Ver el código de «Raíz cuadrada»

[[Archivo:Racine carrée bleue.svg|thumb|Expresión matemática de "Raíz cuadrada de ''x''".]]
En [[matemáticas]], la '''raíz cuadrada''' de un número <math>x</math> es aquel número <math>y</math> que [[Cuadrado (álgebra)|al ser multiplicado por sí mismo]] da como resultado el valor <math>x</math>, es decir, cumple la ecuación <math>y^2=x</math>.<ref>Álgebra moderna - Estructura y método. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. México, México,  1986. </ref>
Se corresponde con la [[radicación]] de índice 2 o, equivalentemente, con la [[potenciación]] de exponente 1/2.<br>
Como toda raíz par de un real positivo tiene dos raíces opuestas entre sí, la denotada se establece según la notación específica consensuada.<br>Así, cualquier número real no negativo <math>x</math> tiene una raíz cuadrada positiva única o ''raíz cuadrada principal''<ref>En libros traducidos del inglés para la editorial Pearson impresos en México. Su uso era más general, para aplicarlo en raíces enésimas.</ref> denotada como <math>\sqrt{x}</math> donde <math>\sqrt{\;}</math> es el símbolo ''raíz'' y <math>x</math> es el ''radicando''. La notación habitual para referir a la raíz negativa es <math>-\sqrt{x}</math>  y para la positiva, <math>\sqrt{x}</math>; para ambas, <math>\pm\sqrt{x}</math> o bien <math>\mp\sqrt{x}</math> según el orden requerido. 

El concepto puede extenderse a cualquier [[Anillo (matemática)|anillo algebraico]], así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas [[Matriz (matemáticas)|matrices]]. En los [[cuaternión|números cuaterniónicos]], los números reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si ''f''º''f'' = ''g'', se puede plantear que ''f'' es la "raíz cuadrada" de ''g''.<ref>Plausible generalización al caso de un anillo no conmutativo</ref>

== Historia ==
Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El [[Papiro de Ahmes]] datado hacia 1650&nbsp;a.&nbsp;C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.</ref>

En la [[historia de la India|antigua India]], el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue, al menos, tan antiguo como los [[Sulba Sutras]], fechados entre el 500 y el 300&nbsp;a.&nbsp;C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el ''[[Baudhayana Sulba Sutra]]''.<ref>{{harvsp|Joseph|2000}}, cap. 8.</ref> [[Aryabhata]] (476-550) en su tratado ''[[Aryabhatiya]]'' (sección&nbsp;2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

Los [[Babilonia|babilonios]] [[Algoritmo babilónico|aproximaban]] raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la [[media aritmética]] reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión <math>a_0, a_1, a_2, a_3, \dots </math> dada por:<ref>Boyer: ''Historia de la matemática''</ref>
{{ecuación|
<math>a_{n+1}= \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a}{a_n}\right).</math>
||left}}

Puede demostrarse que esta [[sucesión matemática]] converge de manera que <math>a_n \to \sqrt{a}</math> (como valor inicial <math>a_0</math> puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el [[Matemática helénica|periodo pitagórico]], cuando el descubrimiento de que la [[raíz cuadrada de 2]] era [[número irracional|irracional]] ([[inconmensurable]]) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.

Inicialmente se demostró la utilidad de la raíz cuadrada para la resolución de problemas [[trigonometría|trigonométricos]] y [[geometría|geométricos]], como el cálculo de la longitud de la diagonal de un cuadrado o el [[teorema de Pitágoras]]. Posteriormente ganó utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de [[ecuación cuadrática|segundo grado]] o superior, y son en la actualidad una de las herramientas matemáticas más elementales.

[[David Eugene Smith]], en ''[[History of Mathematics]]'', dice acerca de la situación existente: {{cita|"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de [[Cataneo]] (1546). Él dio el método de [[Aryabhatta|Ariabhata]] para determinar la raíz cuadrada".<ref>{{harvsp|Smith|1925|p= 148}}.</ref>}}


[[Pietro Antonio Cataldi]] calculó en 1613 la raíz cuadrada aproximando por [[fracción continua|fracciones continuas]], como aparece en la obra común ''[[Historia de la matemática]]'' de [[Julio Rey Pastor]] y [[José Babini]].

Posteriormente, se fue ampliando la [[definición (matemática)|definición]] de raíz cuadrada. Varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de [[número real|números reales]] [[número negativo|negativos]] para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no fue sino hasta 1777 cuando el matemático suizo [[Leonhard Euler]] simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra ''i''. La generalización de la función raíz cuadrada de los números negativos da lugar al concepto de los [[número imaginario|números imaginarios]] y al [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] de los [[número complejo|números complejos]], algo necesario para que cualquier [[polinomio]] tenga todas sus raíces ([[teorema fundamental del álgebra]]).<ref>Milton Donaire Peña. ''Formas y números''. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9</ref> La [[matriz diagonalizable|diagonalización]] de [[matriz (matemática)|matrices]] también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.

=== Símbolo de la raíz cuadrada <math>(\sqrt{\ })</math> ===

En occidente a principios del {{siglo|XIII||s}} [[Juan Hispalense]], integrante de la incipiente [[escuela de traductores de Toledo]], tradujo al latín y español obras de astrónomos y matemáticos árabes: [[Albumasar]], [[Al-Kindi]], [[Al-Battani]] y [[Thábit ibn Qurra]] incorporando el signo " ? " como símbolo para la utilización de la raíz. También utilizará " ? " [[Leonardo de Pisa]] en su obra "Practica Geometriae".

El actual símbolo de la raíz cuadrada <math>(\sqrt{\ })</math> fue introducido en 1525 por el matemático [[Christoph Rudolff]] para representar esta operación,<ref>Boyer, Carl Benjamin (1992): ''Historia de la matemática'' (pág.&nbsp;360), traducido por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.</ref><ref>Ifrah, Georges (1997): ''Historia universal de las cifras'' (pág.&nbsp;1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.</ref> que aparece en su libro ''[[Coss]]'', el primer tratado de álgebra escrito en [[alemán vulgar]]. El signo no es más que una forma estilizada de la letra ''[[r]]'' [[minúscula]] para hacerla más elegante{{Cita requerida}}, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra [[latín|latina]] ''radix'', que significa [[raíz (matemática)|raíz]].

== Función raíz cuadrada ==
[[Archivo:Square root 0 25.svg|thumb|300px|La gráfica de la función <math> f(x) = \sqrt x </math> es una semi[[parábola (matemática)|parábola]] con [[directriz]] vertical.]]
 
La raíz cuadrada permite definir una [[función real]] cuyo [[Dominio de definición|dominio]] e [[Conjunto imagen|imagen]] es el conjunto <math>\left[0,\infty\right)</math> (el conjunto de todos los números reales no negativos). Para cada [[número real]] ''x'' esta función se define como el único número no negativo ''y'' que elevado al cuadrado es igual a ''x''. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de ''x'' se expresa de la siguiente manera:
{{ecuación|
<math>f(x) = \sqrt{x}</math>
||left}}
Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un [[cuadrado perfecto]], como por ejemplo:
{{ecuación|
<math> \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12 </math>
||left}}
ya que:
{{ecuación|
<math> 16 = 4\times 4 = 4^2, \quad 64 = 8\times 8 = 8^2, \quad 144 = 12\times 12 = 12^2 </math>
||left}}

La [[función (matemática)|función]] raíz cuadrada, en general, transforma [[número racional|números racionales]] en [[número algebraico|números algebraicos]]; <math>\sqrt x</math> es racional [[si y sólo si]] ''x'' es un número racional que puede escribirse como [[fracción]] de dos [[cuadrado perfecto|cuadrados perfectos]]. Si el denominador es <math>1^2 = 1\,</math>, entonces se trata de un [[número natural]]. Sin embargo, <math>\sqrt 2</math> es [[número irracional|irracional]].

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un [[número irracional]] se atribuye a los [[escuela pitagórica|pitagóricos]]. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico, por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.

La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la [[superficie (matemática)|superficie]] de un [[cuadrado]] en la [[longitud]] de su lado.

=== Propiedades generales ===
[[Archivo:Función Continua 044.svg|thumb|150px|Gráfica de la ecuación: <math> y^2 = x </math> o también <math> y = \pm \sqrt{x} </math> (como [[función multivaluada]]).]]

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los [[Número real|números reales]] no negativos ''x'', ''y'':

'''Raíz n-ésima del radicando:'''

<math>\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}=x^{n^{-1}}</math>

'''Propiedad de productos de raíces:'''

:<math>\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y \qquad \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}</math>

'''Con notación exponencial:'''

:<math>\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}.</math>

'''y también la equivalencia:'''

{{Demostración|título=
:<math>
\sqrt{x^2} = \left|x\right| = 
\begin{cases} 
  x,  & \text{si }x \ge 0 \\
  -x, & \text{si }x < 0
\end{cases}
</math> donde <math>x</math> es un número real.

|1=
Suponga que <math>x</math> y <math>a</math> son números reales cumpliendo la ecuación <math>x^2 = a</math> y se desea encontrar <math>x</math>.

Un error muy común es «tomar la raíz cuadrada» y deducir que <math>x = \sqrt a</math>. Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de ''<math>x^2</math>'' no es ''<math>x</math>'', sino su [[valor absoluto]], ''<math>|x|</math>'', de acuerdo a la regla descrita anteriormente.

Entonces todo lo que se puede concluir es que <math>\left| x \right| = \sqrt a</math>, o equivalentemente <math>x = \pm\sqrt a</math>. Esta doble posibilidad para ''<math>x</math>'' se debe a que la función valor absoluto no es una función inyectiva, por lo que puede haber dos elementos diferentes del dominio, ''<math>x_1</math>'' y ''<math>x_2</math>'', con una misma imagen. En este caso, la imagen es <math>\sqrt a</math>, y los elementos del dominio a los que les corresponde dicha imagen son <math>\sqrt a</math> y <math>-\sqrt a</math>.
}}

La función <math>\sqrt x</math> es continua para todos los números no negativos ''<math>x</math>'' y [[Derivada|derivable]] para todos los números positivos ''<math>x</math>'' (no es derivable para ''<math>x = 0</math>'' ya que la [[Pendiente de una recta|pendiente]] de la [[Tangente (geometría)|tangente]] ahí es [[infinito|infinita]]). Su derivada está dada por:
:<math>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}</math>

La [[serie de Taylor]] de <math>\sqrt{x+1}</math> en torno a ''x'' = 0 y convergente para |''x''| ≤ 1 se puede encontrar usando el [[teorema del binomio]]:

:<math>\sqrt{x+1}= \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n}\,x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots</math>

En [[Análisis matemático|cálculo]], cuando se prueba que la función raíz cuadrada es [[Continuidad (matemática)|continua]] o [[Derivada|derivable]], o cuando se calculan ciertos [[Límite de una función|límites]], es muy útil el multiplicar y dividir por el [[Binomio conjugado|número conjugado]]:

:<math>\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}</math>

y es válida para todos los números no negativos ''x'' e ''y'' que no sean ambos cero.

=== Irracionalidad de las raíces cuadradas ===

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los [[número entero|números enteros]] es que, si estos no son [[cuadrado perfecto|cuadrados perfectos]], sus raíces son siempre [[número irracional|números irracionales]], que son números no expresables como el [[cociente (aritmética)|cociente]] de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional no entero.

Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de [[número primo|factores primos]] elevados a diversos [[exponente]]s. De ser todos pares, las propiedades de la [[potenciación]] permiten reducir la raíz a un [[número natural]]. Solo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.

Si <math>\sqrt n</math> fuera racional se debería poder expresar como <math>\tfrac{p}{q}</math> con ''p'', ''q'' enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que <math>n = \tfrac{p^2}{q^2}</math>, lo que es [[absurdo]], pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto <math>p^2</math> como <math>q^2</math> se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.

Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la [[raíz cuadrada de 2]], atribuida a [[Hipaso de Metaponto]], un discípulo de [[Pitágoras]]. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada ''crisis de los inconmensurables'' de la [[Pitágoras#Matemáticas|filosofía pitagórica]].

No obstante, es exactamente la longitud de la [[diagonal]] de un [[cuadrado]] cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ese. [[Teodoro de Cirene]] llegó a la [[espiral de Teodoro|espiral que lleva su nombre]], que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente [[Euclides]] llegó a un método más general.

=== Radicales jerarquizados cuadrados ===
{{AP|Radical jerarquizado}}

En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma

: <math>\sqrt{A + \sqrt{B}}</math>

que en algunos casos puede ser escritos en la forma

:: <math>\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}</math>

lo que es factible si solo si ''x'' + ''y'' = ''A'', ''xy'' = ''B'' <!--, donde ''A'' > ''B'' -->.<ref>Alencar Filho, Edgard de: ''Exercicios de Geometria Plana'' [1986]</ref><ref>Bruño G. M.: ''Elementos de Geometría'' [1980]</ref> Las expresiones anteriores se denominan radicales jerarquizados.

La identidad <math>2=\sqrt{2+2}</math> implica que <math>2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}</math>, y por repeticiones sucesivas:
{{ecuación|
<math>2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}</math>
||left}}
Por razones análogas se obtiene:
{{ecuación|
<math>3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}</math>;
||left}}
o que
{{ecuación|
<math>4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}</math>;
||left}}
En general, si ''r ''es una entidad estrictamente superior a uno, entonces:
{{ecuación|
<math>r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}</math>
||left}}
Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el [[número áureo]] o el [[número pi]].<ref>''Elementos de Geometría'' de Bruño, pp. 148, 149 y 150</ref>

=== Fracciones continuas ===
{{AP|Fracción continua}}
Uno de los resultados más interesantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por el matemático francés [[Joseph-Louis Lagrange]] cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los [[Fracción|denominadores]]. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.

:<math>
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}\,
</math>

=== Aproximaciones enteras ===
La aproximación de raíces cuadradas a números enteros es común en ciertos problemas matemáticos, como la [[criba de Eratóstenes]] que aproxima en sus cálculos la raíz cuadrada al mayor entero tal que su cuadrado sea menor que el valor de la raíz. Las aproximaciones pueden ser por defecto — usando la [[función piso]] — o por exceso — usando la [[función techo]]—. Las primeras, dadas por defecto son las siguientes:
:{|class="wikitable" style="text-align: center
|-
!<math>n</math>
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
!...
!15
!16
!17
!...
!24
!25
!26
!27
!28
|-
!<math>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</math>
|1
|1
|1
|2
|2
|2
|2
|2
|3
|3
|...
|3
|4
|4
|...
|4
|5
|5
|5
|5
|}

Una observación de los primeros términos pone de manifiesto que en la construcción de esta tabla, se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente, el cero es repetido una vez, el 1 tres veces, el 2 cinco veces, el 3 siete veces, el 4 nueve veces, etc. El número de veces que el entero ''n'' se repite es el ''n''-ésimo entero [[Números pares e impares|impar]]. La demostración reside sobre la identidad siguiente, del tipo [[diferencia finita]]:

:<math> (a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,</math>

== Extensión de la función raíz cuadrada ==

=== La raíz cuadrada de un número complejo ===
[[Archivo:Complex sqrt leaf1.jpg|thumb|Raíz cuadrada compleja.]]
[[Archivo:Complex sqrt leaf2.jpg|thumb|Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.]]
[[Archivo:Riemann surface sqrt.jpg|thumb|Usando la [[superficie de Riemann]] de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.]]

El cuadrado de cualquier número real positivo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los [[números complejos]], que contienen soluciones a la raíz cuadrada de cualquier número real negativo (e incluso de cualquier número complejo).<ref>Alfhors. Complex Analysis</ref> Los números complejos pueden construirse definiendo un nuevo número abstracto, denotado por ''i'' (a veces ''j'', especialmente en el contexto de la [[electricidad]]) y llamado [[unidad imaginaria]], que satisface que ''i''<sup>2</sup> = -1. Utilizando esta notación podemos pensar en ''i'' como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-''i'')<sup>2</sup>= ''i''<sup>2</sup> = -1, así que (−''i'') es también una raíz cuadrada de −1. En general, si ''x'' es cualquier [[número real]] positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de ''−x'' se cumple la siguiente igualdad:
{{ecuación|
<math> \sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = \pm i\sqrt{x} </math>
||left}}
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es, necesariamente, un número imaginario.<ref>Espinoza. Diccionario de matemáticas. ISBN 84-8055-355-3. </ref> Para cada número complejo diferente a cero <math>z</math>, existen exactamente dos números <math>w</math>  tales que <math>w^2 = z\,\!</math>.

==== Raíz cuadrada de un número imaginario ====
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
{{ecuación|
<math>
\sqrt{\pm ix} =
\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}.
</math>
||left}}

Por ejemplo, las raíces cuadradas de <math>i</math> son:

: <math>
\sqrt{i} =
\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).
</math>

y
: <math>
- \sqrt{i} =
- \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).
</math>

==== Raíz cuadrada principal de un número complejo ====

La definición general de <math>\sqrt z</math> está introduciendo el siguiente [[punto de ramificación]]: si <math>z=re^{i\varphi}</math> es representado en [[coordenadas polares]] con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

: <math>\sqrt{z} = \sqrt{re^{i\varphi}} = \sqrt{r} \, e^{i\varphi \over 2} </math>

Así definido, la función de la raíz es [[función holomorfa|holomorfa]] en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso [[continuidad (matemática)|continua]]. La antedicha [[serie de Taylor]] para <math>\sqrt{1+x}</math> sigue siendo válida para el resto de los números complejos ''x'' con |''x''|&nbsp;<&nbsp;1.

También puede representarse en forma de [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]], utilizando la [[fórmula de Moivre]]. Si <math> z = r(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}) </math> entonces hay exactamente dos raíces cuadradas; la primera es: 

:<math> \sqrt{z} = \sqrt{r}\left ( \cos{\frac{\varphi}{2}} + i\sin{\frac{\varphi}{2}} \right ) </math>

y para la otra raíz se usa el argumento ''φ''/2 + π, siendo el módulo el mismo.<ref>Aplicación del Teorema de De Moivre. En ''Variable compleja con aplicaciones'' de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7 </ref>

==== Fórmula algebraica ====

En general, para un [[número complejo]] expresado en [[coordenadas cartesianas|forma cartesiana]], por medio de estas fórmulas se obtiene la raíz cuadrada principal:

:<math>\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \operatorname{Re}(z)}{2}} + i\ \sgn(\operatorname{Im}(z))\ \sqrt{\frac{|z| - \operatorname{Re}(z)}{2}},</math>

donde |''z''| es el [[valor absoluto]] o módulo del número complejo,
y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando (ver [[Función signo|función signo (sgn)]]). 

La otra raíz cuadrada se obtiene simplemente de multiplicar −1 por la raíz cuadrada principal, ambas raíces pueden ser escritas como
:<math>\pm\left(\sqrt{\frac{|z| + \operatorname{Re}(z)}{2}} + i\ \sgn(\operatorname{Im}(z))\ \sqrt{\frac{|z| - \operatorname{Re}(z)}{2}}\right)</math>

Esta fórmula puede ser usada para hallar las raíces de una ecuación (no algebraica) con coeficientes en ℂ.<ref>Alfhors: ''Variable complex''</ref>{{cr}}

==== Notas ====

Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el [[Plano (geometría)|plano]] complejo, la ley <math>\sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w</math> es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto, si se asume que esta ley es la base de varias [[demostración inválida|demostraciones inválidas]], por ejemplo el demostrar que <math>-1 = 1\,\!</math>:
: <math>
-1 =
i \cdot i =
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} =
\sqrt{-1 \cdot (-1)} =
\sqrt{1} =
\pm 1
</math>

Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como:
: <math>
\sqrt{1} = 1
\longrightarrow \quad
1 \cdot 1 =
1^2 =
1
</math>

: <math>
\sqrt{1} = -1
\longrightarrow \quad
(-1) \cdot (-1) =
(-1)^2 =
1
</math>

Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación.

=== Raíces cuadradas en los cuaterniones ===
Con los números complejos está asegurado que solo existe un número finito de raíces enésimas de la unidad. Así por ejemplo -1 tiene solo dos raíces complejas ''i'' e &minus;''i''. Sin embargo, en los [[cuaternión|números cuaterniónicos]] <math>\scriptstyle \mathbb{H}</math> hay un número infinito de raíces cuadradas de -1: de hecho el conjunto de soluciones forma una [[esfera]] en el espacio tridimensional. Para ver esto, sea ''q''&nbsp;=&nbsp;''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' un cuaternión, y supóngase que su cuadrado es &minus;1. En términos de ''a'', ''b'', ''c'' y ''d'' esa asunción implica que
{{ecuación|
:<math>a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = -1,</math>
:<math>2ab = 0,</math>
:<math>2ac = 0,</math>
:<math>2ad = 0.</math>
||left}}
Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas soluciones. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tenerse que ''a''&nbsp;=&nbsp;0 o bien ''b'' = ''c'' = ''d'' = 0, sin embargo, esta última [[Posible|posibilidad]] no puede darse ya que al ser ''a'' un número real la primera ecuación implicaría que ''a''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1, pero eso es imposible para un número real. Por tanto ''a''&nbsp;=&nbsp;0 y ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> = 1. En otras palabras. Nótese que solo un [[cuaternión]] que sea igual a un número real negativo puede tener un número infinito de raíces cuadradas. Todos los demás tienen solo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz). Dado un número cuaterniónico <math>a_0 + a_1i+ a_2j +a_3k</math> (que no sea un real negativo) sus dos raíces cuaterniónicas son:
{{ecuación|
<math>\pm b_0 + \frac{a_1 i + a_2 j + a_3 k}{2b_0}, \qquad b_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}
\sqrt{a_0 + \sqrt{a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2}}</math>
||left}}
Lo anterior implica que la ecuación:
{{ecuación|
<math>z_q^{2n} = 1, \qquad z_q\in\mathbb{H}, n\in\mathbb{N}.</math>
||left}}
tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

=== Raíz cuadrada de matrices ===
{{AP|Raíz cuadrada de una matriz}}
La existencia de un [[producto de matrices]] permite definir la raíz cuadrada de una [[matriz (matemática)|matriz]] como aquella matriz ''B'' que multiplicada por sí misma da la original ''A'', es decir, ''B''<sup>2</sup>=''A'' luego ''B''=√''A''.

=== Raíz cuadrada en cuerpo finito ===
* Primero definamos los cuadrados, por [[ejemplo]] en F[7] el conjunto de los restos enteros módulo 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signo = significa congruencia.<ref>Fraleigh: Álgebra abstracta</ref> No todos los números de F[7] tienen.
* 1<sup>2</sup> = 1; 2<sup>2</sup> = 4; 3<sup>2</sup> = 2; 4<sup>2</sup> = 2; 5<sup>2</sup> = 4; 6<sup>2</sup>= 1; 0<sup>2</sup> = 0.

* Diremos que ''a'' es la raíz cuadrada de ''b'' si ''a''<sup>2</sup> = ''b''; se denota <math>a = \sqrt{b}</math>.

* de la lista anterior se ve que
# <math> \sqrt{1} = 1</math>;
# <math> \sqrt{1} = 6</math>
# <math> \sqrt{2} = 3</math>;
# <math> \sqrt{2} = 4</math>;
# <math> \sqrt{4} = 2</math>;
# <math> \sqrt{4} = 5</math>;

== Cálculo de raíces cuadradas ==
{{AP|Cálculo de la raíz cuadrada}}
[[Archivo:Partes de la Raiz Cuadrada.PNG|right|300px]]
Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

=== Algoritmo ===
Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su [[método]] de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser [[Cálculo|calculada]] la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

# Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
# Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.
# Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.
# Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.
# Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

=== Utilizando logaritmos ===
Se simplifica el cálculo utilizando [[logaritmo]]s y sus [[Identidades logarítmicas|propiedades]] empleando las [[tabla de logaritmos|tablas de logaritmos]] o [[regla de cálculo|reglas de cálculo]].
::<math> \!\, \sqrt[2]{x} = \operatorname{antilog} \frac{\log(x)}{2} \,</math>

=== Algoritmos para máquinas ===
[[Calculadora]]s, [[hoja de cálculo|hojas de cálculo]] y otros ''[[software]]s'' también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la [[función exponencial]] y el [[logaritmo natural]] o [[logaritmo]], computándose después la raíz cuadrada de ''x'' usando la identidad:

: <math>
\sqrt{x} =
e^{\frac{1}{2}\ln x}</math> o <math>\sqrt{x} =
10^{\frac{1}{2}\log x}
</math>

== Construcción geométrica de la raíz cuadrada ==
La raíz cuadrada de un número real se puede construir con regla y compás. En sus [[Elementos de Euclides|Elementos]], [[Euclides]] (300 AC) dio la construcción de la [[media geométrica]] de dos cantidades en sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la media geométrica de <math>a</math> y <math>b</math> es <math>\sqrt{ab}</math>, uno puede construir <math>\sqrt{a}</math> simplemente tomando <math>b=1</math>.

La construcción también fue dada por [[René Descartes|Descartes]] en su libro [[La Géométrie]], vea la figura 2 en la [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00570001&seq=12&frames=0&view=50 segunda página].

Otro método de construcción geométrica (para las raíces de números naturales) usa [[triángulos rectángulos]] e [[Inducción matemática|inducción]]: <math>\sqrt{1} = 1</math> puede, desde luego, ser construido, y una vez que <math>\sqrt{x}</math> ha sido construido, el triángulo con 1 y <math>\sqrt{x}</math> como catetos, tiene una [[hipotenusa]] de <math>\sqrt{x+1}</math>.

=== Pasos a seguir para la construcción geométrica ===
[[Archivo:construction racine carree.png|thumbnail|right|AO = 1, OB = a, OH = x]]
Para "calcular" geométricamente la raíz cuadrada de un número real dado, lo que se hace es una construcción, mediante regla y [[Compás (instrumento)|compás]], de un segmento que mida la raíz cuadrada de la longitud de un segmento original que tenga por longitud ese valor real dado.

Los pasos a seguir son los siguientes:
# Trazamos un segmento <math>OB\,\!</math> de longitud <math>a\,\!</math>, es decir, de longitud igual al número del cual queremos calcular su raíz cuadrada.
# Extendemos el segmento <math>OB\,\!</math> en una unidad (según la longitud que hayamos tomado como unidad) de modo que tengamos el [[segmento]] <math>AB\,\!</math> de longitud <math>a + 1\,\!</math>.
# Trazamos un círculo que tenga como diámetro el segmento <math>AB\!</math>.
# En el punto <math>O\,\!</math> (que es donde empieza la extensión de longitud 1) trazamos una línea perpendicular a <math>AB\!</math>. Esta línea corta a la circunferencia en dos puntos. Sea <math>H\,\!</math> cualquiera de esos puntos. Entonces, resulta que el segmento <math>OH\,\!</math> tiene una longitud: <math>OH = \sqrt a</math>.

Esta construcción tiene su importancia en el estudio de los [[Número|números]] constructibles.

=== Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB ===
Para demostrar esta igualdad, demostraremos que los triángulos <math>AOH\,\!</math> y <math>HOB\,\!</math> son [[triángulos semejantes]]:
# El ángulo <math>H\,\!</math> es un ángulo recto (de 90º) ya que <math>AB\,\!</math> es la diagonal de un [[arco capaz]].
# El segmento <math>OH\,\!</math> es perpendicular, por construcción, al segmento <math>AB\,\!</math>. O sea que los dos ángulos con vértice en <math>O\,\!</math>, <math>BOH\,\!</math> (el derecho en el diagrama) como <math>HOA\,\!</math> (el izquierdo en el diagrama) son ángulos rectos.
# La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el siguiente sistema de [[Ecuación|ecuaciones]]:
# <math>180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!</math>
# <math>180 = 90 + A + H_i\,\!</math>

Donde <math>H_i\,\!</math> es el ángulo superior del triángulo izquierdo del cual desconocemos su abertura, las otras [[Letra|letras]] representan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo <math>H_d\,\!</math> se puede representar como la resta de <math>90 - H_i\,\!</math> ya que 90º es el valor de <math>H\,\!</math> entero.
Al resolver la primera ecuación vemos que:

:<math>180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!</math>;

::<math>H_i = B\,\!</math>.

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lo mismo y al resolver el segundo:

:<math>90 = A + H_i\,\!</math>;

::<math>A = 90 - H_i\,\!</math>.

Con lo que al ser <math>90 - H_i = H_d\,\!</math> se saca que <math>A = H_d\,\!</math> y con esto queda demostrado que al medir todos los [[Ángulo|ángulos]] lo mismo son triángulos semejantes de manera <math>A H_i O_i\,\!</math> ~ <math>H_d B O_d\,\!</math>. Al poseer esta semejante los lados de los [[Triángulo|triángulos]] tienen una proporcionalidad igual para los tres lados tal que:

:<math>\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}</math>

Recordando que al construir geométricamente la raíz <math>AO\,\!</math> siempre valía 1, con lo que tomando lo que nos interesa desarrollamos:

:<math>\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH}</math>;

::<math>OB = OH^2\,\!</math>;

:::<math>OH = \sqrt{OB}</math>.

Quedando demostrada.

== Raíces cuadradas útiles ==
{{AP|Anexo:Raíces cuadradas}}

[[Archivo:Square root of 2 triangle.png|thumb|200px|Raíz cuadrada de 2.]]

=== Raíz cuadrada de 2 ===
{{AP|Raíz cuadrada de 2}}

:<math>1^2+1^2 = x^2\,\!</math>

:<math>x = \sqrt 2</math>

Probablemente, la raíz cuadrada de 2 fue el primer número irracional descubierto, cuyo descubrimiento le costó la vida a un correligionario de Pitágoras. El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,4142135623. Aparece como seno y [[coseno]] de un ángulo de 45 grados sexagesimales. Hay varias fórmulas de recurrencia para hallar su valor aproximado. Una de ellas es el conocido método de la tangente de Newton. Su irracionalidad ya lo habían demostrado los griegos. Sin embargo, su fundamentación se le debe a los matemáticos alemanes [[Richard Dedekind]] y [[Georg Cantor]] en el {{siglo|XX||s}}. Por supuesto, no viene a ser sino un límite igual que el de los números irracionales <math>e</math> y  <math>\pi</math> porque nadie puede escribir sus infinitas cifras; pero basta con menos de 10 dígitos decimales para lo que hace la ciencia y tecnología.

=== Raíz cuadrada de 3 ===
{{AP|Raíz cuadrada de 3}}
[[Archivo:Square root of 3 in cube.svg|thumb|200px|Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristas miden 1.]]

La raíz cuadrada de 3: <math>\sqrt 3</math>, también conocida como constante de Teodoro (por [[Teodoro de Cirene]]), es geométricamente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristas miden la unidad, pudiéndose demostrar con el [[teorema de Pitágoras]]. También es la hipotenusa de un triángulo rectángulo construible cuyos catetos miden raíz cuadrada de 2 y la unidad respectivamente.

El valor de este número con 10 cifras decimales por truncamiento es 1,7320508075

=== Raíz cuadrada de 5 ===
{{AP|Raíz cuadrada de 5}}

La raíz cuadrada de 5: <math>\sqrt 5</math>, aparece en la fórmula del [[número áureo]], y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras.
Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es 2,2360679774.

==Usos y casos==
* La raíz cuadrada se usa para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conociendo los catetos. O uno de estos conociendo la hipotenusa y el otro cateto.
* Para hallar el radio de un [[círculo]] conociendo su área.
* En la detección de si un número entero positivo es primo; basta considerar como divisores primos, aquellos números primos que son menores que su raíz cuadrada, aproximada a unidades.
* Para hallar el tiempo en el movimiento uniforme acelerado sin velocidad inicial.
* Para conocer cuántos [[Números pares e impares|números impares]] iniciales, empezando desde el 1, se han sumado; usando como dato un cuadrado perfecto.
* En una función cuadrática canónica, conociendo  la ordenada, hallar las correspondientes abscisas.
* Para calcular la diagonal de un cuadrado conociendo su área.
* Para calcular la media cuadrática de datos positivos.<ref>Galdós. ''Aritmética''</ref>
* Al calcular él área de un triángulo equilátero, donde interviene <math>\sqrt{3} </math>
* Al obtener el área de un tetraedro regular, en función de su arista, se emplea <math>\sqrt{3} </math><ref>Formulario de Matemáticas «Cerebrito», Lima.</ref>
* Al obtener el volumen de un [[tetraedro]] regular, en función de su arista, se usa {{math| <math>\sqrt{2}</math>}}
* Para hallar la media proporcional ''c'' entre ''a'' y ''b''. La altura de un triángulo conociendo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La tangente a una circunferencia, conociendo la secante y su parte externa.
* La <math>\sqrt{3} </math> se usa en ciertas razones trigonométricas de un ángulo de 30º o 60º.
*La <math>\sqrt{2} </math> se emplea para definir el [[Seno (trigonometría)|seno]] y coseno de un ángulo de 45º.<ref> Resultados que aparecen en manuales de geometría y de trigonometría o en textos universitarios de dichas disciplinas.</ref>
* Al resolver una ecuación de segundo grado completa o de la forma x<sup>2</sup> = a, se usa la raíz cuadrada; en el primer caso si el determinante es negativo, y en la ecuación incompleta de segundo grado si a es menor que cero, hay que hallar la raíz cuadrada de un número negativo, que proporciona como raíces, dos números complejos conjugados. En el caso de que se tenga una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos no reales, también se halla la raíz cuadrada, pero las raíces de la ecuación cuadrática, en este caso , no necesariamente, son conjugadas.<ref>Alhfords. Complex Variable. Tokyo 1956</ref>
* En el caso de resolver la ecuación cúbica reducida y<sup>3</sup> + py + q = 0, mediante la llamada [[Método de Cardano|fórmula de Cardano]], necesariamente hay que hallar la raíz cuadrada de p<sup>3</sup>/27 + q<sup>2</sup>/4 = H; luego efectuar las raíces cúbicas de -q/2 + H y de -q/2 -H.<ref>Adilson Gonçalvez. Introduçao à álgebra. Impa . Río de de Janeiro , 1939</ref>

== Véase también ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Cálculo de la raíz cuadrada]]
* [[Cuadrado (álgebra)]]
* [[Cuadrado perfecto]]
* [[Fórmula de De Moivre]]
* [[Función exponencial]]
* [[Radicación]]
* [[Raíz cuadrada de 2]]
* [[Raíz cuadrada de 3]]
* [[Raíz cuadrada de 5]]
* [[Raíz cúbica]]
* [[Raíz enésima de un número]]
* [[Raíz de la unidad]]
* [[Radical jerarquizado]]
* [[Residuo cuadrático]]
* [[Racionalización de radicales]]
</div>

== Referencias ==

=== Notas ===
{{listaref|2}}

=== Bibliografía ===
{{refcomienza|2}}
* {{cita libro|autor=Stewart, James|título=Cálculo: Conceptos y contextos|año=2006|editorial=México D.F.: Thomson|isbn=ISBN 970-686-543-8 e ISBN 978-970-686-543-4}}
* {{cita libro|apellido1=Joseph|nombre1=George Gheverghese|título=The crest of the peacock: the non-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas de la matemática)|url=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose|año=2000|editorial=Londres|isbn=ISBN 0-691-00659-8 e ISBN 978-0-691-00659-8}}
* {{cita libro|apellido1=Smith|nombre1=David Eugene|título=History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Historia de la matemática, vol 2, asuntos especiales de la matemática elemental)|año=1925|editorial=Boston|isbn=ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7}}
* {{cita libro|autor=Anglin, W.S.|título=Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemática: Una historia y una filosofía concisas)|año=Diciembre de 1994|editorial=New York|isbn=ISBN 0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3}}
{{reftermina}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Square root}}
{{wikcionario|raíz}}
* Programa java para hallar la raíz cuadrada de números enteros con muchísimas cifras decimales: [http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/raiz2/raiz2.htm]
* Web educativa para aprender a hallar la raíz cuadrada paso a paso: [http://www.raizcuadrada.es/index.php/raiz-cuadrada/]

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Raiz cuadrada}}
[[Categoría:Aritmética]]
[[Categoría:Matemática elemental]]
[[Categoría:Raíces]]
[[Categoría:Operaciones unarias]]