Ver el código de «Producto vectorial»

[[Archivo:Cross product parallelogram.svg|miniatura|El área de un paralelogramo como la magnitud de un producto cruzado]]

En [[matemáticas]], el '''producto vectorial de [[Josiah Willard Gibbs|Gibbs]]''' o '''producto cruz''' es una [[operación binaria]] entre dos [[vector]]es en un [[Espacio euclídeo|espacio]] tridimensional. El resultado es un vector [[Perpendicularidad|perpendicular]] a los vectores que se multiplican, y por lo tanto [[Vector normal|normal]] al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, [[Física|físicos]] o de [[ingeniería]].

Como el producto punto, depende del [[espacio métrico|métrico]] del [[espacio euclídeo]], pero a diferencia del producto punto, también depende de una elección de [[Orientabilidad|orientación]] (o "[[regla de la mano derecha|mano]]") del espacio (por eso se necesita un espacio orientado). En relación con el producto cruzado, el [[álgebra exterior|producto exterior]] de vectores puede utilizarse en dimensiones arbitrarias (con un resultado [[bivector]] o [[forma diferencial]]) y es independiente de la orientación del espacio.

El producto se puede generalizar de varias maneras, utilizando la orientación y la estructura métrica al igual que para el producto cruzado tradicional de 3 dimensiones, uno puede, en {{mvar|n}} dimensiones, tomar el producto de {{math|''n'' - 1}} vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, sólo existe en tres y siete dimensiones.<ref name="Massey2">{{cite journal |title=Productos cruzados de vectores en espacios euclídeos de dimensión superior |first=William S. |last=Massey |author-link=William S. Massey |jstor=2323537 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |issue=10 |date=December 1983 |pages=697-701 |doi=10.2307/2323537 |s2cid=43318100 |url=https://pdfs. semanticscholar.org/1f6b/ff1e992f60eb87b35c3ceed04272fb5cc298.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20210226011747/https://pdfs.semanticscholar.org/1f6b/ff1e992f60eb87b35c3ceed04272fb5cc298.pdf |archive-date=2021-02-26 |quote=Si uno requiere sólo tres propiedades básicas del producto cruzado... resulta que un producto cruzado de vectores existe sólo en el espacio euclídeo de 3 dimensiones y 7 dimensiones. }}</ref> Sin embargo, el «producto cruzado en siete dimensiones» tiene propiedades indeseables; por ejemplo, no satisface la [[identidad de Jacobi]], por lo que no se utiliza en física matemática para representar cantidades como el [[espacio-tiempo]] multidimensional.<ref>{{Cite book |last=Arfken |first=George B. |title=Métodos matemáticos para físicos |publisher=Elsevier |year= |isbn= |edition=4th}}</ref>
[[File:Cross product vector.svg|thumb|right|El producto cruzado con respecto a un sistema de coordenadas diestras]]
== Definición ==

[[Archivo:crossproduct.png|miniatura|Relaciones entre los vectores.]]
Sean dos vectores <math>\mathbf a </math> y <math> \mathbf b</math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. El producto vectorial entre <math>\mathbf a\,</math> y <math>\mathbf b\,</math> da como resultado un nuevo [[vector]], <math>\mathbf c\,</math>. El producto vectorial <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> se denota mediante <math>\mathbf a \times \mathbf b</math>, por ello se lo llama también ''producto cruz''. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra '''x''' (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:<ref>Spiegel, 1992, p. 96</ref>
{{ecuación|
<math>\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, \qquad \mathbf{a} \times \mathbf{b}</math>
||left}}
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
{{ecuación|
<math>{\mathbf a \times \mathbf b = (||\mathbf{a}||  ||\mathbf{b}|| \sen{\theta})\ \hat{\mathbf n}}</math>
||left}}
[[File:Producto Vectorial según el angulo entre vectores.gif|miniatura|Producto vectorial según el ángulo entre vectores]]
donde <math>\hat{\mathbf n}</math> es el [[vector unitario]] y [[Ortogonalidad (matemáticas)|ortogonal]] a los vectores '''a''' y '''b''' y su dirección está dada por la [[regla de la mano derecha]] y ''θ'' es, como antes, el ángulo entre '''a''' y '''b'''. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

=== Precisiones ===
Se denomina producto vectorial del vector  '''a''' por el vector   '''b''' <ref>Únicamente, se define el producto vectorial para vectores del espacio  R<sup>3</sup> </ref> al vector denotado por '''<math> a \times b </math>''' y definido por las tres exigencias siguientes:
* el módulo de   '''<math> a \times b </math>''' es igual al  módulo de  '''a''' por módulo de '''b'''   por  '''<math> sen \phi </math>''', en donde '''<math> \phi </math>''' es el ángulo orientado formado por los vectores  '''a y  b''' 
* el vector  '''<math> a \times b </math>'''  es perpendicular a cada uno  de los vectores   '''a y  b'''  
*la dirección del vector  '''<math> a \times b </math>'''  respecto a los vectores   '''a y  b'''   es igual que la del eje coordenado '''Oz''' respecto a los ejes coordenados '''Ox y Oy''', como si girase '''de Ox a Oy''' y avanzase en la dirección positiva de '''Oz'''.

=== Producto vectorial de dos vectores ===
[[Archivo:Producto vectorial 2.png|derecha|190px|thumb|Producto vectorial.]]
Sean los vectores concurrentes de <math> \mathbb{R}^3 </math>, el [[espacio afín]] tridimensional según la base anterior. Se define el producto:
: <math>
   \mathbf u =
   u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k
</math>
: <math>
   \mathbf v =
   v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k
</math>
: <math>
   \mathbf w = 
   w_x \mathbf i + w_y \mathbf j + w_z \mathbf k
</math>

Donde '''w''' es el producto vectorial de '''u''' y '''v''', definido así:
: <math>
   \begin{array}{rrcl}
      \times : & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3      \\
               & (\mathbf u , \mathbf v)          & \longrightarrow & \mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v
   \end{array} 
</math>

donde la última fórmula se interpreta como:
: <math>
   \mathbf w =
   \mathbf u \times \mathbf v = 
   (u_yv_z-u_zv_y)\mathbf i +

 (u_zv_x-u_xv_z) \mathbf j + (u_xv_y-u_yv_x) \mathbf k
</math>

esto es:
: <math>
   w_x =
   u_y v_z - u_z v_y
</math>
: <math>
   w_y =
   u_z v_x - u_x v_z
</math>
: <math>
   w_z =
   u_x v_y - u_y v_x
</math>

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un [[Determinante_(matemática)|determinante]] simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

:<math>
   \mathbf w =
   \mathbf u \times \mathbf v =
   \begin{vmatrix}
      \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
      u_x & u_y & u_z \\
      v_x & v_y & v_z \\
   \end{vmatrix}
   =
   \begin{vmatrix}
      u_y & u_z \\
      v_y & v_z \\
   \end{vmatrix}
   \mathbf i -
   \begin{vmatrix}
      u_x & u_z \\
      v_x & v_z \\
   \end{vmatrix}
   \mathbf j +
   \begin{vmatrix}
      u_x & u_y \\
      v_x & v_y \\
   \end{vmatrix}
   \mathbf k
</math>

Que da origen a la llamada [[regla de la mano derecha]] o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de <math> \mathbf u \times \mathbf v </math> es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

=== Ejemplo ===
El producto vectorial de los vectores <math>\mathbf a = (2,0,1)</math> y <math>\mathbf b = (1,-1,3)</math> se calcula del siguiente modo:

: <math>
   \mathbf c =
   \mathbf a \times \mathbf b =
   \begin{vmatrix}
      \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
      2         & 0         & 1         \\
      1         & -1        & 3         \\
   \end{vmatrix}
</math>

Expandiendo el [[Determinante (matemática)|determinante]]:
: <math>
   \mathbf c =
   \mathbf a \times \mathbf b =
   \mathbf i
   \begin{vmatrix}
       0 & 1 \\
      -1 & 3 \\
   \end{vmatrix}
   - \mathbf j
   \begin{vmatrix}
      2 & 1 \\
      1 & 3 \\
   \end{vmatrix}
   + \mathbf k
   \begin{vmatrix}
      2 & 0 \\
      1 & -1 \\
   \end{vmatrix}
   = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
</math>

Dando como resultado:
: <math>
   \mathbf c =
   \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
</math>


Puede verificarse fácilmente que <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> es ortogonal a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> efectuando el [[producto escalar]] y verificando que este es nulo (condición de [[perpendicular]]idad de vectores)

== Propiedades ==

=== Identidades ===
Cualesquiera que sean los vectores <math> \mathbf a </math>, <math> \mathbf b </math> y <math> \mathbf c </math>:

# <math>
( \mathbf a \times \mathbf b)\times \mathbf c \ne \mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) </math>; el producto vectorial no es asociativo
# <math>
 \mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a) </math>; [[anticonmutatividad]]
# <math> \mathbf a \cdot ( \mathbf a \times \mathbf b ) = 0 </math>; cancelación por ortogonalidad.
# Si <math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0</math> con <math>\mathbf a \neq \mathbf 0 </math> y <math> \mathbf b \neq \mathbf 0 </math>, <math>\Rightarrow \mathbf a \| \mathbf b </math>; la anulación del producto vectorial proporciona la [[Paralelismo_(matemática)|condición de paralelismo]] entre dos direcciones.
# <math> ( \mathbf a + \mathbf b ) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c </math>; distributividad por derecha e izquierda
# <math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) =  \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)</math>; conocida como [[Doble producto vectorial|regla de la expulsión]].
# <math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = \mathbf 0 </math>; conocida como identidad de [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]].
#<math>\left\|\mathbf a \times \mathbf b\right\| = \left\|\mathbf a\right\|\left\|\mathbf b\right\|\left|\sen \theta\right| </math>, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>,  siendo <math> \theta </math>, el ángulo menor entre los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del [[paralelogramo]] que definen ambos vectores.
# El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto vectorial: <math>\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\| = \left(\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2 -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\right)^{1/2}</math>
# El vector unitario <math> \hat{\mathbf n} = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|} </math> es normal al [[plano (geometría)|plano]] que contiene a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>.
#  <math>
 \mathbf a \times \mathbf a = \mathbf 0  </math>;<ref> un vector es paralelo a sí mismo </ref> el producto vectorial es nilpotente
# <math>
 \lambda (\mathbf a \times \mathbf b) = (\lambda  \mathbf a ) \times \mathbf b =  \mathbf a \times (\lambda \mathbf b) </math>; el producto vectorial es bihomogéneo

=== Bases ortonormales y producto vectorial ===
Sea un [[sistema de referencia]] <math> S = \{O; \mathbf i , \mathbf j , \mathbf k \} </math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. Se dice que <math> S \,</math> es una [[Base (álgebra)|base]] ortonormal ''derecha'' si cumple con las siguientes condiciones:

# <math> \mathbf i \cdot \mathbf j = \mathbf j \cdot \mathbf k = \mathbf k \cdot \mathbf i = 0 </math>; es decir, los tres vectores son [[ortogonal]]es entre sí.
# <math> |\mathbf i|= |\mathbf j|= |\mathbf k|= 1 </math>; es decir, los vectores son [[Vector unitario|vectores unitarios]] (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son [[ortonormal]]es).
# <math>\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k </math>, <math> \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i </math>, <math> \mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j</math>; es decir, cumplen la [[regla de la mano derecha]].
# <math>\mathbf j \times \mathbf i = -\mathbf k </math>, <math> \mathbf k \times \mathbf j = -\mathbf i </math>, <math> \mathbf i \times \mathbf k = -\mathbf j</math>; cuando se cambia el orden, el resultado cambia de signo.

=== Vectores axiales ===
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra magnitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman [[vector axial|pseudovectores o vectores axiales]]. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un [[vector (física)#Requirimientos físicos de las magnitudes vectoriales|vector físico]].

=== Dual de Hodge ===
{{AP|Dual de Hodge}}
En el formalismo de la [[geometría diferencial]] de las [[variedad riemanniana|variedades riemannianas]] la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
{{ecuación|
<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
*(\phi_\mathbf{a} \wedge \phi_\mathbf{b})</math>
||left}}
Donde <math>\phi_\mathbf{a}, \phi_\mathbf{b}</math> denotan las [[1-forma]]s naturalmente asociadas a los dos vectores, y <math>*\,</math> denota el [[dual de Hodge|operador estrella de Hodge]].

=== Volumen de un paralelogramo/Triple producto escalar ===
[[Archivo:Paralelepípedo determinado por tres vectores.svg|miniaturadeimagen|Paralelepípedo determinado por tres vectores]]
Sean <math>\vec{u}</math>, <math> \vec{v}</math> y <math>\vec{w}</math> tres [[Vector|vectores]], que no se encuentran en el mismo plano y que forman tres lados de un [[paralelepípedo]]. Como sabemos, el [[volumen]] de cualquier objeto tridimensional se define por el área de la base y su altura. 

Como anteriormente vimos en este artículo, el área de un [[paralelogramo]] (la base del paralelepípedo) se define por el producto vectorial de dos vectores <math>\lVert \vec{u} \times\vec{v}\rVert</math> en donde <math>\vec{u}\times\vec{v}</math> es un vector perpendicular a este, 

por lo tanto, es necesario obtener la proyección de <math>\vec{w}</math> en la dirección <math>\vec{u}\times\vec{v}</math>; entonces, dado que la proyección de un vector está dada por <math>\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert \vec{v} \rVert}</math> podemos decir que la altura está dada por:

<math>h=\left \vert \frac{{\vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})}}{\lVert \vec{u}\times\vec{v} \rVert} \right \vert</math>

Entonces el volumen se define como:

<math>v= \lVert \vec{u}\times\vec{v} \rVert\left \vert \frac{{\vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{u})}}{\lVert \vec{u}\times\vec{v} \rVert} \right \vert</math><math>=|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|</math>

El volumen de un paralelepípedo está definido como un triple producto escalar. 

== Generalización a más dimensiones ==
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, este puede generalizarse a ''n'' dimensiones, con ''n'' ≠ 0, 1, y solo tendrá sentido si se usan ''n''-1 vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado solo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de ''n'' vectores vendrá dado por:
{{ecuación|
<math>V^a = \varepsilon^{a_1\dots a_{n-1}}V_1^{a_1}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}.</math> <!--Quizá debería aclararse mejor esta fórmula.-->
||left}}

== Otros productos vectoriales ==

Dados dos vectores, se definen tres [[operación matemática|operaciones matemáticas]] de tipo producto entre ellos:
* [[Producto escalar]] (el resultado de la operación es un [[Escalar (matemática)|escalar]])
* Producto vectorial (el resultado es un [[vector]])
* [[Producto tensorial]]

El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase [[operador norma]]) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado [[producto mixto]] de tres vectores.

En el [[espacio afín]] bidimensional, <math> \mathbb{R}^2 </math>, el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo [[espacio vectorial]], esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el [[espacio afín]] tridimensional, <math> \mathbb{R}^3 </math>, el producto vectorial es una operación interna.

== Véase también ==
* [[Base (álgebra)]]
* [[ortogonal|Base ortogonal]]
* [[ortonormal|Base ortonormal]]
* [[Combinación lineal]]
* [[Doble producto vectorial]]
* [[Espacio vectorial]]
* [[Independencia lineal]]
* [[Producto escalar]]
* [[Producto mixto]]
* [[Producto tensorial]]
* [[Sistema generador]]

== Notas y referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita libro|autor=Ortega, Manuel R.|título=Lecciones de física (4 volúmenes)|año=1989-2006|editorial=Monytex|isbn=ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7|idioma=español}}
* {{cita libro|autor=Resnick, Robert & Krane, Kenneth S.|título=Physics|ubicación=Nueva&nbsp;York|editorial=John Wiley & Sons|año=2001|isbn=0-471-32057-9|idioma=inglés}}
* {{cita libro|autor=Spiegel, M. & Abellanas, L.|título=Fórmulas y tablas de matemática aplicada|ubicación=|editorial=McGraw-Hill|año=1988|isbn=84-7615-197-7|idioma=español}}
* {{Cite book
 | last=Cajori
 | first=Florian
 | author-link=Florian Cajori
 | title=A History Of Mathematical Notations Volume II
 | year=1929
 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]]
 | url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0
 | isbn=978-0-486-67766-8
 | page=[https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/pages/134 134]
}}
* {{Cite book
 |last=Crowe
 |first=Michael J.
 |title=A History of Vector Analysis
 |url=https://archive.org/details/historyvectorana00crow
 |url-access=limited
 |year=1994
 |publisher=Dover
 |isbn=0-486-67910-1
}}
* [[E. A. Milne]] (1948) [[Vectorial Mechanics]], Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: [[Methuen Publishing]].
* {{Cite book
 | last=Wilson
 | first=Edwin Bidwell
 | title=Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs
 | year=1901
 | publisher=[[Yale University Press]]
 | isbn=<!--none-->
 | url=https://archive.org/details/117714283
}}
* {{Cite book
 |author = T. Levi-Civita
 |author2 = U. Amaldi
 |title = Lezioni di meccanica razionale
 |publisher = Zanichelli editore
 |location = Bologna
 |year = 1949
 |language = it
}}

== Enlaces externos ==
* {{IMMP|RealComplexProducts|Real and Complex Products of Complex Numbers|clase=arithmetic/algebra}}
* {{MathWorld|CrossProduct|Cross Product}}
* {{Springer |title = Cross product |id = p/c027120}}
* [http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/04/dot-and-cross-products.html A quick geometrical derivation and interpretation of cross products]
* [https://web.archive.org/web/20060424151900/http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html An interactive tutorial] created at [[Syracuse University]] – (requires [[Java (programming language)|java]])
* [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/Cross.pdf W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).]
* [https://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-vectorprod-2009-1.pdf The vector product], Mathcentre (UK), 2009

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Vectores]]