras versiones.

==== Propiedades básicas ====
Todos los resultados obtenidos de otras definiciones de determinante, traza y adjunto se pueden obtener de esta definición (ya que estas definiciones son equivalentes). A continuación, se muestran algunas propiedades básicas relacionadas con estas nuevas definiciones:

* <math>(\cdot)^\mathrm{T}</math> es <math>K</math>-lineal.

* <math>(AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}.</math>

* Se tiene un isomorfismo canónico
:: <math>\begin{cases}\psi:\operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^k V) \cong \operatorname{End}({\textstyle\bigwedge}^{n-k} V) \\ A \mapsto A^\mathrm{T} \end{cases}</math>
: Sin embargo, no hay isomorfismo canónico entre <math>{\textstyle\bigwedge}^k V</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-k} V.</math>

* <math>\operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^k A \right ) = {\textstyle\bigwedge}^n A^k.</math> Las entradas de la [[matriz transpuesta]] de <math>{\textstyle\bigwedge}^k A</math> son <math>k \times k</math>-menores de <math>A</math>.

* <math>\forall k \leqslant n-1, p \leqslant k, A \in \operatorname{End}(V),</math>
:: <math>\sum_{q=0}^p \left ({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A^{p-q} \right )^\mathrm{T} \left ({\textstyle\bigwedge}^k A^q \right ) = \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^p \right ) \operatorname{Id} \in \operatorname{End}(V).</math>
:En particular,
:: <math>\left ({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{p-1} \right )^\mathrm{T} A + \left ({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \right )^\mathrm{T} = \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^p \right ) \operatorname{Id}</math>
:y por lo tanto
:: <math>(\operatorname{adj} A)A = \left ({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1} \right )^\mathrm{T} A = \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^n \right ) \operatorname{Id} =(\det A)\operatorname{Id}.</math>

* <math>\left ({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \right )^\mathrm{T} = \sum_{q=0}^p \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^{p-q} \right )(-A)^q = \sum_{q=0}^p \operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^{p-q} A \right )(-A)^q.</math>
:En particular,
:: <math>\operatorname{adj} A = \sum_{q=0}^{n-1} \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-q-1} \right )(-A)^q.</math>

* <math>\operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^k \operatorname{adj} A \right ) = {\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k = (\det A)^{k-1} \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right ) = (\det A)^{k-1} \operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A \right ).</math>

* <math>\operatorname{Tr} \left ( \left ({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k \right )^\mathrm{T} \right )=(n-k) {\textstyle\bigwedge}^n A^p=(n-k) \operatorname{Tr}\left ({\textstyle\bigwedge}^p A \right ).</math>

* El polinomio característico <math>\operatorname{ch}_A(t)</math> de <math>A \in \operatorname{End}(V)</math> puede estar dado por
:: <math>\operatorname{ch}_A(t)=\sum_{k=0}^n \operatorname{Tr} \left ({\textstyle\bigwedge}^k A \right )(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^k \right )(-t)^{n-k} .</math>
:De forma similar,
:: <math>\operatorname{ch}_{\operatorname{adj} A}(t)=\sum_{k=0}^n \left ({\textstyle\bigwedge}^n(\operatorname{adj} A)^k \right )(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n (\det A)^{k-1} \left ({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right )(-t)^{n-k}</math>

==== Algoritmo de Leverrier ====
{{VT|Algoritmo de Faddeev–LeVerrier}}
<math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k</math> son los coeficientes de los términos <math>(-t)^{n-k}</math> en el [[polinomio característico]]. También aparecen en las expresiones de <math display="inline">\left({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p\right)^\mathrm{T}</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k</math>. El algoritmo<ref>W.Kahan (2009), ''Jordan's normal form''. https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/jordan.pdf</ref> de Leverrier es una forma económica de calcular <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^k</math> y <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k</math>:

:: Establecer <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^0 = 1</math>;

:: Para <math>k=n-1,n-2,\ldots,1,0</math>,

::: <math>{\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} = \frac{1}{n-k} \operatorname{Tr}(A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1});</math>

::: <math>{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k} = {\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \cdot \operatorname{Id} - A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}.</math>

=== Física ===
{{AP|Tensor de campo electromagnético}}
En física, muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en el [[espacio-tiempo]] de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alterno de la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético.

=== Geometría lineal ===
Los vectores ''k'' descomponibles tienen interpretaciones geométricas: el bivector {{math|''u'' ∧ ''v''}} representa el plano atravesado por los vectores, ''ponderado'' por un número, dado por el área del [[paralelogramo]] orientado con lados ''u'' y ''v''. De manera análoga, el {{math|''u'' ∧ ''v'' ∧ ''w''}} de 3 vectores representa el espacio 3 expandido ponderado por el volumen del [[paralelepípedo]] orientado con las aristas ''u'', ''v'' y ''w''.

=== Geometría proyectiva ===
Los vectores '' k '' descomponibles en Λ<sup>''k''</sup>''V '' corresponden a los [[subespacio vectorial|subespacios vectoriales]] ponderados ''k'' dimensionales de ''V''. En particular, el [[Grasmaniano]] de subespacios ''k''-dimensionales de ''V'', denotado Gr<sub>''k''</sub>(''V''), se puede identificar naturalmente con una [[Variedad algebraica|subvariedad algebraica]] del [[espacio proyectivo]] '''P'''(Λ<sup>''k''</sup>''V''), denominada [[embebido de Plücker]].

=== Geometría diferencial ===
El álgebra exterior tiene aplicaciones notables en [[geometría diferencial]], donde se usa para definir [[forma diferencial|formas diferenciales]].<ref>{{cite book |first=A. T. |last=James |chapter=On the Wedge Product |title=Studies in Econometrics, Time Series, and Multivariate Statistics |editor-first=Samuel |editor-last=Karlin |editor2-first=Takeshi |editor2-last=Amemiya |editor3-first=Leo A. |editor3-last=Goodman |publisher=Academic Press |year=1983 |isbn=0-12-398750-4 |pages=455–464 |chapter-url=https://www.google.com/books/edition/_/-hDjBQAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA455 }}</ref> Las formas diferenciales son objetos matemáticos que evalúan la longitud de vectores, áreas de paralelogramos y volúmenes de [[Paralelepípedo|cuerpos de dimensiones superiores]], por lo que pueden ser [[Integración|integrados]] sobre curvas, superficies y [[variedad (matemáticas)|variedades]] de mayor dimensión de una manera que generaliza el cálculo de las [[integral de línea|integrales de curvas]] y de las [[Integral de superficie|integrales de superficie]]. Una [[forma diferencial]] en un punto de una [[variedad diferenciable]] es una forma multilineal alterna en el [[espacio tangente]] en el punto. De manera equivalente, una forma diferencial de grado ''k'' es una [[funcional lineal]] en la ''k''-ésima potencia exterior del espacio tangente. Como consecuencia, el producto exterior de formas multilineales define un producto exterior natural para formas diferenciales, que juegan un papel importante en diversas áreas de la geometría diferencial.

En particular, la [[derivada exterior]] le da al álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad la estructura de un [[álgebra graduada diferencial]]. La derivada exterior conmuta con el [[Aplicación regrediente|regrediente]] en aplicaciones diferenciables entre múltiples, y por lo tanto, es un [[operador diferencial]] [[Transformación natural|natural]]. El álgebra exterior de formas diferenciales, equipada con la derivada exterior, es un [[complejo de cadenas]] cuya cohomología se llama [[cohomología de De Rham]] de la variedad subyacente y juega un papel vital en la [[topología algebraica]] de variedades diferenciables.

=== Teoría de la representación ===
En [[teoría de la representación]], el álgebra exterior es uno de los dos [[functor de Schur|functores de Schur]] fundamentales en la categoría de los espacios vectoriales, el otro es el [[álgebra simétrica]]. Juntas, estas construcciones se utilizan para generar la [[representación irreducible]] del [[grupo lineal general]]; véase [[representación fundamental]].

=== Superespacio ===
El álgebra exterior sobre los números complejos es el ejemplo arquetípico de una [[superálgebra]], que juega un papel fundamental en las teorías físicas pertenecientes a los [[fermión|fermiones]] y la [[supersimetría]]. Un solo elemento del álgebra exterior se llama '''supernúmero'''<ref>[[Bryce DeWitt]], ''Supermanifolds'', (1984) Cambridge University Press {{ISBN|0-521-42377-5}}. ''(See Chapter 1, page 1.)''</ref> o [[número de Grassmann]]. El álgebra exterior en sí es entonces solo un [[superespacio]] unidimensional: es solo el conjunto de todos los puntos en el álgebra exterior. La topología en este espacio es esencialmente una [[topología débil]], siendo los [[conjunto abierto|conjuntos abiertos]] los [[conjuntos cilíndricos]]. Un superespacio de dimensión {{math|''n''}} es solo el producto de {{math|''n''}}-hojas de las álgebras exteriores.

=== Homología de álgebra de Lie ===
Sea ''L'' un álgebra de Lie sobre un campo ''K''. Entonces, es posible definir la estructura de un [[complejo de cadenas]] en el álgebra exterior de ''L''. Esta es una aplicación ''K''-lineal

: <math>\partial : {\textstyle\bigwedge}^{p+1}L\to{\textstyle\bigwedge}^p L</math>

definida en elementos descomponibles por

: <math>\partial (x_1\wedge\cdots\wedge x_{p+1}) = \frac{1}{p+1}\sum_{j<\ell}(-1)^{j+\ell+1}[x_j,x_\ell]\wedge x_1\wedge\cdots\wedge \hat{x}_j\wedge\cdots\wedge\hat{x}_\ell\wedge\cdots\wedge x_{p+1}.</math>

La [[identidad de Jacobi]] se cumple si y solo si {{nowrap|1=∂∂ = 0}}, por lo que esta es una condición necesaria y suficiente para que un álgebra no asociativa anticomutativa ''L'' sea un álgebra de Lie. Además, en ese caso Λ''L'' es un [[complejo de cadenas]] con el operador de límite ∂. La [[Homología (matemática)|homología]] asociada a este complejo es la [[homología del álgebra de Lie]].

=== Álgebra homológica ===
El álgebra exterior es el ingrediente principal en la construcción del [[complejo de Koszul]], un objeto fundamental en [[álgebra homológica]].

== Historia ==
El álgebra exterior fue introducida por primera vez por [[Hermann Grassmann]] en 1844 bajo el término general de ''Ausdehnungslehre'' o ''Teoría de la extensión''.<ref>{{harvcoltxt|Kannenberg|2000}} publicó una traducción del trabajo de Grassmann en inglés; tradujo ''Ausdehnungslehre'' como ''Teoría de la extensión''.</ref>
Este concepto se refiere más generalmente a una teoría algebraica (o axiomática) de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la noción moderna de [[espacio vectorial]]. [[Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant|Saint-Venant]] también publicó ideas similares de cálculo exterior por las que reclamó la prioridad sobre Grassmann.<ref>J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).</ref>

El álgebra en sí se construyó a partir de un conjunto de reglas, o axiomas, que capturan los aspectos formales de la teoría de los multivectores de Cayley y Sylvester. Por lo tanto, era un ''cálculo'', muy parecido a la [[lógica proposicional]], excepto en que se enfocaba exclusivamente en la tarea del razonamiento formal en términos geométricos.<ref>En el pasado, los autores se han referido a este cálculo de diversas formas como ''cálculo de extensión'' ({{harvnb|Whitehead|1898}};{{harvnb|Forder|1941}}) o "álgebra extensiva" {{harv|Clifford|1878}}, y recientemente como ''álgebra vectorial extendida''.{{harv|Browne|2007}}.</ref> En particular, este nuevo desarrollo permitió una caracterización ''axiomática'' de la dimensión, una propiedad que antes solo había sido examinada desde el punto de vista de las coordenadas.

La importancia de esta nueva teoría de vectores y [[multivector]]es se perdió para los matemáticos de mediados del {{siglo|XIX||s}},<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|p=661}}.</ref> hasta ser examinada a fondo por [[Giuseppe Peano]] en 1888. El trabajo de Peano también permaneció algo oscuro hasta el cambio de siglo, cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometría francesa (notablemente [[Henri Poincaré]], [[Élie Cartan]] y [[Jean Gaston Darboux]]) que aplicaron las ideas de Grassmann al cálculo de [[forma diferencial|formas diferenciales]].

Poco tiempo después, [[Alfred North Whitehead]], tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann, presentó su [[álgebra universal]]. Esto allanó el camino para los desarrollos del [[álgebra abstracta]] en el {{siglo|XX||s}} al colocar la noción axiomática de un sistema algebraico sobre una base lógica firme.

== Véase también ==

* [[Álgebra de Clifford]], una generalización del álgebra exterior usando una [[forma cuadrática]] distinta de cero
* [[Álgebra multilineal]]
* [[Álgebra tensorial]]
* [[Álgebra geométrica]]

== Referencias ==
{{reflist|2}}

== Bibliografía ==

=== Textos matemáticos ===
* {{citation |last1=Bishop |first1=R. |author1-link=Richard L. Bishop |last2=Goldberg |first2=S. I. |year=1980 |title=Tensor analysis on manifolds |publisher=Dover |isbn=0-486-64039-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/tensoranalysison00bish }}
: Incluye un tratamiento de tensores alternos y formas alternas, así como una discusión detallada de la dualidad de Hodge desde la perspectiva adoptada en este artículo.
* {{cita publicación | apellidos=Astrophysics Group, Cavendish Laboratory | nombre=Cambridge | título=Álgebra del Espacio-Tiempo (Álgebra Geométrica, Clifford y Grassman) | fecha=2005 | pages=1–116 | publicación= arXiv:0509178 | url=https://www.academia.edu/105276251/%C3%81lgebra_del_Espacio_Tiempo_y_F%C3%ADsica_de_Electrones_%C3%81lgebra_Geom%C3%A9trica_Clifford_y_Grassman_ | idioma=Español }} (Texto en español)
* {{citation |last=Bourbaki |first=Nicolas |author-link=Nicolas Bourbaki |year=1989 |title=Elements of mathematics, Algebra I |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-64243-9}}
: Esta es la "principal referencia matemática" del artículo. Introduce el álgebra exterior de un módulo sobre un anillo conmutativo (aunque este artículo se especializa principalmente en el caso en el que el anillo es un campo), incluida una discusión de la propiedad universal, la funcionalidad, la dualidad y la estructura bialgebraica. Consulte §III.7 y §III.11.
* {{citation |last1=Bryant |first1=R. L. |author1-link=Robert Bryant (mathematician) |last2=Chern |first2=S. S. |author-link2=Shiing-Shen Chern |last3=Gardner |first3=R. B. |last4=Goldschmidt |first4=H. L. |last5=Griffiths |first5=P. A. |author-link5=Philip A. Griffiths |year=1991 |title=Exterior differential systems |publisher=Springer-Verlag}}
: Este libro contiene aplicaciones de álgebras exteriores a problemas en [[ecuación en derivadas parciales]]. El rango y los conceptos relacionados se desarrollan en los primeros capítulos.
* {{citation |last1=Mac Lane |first1=S. |author-link1=Saunders Mac Lane |last2=Birkhoff |first2=G. |author-link2=Garrett Birkhoff |year=1999 |title=Algebra |publisher=AMS Chelsea |isbn=0-8218-1646-2}}
: Las secciones 6 a 10 del capítulo XVI dan una descripción más elemental del álgebra exterior, incluida la dualidad, los determinantes y menores, y las formas alternas.
* {{citation |last=Sternberg |first=Shlomo |author-link=Shlomo Sternberg |year=1964 |title=Lectures on Differential Geometry |publisher=Prentice Hall}}
: Contiene un tratamiento clásico del álgebra exterior como tensores alternos y aplicaciones a la geometría diferencial.

=== Textos históricos ===
* {{harv|Bourbaki|1989b}} Nota histórica en los capítulos II y III
* {{citation |last=Clifford |first=W. |author-link=William Kingdon Clifford |year=1878 |title=Applications of Grassmann's Extensive Algebra |journal=American Journal of Mathematics |publisher=The Johns Hopkins University Press |doi=10.2307/2369379 |jstor=2369379 |volume=1 |issue=4 |pages=350–358}}
* {{citation |last=Forder |first=H. G. |year=1941 |title=The Calculus of Extension |publisher=Cambridge University Press}}
* {{citation |last=Grassmann |first=Hermann |author-link=Hermann Grassmann |year=1844 |title=Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik |language=de |url=https://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&q=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik&pg=PA1}} (La teoría de la extensión lineal: una nueva rama de las matemáticas) [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN534901565 referencia alternativa]
* {{citation |last=Kannenberg |first=Lloyd |year=2000 |title=Extension Theory (translation of Grassmann's ''Ausdehnungslehre'') |publisher=American Mathematical Society |isbn=0-8218-2031-1}}
* {{citation |last=Peano |first=Giuseppe |author-link=Giuseppe Peano |year=1888 |title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva}}; {{citation |last=Kannenberg |first=Lloyd |year=1999 |title=Geometric calculus: According to the Ausdehnungslehre of H. Grassmann |publisher=Birkhäuser |isbn=978-0-8176-4126-9 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/geometriccalculu0000pean }}.
* {{citation |last=Whitehead |first=Alfred North |author-link=Alfred North Whitehead |year=1898 |title=A Treatise on Universal Algebra, with Applications |publisher=Cambridge |url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=01950001&seq=5}}

== Lecturas relacionadas ==
<!--For works inessential to the article, though these may also have been referenced in passing.-->
* {{citation |last=Browne |first=J. M. |year=2007 |title=Grassmann algebra – Exploring applications of Extended Vector Algebra with Mathematica |url=http://www.grassmannalgebra.info/grassmannalgebra/book/index.htm |fechaacceso=25 de enero de 2021 |fechaarchivo=19 de febrero de 2009 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20090219180241/http://grassmannalgebra.info/grassmannalgebra/book/index.htm |deadurl=yes }}
: Una introducción al álgebra exterior y al [[álgebra geométrica]], con un enfoque en aplicaciones. También incluye una sección de historia y bibliografía.
* {{citation |last=Spivak |first=Michael |author-link=Michael Spivak |year=1965 |title=Calculus on manifolds |publisher=Addison-Wesley |isbn=978-0-8053-9021-6}}
: Incluye aplicaciones del álgebra exterior a formas diferenciales, específicamente enfocadas a la [[integración]] y al [[teorema de Stokes]]. La notación Λ<sup>''k''</sup>''V '' en este texto se usa para significar el espacio de ''k''-formas alternas en ''V''; es decir, para Spivak Λ<sup>''k''</sup>''V '' es lo que este artículo llamaría Λ<sup>''k''</sup>''V''<sup>∗</sup>. Spivak analiza esto en el Anexo 4.
* {{citation |last=Strang |first=G. |author-link=Gilbert Strang |year=1993 |title=Introduction to linear algebra |publisher=Wellesley-Cambridge Press |isbn=978-0-9614088-5-5}}
: Incluye un tratamiento elemental de la axiomatización de determinantes como áreas orientadas (con signo), volúmenes y volúmenes de mayor dimensión.
* {{springer|id=E/e037080|title=Exterior algebra|author=Onishchik, A.L.}}
* Wendell H. Fleming (1965) '' Funciones de varias variables '', [[Addison-Wesley]].
: Capítulo 6: Álgebra exterior y [[cálculo diferencial]], páginas 205–38. Este libro de texto sobre [[cálculo multivariable]] introduce hábilmente el álgebra exterior de formas diferenciales en la secuencia de cálculo para universidades.
* {{citation |last=Winitzki |first=S. |year=2010 |title=Linear Algebra via Exterior Products |url=http://sites.google.com/site/winitzki/linalg}}
: Una introducción al enfoque sin coordenadas en álgebra lineal básica de dimensión finita, utilizando productos exteriores.
* {{cite book
  | last1 = Shafarevich | first1 = I. R. | author-link1 = Igor Shafarevich
  | last2=Remizov |first2=A. O.
  | year = 2012
  | title = Linear Algebra and Geometry
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | isbn = 978-3-642-30993-9
  | url = https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9}}
: Capítulo 10: El producto exterior y las álgebras exteriores
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdf "El método Grassmann en geometría proyectiva"] Una compilación de traducciones al inglés de tres notas de Cesare Burali-Forti sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_diff._geom._following_grassmann.pdf C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, a continuación el método de H. Grassmann"] Una traducción al inglés de un libro antiguo sobre las aplicaciones geométricas de las álgebras exteriores
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/grassmann_-_mechanics_and_extensions.pdf "Mecánica, según los principios de la teoría de la extensión"] Una traducción al inglés de uno de los trabajos de Grassmann sobre las aplicaciones del álgebra exterior

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[[Categoría:Álgebras asociativas]]
[[Categoría:Álgebra multilineal]]