Ver el código de «Relación de equivalencia»

{{Relación binaria 101}}
En [[teoría de conjuntos]] y [[álgebra]], la noción de '''relación de equivalencia''' sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de [[conjunto cociente]].<ref>Frank Ayres. «Álgebra Moderna», libros Mc Graw-Hill, Bogotá, Colombia.</ref>

== Definición ==
Sea <math>K</math> un [[conjunto]] dado no vacío y <math>\mathcal{R}</math> una [[relación binaria]] definida sobre <math>K</math>. Se dice que <math>\mathcal{R}</math> es una relación de equivalencia si cumple las siguientes [[propiedad (lógica)|propiedad]]es:

*[[Relación reflexiva|Reflexividad]]: Todo elemento de <math>K</math> está relacionado consigo mismo. Es decir, 

:: <math>
   \forall x\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} x
</math>.

*[[Relación simétrica|Simetría]]: Si un elemento de <math>K</math> está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

:: <math>
   \forall x,y\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x
</math>.

*[[Relación transitiva|Transitividad]]: Si un elemento de <math>K</math> está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

:: <math>
   \forall x,y,z\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z
   \quad \Rightarrow \quad
   x \mathcal{R} z
</math>.

'''Notación:'''

:En [[aritmética modular]] la relación de equivalencia entre dos elementos <math>x</math> e <math>y</math> se denota <math>x \equiv y (mod R )</math> que se lee « <math>x</math> es equivalente a <math>y</math> [[módulo (matemática)|módulo]] <math>R</math> ».

:Una relación de equivalencia <math>\sim</math> sobre un [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] <math>K</math> puede denotarse con el par <math>(K,\sim)\,</math>.

=== Clase de equivalencia o relación de equivalencia ===
En [[lógica de clases]] y [[análisis matemático]], la relación de equivalencia <math>\mathcal{R}</math> define [[conjuntos disjuntos|subconjuntos disjuntos]] en <math>K</math> llamados [[clases de equivalencia]]:

Dado un elemento <math>a\in K</math>, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con <math>a</math> definen la clase:

<center><math>[a] = \{b\in K\,|\,a\mathcal{R}b\}</math></center>

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento <math>a</math>.

Al elemento <math>a</math> se le llama [[representante de la clase]].

Se llama [[orden]] al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la [[ciencia]], dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.{{cr}}

=== Conjunto cociente ===
Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina [[conjunto cociente]] y se denota como:

<center><math>K/\mathcal{R}</math> o <math>K/\sim</math></center>

===Partición===
Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una [[Partición de un conjunto|partición]] del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

:'''Proposición''': Una ''relación de equivalencia'' en el conjunto no vacío K determina una ''partición'' de este, y toda ''partición'' de K determina una ''relación de equivalencia'' en este.

{{Demostración|1 = Dada una ''relación de equivalencia'' <math> \mathcal{R}</math> en K:

:Para ver que la intersección es vacía, supongamos que no lo es, es decir, dados [a] y [b] dos clases distintas y <math>c \in [a] \cap [b]</math> entonces se tiene:

::Por simetría <math>c\mathcal{R}b \Rightarrow b\mathcal{R}c.</math>

::Por transitividad <math>b\mathcal{R}c </math> y <math> c\mathcal{R}a \Rightarrow b\mathcal{R}a.</math>

:Por tanto [a]=[b] que es una contradicción, por tanto, dos clases distintas no tienen elementos en común, así como todo elemento de K pertenece a una clase, queda bien definida una ''partición''.

Dada una [[Partición (matemática)|''partición'']] de K, <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>, podemos definir la siguiente ''clase de equivalencia'':

:Dados dos elementos '''a''' y '''b''' de K están relacionados si pertenecen al mismo conjunto <math>A_i.</math>}}

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.
* para cualesquiera dos <math>a_i,a_j</math> no relacionados tenemos: <math>[a_i]\cap[a_j]=\emptyset</math>; 
* la unión de todos integra al total: <math>\bigcup_s[a_s]=K</math>

==Ejemplos==

* Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) [[Bicondicional|si y solo si]] a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un [[número entero]]. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama ''representante canónico'' y se denota, simplificadamente, 2.

* La [[igualdad matemática]]

* La relación de [[congruencia (teoría de números)|congruencia]] módulo M en el conjunto de los números enteros ([[Id est|i.&nbsp;e.]] <math>M\in\mathbb{Z}</math>), donde se define: <math>a \sim b</math> si y solo si <math> a - b\,</math> es múltiplo de M. 

:Esta relación es de equivalencia porque:

:*Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
:*Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
:*Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

* Sea ''H'' un subgrupo de un grupo ''G''. Definiendo para elementos del grupo <math>a \sim b</math> [[Bicondicional|si y solo si]] <math>ab^{-1}\in H</math>, se tendrá la relación de equivalencia llamada [[congruencia]] módulo ''H''.

* Definiendo, para elementos del grupo, <math>a \sim b</math> si y solo si existe ''g'' en ''G'' tal que <math>gag^{-1}=b</math>, se llama relación de [[conjugación (teoría de grupos)|conjugación]]. Sus clases se denominan [[clases de conjugación]]. Las clases de equivalencia reciben el nombre de [[órbita (matemática)|órbita]] o [[clase de conjugación]].{{cr}}

* Sean los números reales a y b, diremos que <math>a \sim b</math> si y solo si sus máximos enteros son iguales. La clase de equivalencia son los intervalos [n; n+1) donde n es un número entero. Así 3,56 y 3,875 son equivalentes pues tienen el mismo máximo entero = 3.
=== Ejemplo simple ===

Sobre el conjunto <math>X = \{a, b, c\}</math>, la relación <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:
<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>

El conjunto de todas las clases de equivalencia para <math>R</math> es <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math> Este conjunto es una [[Partición de un conjunto|partición]] del conjunto <math>X</math> con respecto a <math>R</math>.
===Relaciones de equivalencia===

Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:
* "Es igual a" en el conjunto de los números. Por ejemplo, <math>tfrac{1}{2}</math> es igual a <math>tfrac{4}{8}.</math><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: Equivalence Classes|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
* "Cumple años el mismo día que" en el conjunto de todas las personas.
* "Es [[Semejanza (geometría)|similar]] a" en el conjunto de todos los [[Triángulo| triángulos]].
* "Es [[Congruencia (geometría)|congruente]] con" en el conjunto de todos los [[Triángulo| triángulos]].
* Dado un número natural <math>n</math>, "es congruente con", [[Aritmética modular|módulo]]". <math>n</math>" en los [[enteros]].<ref name=":0" />
* Dada una [[Función (matemática)|función]] <math>f:X \to Y</math>, "tiene la misma [[Imagen (matemática)|imagen]] bajo <math>f</math> que" sobre los elementos del [[dominio de una función|dominio]] de <math>f</math>. <math>X</math>. Por ejemplo, <math>0</math> y <math>\pi</math> tienen la misma imagen bajo <math>\sin</math>, a saber, <math>0</math>.
* "Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de los números reales
* "Tiene el mismo coseno que" en el conjunto de todos los ángulos.
==Conexiones con otras relaciones==

*Un [[orden parcial]] es una relación que es reflexiva, [[Relación antisimétrica|antisimétrica]] y transitiva.
*[[Igualdad (matemáticas)|Igualdad]] es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En [[expresión algebraica]]s, las variables iguales pueden ser [[Sustitución (álgebra)|sustituidas]] unas por otras, una facilidad que no está disponible para las variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los individuos dentro de una clase.
*Un [[Conjunto parcialmente ordenado#Órdenes parciales estrictos y no estrictos| orden parcial estricto]] es irreflexivo, transitivo y [[relación asimétrica|asimétrica]].
*Una [[relación de equivalencia parcial]] es transitiva y simétrica. Tal relación es reflexiva [[si y sólo si]] es [[relación total|total]], es decir, si para todo <math>a,</math> existe algún <math>b \text{ tal que } a \sim b. </math><ref group="proof">''Si:'' Dada <math>a,</math> <math>a \sim b</math> se cumple usando la totalidad, entonces <math>b \sim a</math> por simetría, por lo tanto <math>a \sim a</math> por transitividad. — ''Sólo si:'' Dado <math>a,</math> elegir <math>b = a,</math> entonces <math>a \sim b</math> por reflexividad.</ref> Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total.
*Una [[relación de equivalencia ternaria]] es un análogo ternario de la relación de equivalencia habitual (binaria).
*Una relación reflexiva y simétrica es una [[relación de dependencia]] (si es finita), y una [[relación de tolerancia]] si es infinita.
*Un [[preorden]] es reflexivo y transitivo.
*Una [[relación de congruencia]] es una relación de equivalencia cuyo dominio <math>X</math> es también el conjunto subyacente de una [[estructura algebraica]], y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de [[Kernel (álgebra)|núcleos]] de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura sobre la que están definidas (por ejemplo, las relaciones de congruencia sobre grupos corresponden al [[subgrupo normal]]s).
*Cualquier relación de equivalencia es la negación de una [[relación de separación]], aunque la afirmación inversa sólo es válida en [[matemática clásica]] (en contraposición a las [[Constructivismo (matemática)| matemática constructiva]]), ya que es equivalente a la [[Principio del tercero excluido]].
*Cada relación que es a la vez reflexiva e izquierda (o derecha) [[relación euclidiana|euclidiana]] es también una relación de equivalencia.
==Bien definido bajo una relación de equivalencia==

Si <math>,\sim\,</math> es una relación de equivalencia sobre <math>X,</math> y <math>P(x)</math> es una propiedad de elementos de <math>X,</math> tal que siempre que <math>x \sim y, </math> <math>P(x)</math> es verdadera si <math>P(y)</math> es verdadera, entonces se dice que la propiedad <math>P</math> está [[Bien definido| bien definida]] o es una invariante de clase bajo la relación <math>\,\sim. </math> 

Un caso particular frecuente se da cuando <math>f</math> es una función de <math>X</math> a otro conjunto <math>Y; </math> si <math>x_1 \sim x_2</math> implica <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> entonces <math>f</math> se dice que es un {em|morfismo}} para <math>,\sim,</math> una {em|clase invariante bajo}} <math>,\sim,</math> o simplemente invariante bajo <Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. Este último caso con la función <math>f</math> puede expresarse mediante un triángulo conmutativo. Véase también [[invariante]].  Algunos autores utilizan "compatible con <math>\,\sim</math>" o simplemente "respeta <math>\,\sim</math>" en lugar de "invariante bajo <math>\,\sim</math>".

En términos más generales, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia <math>,\sim_A</math>) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia <math>,\sim_B</math>).  Tal función se conoce como un morfismo de <math>,\sim_A</math> a <math>,\sim_B.</math>
==Clase de equivalencia, conjunto cociente, partición==

Sean <math>a, b</math> elementos en <math>X</math>. Con base en esto, a continuación veamos algunas definiciones:

===Clase de equivalencia===
{{main|Clase de equivalencia}}

Un subconjunto ''Y'' de ''X'' tal que <math>a \sim b</math> se cumple para todo ''a'' y ''b'' en ''Y'', y nunca para ''a'' en ''Y'' y ''b'' fuera de ''Y'', se llama una '''clase de equivalencia''' de ''X'' por ~. Sea <math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> la clase de equivalencia a la que pertenece ''a''. Todos los elementos de ''X'' equivalentes entre sí son también elementos de la misma clase de equivalencia.

===Conjunto cociente===
El conjunto de todas las clases de equivalencia de ''X'' por ~, denotado <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> es el '''conjunto cociente''' de ''X'' por ~. Si ''X'' es un [[espacio topológico]], existe una forma natural de transformar <math>X / \sim</math> en un espacio topológico; véase [[Espacio cociente (topología)|espacio cociente]] para los detalles.

===Proyección===

La '''proyección''' de <math>\,\sim,</math> es la función <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> definida por <math>\pi(x) = [x]</math> que mapea elementos de <math>X</math> en sus respectivas clases de equivalencia por <math>\,\sim.</math>

:'''Teorema''' sobre [[Proyección (teoría de conjuntos)|proyecciones]]:<ref>[[Garrett Birkhoff]] y [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Álgebra'', 3ª ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> Sea la función <math>f : X \to B</math> y sea tal que si <math>a \sim b</math> entonces <math>f(a) = f(b).</math> Entonces existe una única función <math>g : X / \sim \to B</math> tal que <math>f = g \pi. </math> Si <math>f</math> es una [[función sobreyectiva]] y <math>a \sim b \text{ si y sólo si } f(a) = f(b),</math> entonces <math>g</math> es una [[biyección]].

===Núcleo de equivalencia===
El '''núcleo de equivalencia''' de una función <math>f</math> es la relación de equivalencia ~ definida por <math>x \sim y \text{ si y sólo si } f(x) = f(y).</math> El núcleo de equivalencia de una [[Función inyectiva|inyección]] es la [[relación de identidad]].

===Partición===
{{main|Partición de un conjunto}}
Una '''partición''' de ''X'' es un conjunto ''P'' de subconjuntos no vacíos de ''X'', tal que cada elemento de ''X'' es un elemento de un único elemento de ''P''. Cada elemento de ''P'' es una ''celda'' de la partición. Además, los elementos de ''P'' son [[Conjuntos disjuntos| disjuntos por pares]] y su [[Unión (teoría de conjuntos)|unión]] es ''X''.

==Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia==

Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones:<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>
* Una relación de equivalencia ~ sobre un conjunto ''X'' divide a ''X''.
* A la inversa, correspondiente a cualquier partición de ''X'', existe una relación de equivalencia ~ sobre ''X''.
En ambos casos, las celdas de la partición de ''X'' son las clases de equivalencia de ''X'' por ~. Dado que cada elemento de ''X'' pertenece a una celda única de cualquier partición de ''X'', y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de ''X'' por ~, cada elemento de ' 'X'' pertenece a una clase de equivalencia única de ''X'' por ~. Así, hay una [[biyección]] natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en ''X'' y el conjunto de todas las particiones de ''X''.

==Comparando relaciones de equivalencia==
{{See also|Partición de un conjunto}}
Si <math>\sim</math> y <math>\approx</math> son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto <math>S</math>, y <math>a \sim b</math> implica que <math>a \approx b</math> para todos <math>a, b \in S,</math> entonces <math>\approx</math> se dice que es una relación '''más gruesa''' que <math>\sim</math>, y <math>\sim</math> es una relación '''más fina''' que <math>\approx</math>.  Equivalentemente,
* <math>\sim</math> es más fino que <math>\approx</math> si cada clase de equivalencia de <math>\sim</math> es un subconjunto de una clase de equivalencia de <math>\approx</math>, y por lo tanto cada clase de equivalencia de <math>\approx</math> es una unión de clases de equivalencia de <math>\sim</math>.
* <math>\sim</math> es más fino que <math>\approx</math> si la partición creada por <math>\sim</math> es un refinamiento de la partición creada por <math>\approx</math>.

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

La relación "<math>\sim</math> es más fino que <math>\approx</math>" sobre la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una [[red geométrica]].<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255}}. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95</ref>

== Véase también ==
* [[Equivalencia lógica]]
* [[Espacio cociente (álgebra lineal)|espacio vectorial cociente]]
* [[Teoría del orden]]
* [[Topología cociente]]

== Notas ==
<references group="proof"/>

== Referencias ==

{{listaref}}

== Bibliografía ==
*{{MathWorld|EquivalenceRelation|Relación de equivalencia}}
*Brown, Ronald, 2006. ''[http://arquivo.pt/wayback/20160514115224/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html Topology and Groupoids.]'' Booksurge LLC. {{ISBN|1-4196-2722-8}}.
*Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., ''Symmetries in Physics: Philosophical Reflections''. Cambridge Univ. Press: 422–433.
*[[Robert Dilworth]] and Crawley, Peter, 1973. ''Algebraic Theory of Lattices''. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in [[lattice (order)|lattice]] theory.
*Higgins, P.J., 1971. ''[http://www.emis.de/journals/TAC/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids.]'' Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
* James R.Munkres,''Topología'', (2002),Prentice Hall.
*[[John Lucas (philosopher)|John Randolph Lucas]], 1973. ''A Treatise on Time and Space''. London: Methuen. Section 31.
*Rosen, Joseph (2008) ''Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry''. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
*[[Raymond Wilder]] (1965) ''Introduction to the Foundations of Mathematics'' 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, [[John Wiley & Sons]].

{{Control de autoridades}}
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[[Categoría:Relaciones]]
[[Categoría:Equivalencia (matemáticas)]]