Ver el código de «Radián»

El '''radián''' (símbolo: <math>rad</math>) es una unidad de la amplitud de [[Ángulo|ángulos]]. El radián mide el [[ángulo]] presentado como central a una [[circunferencia]] y su medida es igual a la razón entre la longitud del [[Arco (geometría)|arco]] que comprende de dicha [[circunferencia]] y la longitud del [[Radio (geometría)|radio]], es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del [[Radio (geometría)|radio]] traza ese determinado arco en la [[circunferencia]]. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el [[Sistema Internacional de Unidades]], junto con el [[estereorradián]].<ref>{{cite web |title=Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995) |url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/20/8/ |access-date=2014-09-23 |publisher=[[Bureau International des Poids et Mesures]] |archive-date=2018-12-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181225010949/https://www.bipm.org/en/CGPM/db/20/8/%20  }}</ref> A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de [[Unidad derivada del SI|unidades]] derivadas. El radián se define en el SI como una [[unidad adimensional]] con 1 <math>rad</math> = 1.<ref>{{harvnb|International Bureau of Weights and Measures|2019|p=151}}: "The CGPM decided to interpret the supplementary units in the SI, namely the radian and the steradian, as dimensionless derived units."</ref>

Esta unidad se utiliza primordialmente en [[física]], [[cálculo infinitesimal]], [[trigonometría]], [[goniometría]], etc.
[[Archivo:Radian measure-def2.svg|miniaturadeimagen|300x300px|Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.]]

== Definición ==
Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.<ref>{{Cita noticia|título=¿Qué es un radián?|url=https://www.gaussianos.com/que-es-un-radian/|fecha=30 de octubre de 2014|fechaacceso=29 de julco=Gaussianos|idioma=es-ES}}</ref><ref>{{ citation | last1 = Protter | first1 = Murray H. | last2 = Morrey | first2 = Charles B. Jr. | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | location = Reading | publisher = [[Addison-Wesley]] | year = 1970 | page = APP-4 | lccn = 76087042 }}</ref>

[[Archivo:Radian cropped color.svg|150px|derecha]]
El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, ''θ'' = ''s''/''r'', donde ''θ'' es el ángulo, ''s'' es la [[longitud de arco]], y ''r'' es el radio. Por tanto, el ''[[ángulo]] completo'', <math>\scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}</math>, que subtiende una [[circunferencia]] de radio '''''r''''', medido en radianes, es:

:<math>\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\, </math>
De forma más general, la [[magnitud (matemática)|magnitud]] en radianes de un ángulo subtendido es igual al cociente entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir, <math>\theta = \frac{s}{r}</math>, donde {{mvar|θ}} es el ángulo subtendido en radianes, {{mvar|s}} es la longitud del arco y {{mvar|r}} es el radio. Un [[ángulo recto]] es exactamente <math>\frac{\pi}{2}</math> radianes.{{sfn|International Bureau of Weights and Measures|2019|p=151}}

El ángulo de rotación (360°) correspondiente a una revolución completa es la longitud de la circunferencia dividida por el radio, que es <math>\frac {2\pi r}{r}</math>, o {{math|2''π''}}. Por lo tanto, {{math|2''π''}}&nbsp;radianes es igual a 360&nbsp;grados.

La relación {{math|1=2''π'' rad = 360°}} se puede derivar usando la fórmula para [[longitud de arco]], <math display="inline">\ell_{\text{arc}}=2\pi r\left(\tfrac{\theta}{360^{\circ}}\right)</math>. Dado que el radián es la medida de un ángulo subtendido por un arco de longitud igual al radio de la circunferencia, <math display="inline">1=2\pi\left(\tfrac{1\text{ rad}}{360^{\circ}}\right)</math>. Esto se puede simplificar aún más a <math display="inline">1=\tfrac{2\pi\text{ rad}}{360^{\circ}}</math>. Multiplicando ambos lados por {{math|360°}} se obtiene {{math|360° {{=}} 2''π'' rad}}.

== Utilidad ==
El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.
=== Símbolo de la unidad ===
La [[Oficina Internacional de Pesas y Medidas]]{{sfn|Oficina Internacional de Pesas y Medidas|2019|p=151}} y la [[Organización Internacional de Normalización]]<ref>{{cite web |title=ISO 80000-3:2006 Cantidades y unidades - Espacio y tiempo |date=17 de enero de 2017 |url=https://www.iso.org/standard/31888.html}}</ref> especifican '''rad''' como símbolo del radián. Símbolos alternativos que estaban en uso en 1909 son <sup>c</sup> (la letra c en superíndice, por "medida circular"), la letra r, o <sup>R</sup> (la letra R en superíndice), pero estas variantes se utilizan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un [[símbolo de grado]] (°) o un radio (r). Así, un ángulo de 1,2{{esd}}radianes se escribiría hoy como 1,2&nbsp;rad; las notaciones arcaicas podrían incluir 1,2&nbsp;r, 1,2{{esd}}rad, 1,2<sup>c</sup>, o 1,2<sup>R</sup>.

En la escritura matemática, a menudo se omite el símbolo "rad". Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se asumen los radianes, y cuando se quiere decir grados, se utiliza el [[símbolo de grado]]. {{char|°}}.

== Análisis dimensional ==
El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la [[Seno (matemáticas)|función seno]] de un ángulo ''x'' expresado en radianes cumple:

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen (x)}{x}=1</math>

Análogamente los [[Serie de Taylor|desarrollos Taylor]] de las [[función trigonométrica|funciones]] [[Seno (trigonometría)|seno]] y [[coseno]] son:

* <math>\sen(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>
* <math>\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math>

donde '''x''' se expresa en radianes.

El ángulo plano se define como {{math|1=''[[θ]]'' = ''s''/''r''}}, {donde {{mvar|θ}} es el ángulo subtendido en radianes, {{mvar|s}} es la longitud del arco, y {{mvar|r}} es el radio. Un radián corresponde al ángulo para el que {{math|1=''s'' = ''r''}}}, por tanto {{math|1=1 radián = 1&nbsp;m/m}}.<ref>{{harvnb|Oficina Internacional de Pesas y Medidas|2019|p=151}}: "Un radián corresponde al ángulo para el que {{math|1=''s'' = ''r''}}"</ref> Sin embargo, {{math|rad}} sólo debe utilizarse para expresar ángulos, no para expresar relaciones de longitudes en general.{{sfn|Oficina Internacional de Pesas y Medidas|2019|p=151}}. Un cálculo similar utilizando [[Sector circular#Área|el área de un sector circular]] {{math|1=''θ'' = 2''A''/''r''<sup>2</sup>}} da 1{{esd}}radián como 1&nbsp;m<sup>2</sup>/m<sup>2</sup>.<ref>{{harvnb|Quincey|2016|p=844}}: "También, como se alude en {{harvnb|Mohr|Phillips|2015}}, el radián puede definirse en términos del área ''A'' de un sector ({{math|1=''A'' = {{sfrac|1|2}} ''θ'' ''r''<sup>2</sup>}}), en cuyo caso tiene las unidades m<sup>2</sup>⋅m<sup>-2</sup>. "</ref> El hecho clave es que el radián es una [[unidad adimensional]] igual a 1. En el SI{{esd}}2019, el radián se define en consecuencia como {{nowrap|1=1 rad = 1}}.<ref>{{harvnb|Oficina Internacional de Pesas y Medidas|2019|p=151}}: "Un radián corresponde al ángulo para el cual {{math|1=''s'' = ''r''}}}, por lo tanto {{math|1=1 rad = 1}}."</ref> Es una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de {{math|1=rad = 1}}. {{sfn|Oficina Internacional de Pesas y Medidas|2019|p=137}}<ref>{{cite book |last1=Bridgman |first1=Percy Williams |url=https://archive. org/details/dimensionalanaly00bridrich/page/n13/mode/2up |title=Análisis dimensional |date=1922 |publisher=New Haven : Yale University Press |quote=Amplitud angular de oscilación [...] Sin dimensiones.}}</ref> En 1993 la [[American Association of Physics Teachers]] Metric Committee especificó que el radián debía aparecer explícitamente en las cantidades sólo cuando se obtuvieran valores numéricos diferentes al utilizar otras medidas angulares, como en las cantidades de [[Ángulo#meMedición de ángulos| dida angular]] (rad), [[velocidad angular]] (rad/s), [[aceleración angular]] (rad/s<sup>2</sup>), y [[Módulo de torsión#Rigidez de torsión (GJ) y rigidez (GJ/L)|rigidez de torsión]] (N⋅m/rad), y no en las cantidades de [[par de torsión]] (N⋅m) y [[momento angular]] (kg⋅m<sup>2</sup>/s).<ref>{{cite journal |last1=Aubrecht |first1=Gordon J. |last2=French |first2=Anthony P. |last3=Iona |first3=Mario |last4=Welch |first4=Daniel W. |date=February 1993 |title=El radián-La unidad problemática |journal=The Physics Teacher |volume=31 |issue=2 |pages=84-87 |bibcode=1993PhTea..31...84A |doi=10.1119/1.2343667}}</ref>

Giacomo Prando afirma que "el estado actual de las cosas conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de las ecuaciones físicas".<ref>{{cite journal |last1=Prando |first1=Giacomo |date=August 2020 |title=Una unidad espectral |journal=Nature Physics |volume=16 |issue=8 |pages=888 |bibcode=2020NatPh. .16..888P |doi=10.1038/s41567-020-0997-3 |s2cid=225445454}}</ref> Por ejemplo, un objeto colgado de una cuerda de una polea subirá o bajará {{math|1=''y'' = ''rθ''}} centímetros, donde {{mvar|r}} es el radio de la polea en centímetros y {{mvar|θ}} es el ángulo que gira la polea en radianes. Al multiplicar {{mvar|r}} por {{mvar|θ}} la unidad de radianes desaparece del resultado. Del mismo modo, en la fórmula para la [[velocidad angular]] de una rueda rodante, {{math|1=''ω'' = ''v''/''r''}}, los radianes aparecen en las unidades de {{mvar|ω}} pero no en el lado derecho.<ref>{{cite book |last1=Leonard |first1=William J. |url=https://books.google.com/books?id=ShcCF5Gb408C&pg=PA262 |title=Minds-on Physics: Advanced topics in mechanics |date=1999 |publisher=Kendall Hunt |isbn=978-0-7872-5412-4 |page=262 |language=en}}</ref> Anthony French llama a este fenómeno "un problema perenne en la enseñanza de la mecánica".<ref>{{cite journal |last1=French |first1=Anthony P. |date=Mayo 1992 |title=¿Qué pasa con los 'radianes'? (comentario) |journal=The Physics Teacher |volume=30 |issue=5 |pages=260-261 |doi=}}</ref> Oberhofer dice que el consejo típico de ignorar los radianes durante el análisis dimensional y añadir o quitar radianes en las unidades según la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio".<ref>{{cite journal |last1=Oberhofer |first1=E. S. |date=Marzo 1992 |title=¿Qué pasa con los 'radianes'? |journal=The Physics Teacher |volume=30 |issue=3 |pages=170-171 |bibcode=1992PhTea..30..170O |doi=}}</ref>

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como una unidad de medida base que define su propia dimensión de "ángulo".<ref>{{harvnb|Brinsmade|1936}}; {{harvnb|Romain|1962}}; {{harvnb|Eder|1982}}; {{harvnb|Torrens|1986}}; {{harvnb|Brownstein|1997}}; {{harvnb|Lévy-Leblond|1998}}; {{harvnb|Foster|2010}}; {{harvnb|Mills|2016}}; {{harvnb|Quincey|2021}}; {{harvnb|Leonard|2021}}; {{harvnb|Mohr|Shirley|Phillips|Trott|2022}}</ref>{{sfn|Mohr|Phillips|2015}}<ref name="Quincey">{{cite journal |last1=Quincey |first1=Paul |last2=Brown |first2=Richard J C |date=1 junio 2016 |title=Implicaciones de la adopción del ángulo plano como magnitud base en el SI |journal=Metrologia |volume=53 |issue=3 |pages=998-1002 |arxiv=1604. 02373 |bibcode=2016Metro..53..998Q |doi=10.1088/0026-1394/53/3/998 |s2cid=119294905}}</ref> La revisión de propuestas de Quincey esboza dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el [[área del círculo]], {{math|1=π''r''<sup>2</sup>}}. La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas familiares".{{sfn|Quincey|2016}}

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante {{mvar|[[η]]}} igual a 1 radián inverso (1&nbsp;rad<sup>-1</sup>) de forma similar a la introducción de una constante ''ε''<sub>0</sub>. {{sfn|Quincey|2016}}{{efn|Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" {{harv|Brinsmade|1936}}, la notación <math>\langle \theta \rangle</math> {{harv|Romain|1962}}, y las constantes [[ם]] {{harv|Brownstein|1997}}, ◁ {{harv|Lévy-Leblond|1998}}, ''k'' {{harv|Foster|2010}}, ''θ''<sub>C</sub> {{harv|Quincey|2021}}, y <math>{\cal C} = \frac{2\pi}{\Theta}</math> {{harv||Mohr|Shirley|Phillips|Trott|2022}}. }} Con este cambio, la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, {{math|1=''s'' = ''rθ''}}, se modifica para convertirse en {{math|1=''s'' = ''ηrθ''}}, y la [[serie de Taylor]] para el [[Seno (trigonometría)|seno]] de un ángulo {{mvar|θ}} pasa a ser: <ref name="Quincey" />{{sfn|Torrens|1986}}<math display="block">\operatorname{Sin} \theta = \sin_{\text{rad}}(\eta \theta) = \eta \theta - \frac{(\eta \theta)^3}{3!} + \frac{(\eta \theta)^5}{5!} - \frac{(\eta \theta)^7}{7!} + \cdots .</math>La función en mayúsculas {{math|Sin}} es la función "completa" que toma un argumento con dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas,{{sfn|Torrens|1986}} mientras que {{math|sin<sub>rad</sub>}} es la función tradicional sobre [[número puro]] que asume que su argumento está en radianes.{{sfn|Mohr|Shirley|Phillips|Trott|2022|p=6}}. <math>\operatorname{Sin}</math> puede ser denotado <math>\sin</math> si está claro que se refiere a la forma completa.<ref name="Quincey" />{{sfn|Mohr|Shirley|Phillips|Trott|2022|pp=8-9}}

El SI puede considerarse en relación con este marco como un sistema de [[unidades naturales]] en el que se supone que se cumple la ecuación {{math|1=''η'' = 1}}, o de forma similar, {{nowrap|1=1 rad = 1}}. Esta ''convención del radián'' permite omitir {{mvar|η}} en las fórmulas matemáticas.{{sfn|Quincey|2021}}

Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y es probable que la dificultad de modificar las ecuaciones para añadir la constante dimensional impida su uso generalizado.<ref name="Quincey" /> Definir el radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima.<ref>{{cite journal |last1=Quincey |first1=Paul |last2=Brown |first2=Richard J C |date=1 agosto 2017 |title=Un enfoque más claro para definir sistemas de unidades |journal=Metrologia |volume=54 |issue=4 |pages=454-460 |arxiv=1705.03765 |bibcode=2017Metro. .54..454Q |doi=10.1088/1681-7575/aa7160 |s2cid=119418270}}</ref> Por ejemplo, la biblioteca de unidades [[Boost (bibliotecas C++)|Boost]] define unidades angulares con una dimensión <code>ángulo_plano</code>,<ref>{{cite web |last1=Schabel |first1=Matthias C. |last2=Watanabe |first2=Steven |title=Boost.Units FAQ - 1.79.0 |url=https://www.boost.org/doc/libs/1_79_0/doc/html/boost_units/FAQ.html#boost_units.FAQ.Angle_Are_Units |access-date=5 May 2022 |website=www.boost.org |quote=Los ángulos se tratan como unidades}}</ref> y el sistema de unidades de [[Mathematica]] considera de forma similar que los ángulos tienen una dimensión angular. {{sfn|Mohr|Shirley|Phillips|Trott|2022|p=3}}<ref>{{cite web |title=DimensionesUnitarias-Documentación del Lenguaje Wolfram |url=https://reference.wolfram.com/language/ref/UnityDimensions.html |access-date=1 Julio 2022 |website=reference.wolfram.com}}</ref>

== Equivalencias ==
* La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto 

1 radián = 57,29577951… grados sexagesimales (<math>\frac{180}{\pi}^{\circ}</math>), y 1 grado sexagesimal = 0,01745329252… radianes (<math>\frac{\pi}{180} \textrm{rad}</math>). 

* La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200<sup>g</sup>

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

{{Tabla de equivalencia de ángulos comunes}}

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el [[grado sexagesimal]], el [[grado centesimal]] y, en astronomía, la [[Hora (ángulo)|hora]].

* El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud [[velocidad angular]]. Esta unidad tiene una equivalencia con las [[rpm]]. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

<math>\rm rpm = \frac{rev}{min} = \frac{2\pi \ rad}{60 \ s} </math>, que simplificada es: <math>\rm rpm = \frac{\pi}{30}\frac{rad}{s} </math>, o bien: <math>\rm \frac{rad}{s} = \frac{30}{\pi} \ rpm </math>.<br>

Es decir que, para pasar una cantidad ''x'' '''de rpm a rad/s''' tenemos que multiplicarla por π/30:

<math>x \rm \ rpm \cdot \frac{\frac{\pi}{30} \ rad/s}{rpm} = </math><math>\;x \cdot \frac{\pi}{30} \rm \ rad/s = </math><math>\;x' \rm \ rad/s</math><br>

Análogamente, para pasar una cantidad ''y'' '''de rad/s a rpm''' tenemos que multiplicarla por 30/π:

<math>y \rm \ rad/s \cdot \frac{\frac{30}{\pi} \ rpm}{rad/s} = </math><math>\;y \cdot \frac{30}{\pi} \rm \ rpm = </math><math>\;y' \rm \ rpm</math><br>

== Conversiones entre grados y radianes ==
[[Archivo:Radian-common.svg|miniatura|300px|derecha|Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π]]
[[Archivo:Degree-Radian Conversion.svg|miniatura|300px|Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes]]
Los [[Grado (matemática)|grados]] y los radianes son dos diferentes sistemas para medir [[Ángulo|ángulos]]. Un [[ángulo]] de <math>360</math>° equivale a <math>2\pi</math> radianes; un [[ángulo]] de <math>180</math>° equivale a <math>\pi</math> radianes; y un ángulo de <math>90</math>° equivale a  <math>\frac{\pi}{2}</math>.

'''Convertir grados a radianes'''

Lo primero que tenemos que hacer para convertir <math>137</math>° a <math>\pi</math> radianes es buscar <math>1</math>° (un [[Grado (matemática)|grado]]). Sabiendo que <math>90</math>° = <math>\frac{\pi}{2}</math> simplemente dividimos por <math>90^\circ</math>:

<math>\frac{90^\circ}{90^\circ} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{90^\circ} {1}}</math>

Entonces nos quedaría:

<math>1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ}</math>

Y ahora multiplicamos por <math>137^\circ</math>:

<math>137^\circ \cdot 1^\circ = 137^\circ \cdot\frac{\pi}{180^\circ}</math>

Entonces queda resolver el lado derecho de la [[ecuación]]:

<math>137^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}</math>

Ya en este punto, multiplicamos fracciones:

<math>\frac{137^\circ}{1} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{137\pi}{180}</math>

Y ya tendríamos el resultado: <math>\frac{137\pi}{180}</math>

'''Convertir de radianes a grados'''

Para convertir de radianes a grados, simplemente partimos de que <math>\pi</math> radián es igual a <math>180^\circ</math>, entonces, multiplicamos la medida dada en <math>\pi</math> radianes por <math>\frac{180^\circ}{\pi}</math>:

<math>\frac{137\pi}{180} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{24660^\circ}{180} = 137^\circ</math>

Entonces tenemos que el resultado es <math>137^\circ</math>

== Diferencia entre radián, gradián, y grado sexagesimal ==
Los tres son unidades de medida de ángulos planos, y se diferencian así:
* Radián (''rad''): ángulo que describe un arco cuya longitud es la del radio.
* Gradián o grado centesimal (''g''): ángulo que describe un arco cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia.
* Grado sexagesimal (''°''): ángulo que describe un arco cuya longitud es la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia.

== Conversión de ángulos comunes ==

{|class = wikitable
! Unidades !! colspan=9 | Valores
|- valign="middle"
|style="background:#f2f2f2" | '''[[Vuelta (ángulo)|Revolución]]'''&nbsp;&nbsp;
|style="width:3em; text-align:center" | 0
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|72}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|12}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|8}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|6}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|4}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|1|2}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|3|4}}
|style="width:4em; text-align:center" | 1
|- valign="middle"
|style="background:#f2f2f2" | '''[[Grado sexagesimal|Grados (sexagesimales)]]'''&nbsp;&nbsp;
|style="width:3em; text-align:center" | 0°
|style="width:3em; text-align:center" | 5°
|style="width:3em; text-align:center" | 30°
|style="width:3em; text-align:center" | 45°
|style="width:3em; text-align:center" | 60°
|style="width:3em; text-align:center" | 90°
|style="width:3em; text-align:center" | 180°
|style="width:3em; text-align:center" | 270°
|style="width:4em; text-align:center" | 360°
|- valign="middle"
|style="background:#f2f2f2", rowspan="2" | '''[[Radián|Radianes]]'''
|style="width:3em; text-align:center", rowspan="2" | 0 rad
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|π|36}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|π|6}} rad
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|π|4}} rad
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|π|3}} rad
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|π|2}} rad
|style="width:3em; text-align:center" | π rad
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|3π|2}} rad
|style="width:4em; text-align:center" | 2π rad
|- valign="middle"
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|72}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|12}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|8}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|6}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|4}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|𝜏|2}} rad 
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|3𝜏|4}} rad 
|style="width:4em; text-align:center" | 𝜏 rad
|- valign="middle"
|style="background:#f2f2f2" | '''Gradianes (grados centesimales)'''
|style="width:3em; text-align:center" | 0<sup>g</sup>
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|50<sup>g</sup>|9}}
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|100<sup>g</sup>|3}}
|style="width:3em; text-align:center" | 50<sup>g</sup>
|style="width:3em; text-align:center" | {{sfrac|200<sup>g</sup>|3}}
|style="width:3em; text-align:center" | 100<sup>g</sup>
|style="width:3em; text-align:center" | 200<sup>g</sup>
|style="width:3em; text-align:center" | 300<sup>g</sup>
|style="width:4em; text-align:center" | 400<sup>g</sup>
|}

== Véase también ==
 
* [[Estereorradián]]
* [[Grado sexagesimal]]
* [[Grado centesimal]]
* [[Mil angular]]
* [[Ángulo]]

== Referencias ==
{{listaref}}
* [http://jeff560.tripod.com/r.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics].

=== Bibliografía ===
* Florian Cajori, 1929, ''History of Mathematical Notations'', Vol. 2, pp. 147–148; ''[[Nature]]'', 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, y 459—460;
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Unidades derivadas del Sistema Internacional]]
[[Categoría:Unidades de ángulo]]
[[Categoría:Trigonometría]]
[[Categoría:Π]]