Ver el código de «Rectángulo»

{{Ficha de polígono 
| nombre      = Rectángulo
| imagen      = [[Archivo:IconoRectángulo.svg|260px]]
| pie         = Rectángulo, con sus lados paralelos e iguales dos a dos y sus cuatro ángulos rectos
| tipo        = [[Cuadrilátero]], [[paralelogramo]], [[hiperrectángulo]]
| lados       = 4
| simetría    = [[Grupo diedral|Diedral]] (D<sub>2</sub>), [2], (*22), orden&nbsp;4
| vértices    = 4
| Schläfli    =
| Coxeter     = {{DCD|node_1|2|node_1}}
| dual        = [[Rombo]]
| propiedades = [[Polígono convexo|Convexo]], [[Figura isogonal|isogonal]], [[Circunferencia circunscrita|cíclico]]<br />Ángulos opuestos y lados cogruentes.
}}

En [[geometría]] plana, un  '''rectángulo''' es un [[paralelogramo]] cuyos cuatro [[Segmento|lados]] forman [[ángulo recto|ángulos rectos]] entre sí. Los lados opuestos tienen la misma [[longitud]]. Un rectángulo cuyos cuatro lados tienen la misma longitud es un [[cuadrado]].

En [[geometría euclidiana|geometría euclidiana plana]], un '''rectángulo''' es un [[cuadrilátero]] con cuatro [[ángulos rectos]]. También puede definirse como: un cuadrilátero equiangular, ya que equiangular significa que todos sus ángulos son iguales (360°/4 = 90°); o un [[paralelogramo]] que contiene un ángulo recto. Un rectángulo con cuatro lados de igual longitud es un ''[[cuadrado]]''. El término ''[[wikt:oblongo|oblongo]]'' se utiliza ocasionalmente para referirse a un rectángulo no-[[cuadrado]].<ref>{{cite web |url=http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |title=Copia archivada |access-date=2013-06-20 |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20140514200449/http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf |archive-date=2014-05-14 }}</ref><ref>[http://www.mathsisfun.com/definitions/oblong.html Definición de Oblongo]. Mathsisfun.com. Recuperado 2011-11-13.</ref><ref>[http://www.icoachmath.com/SiteMap/Oblong.html Oblongo - Geometría - Diccionario de Matemáticas]. Icoachmath.com. Recuperado 2011-11-13.</ref> Un rectángulo con [[Vértice (geometría)|vértices]] ''ABCD'' se denotaría como [[File:Rectanglen.PNG]]ABCD.

La palabra rectángulo proviene del [[latín]] ''rectangulus'', que es una combinación de ''rectus'' (como adjetivo, recto, propio) y ''angulus'' ([[ángulo]]).

Un ''[[#Rectángulos cruzados|rectángulo cruzado]]'' es un cuadrilátero cruzado (auto-intersecante) que consiste en dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales<ref>{{Cite journal |doi=10.1098/rsta.1954.0003 |last1=Coxeter |first1=Harold Scott MacDonald |author1-link= |last2=Longuet-Higgins |first2=M.S. |last3=Miller |first3=J.C.P. |title=Poliedros uniformes |jstor=91532 |mr=0062446 |year=1954 |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |issn=0080-4614 |volume=246 |pages=401-450 |issue=916 |publisher=The Royal Society|bibcode=1954RSPTA.246..401C |s2cid=202575183 }}</ref> (por lo tanto sólo dos lados son paralelos). Es un caso especial de [[antiparalelogramo]], y sus ángulos no son rectos ni todos iguales, aunque los ángulos opuestos son iguales. Otras geometrías, como la [[Geometría esférica|esférica]], la [[Geometría elíptica|elíptica]], y la [[Geometría hiperbólica|hiperbólica]], tienen los llamados rectángulos con lados opuestos iguales en longitud y ángulos iguales que no son ángulos rectos.

Los rectángulos están implicados en muchos problemas de tiling, como el embaldosado del plano por rectángulos o el embaldosado de un rectángulo por [[polígono]].

El [[perímetro]] de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
:<math>P = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2\cdot (a+b)\,</math>

El [[área]] de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:
:<math>A = b \cdot a</math>

El [[alargamiento o elongación]] de un rectángulo es igual al cociente entre el lado mayor y el lado menor:
:<math>E = \frac{a}{b} ,  siendo: a > b</math>

== Definición ==
Un rectángulo es una figura geométrica que posee cuatro ángulos interiores de 90°. Es un [[paralelogramo]], es decir, todos sus lados son paralelos dos a dos.<ref>Michel Helfgott. Geometría plana, Editorial Escuela Activa S. A.</ref>
=== Por género próximo y diferencia específica===
El rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto.<ref> Adaptado de A. G. Tsipkin: Manual de matemáticas para la enseñanza media'' Editorial Mir Moscú (1985):</ref> 
===Proposición===
El rectángulo tiene los cuatro ángulos rectos.
;Prueba:
:: Por definición, tiene un ángulo recto. Por ser un paralelogramo, su opuesto también es un ángulo recto; y los otros dos ángulos, que son suplementarios de los dos anteriores, suman 180°. Y como son opuestos, son iguales entre sí, luego cada uno de los cuatro es un ángulo recto.

== Propiedades ==
[[Archivo:Rectangle.svg|thumb|270px|Rectángulo ABCD. ''d'' es una de sus dos diagonales.]]
Un [[Polígono convexo|convexo]] [[cuadrilátero]] es un rectángulo [[si y sólo si]] es cualquiera de los siguientes:<ref>Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 {{isbn|1-59311-695-0}}.
</ref><ref>{{cite book |author1=Owen Byer |author2=Felix Lazebnik |author3=Deirdre L. Smeltzer|author3-link=Deirdre Smeltzer |title=Methods for Euclidean Geometry |url=https://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA53 |access-date=2011-11-13 |date=2010-08-19 |publisher=MAA |isbn=978-0-88385-763-2 |pages=53–}}</ref>
# Sus lados paralelos son iguales.
# Las dos [[diagonal]]es de un rectángulo de lados <math>a</math> y <math>b</math> miden <math>d = \sqrt{a^2 +b^2}</math>.<ref name="pye">{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Calculadora y demostración del área y perímetro de un rectángulo |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria2D/area/poligono/rectangulo/calculadora-area-perimetro-formulas.html |issn=2659-9899 |fechaacceso= 23 de junio de 2020 |idioma=es |publicación = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>
# Sus dos [[diagonal]]es se bisecan mutuamente en el ''punto medio común''; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para los puntos del rectángulo.<ref>Julio Rey Pastor et al. Geometría Analítica</ref>
# El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro.<ref>Clemens: "Geometría. Con aplicaciones y solución de problemas"</ref>
# Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.
# Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.
#Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.<ref>Michel Helfgott. Op. cit.</ref>
# Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ.<ref>G.M: Bruño. Elementos de Geometría</ref>
# * un cuadrilátero convexo de lados sucesivos ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' cuya área es <math>\tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math>.<ref name=Josefsson/>{{rp|fn.1}}
# * un cuadrilátero convexo con lados sucesivos ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' cuya área es <math>\tfrac{1}{2} \sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}.</math><ref name=Josefsson>{{cite journal | author = Josefsson Martin | year = 2013 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 13 | pages = 17–21 | fechaacceso = 19 de abril de 2023 | fechaarchivo = 4 de marzo de 2016 | urlarchivo = https://web.archive.org/web/20160304001152/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | deadurl = yes }}</ref>

== Teoremas ==

#El teorema de [[isoperimetría]] para rectángulos establece que de entre todos los rectángulos con un perímetro dado, el cuadrado es el que tiene mayor área.
#Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.
#El [[teorema japonés para cuadriláteros cíclicos]] establece que los [[incentro]]s de cuatro [[triángulo]]s determinados por los vértices de un cuadrilátero cíclico tomados de tres en tres forman un rectángulo.

==Simetría==
# Las dos rectas perpendiculares entre sí, paralelas a los lados contiguos y que pasan por el centro del rectángulo, son ejes de simetría axial de los puntos del rectángulo.
# El centro del rectángulo ( intersección de las diagonales) es el centro de simetría central de los puntos del rectángulo.<ref>Adaptación de la ''Introducción a la teoría de grupos'' de Alexándrov, Editorial URSS ISBN 9785354011292</ref>
== Clasificación==
[[File:Symmetries_of_square_es.svg|280px|thumb|El rectángulo es un caso especial del [[paralelogramo]] y del [[trapecio (geometría)| trapecio]]. Un [[cuadrado]] es un caso especial de un rectángulo.]]
===Jerarquía tradicional===
Un rectángulo es un caso especial de un [[paralelogramo]] en el que cada par de [[Arista (geometría)|lados]] adyacentes es [[perpendicular]].

Un paralelogramo es un caso especial de un trapecio (conocido como [[trapezoide]] en Norteamérica) en el que ''ambos'' pares de lados opuestos son paralelos e [[igualdad (matemáticas)|iguales]] en [[longitud]].

Un trapecio es un [[Polígono convexo|convexo]] [[cuadrilátero]] que tiene al menos un par de lados opuestos paralelos.

Un cuadrilátero convexo es
* '''[[Polígono simple|Simple]]''': El límite no se cruza a sí mismo.
* '''[[Polígono en forma de estrella|En forma de estrella]]''': Todo el interior es visible desde un único punto sin tener que cruzarse ninguna arista.

===Jerarquía alternativa===
De Villiers define un rectángulo de forma más general como cualquier cuadrilátero con [[Simetría especular|ejes de simetría]] a través de cada par de lados opuestos.<ref>[http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf An Extended Classification of Quadrilaterals] {{Wayback|url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf |date=20191230004754 }} (Un extracto de De Villiers, M. 1996. Some Adventures in Euclidean Geometry''. University of Durban-Westville.)</ref> Esta definición incluye tanto los rectángulos rectángulos como los rectángulos cruzados. Cada uno tiene un eje de simetría paralelo y equidistante a un par de lados opuestos, y otro que es la [[perpendicular]] bisectriz de esos lados, pero, en el caso del rectángulo cruzado, el primer [[eje de simetría|eje]] no es un eje de [[simetría]] para ninguno de los lados que biseca.

Los cuadriláteros con dos ejes de simetría, cada uno a través de un par de lados opuestos, pertenecen a la clase más amplia de cuadriláteros con al menos un eje de simetría a través de un par de lados opuestos. Estos cuadriláteros comprenden los [[Trapecio isósceles| trapecios isósceles]] y los trapecios isósceles cruzados (cuadriláteros cruzados con la misma [[disposición de vértices]] que los trapecios isósceles).

== Rectángulos con nombre propio ==

[[Archivo:Rectángulo aureo.jpg|thumb|300px|Rectángulo áureo.]]

* El '''[[rectángulo áureo]]''', también denominado rectángulo de oro o rectángulo '''Φ''', es el rectángulo cuyos lados están en [[razón áurea]]. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un [[cuadrado]] de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una [[circunferencia]] que pase por uno de los vértices C del lado opuesto. 
{{VT|Número áureo}}
[[Archivo:Three-dimensional rectangle.jpg|thumb|300px|Representación gráfica de un ortoedro que generaliza la construcción de un rectángulo, en el espacio euclídeo [[tridimensional]].]]
* '''Rectángulo''' <math> \sqrt{2}</math> (''rectángulo raíz de 2''), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la [[raíz cuadrada]] de dos. Si b y h son los lados, '''b/h =''' <math> \sqrt{2}</math>. El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos ''raíz de 2''. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de [[papel]] según las normas [[DIN 476]] e [[ISO 216]].

Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.
* '''Doble cuadrado''', aquel cuyos lados están en la relación 2:1.
* '''Pantallas de televisión'''. Hasta la introducción de los monitores de alta definición, cuya relación [ancho:alto] habitual es [16:9], los sistemas de televisión convencionales utilizaban rectángulos con la proporción [4:3]. Dado que estas proporciones son fijas, basta con conocer la medida de la diagonal (normalmente expresada en [[pulgada]]s) para establecer el tamaño de la pantalla.

== Magnitudes geométricas para un rectángulo ==
Dada una figura bidimensional pueden definirse los ''n''-momentos de área centrados como:
{{ecuación|
<math>M^{(n)}_{x_1\dots x_n} = \int_A x_1\dots x_n\ dA</math>
||left}}
El 0-momento coincide con el área, los dos 1-momentos se llaman primeros momentos de área (o momentos estáticos) <math>\scriptstyle S_x = M^{(1)}_x,\ S_y = M^{(1)}_y</math> son nulos para cualquier figura plana. Los 2-momentos se llaman segundos momentos de área (o momentos de inercia planos) y para un rectángulo son:
{{ecuación|
<math>I_{xx} = M^{(2)}_{xx} = \frac{bh^3}{12},
\quad I_{yy} = M^{(2)}_{yy} = \frac{hb^3}{12},
\quad I_{xy}=I_{yx}= M^{(2)}_{xy} = 0</math>
||left}}
Donde ''b'' es la base del rectángulo y ''h'' su altura.

==Rectángulos cruzados==
[[Archivo:Crossed rectangles.png|320px|thumb|Generación de rectángulos cruzados]]
Un cuadrilátero cruzado (es decir, que se interseca a sí mismo) consiste en dos lados opuestos de un cuadrilátero junto con sus dos diagonales (''véase [[antiparalelogramo]]''). Del mismo modo, un ''rectángulo cruzado'' es un ''cuadrilátero cruzado'' formado por dos lados opuestos de un rectángulo junto con sus dos diagonales. Tiene la misma [[disposición de vértices]] que el rectángulo. Aparece como dos triángulos idénticos con un vértice común. La intersección geométrica no se considera un vértice propiamente dicho.

Un cuadrilátero cruzado a veces se asemeja a un [[corbata de lazo|lazo de pajarita]] o a una [[mariposa]]. Un marco rectangular de alambre toma la forma de un cuadrilátero cruzado cuando se hacen girar en un espacio [[tridimensional]] sus lados cortos en sentido opuesto. Un rectángulo cruzado a veces también se denomina un "ocho angular".

El interior de un rectángulo cruzado puede tener un [[densidad (politopo)|densidad poligonal]] de ± 1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación (en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) con la que se recorrran.

Un rectángulo cruzado no es equiangular. La suma de sus [[ángulo interior|ángulos interiores]] (dos agudos y dos obtusos), como en cualquier cuadrilátero cruzado, es de 720°.<ref>[http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf Stars: A Second Look] {{Wayback|url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf |date=20160303182521 }}. (PDF). Retrieved 2011-11-13.</ref>

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes características en común:
* Los lados opuestos tienen la misma longitud.
* Las dos diagonales tienen la misma longitud.
* Tiene dos líneas de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 2 (180°).

==Otros rectángulos==
{|class="wikitable floatright" style="font-size:85%; line-height:125%;
|-
|width=200px|Una [[Paraboloide|'''silla de montar''']] tiene 4 vértices no coplanarios (los vértices alternados de un [[ortoedro]]). Es una [[superficie minimal]] interior definida como una combinación lineal de los 4 vértices. Este ejemplo muestra 4 lados azules del rectángulo, y las dos diagonales en color verde, todos diagonales de las caras rectangulares del ortoedro.
||[[File:Saddle rectangle example.png|250px]]
|}

En [[geometría esférica]], un '''rectángulo esférico''' es una figura cuyos cuatro lados son arcos de [[gran círculo|círculos máximos]], sus cuatro ángulos son iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En [[geometría elíptica]], un '''rectángulo elíptico''' es una figura en el plano elíptico cuyas cuatro aristas son arcos elípticos, que se cortan con ángulos iguales y mayores de 90°, y sus arcos opuestos tienen la misma longitud.

En [[geometría hiperbólica]], un '''rectángulo hiperbólico''' es una figura en el plano hiperbólico cuyas cuatro aristas son arcos hiperbólicos que se cortan con cuatro ángulos iguales menores de 90°, y cuyos arcos opuestos tienen la misma longitud.

==Teselados==
El rectángulo se utiliza en muchos patrones de [[teselado]]s periódicos, como por ejemplo estos mosaicos:
{|class=wikitable
|- align=center
|[[File:Stacked bond.png|182px]]<br>Unión apilada.
|[[File:Wallpaper group-cmm-1.jpg|150px]]<br>Unión desplazada.
|[[File:Wallpaper group-p4g-1.jpg|150px]]<br>Trenzado de cesta.
|[[File:Basketweave bond.svg|150px]]<br>Trenzado de cesta.
|[[File:Herringbone bond.svg|150px]]<br>[[Espina de pez (enlosado)|Espina de pez]].
|}

==Cuadrado, perfecto, y otros rectángulos==
{{VT|Cuadratura del cuadrado}}
[[File:Perfektes_Rechteck.svg|thumb|right|Un rectángulo perfecto de orden 9]]
[[File:smallest_perfect_squared_squares.svg|thumb|El cuadrado perfecto de menor orden (1) y los tres cuadrados perfectos más pequeños (2–4) – {{nowrap|todos son cuadrados simples}}]]
Un rectángulo puede ser embaldosado mediante cuadrados, rectángulos, o triángulos. Se dice que el recubrimiento es
''Perfecto''<ref name="BSST"/><ref>{{cita publicación |autor=J.D. Skinner II, C.A.B. Smith and W.T. Tutte |fecha=noviembre de 2000 |título=On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles |publicación=[[Journal of Combinatorial Theory|J. Combinatorial Theory]] Series B |volumen=80 |número=2 |páginas=277–319 |doi=10.1006/jctb.2000.1987}}
</ref> si todas las baldosas son [[semejanza (geometría)|semejantes]], tiene un número finito de baldosas, y no hay dos baldosas del mismo tamaño. Si dos de estas baldosas son del mismo tamaño, se dice que el recubrimiento es ''imperfecto''. En un recubrimiento perfecto (o imperfecto) triangulado, los triángulos deben ser rectángulos.

Un rectángulo tiene lados [[Conmensurabilidad|conmensurables]] sí y solo sí puede ser recubierto por un número finito de cuadrados distintos.<ref name="BSST">{{cita publicación |autor=R.L. Brooks, C.A.B. Smith, A.H. Stone and W.T. Tutte |año=1940 |título=The dissection of rectangles into squares |publicación=[[Duke Mathematical Journal|Duke Math. J.]] |volumen=7 |número=1 |páginas=312–340 |doi=10.1215/S0012-7094-40-00718-9 |url=http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077492259}}
</ref><ref>
{{cita publicación |autor=R. Sprague |título=Ũber die Zerlegung von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate |publicación=[[Crelle's Journal|J. fũr die reine und angewandte Mathematik]] |volumen=182 |año=1940 |páginas=60–64}}
</ref>
Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos isósceles desiguales.

Los recubrimientos de rectángulos con otras formas geométricas que han atraído la mayor atención son los de [[poliominó]]s no rectangulares congruentes, permitiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay embaldosados mediante [[poliábolo]]s congruentes.

== Véase también ==
* [[Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas]]
* [[Cuadrilátero]]
* [[Paralelogramo]]
* [[Cuadrado]]

==Referencias==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Rectangles|rectángulos}}
* {{MathWorld | id=Rectangle | title=Rectángulo}}
* {{Wikiversidad}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Cuadriláteros]]
[[Categoría:Formas elementales]]